专题20 圆锥曲线全国卷高考真题综合2(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

2021年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1．（2021年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x相交于a,b两点,o 为坐标原点,当2?aob的面积挑最大值时,直线l的斜率等同于a．y?eb?bc?cd【答案】b（）33b．?33c．?33d．?3x22．（2021年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版））双曲线?y2?1的顶点到其渐4将近线的距离等同于a．（）b．2545c．255d．455【答案】c3．（2021年普通高等学校录取统一考试广东省数学（理）卷（氢铵word版））未知中心在原点的双曲线c的右3f?3,0?焦点为,离心率等于2,在双曲线c的方程是22x2y2xy??1??14545a．b．（）x2y2??125c．x2y2??125d．【答案】bx2y254．（2021年高考新课标1（理））已知双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,则c的渐近线ab2方程为a．y??（）1x4b．y??1x3c．y??1x2d．y??x【答案】cx2y2?2?1与5．（2021年高考湖北卷（理））已知0,则双曲线c1:2cos?sin?4?y2x2c2:2?2?1的sin?sin?tan2?a．实轴长成正比【答案】db．虚轴长相等c．焦距成正比d．离心率相等2（）y?1的渐近线的距离是（）6．（2021年高考四川卷（理））抛物线y?4x的焦点到双曲线x?322a．12b．32c．1d．3【答案】bx27．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）例如图,f1,f2就是椭圆c1:?y2?1与双曲线c24的公共焦点,a,b分别就是c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的距心率就是yaf1ob（第9题图）f2xc．（）a．2【答案】db．332d．62x2y28．（2021年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的ab两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别处设a,b两点,o为座标原点.若双曲线的距心率为2,△aob的面积为3,则p=a．1【答案】cc．2d．3b．32x2y2??1的左、右顶点分别为a1,a2,9．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））椭圆c:43点p在c上且直线pa2的斜率的值域范围就是??2,?1?,那么直线pa1斜率的值域范围就是（）a．?，?24【答案】b10．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））未知抛物线c:y?8x与点m??2,2?,过c的2?13b．?，?84?331?c．?，?1??2?1?d．?，?3??4焦点且斜率为k的直线与c处设a,b两点,若ma?mb?0,则k?a．（）12b．22c．2d．2【答案】dx2y211．（2021年高考北京卷（理））若双曲线2?2?1的离心率为3,则其渐近线方程为aba．y=±2x【答案】b（）b．y=?2xc．y??1x2d．y??2x212．（2021年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线c1y?:12x2p(p?0)x22?y?1c23cc的焦点与双曲线:的右焦点的连线交1于第一象限的点m.若1在点m处的切线平c2的一条渐近线,则p?（）3a．16【答案】d3b．823c．343d．3x2y213．（2021年中考新课标1（理））未知椭圆e:2?2?1(a?b?0)的右焦点为f(3,0),过点f的直线缴ab椭圆于a,b两点.若ab的中点坐标为(1,?1),则e的方程为（）x2y2??1a．4536【答案】dx2y2??1b．3627x2y2??1c．2718x2y2d．??118914．（2021年普通高等学校录取统一考试新课标ⅱ卷数学（理））设立抛物线c:y?2px(p?0)的焦点为f,2点m在c上,mf?5,若以mf为直径的圆过点(0,2),则c的方程为a．y2?4x或y2?8xc．y?4x或y?16x【答案】c22（）b．y2?2x或y2?8xd．y?2x或y?16x2215．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知a、b为平面内两定点,过该平面内动点m作直线ab2???的垂线,垂足为n.若mn??an?nb,其中?为常数,则动点m的轨迹不可能是a．圆【答案】c（）b．椭圆c．抛物线d．双曲线2216．（2021年普通高等学校录取统一考试重庆数学（理）试题（含答案））未知圆c1:?x?2y?3??1,圆c2:?x?3y?4??9,m,n分别是圆c1,c2上的动点,p为x轴上的动点,则pm?pn的最小值为a．52?4【答案】a二、填空题17．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））双曲线22（）b．17?1c．6?22d．17x2y2??1的两条渐近线的方程为_____________.169【答案】3y??x42x2y218．（2021年高考江西卷（理））抛物线x?2py(p?0)的焦点为f,其准线与双曲线??1相交于a,b33两点,若?abf为等边三角形,则p?_____________【答案】6x2y219．（2021年高考湖南卷（理））设f1,f2是双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,p是c上一点,ab?若pf1?pf2?6a,且?pf1f2的最轻内角为30,则c的距心率为___.【答案】320．（2021年中考上海卷（理））设ab就是椭圆?的长轴,点c在?上,且?cba??4,若ab=4,bc?2,则的两个焦点之间的距离为________【答案】21．（2021年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知直线y?a交抛物线y?x于a,b两点.246.3若该抛物线上存有点c,使?abc为直角,则a的值域范围为________.【答案】[1,??)22．（2021年普通高等学校录取全国统一录取考试江苏卷（数学）（已校订氢铵word版不含额外题））抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围起三角形区域为d(涵盖三角形内部与边界).若点p(x,y)就是区域d内的任一一点,则x?2y的值域范围就是__________.【答案】??2,?2??1??23．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题））在平面直角坐x2y2标系xoy中,椭圆c的标准方程为2?2?1(a?0,b?0),右焦点为f,右准线为l,长轴的一个端的ab点为b,设原点到直线bf的距离为d1,f到l的距离为d2,若d2?_______.【答案】6d1,则椭圆c的离心率为33x2y224．（2021年普通高等学校录取统一考试福建数学（理）试题（氢铵word版））椭圆?:2?2?1(a?b?0)的ab左.右焦点分别为f1,f2,焦距为2c,若直线y?3(x?c)与椭圆?的一个交点m满足mf1f22mf2f1,则该椭圆的距心率等同于__________【答案】3?1x2y2525．（2021年高考陕西卷（理））双曲线??1的离心率为,则m等于___9_____.16m4【答案】9x2y226．（2021年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版））已知椭圆c:2?2?1(a?b?0)ab的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,b,f 若ab?10,af?6,cos?abf?【答案】4,则c的离心率e=______.557227．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线y?8x的准线方程是_______________【答案】x??228．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））在平面直角坐标系xoy中,预设点a(a,a),p就是函数y?1(x?0)图象上一动点,若点p，a之间的最短距离为x22,则满足条件的实数a的所有值_______.【答案】?1或1029．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）设f为抛物线c:y?4x的焦点,过点p(?1,0)2的直线l交抛物线c于两点a,b,点q为线段ab的中点,若|fq|?2,则直线的斜率等同于________.。

圆锥曲线综合问题第一讲 最值、范围问题1．圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；①求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；①代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．【例1】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求△OAD 与△OAC 的面积之差的绝对值的最大值．(O 为坐标原点)解析：(1)由题意得2a ＝4，即a ＝2,2c ＝a ，即c ＝1，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝3．故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)设△OAD 的面积为S 1，△OAC 的面积为S 2，直线l 的方程为x ＝ky －1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1，整理得(3k 2＋4)y 2－6ky －9＝0， 由根与系数的关系可知y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，∴|S 1－S 2|＝12×2×||y 1|－|y 2||＝|y 1＋y 2|＝6|k |3k 2＋4． 当k ＝0时，|S 1－S 2|＝0，当k ≠0时，|S 1－S 2|＝63|k |＋4|k |≤62 3|k |·4|k |＝32，当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±233时等号成立．∴|S 1－S 2|的最大值为32．【变式训练】 1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值．解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，①12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，① 联立①①①解得a 2－c 2＝3．又c a ＝12，①c 2＝1，a 2＝4， b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1． (2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0，所以m 2>4．y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 则①MNF 1的面积S ①MNF 1＝|S ①NTF 1－S ①MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝32431444324222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m ＝18m 2－44＋3m 2 ＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334． 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号． 故①MNF 1面积的最大值为334．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作①F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ①R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当①ADB 的面积最大时，直线l 的方程．解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×12ab ＝43，得ab ＝23． 延长F 2Q 交直线F 1P 于点R ，因为F 2Q 为①F 1PF 2的外角平分线的垂线，所以|PF 2|＝|PR |，Q 为F 2R 的中点，所以|OQ |＝|F 1R |2＝|F 1P |＋|PR |2＝|F 1P |＋|PF 2|2＝a ， 所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 所以Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)＝144(m 2－4)>0，即m 2>4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 直线A ′B 的斜率k ＝y 2－(－y 1)x 2－x 1＝y 2＋y 1x 2－x 1， 所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 1＋y 2x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋y 1(my 2＋4)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4， 故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝31＋m 2， 所以S ①ADB ＝12|AB |·d ＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝18·m 2－43m 2＋4． 