七年级数学竞赛讲座：第四讲 一元一次方程

初一奥数数学竞赛第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要旳内容．最简朴旳方程是一元一次方程，它是深入学习代数方程旳基础，诸多方程都可以通过变形化为一元一次方程来处理．本讲重要简介某些解一元一次方程旳基本措施和技巧．用等号连结两个代数式旳式子叫等式．假如给等式中旳文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一种等式与否是恒等式是要通过证明来确定旳．假如给等式中旳文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他旳值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立旳未知数旳值叫作方程旳解．方程旳解旳集合，叫作方程旳解集．解方程就是求出方程旳解集．只具有一种未知数(又称为一元)，且另一方面数是1旳方程叫作一元一次方程．任何一种一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)旳形式，这是一元一次方程旳原则形式(最简形式)．解一元一次方程旳一般环节：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数旳系数，得出方程旳解．一元一次方程ax=b旳解由a，b旳取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多种解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐层去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分派律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相似旳解，试求a旳值．分析本题解题思绪是从方程①中求出x旳值，代入方程②，求出a旳值．解由方程①可求得3x-5x=-6，因此x=3．由已知，x=3也是方程②旳解，根据方程解旳定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)旳解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a旳解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，因此a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解有关x旳方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不一样实数值旳常数，因此需要讨论m，n取不一样值时，方程解旳状况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整顿得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程旳解为一切实数．阐明具有字母系数旳方程，一定要注意字母旳取值范围．解此类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多种解三种状况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中旳括号去掉后产生x2项，但整顿化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一种一元一次方程．解将原方程整顿化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即(a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多种解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m旳值．解由于(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，因此m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式旳值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．因此所求代数式旳值为1991．例7 已知有关x旳方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a旳值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，因此例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k旳解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程旳解是零；反之，若方程ax=b旳解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程旳解是正数；反之，若方程ax=b旳解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程旳解是负数；反之，若方程ax=b旳解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整顿方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程旳解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式旳左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．由于k2≥0，因此只要k＞5或k＜2时上式不小于零，因此当k ＜2或k＞5时，原方程旳解是正数，因此k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解由于abc=1，因此原方程可变形为化简整顿为化简整顿为阐明像这种带有附加条件旳方程，求解时恰当地运用附加条件可使方程旳求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．由于a＞0，b＞0，c＞0，因此ab+bc+ac≠0，因此x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程旳解．解法2将原方程右边旳3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其他两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为因此即x-(a+b+c)=0．因此x=a+b+c为原方程旳解．阐明注意观测，巧妙变形，是产生简朴优美解法所不可缺乏旳基本功之一．例11设n为自然数，[x]表达不超过x旳最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，因此n与(n+1)…，n[x]都是整数，因此x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，因此原方程化为合并同类项得故有因此x=n(n+1)为原方程旳解．例12已知有关x旳方程且a为某些自然数时，方程旳解为自然数，试求自然数a 旳最小值．解由原方程可解得a最小，因此x应取x=160．因此因此满足题设旳自然数a旳最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列有关x旳方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，有关x旳方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不不小于1旳解．。

初一上册数学解一元一次方程解一元一次方程是初中数学的基础内容。

下面是解一元一次方程的步骤：
1. 将方程整理成标准形式：ax + b = 0，其中a和b是已知常数。

2. 移项：将b移到方程的另一侧，得到ax = -b。

3. 消去系数a：如果a不等于0，则将方程两边都除以a，得到x = -b/a。

这是方程的唯一解。

4. 如果a等于0，那么方程就变成了bx = 0。

这种情况下，方程有无穷多解，即任何实数都可以作为方程的解。

总结起来，解一元一次方程的关键是将方程整理成标准形式，然后通过移项和消去系数的操作得到解。

如果a不等于0，则方程有唯一解；如果a等于0，则方程有无穷多解。

1。

第四讲 一元一次方程教学目标1.理解方程的概念，能够根据要求列出恰当的方程，能够对方程模型进行准确的判断；2.熟练掌握移项、去括号、合并同类项等化简方程的方法，掌握解一元一次方程的步骤；3.能够分析实际问题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系，能够熟练找出题目中的等量关系，并列出方程进行求解，并根据问题判断“解”的合理性。

教学重点 移项、去括号、合并同类项等化简方程的方法 教学难点 能列方程解应用题 教学方法建议讲授法，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（4）道（10）道（4）道B 类 （9）道 （8）道 （7）道C 类（6）道（6）道（5）道第1——2课时 一元一次方程相关概念及解法一、知识梳理1．等式及其性质⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2.方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3.解一元一次方程的步骤①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.4．易错知识辨析（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等不是一元一次方程.（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.二、课堂精讲例题（一）一元一次方程的定义 例题1若3223=+-k kxk是关于x 的一元一次方程，则k =_______.【难度分级】：A 类【选题意图】（对应知识点）：本题主要考查学生对一元一次方程的定义的理解。