令t ＝m 2－4(t >0)，则S ①ADB ＝18·t 3t 2＋16＝183t ＋16t≤1823×16＝334， 当且仅当3t ＝16t ，即t 2＝163＝m 2－4，即m 2＝283>4，m ＝±2213时，①ADB 的面积最大， 所以直线l 的方程为3x ＋221y －12＝0或3x －221y －12＝0．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积的最大值． 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2． 又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)， 所以4a 2＋1b 2＝1．所以a 2＝8，b 2＝2． 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1． (2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0． 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4．又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2．则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）． 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5． 所以S ①P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2． 当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，①P AB 的面积取得最大值为2．【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．解：(1)①双曲线的离心率为233， ①椭圆的离心率e ＝c a ＝32． 又①直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，①右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，①椭圆方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0．由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12． 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，得0＜m 2＜2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ，则S ①OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m 2－1)2＋1． 故由m 的取值范围可得①OMN 面积的取值范围为(0,1)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛213，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1．又a 2－b 2a ＝32， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1． ①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ(λ＞0)，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+20204y x ＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2 ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，(*)则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2．所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2． 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以①OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2 222241414k m k m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-． 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2．(**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23．由①知，①ABQ 的面积为3S ，所以①ABQ 面积的最大值为63．【例3】已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切．(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，①动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x ．(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，①|CB |＝42（1－m ），点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m 2， ①S ①ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )， 令1－m ＝t ，t ①(1，2)，则m ＝1－t 2，①S ①ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3，令f (t )＝8t －2t 3，①f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去)． 易知y ＝f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,1上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,32上单调递减． ①y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239． ①①ABC 面积的最大值为3239．【变式训练】1．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4923，，抛物线上的点P (x ，y )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2321x ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12． 因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程可得⎩⎨⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1)． 因为|P A |＝1＋k 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3．令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3＝－k 4－2k 3＋2k ＋1，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1上单调递增，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21上单调递减． 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．2．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点12，0的动直线交抛物线于不同两点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求①APQ 的面积的最小值．解：(1)设直线PQ 方程为x ＝ty ＋12，代入y 2＝4x ，得y 2－4ty －2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－2，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋1＝4t 2＋1，所以M 2t 2＋12，2t ． 设M (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t 2＋12，y ＝2t消去t ，得中点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1． (2)设F A →＝λFM →(λ<0)，A (x 0，y 0)，又F (1,0)，M 2t 2＋12，2t ， 则(x 0－1，y 0)＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 2,2122，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2λt 2－12λ＋1，y 0＝2λt .由点A 在抛物线y 2＝4x 上，得4λ2t 2＝8λt 2－2λ＋4，化简得(λ2－2λ)t 2＝－12λ＋1． 又λ<0，所以t 2＝－12λ． 因为点A 到直线PQ 的距离d ＝|4λt 2－λ＋2－4λt 2－1|21＋t 2＝|λ－1|21＋t 2， |PQ |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2(1＋t 2)(4t 2＋2)．所以①APQ 的面积S ＝12·|PQ |·d ＝222t 2＋1|λ－1|＝22 (λ－1)3λ．设f (λ)＝(λ－1)3λ，λ<0，则f ′(λ)＝(λ－1)2(2λ＋1)λ2， 由f ′(λ)>0，得λ>－12； 由f ′(λ)<0，得λ<－12， 所以f (λ)在－∞，－12上是减函数，在－12，0上是增函数，因此，当λ＝－12时，f (λ)取到最小值． 所以①APQ 的面积的最小值是364．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围．【例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，①b ＝1，a ＝2， ①椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1． (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2， ①(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，①(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1482k km ＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，① 由①①得0≤m 2<65，120<k 2≤54． ①原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，①d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）， 又120<k 2≤54，①0≤d 2<87，①原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡71420，． 【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)由题意，得c ＝1， 所以a 2＝b 2＋1．因为点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上， 所以1a 2＋94b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3． 则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋2得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0． 因为Δ＝48(4k 2－1)>0，所以k 2>14， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3． 因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0．所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0， 即－12k 2＋164k 2＋3>0， 所以k 2<43． 综上可知14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233． 所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,2121,332 ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆的面积的取值范围．解：(1)由题意知，半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1． (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分是是短轴的两端点，得到t ＝±63． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2， ①联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，整理得(3＋4k 4)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由Δ>0得64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8，由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，得23<t 2<6． 综上23≤t 2<6． 因为以F 1P 为直径的圆的面积S ＝π． ·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ2,32．3．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一交点坐标是(2，－2)．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解析] (1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以－p 2＝－2，即p ＝4，所以抛物线C 2的方程为x 2＝8y ． 椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0,2)，所以c ＝2． 2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，解得a ＝22，则b ＝2，所以椭圆C 1的方程为y 28＋x 24＝1． (2)设点P (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，抛物线方程可化为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x ， 所以AP 的方程为y －y 1＝14x 1(x －x 1)， 将P (t ，－2)代入，得－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝14tx 1＋2． 同理，BP 的方程为y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为y ＝14tx ＋2． 由⎩⎨⎧ y ＝14tx ＋2，y 28＋x 24＝1消去y ，整理得(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0，则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)＞0，且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64t 2＋32所以OE →·OF →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(1＋t 216)x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8． 因为0＜320t 2＋32≤10，所以OE →·OF →的取值范围是(－8,2]．4．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解](1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ， 得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0，所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>13，解得k >33或k <－33． 所以实数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-33,∪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，33． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2． 设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2(m ≠0)， 化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23． 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-223635m ， 点O 到直线l 的距离h ＝|m |1＋k 2＝35|m |， 所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝66·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2223623m m ≤66×2622362322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ，当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛260，．【课后巩固】1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，①QP →＝PM →，①P 为QM 的中点，又有PQ ①y 轴，①P ⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ,2， ①点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，①22⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ①R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ①|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，①y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4．① ①|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①①代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ①S ①AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ①①AOB 面积的最大值为1．2．已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值；(2)求△ABD 面积的最大值．【解】 (1)证明：设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1， 由⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2， 因为k AB ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故直线BD 的斜率为定值12. (2)连接OB ，因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD ＝2S △OBD ，由(1)可知BD 的斜率k ＝12，设BD 的方程为y ＝12x ＋t ， 因为D 在第三象限，所以－2<t <1且t ≠0，O 到BD 的距离d ＝|t |1＋14＝2|t |5， 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得3x 2＋4tx ＋4t 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4t 3，x 1x 2＝4(t 2－2)3， 所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×12×|BD |×d ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·2|t |5＝|t|·(x1＋x2)2－4x1x2＝|t|·96－32t23＝423·t2(3－t2)≤2 2.所以当且仅当t＝－62时，S△ABD取得最大值2 2.3．如图，已知抛物线C 1：x 2＝4y 与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于点A ，B ，且抛物线C 1在点A 处的切线l 1与椭圆C 2在点A 处的切线l 2互相垂直．(1)求椭圆C 2的离心率；(2)设l 1与C 2交于点P ，l 2与C 1交于点Q ，求△APQ 面积的最小值．解：(1)设点A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则抛物线C 1在点A 处的切线方程为l 1：x 0x ＝2(y 0＋y )，椭圆C 2在点A 处的切线方程为l 2：x 0x a 2＋y 0y b2＝1． 由题意可知，l 1⊥l 2，则有x 02·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0202y a x b ＝－1， 且x 20＝4y 0，所以a 2＝2b 2，从而椭圆C 2的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22． (2)由椭圆C 2的离心率为22，可设椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1， 设A (2t ，t 2)，l 1：y ＝tx －t 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx －t 2，x 2＋2y 2＝2b 2，得(1＋2t 2)x 2－4t 3x ＋2t 4－2b 2＝0， 所以|AP |＝1＋t 2·|x P －x A |＝t 2＋1t tt 22122++， 设l 2：y ＝－1tx ＋t 2＋2，同理可得|AQ |＝1＋1t 2·|x Q －x A |＝1＋1t 2·t t t 242++， 所以S △APQ ＝12|AP ||AQ |＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·4t ＋4t 31＋2t 2＝8(t 2＋1)3(1＋2t 2)t． 令f (t )＝(t 2＋1)3(1＋2t 2)t ，t ＞0，则f ′(t )＝(t 2＋1)2(2t 2－1)(3t 2＋1)(1＋2t 2)2t 2．令f ′(t )＝0，得t ＝22，所以函数f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220，上单调递减， 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上单调递增．所以f (t )≥f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22＝2782， 所以S ①APQ ≥2722． 故①APQ 面积的最小值为2722． 4．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8． (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．解析：(1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0． 设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x ．(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20．令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0． 又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立．设A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21y ，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,21y ，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34． ∴|F A |·|FB |＝ y 23＋94· y 24＋94＝ (y 3y 4)2＋94(y 23＋y 24)＋8116＝ 1681433244943302020+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x ＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|．∵x 0≥0，∴|F A |·|FB |∈[3，＋∞)．5．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。

专题22：圆锥曲线高考真题江苏卷（解析版）一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =. 【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q，1(F，2F，则10S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的。