第四讲一元一次方程知识点: 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程例2已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．例3 : a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．例5 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？例6 若abc=1，解方程例7 若a ，b ，c 是正数，解方程例8 设n 为自然数，[x]表示不超过x 的最大整数，解方程例9 已知关于x 的方程且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．例10:无论K 为何值时,X=-1恒为方程1322=--+bk x a kx 的解,求a,b.例11 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？作业1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．5.a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？6、m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？7、已知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8、m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9、已知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。

初中数学竞赛辅导第四讲一元一次方程1、解方程：1x1x1x23x32343242、方程3x 2 5x和4x 3a x 6x 7a x有相同的解，求a的值。

3、方程2x 1 3x 1的解为a+2，求方程22x 3 2x a3a的解。

4、解关于x的方程mx nm n0。

5、解方程：a x ba b xa2xb2xa2b2。

6、m21x2m 1x 8 0是关于x的一元一次方程，求代数式199m xx 2mm的值。

7、关于x的方程a2x1 3x 2无解，试求a的值。

8、k为何正数时，方程k2x k22kx5k的解是正数？9、假设abc2ax2bx2cx 1，解方程bcb11aba1caa1xab xb c xca310、假设a、b、c是正数，解方程a bc11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程x2x3x4xnxn2n12。

212、关于x的方程，且a为某些自然数时，方程5xa8x142的解为自然数，试25求自然数a的最小值。

答案：1、x 22。

92、a41。

23、x 1 10。

24、〔1〕当mn0，且m0时，方程有唯一解xn0时，且m时，；〔2〕当mnm方程无解；〔3〕当mn0时，方程的解为一切实数。

、〔〕当a2b20时，方程有唯一解ab；〔〕当a2b20时，那么方程无解或有1x2a b 无数多个解。

6、1991。

37、a28、k5或k2。

9、x1210、x ac 。

11n1。

、x n 12、2。

训练题：1、解以下方程：111xx 12〔1〕31〔2〕24〔3〕1111x16412452、解以下关于x的方程：〔1〕a223x 1〔〕ax3x2ab1〔〕xbxa2323a2b3、a为何值时，方程x a x1x 12有无数多个解？无解？3264、当k取何值时，关于x的方程3x1 5kx，分别有〔1〕正数解；〔2〕负数解；〔3〕不大于1的解。

第1讲 一元一次方程一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬套，往往需要我们活用所学方法，灵活解决问题。

例1、解方程200620072005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯xxxx x二、一元一次方程根的存在性一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然当a ≠0时，方程有唯一的根a b；当a=0且b=0时，方程有无数根；当a=0且b ≠0时，方程无根；例2、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。

例3、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。

例4、 解关于x 的方程a b a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。

例5、已知3=--+--+--b ac x a cb xc ba x ，且0111≠++c b a ，求x-a-b-c 的值。

三、一元一次方程的整数解例6、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？例7、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。

四、含绝对值的一元一次方程例8、解方程312=+-x x例9、解方程532=+++x x练习1、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？2、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），求m 。

3、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数是什么？4、求自然数n a a a 21，使得122121122121n n a a a a a a ⨯=⨯。

5、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解（2）有无数解（3）无解6、方程1-x+x的解有哪些？2=-37、已知关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b有无数多解，试求a、b的值。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：解⼀元⼀次⽅程重点讲解，欢迎⼤家阅读。

1.⼀元⼀次⽅程：只含有⼀个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式⽅程是⼀元⼀次⽅程。

2.⼀元⼀次⽅程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。

3.条件：⼀元⼀次⽅程必须同时满⾜4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减去同⼀个数或同⼀个整式，等式仍然成⽴。

等式的性质⼆：等式两边同时扩⼤或缩⼩相同的倍数(0除外)，等式仍然成⽴。

等式的性质三：等式两边同时乘⽅(或开⽅)，等式仍然成⽴。

解⽅程都是依据等式的这三个性质等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减同⼀个数，等式仍然成⽴。

5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成⼀项;常数计算后合并成⼀项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到⽅程左边，把不含未知数的项移到右边。

(2)依据：等式的性质(3)把⽅程⼀边某项移到另⼀边时，⼀定要变号。

7.⼀元⼀次⽅程解法的⼀般步骤：使⽅程左右两边相等的未知数的值叫做⽅程的解。

⼀般解法：(1)去分母：在⽅程两边都乘以各分母的最⼩公倍数;(2)去括号：先去⼩括号，再去中括号，最后去⼤括号;(记住如括号外有减号的话⼀定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到⽅程的⼀边，其他项都移到⽅程的另⼀边;移项要变号(4)合并同类项：把⽅程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在⽅程两边都除以未知数的系数a，得到⽅程的解x=b/a.8.同解⽅程如果两个⽅程的解相同，那么这两个⽅程叫做同解⽅程。