2021年高考数学真题分类汇编 10.6 圆锥曲线的综合问题理考点一定值与最值问题1.(xx湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2答案A2.(xx福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.6答案 D3.(xx四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.答案 B4.(xx安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O 的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.5.(xx浙江,21,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为.又点P在第一象限,故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=,整理得d=.因为a2k2+≥2ab,所以≤=a-b,当且仅当k2=时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.6.(xx湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2 .而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.7.(xx四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值. 所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).考点二存在性问题20062 4E5E 乞20677 50C5 僅929969 7511 甑 C28630 6FD6 濖)_F pr。

2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？答案】C2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？答案】D3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？答案】A4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？答案】B5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？答案】A6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？答案】A7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？答案】A8.【2021年浙江高考】椭圆C_1: x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)与双曲线C_2: x^2/4-y^2/n^2=1(n>0)的焦点重合，e_1，e_2分别为C_1，C_2的离心率，且e_1>e_2，那么m、n的大小关系是？答案】m>n2y-1由AN·BM = (x-a)(y-b)(x+c)(y+c) = (x+c)(y+c)得证。

2021年高考概率与统计试题分析及备考建议一、考查内容分析 (2)1、考查特点分析 (2)2、试题的三大变化 (3)二、命题思路分析 (3)1.“低起点”考查基础性，突出圆锥曲线的几何本质 (3)2.“多层次”考查综合性，突出圆锥曲线的多元联系 (6)3.“多模型”考查应用性，突出圆锥曲线的育人价值 (12)4.“高落差”考查创新性，突出圆锥曲线的丰富内涵 (20)复习备考建议 (23)1、深化特征，注重回归教材内容的教学 (24)2、类化解法，注重建构知识体系的引导. (24)2021年高考概率与统计试题分析及备考建议2021年高考数学圆锥曲线部分以标准方程和几何性质为载体,贯彻“低起点、宽入口、多层次、高落差”的命题原则,突出对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查,对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用.本文通过对2021年圆锥曲线真题分析,总结考查特点,为今后的高考复习备考提出建议。

一、考查内容分析2021年各份高考数学试卷均重视数学的本质，突出了对必备知识、关键能力和学科素养的考查.各份试卷中涉及圆锥曲线的试题，题型结构稳定，命题立意鲜明，主要考查基础题和中档题，综合考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及位置关系下对有关几何性质的研究，涉及距离问题、范围问题、面积问题、最值问题、定点定值问题等，通常是与平面向量、数列、函数与方程等知识的综合应用.1、考查特点分析2021年各份高考数学试卷中涉及圆锥曲线内容的试题，与往年相比，在题型、题量和分值比例上差距不大，体现了对主干内容考查的稳定性、统一性和连贯性。

从表中可以看出：2021年高考数学对圆锥曲线的考查呈现如下三个特点.①题型结构相对稳定.从题型、题量和分值比例方面来看，各份试卷均采用兼顾客观题和主观题的做法，分值在20~25分之间.其中，题量与分值最少的上海卷和天津卷，都是一道客观题和一道主观题，分值为20分，占全卷总分值的13.3%；分值最高的是浙江卷，为25分，占全卷总分值的16.7%，其次是北京卷，为24分，占全卷总分值的16.0%；6份全国卷均为两道客观题加一道主观题的组合形式，分值均为22分，占全卷总分值的14.7%.②几何直观相对突出.2021年各份高考数学试卷的考查仍以数形结合的思想方法、直观想象素养和数学运算素养为主，以函数与方程、转化与化归、分类讨论和从特殊到一般的思想方法，以及逻辑推理素养等为辅.而数形结合思想主要体现在如何把圆锥曲线的几何特征简化为代数运算上。

专题4.5 圆锥曲线1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷）【答案】（1）2211612x y +=；（2）18． 【解析】（1）由题意可知直线AM 的方程为13(2)2y x -=-，即24-=-x y ． 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12．所以C 的方程：2211612x y +=．（2）设与直线AM 平行的直线方程为2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得()2232448m y y ++=，化简可得2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为24-=-x y ， 点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==．所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 【试题来源】2020年天津市高考数学试卷【答案】（1）221189x y +=；（2）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（1）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（2）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解．【解析】（1）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（2）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+． 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=， 因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-． 【名师点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程．3．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（1）求椭圆C 的方程：（2）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【试题来源】2020年北京市高考数学试卷【答案】（1）22182x y +=；（2）1． 【分析】（1）由题意得到关于a ，b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ，NA 的方程确定点P ，Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合根与系数关系可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为22182x y +=． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++． 直线MA 的方程为()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得()()222142Q k x y x -++=+．很明显0P Q y y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-．从而1PQPB y BQy ==． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（1）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【试题来源】2020年浙江省高考数学试卷 【答案】（1）1(,0)32；（2【解析】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+．由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，40p ≤ 所以，p，此时A ．法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==时，p．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【试题来源】2020年山东省高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析． 【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+， 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置．【解析】（1）由题意可得222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得226,3a b ==，故椭圆方程为22163x y +=．（2）设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122414km x x k +=-+，21222614m x x k-=+， 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理可得()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401414m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1k ≠ 所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得2113840x x -+=，解得123x =，或22x =，当22x =时与A 横坐标重合舍去， 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12DQ AP ==D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值． 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【试题来源】2020年江苏省高考数学试卷 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为椭圆E 的方程为22143x y +=，所以()11,0F -，()21,0F由椭圆定义可得124AF AF +=．所以12AF F △的周长为426+=； （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠．因为点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，所以31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭因为准线方程为4x =，所以()4,Q Q y ，所以()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号．所以OP QP ⋅的最小值为4-．（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ．因为31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -，所以直线1AF 的方程为()314y x =+，因为点O 到直线AB 的距离为35，213S S =， 所以2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅，所以95d =， 所以113439x y -+=①，因为2211143x y +=②，所以联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．所以()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭．7．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积． 【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）221612525x y +=；（2）52． 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ，Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，根据题意画出图形，如图：||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ， 可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得21612525P x +=，解得3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-， ①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -，(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为5d ===， 根据两点间距离公式可得AQ ==∴APQ面积为15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -，(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d===，根据两点间距离公式可得AQ ==，∴APQ面积为1522=，综上所述，APQ 面积为52． 8．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析． 【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-，∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为2219x y +=；（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为()()00363y y x -=+--，即()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得()2222000969810y x y x y +++-=，解得3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭．同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 9．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =．【解析】（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为(c,0)F ，所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||bAB a=，||4CD c =．由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =．所以1C 的离心率为12．（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-．由已知得312c c c c +++=，即2c =．所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =．10．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程． 【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =．【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=， 43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =． 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．11．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 【试题来源】2019年北京市高考数学试卷【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ，所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212ty y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+． 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-． 因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0)． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【试题来源】2019年北京市高考数学试卷 【答案】（1） 24x y =-，1y =；（2）见解析．【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；（2）联立准线方程和抛物线方程，结合根与系数关系可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论．【解析】（1）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得2p =，故抛物线方程为24x y =-，其准线方程为1y =． （2）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得2440x kx +-=．故：12124,4x x k x x +=-=-．设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得2230y y +-=，解得123,1y y =-=， 即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-．13．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 【答案】（1）见详解；（2） 3或 【解析】（1）设1(,)2D t -，11(,)A x y ，则21112y x =． 因为212y x =，所以y'x =．则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=．设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=． 11(,)A x y ，22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=．于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=．即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+．设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==．因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+ 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行， 所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．14．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|2||OA OB=（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OC AP∥，求椭圆的方程．【试题来源】2019年天津市高考数学试卷【答案】（1）12；（2）2211612x y+=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b=，又由222a b c=+，消去b得222()2a a c=+，解得12ca=，所以，椭圆的离心率为12．（2）由（1）知，2,a c b==，故椭圆方程为2222143x yc c+=，由题意，(,0)F c-，则直线l的方程为3()4y x c=+，点P的坐标满足22221433()4x yc cy x c⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y并化简，得到2276130x cx c+-=，解得1213,7cx c x==-，代入到l的方程，解得1239,214y c y c==-，因为点P在x轴的上方，所以3(,)2P c c，由圆心在直线4x=上，可设(4,)C t，因为OC AP∥，且由（1）知(2,0)A c-，故3242ctc c=+，解得2t=，因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记,AFG CQG △△的面积为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【试题来源】2019年浙江省高考数学试卷 【答案】（1）2，1x =-；（2）12+，()2,0G ． 【分析】（1）由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合根与系数关系求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得12S S 的最小值和点G 的坐标． 【解析】（1）由题意可得12p=，则2,24p p ==， 抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1kx x x x +=+=， ()()()1212121242,444y y k x x y y x x k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令0G y =可得34y k =-，则233244y x k==．即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-， 直线AC 的方程为()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦， 由于34y k=-，代入上式可得12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-21≥=．当且仅当21214888yy-=-，即218y=+1y=此时12144yky==-281223Gxk⎛⎫+=⎪⎝⎭=，则点G的坐标为()2,0G．16．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，．（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．【试题来源】2019年天津市高考数学试卷【答案】（1）22154x y+=（25-．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,cba==，又222a bc=+，可得a=b=2，c=1．所以，椭圆方程为22154x y+=．（2）由题意，设()()(),0,,0PP P MP x y x M x≠．设直线PB的斜率为()0k k≠，又()0,2B，则直线PB的方程为2y kx=+，与椭圆方程联立222154y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200k x kx++=，可得22045Pkxk=-+，代入2y kx=+得2281045Pkyk-=+，进而直线OP的斜率24510PPy kx k-=-，在2y kx=+中，令0y=，得2Mxk=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =．所以，直线PB ．17．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）【答案】（1） 1e =；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞．【解析】（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =，于是122a PF PF c =+=，故椭圆C 的离心率为1c e a ===； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即16c y = ①，222x y c += ②，22221x y a b += ③， 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故a ≥当4b =，a ≥P ．故4b =，a 的取值范围为)+∞．18．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 【答案】（1）2或6；（2）见解析． 【解析】（1）A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -，又AB 4= 2816t ∴=，解得t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上，设(),M a a ，圆的半径为r ，M 与20x +=相切 2r a ∴=+，又MA MB r ==，即((222a a r +=，((()2222a a a ∴+=+，解得0a =或4a =，当0a =时，2r ；当4a =时，6r =M ∴的半径为2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -=，说明如下：A ，B 关于原点对称且AB 4=，∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =，①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为y kx =， 则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上， 设(),M km m -，M 的半径为r ，M 与20x +=相切 2r km ∴=-+，又r MA ===2km ∴-+=24m km =-，即M 点轨迹方程为24y x =，准线方程为1x =-，焦点()1,0FMA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+1MA MF ∴-=，∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=，②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为0x =，M ∴在x 轴上，设(),0M n，2n ∴+=，解得0n =，即()0,0M ，若()1,0P ，则211MA MP -=-=，综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值．19．已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ①证明：PQG 是直角三角形； ②求PQG 面积的最大值．【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-，由题意可知22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±；（2）①设直线PQ 的方程为y kx =，由题意可知0k >，直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立，即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E 的坐标为直线QE 的斜率为2QE kk =，可得直线QE方程：2k y x =，与椭圆方程联立，2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得，22222128(2)021k k x k ++-=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为；3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+， 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形；②由①可知P Q ，G的坐标为23，PQ ==，PG =，34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++，因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =． 20．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．【试题来源】2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 【答案】（1）12870x y --=；（2）3．【解析】（1）设直线l 方程为32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得78m =- ∴直线l 的方程为3728y x =-，即12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为23x y t =+联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2230y y t --=，则4120t ∆=+> 13t ∴>- 122y y ∴+=，123y y t =-，3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则33AB ===21．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB=．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k=<与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ面积的2倍，求k的值．【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（天津卷）【答案】（1）22194x y+=；（2）12-．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca=，又由222a b c=+，可得23a b=．由||AB==3,2a b==．所以，椭圆的方程为22194x y+=．（2）设点P的坐标为11(,)x y，点M的坐标为22(,)x y，由题意，21x x>>，点Q的坐标为11(,)x y--．由BPM△的面积是BPQ面积的2倍，可得||=2||PM PQ，从而21112[()]x x x x-=--，即215x x=．易知直线AB的方程为236x y+=，由方程组236,,x yy kx+=⎧⎨=⎩消去y，可得2632xk=+．由方程组221,94,x yy kx⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x=由215x x=，5(32)k=+，两边平方，整理得2182580k k++=，解得89k=-，或12k=-．当89k=-时，290x=-<，不合题意，舍去；当12k=-时，212x=，1125x=，符合题意．所以，k的值为12-．22．已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>焦距为斜率为k的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（北京卷）【答案】（1）2213x y +=；（2（3）1． 【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -==， 易得当20m =时，max ||ABAB （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+，由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于根与系数关系及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为||AB =再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB，求直线l 的方程． 【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）【答案】（1）2214x y +=，223x y +=；（2）y =+【解析】（1）因为椭圆C的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB12AB OP ⋅=，从而7AB =． 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()2022216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭．综上，直线l的方程为y =+．【名师点睛】直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况．24．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（北京卷）【答案】（1） 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）证明过程见解析. 【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．25．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【试题来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试（新课标III 卷） 【答案】（1）12k <-；（2或28- 【分析】（1）设而不求，利用点差法进行证明．（2）解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP ，再由两点间距离公式表示出,FA FB ，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由根与系数关系进行求解．【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=．。

2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3． 2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．6．（2021•甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M （2，0），且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4． （1）求p ；（2）若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 11．（2021•上海）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足|P A |﹣|PB |＝20千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现|QA |﹣|QB |＝30千米，|QC |﹣|QD |＝10千米，求|OQ |（精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°） 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．17．（2020•海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．18．（2020•山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．19．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 20．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 21．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点． 22．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1（0＜m ＜5）的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 23．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．24．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．25．（2019•全国）已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足P A1与P A2的斜率之积等于−14，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设过坐标原点的直线l与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2√2，求l的方程．26．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD ＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．27．（2019•上海）已知椭圆x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M ，直线BF 1交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得S△F 1AB=S△F 1MN ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．28．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知√3|OA |＝2|OB |（O 为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP ．求椭圆的方程． 29．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |（O 为原点），且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率． 30．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．31．（2019•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．32．（2019•浙江）如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．33．（2019•新课标Ⅱ）已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值．34．（2019•北京）已知抛物线C ：x 2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝﹣1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．35．（2019•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为（1，0），且经过点A （0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l ：y ＝kx +t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |•|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． 36．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．37．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．38．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．39．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |．40．（2019•上海）已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|． （1）当P(−1，−83)时，求d （P ）；（2）证明：存在常数a ，使得2d （P ）＝|PF |+a ；（3）P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d （P 1）+d （P 3）与2d （P 2）的关系．41．（2018•全国）双曲线x 212−y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．42．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．43．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．44．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（√3，12），焦点F 1（−√3，0），F 2（√3，0），圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．45．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 46．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 47．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值． 48．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为（b ，0），且|FB |•|AB |＝6√2． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值． 49．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若k ＝1，求|AB |的最大值；（Ⅲ）设P （﹣2，0），直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （−74，14）共线，求k ．50．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．51．（2018•北京）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．52．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．53．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．54．（2018•上海）已知a ∈R ，双曲线Γ：x 2a2−y 2=1（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标（2）若a ＝1，直线y ＝kx +1与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值55．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca =√63，又c =√2， 所以a =√3，则b 2＝a 2﹣c 2＝1， 故椭圆的标准方程为x 23+y 2=1；（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN 的方程为x ＝my +√2， 则圆心O （0，0）到直线MN 的距离为d =√2√m +1=1，解得m 2＝1，联立方程组{x =my +√2x 23+y 2=1，可得(m 2+3)y 2+2√2my −1=0，即4y 2+2√2my −1=0， 所以|MN|=√1+m 2⋅√8m 2+164=√2×√244=√3；所以必要性成立； 下面证明充分性，当|MN |=√3时，设直线MN 的方程为x ＝ty +m ， 此时圆心O （0，0）到直线MN 的距离d =√t +1=1，则m 2﹣t 2＝1，联立方程组{x =ty +mx 23+y 2=1，可得（t 2+3）y 2+2tmy +m 2﹣3＝0， 则△＝4t 2m 2﹣4（t 2+3）（m 2﹣3）＝12（t 2﹣m 2+3）＝24， 因为|MN|=√1+t 2⋅√24t 2+3=√3，所以t 2＝1，m 2＝2，因为直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切， 所以m ＞0，则m =√2，则直线MN 的方程为x =ty +√2恒过焦点F （√2，0）， 故M ，N ，F 三点共线， 所以充分性得证．综上所述，M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 【解答】解：（1）因为Г的方程：x 22+y 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 若B 为Г的上顶点，则B （0，1）， 所以|BF 1|=√1+1=√2，|PF 1|＝﹣1﹣m ， 又|BF 1|＝|PF 1|， 所以m =−1−√2；（2）设点A （√2cos θ，sin θ），则F 1A →⋅F 2A →=(√2cosθ+1)(√2cosθ−1)+sin 2θ=2cos 2θ−1+sin 2θ=13， 因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cosθ=−√33，故A(−√63，√63)，设直线l 的方程为y =kx +√63k +√63(k ＞0)， 由原点O 到直线l 的距离为4√1515， 则d =|√63k+√63|√1+k =4√1515，化简可得3k 2﹣10k +3＝0，解得k ＝3或k =13， 故直线l 的方程为y =13x +4√69或y =3x +4√63（舍去，无法满足m ＜−√2）， 所以直线l 的方程为y =13x +4√69；（3）联立方程组{y =kx −kmx 22+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2mx +2k 2m 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 2m 1+2k2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k2，因为F 1A →∥F 2B →，所以（x 2﹣1）y 1＝（x 1+1）y 2，又y ＝kx ﹣km ， 故化简为x 1−x 2=−21+2k2，又|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√16k 2−8k 2m 2+81+2k2=|−21+2k2|，两边同时平方可得，4k 2﹣2k 2m 2+1＝0， 整理可得k 2=−14−2m 2，当m ＜−√2时，k 2=−14−2m 2＞0，因为点A ，B 在x 轴上方， 所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），则b ＝2，又因为以四个顶点围成的四边形面积为4√5， 所以12×2a ×2b =4√5，解得a =√5，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；（2）由题意，设直线l 的方程为y ﹣（﹣3）＝k （x ﹣0），即y ＝kx ﹣3， 当k ＝0时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ， 所以k ≠0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立方程组{y =kx −3x 25+y 24=1，可得（4+5k 2）x 2﹣30kx +25＝0， 则△＝（﹣30k ）2﹣4×25（4+5k 2）＞0，解得|k |＞1， 所以x 1+x 2=30k 4+5k2，x 1x 2=254+5k2，则y 1y 2＝（kx 1﹣3）（kx 2﹣3）＝k 2x 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+9=−20k 2+364+5k2，y 1+y 2＝（kx 1﹣3）+（kx 2﹣3）＝k （x 1+x 2）﹣6=−244+5k2，直线AB 的方程为y ﹣（﹣2）=y 1−(−2)x 1−0(x −0)，即y =y 1+2x 1x −2，直线AC 的方程为y ﹣（﹣2）=y 2−(−2)x 2−0(x −0)，即y =y 2+2x 2x −2，因为直线AB 交y ＝﹣3于点M ， 所以令y ＝﹣3，则x M =−x 1y 1+2， 故M(−x 1y 1+2，−3)， 同理可得N(−x2y 2+2，−3)，注意到x 1x 2=254+5k2＞0，所以x 1，x 2同号，因为y 1+2＞0，y 2+2＞0，所以x M ，x N 同号， 故|PM |+|PN |＝|x M |+|x N |＝|x M +x N |，则|PM |+|PN |=|x 1y 1+2+x2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)| =|x 1(kx 2−3)+x 2(kx 1−3)+2(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2k⋅254+5k 2−30k 4+5k2−20k 2+364+5k 2−484+5k2+4|＝5|k |，故|PM |+|PN |＝5|k |，又|PM |+|PN |≤15，即5|k |≤15，即|k |≤3，又|k |＞1， 所以1＜|k |≤3，故k 的取值范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]． 4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）因为离心率e =2√55，|BF |=√5所以{c a =2√55a =√5a 2=b 2+c 2，解得a =√5，c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 25+y 2＝1．（2）设M （x 0，y 0）， 则切线MN 的方程为x 0x 5+y 0y ＝1，令x ＝0，得y N =1y 0，因为PN ⊥BF ， 所以k PN •k BF ＝﹣1，所以k PN •（−12）＝﹣1，解得k NP ＝2，设P （x 1，0），则k NP =1y 00−x 1=2，即x 1=−12y 0，因为MP ∥BF ， 所以k MP ＝k BF ， 所以y 0x 0+12y 0=−12，即﹣2y 0＝x 0+12y 0， 所以x 0＝﹣2y 0−12y 0， 又因为x 025+y 02＝1，所以4y 025+25+120y 02+y 02＝1，解得y 0＝±√66，因为y N ＞0， 所以y 0＞0，所以y 0=√66，x 0=−√63−3√6=−5√66，所以−5√66x 5+√66y ＝1，即x ﹣y +√6=0．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）， 将直线AB 方程代入抛物线方程可得，k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则由韦达定理有，x A +x B =2+4k2，x A x B=1，则y A y B ＝﹣4，设直线AM ：y ＝k 1（x +1），其中k 1=yA x A+1，设直线BM ：y ＝k 2（x +1），其中k 2=yB x B +1，则k 1+k 2=y A x A+1+yBx B +1=y A x B +y A +y B x A +y B(x A +1)(x B +1)=k(x A −1)x B +k(x A −1)+k(x B −1)x A +k(x B −1)(x A +1)(x B +1)=0(x A +1)(x B +1)=0， k 1k 2=y A y B (x A +1)(x B +1)=−41+2+4k 2+1=−k21+k 2，设直线l ：y ＝2（x ﹣t ），联立{y =2(x −t)y =k(x −1)，可得x R =k−2t k−2，则|x R −t|=|k−2t k−2−t|=|k−kt k−2|，联立{y =2(x −t)y =k 1(x +1)，可得x P =k 1+2t 2−k 1，则|x P −t|=|k 1+2t 2−k 1−t|=|k 1+k 1t 2−k 1|，同理可得，x Q =k 2+2t 2−k 2，|x Q −t|=|k 2+k 2t2−k 2|，又|RN |2＝|PN |•|QN |，∴|k−kt k−2|2=|k 1+k 1t 2−k 1⋅k 2+k 2t 2−k 2|，即(k−kt k−2)2=k 2(1+t)23k 2+4，∴(1+t)2(t−1)2=3k2+4(k−2)2=3(k−2)2+12(k−2)+16(k−2)2=16(k−2)2+12k−2+3=(4k−2+32)2+3 4≥34（t≠1），∴4（t2+2t+1）≥3（t2﹣2t+1），即t2+14t+1≥0，解得t≥4√3−7或t≤−7−4√3（t≠1）；当直线AB的斜率不存在时，则直线AB：x＝1，A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），∴直线MA的方程为y＝x+1，直线MB的方程为y＝﹣x﹣1，设直线l：y＝2（x﹣t），则P（1+2t，2+2t），Q(2t−13，−2t+23)，R（1，2﹣2t），N（t，0），又|RN|2＝|PN|•|QN|，故(1−t)2+(2−2t)2=√(1+t)2+(2+2t)2⋅√(2t−13−t)2+(−2t+23)2，解得t满足(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．∴直线l在x轴上截距的取值范围为(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．6．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=1 2，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A 1A 2与抛物线方程可得x ＝3， 此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系为相切，当A 1，A 2，A 3都不是坐标原点时，即x 1≠x 2≠x 3，直线A 1A 2的方程为x −（y 1+y 2）y +y 1y 2＝0， 此时有，12√1+(y 1+y 2)2=1，即(y 12−1)y 22+2y 1y 2+3−y 12=0，同理，由对称性可得，(y 12−1)y 32+2y 1y 3+3−y 12=0， 所以y 2，y 3是方程(y 12−1)t 2+2y 1t +3−y 12=0 的两根，依题意有，直线A 2A 3的方程为x −（y 2+y 3）y +y 2y 3＝0，令M 到直线A 2A 3的距离为d ，则有d 2=(2+y 2y 3)21+(y 2+y 3)2=(2+3−y 12y 12−1)21+(−2y 1y 12−1)2=1，此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系也为相切， 综上，直线A 2A 3与⊙M 相切．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，x ≥1，根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x ≥1)； （2）（法一）设T(12，m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，（16cos 2θ﹣sin 2θ）t 2+（16cos θ﹣2m sin θ）t ﹣（m 2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA |＝t 1，|TB |＝t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ，设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP |＝λ1，|TQ |＝λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ＝cos 2β，又θ≠β，故cos θ＝﹣cos β，则cos θ+cos β＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设T(12，t)，直线AB 的方程为y =k 1(x −12)+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设12＜x 1＜x 2，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，(16−k 12)x 2+(k 12−2tk 1)x −14k 12+k 1t −t 2−16=0，由韦达定理有，x 1+x 2=k 12−2k 1t k 12−16，x 1x 2=−14k 12+k 1t−t 2−1616−k 12， 又由A(x 1，k 1x 1−12k 1+t)，T(12，t)可得|AT|=√1+k 12(x 1−12)， 同理可得|BT|=√1+k 12(x 2−12)，∴|AT||BT|=(1+k 12)(x 1−12)(x 2−12)=(1+k 12)(t 2+12)k 12−16， 设直线PQ 的方程为y =k 2(x −12)+t ，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，设12＜x 3＜x 4，同理可得|PT||QT|=(1+k 22)(t 2+12)k 22−16，又|AT ||BT |＝|PT ||QT |，则1+k 12k 12−16=1+k 22k 22−16，化简可得k 12=k 22，又k 1≠k 2，则k 1＝﹣k 2，即k 1+k 2＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． 8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 【解答】（1）解：由题意知，p ＝2， ∴y 2＝4x ．（2）由（1）知，抛物线C ：y 2＝4x ，F （1，0）， 设点Q 的坐标为（m ，n ），则QF →=（1﹣m ，﹣n ）， PQ →=9QF →=(9−9m ，−9n) ∴P 点坐标为（10m ﹣9，10n ）， 将点P 代入C 得100n 2＝40m ﹣36， 整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =nm =10n25n 2+9=1025n+9n≤13，当n =35时取最大值． 故答案为：13．9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝2√2cos θ，得ρ2＝2√2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2，表示圆心为C （√2，0），半径为√2的圆． （2）设点P 的直角坐标为（x ，y ），M （x 1，y 1），因为A （1，0）， 所以AP →=（x ﹣1，y ），AM →=（x 1﹣1，y 1）， 由AP →=√2AM →， 即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1，解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x ，所以M （√22（x ﹣1）+1，√22y ），代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2＝4，表示圆心为C 1（3−√2，0），半径为2 的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|＝|（3−√2）−√2|＝3﹣2√2＜2−√2，所以圆C与圆C1内含，没有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，P A，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得l PA：y=x12x−x124，l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22，x1x24)，设l AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，d p→AB=|2k2+2b|√k+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b 2+12b−154)32，而y p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max=20√5．11．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为x 2100−y 2300=1，直线OP ：y =√33x ，联立双曲线方程，可得x =15√22，y =5√62， 即点P 的坐标为（15√22，5√62）．（2）①|QA |﹣|QB |＝30，则a ＝15，c ＝20，所以b 2＝175， 双曲线方程为x 2225−y 2175=1；②|QC |﹣|QD |＝10，则a ＝5，c ＝15，所以b 2＝200， 所以双曲线方程为y 225−x 2200=1，两双曲线方程联立，得Q （√1440047，√297547），所以|OQ |≈19米，Q 点位置北偏东66°． 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k 2k 2+1，6k 2−32k 2+1），∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3）， ∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0， 解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ，则{4a 2+1b 2=1a =2b，解得b 2＝2，a 2＝8，∴椭圆方程为x 28+y 22=1，（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝k （x +4）， 由{y =k(x +4)x 28+y 22=1，消y 整理可得（1+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣8＝0， ∴△＝﹣32（4k 2﹣1）＞0， 解得−12＜k ＜12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−32k21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k2，则直线AM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2（x +2），直线AN 的方程为y +1=y 2+1x 2+2（x +2），分别令x ＝﹣4， 可得y P =−2(y 1+1)x 1+2−1=−(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =−(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB |＝|y P |＝|(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2|，QB |＝|y Q |＝|(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2|，∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|＝|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|∵（2k +1）x 1x 2+（4k +2）（x 1+x 2）+8（2k +1）=32k 2(2k+1)1+4k2，∴|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|＝|(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 1)|＝|−(x 1+x 2)+2x 2−(x 1+x 2)+2x 1|＝1，故|PB||BQ|=1．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．【解答】解：（1）由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b 2，解得y A =√2，b ＝2；（2）由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝8，2a ＝4，所以|PF 2|＝8﹣4＝4，因为b =√5，则c =√4+5=3， 所以|F 1F 2|＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0＜∠F 1PF 2＜π，可得∠F 1PF 2＝arccos1116；（3）设直线l ：y =−b2x +4+b22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+b4=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM ：y =2bx 与圆x 2+y 2＝4+b 2联立，可得x 2+4b2x 2＝4+b 2， 可得x ＝b ，y ＝2，即M （b ，2），注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当y A ＞2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b4a+b2，所以有4＜b44+b2，解得b 2＞2+2√5或b 2＜2﹣2√5（舍去），因为OM →为ON →在OM →上的投影可得，OM →•ON →=4+b 2， 所以OM →•ON →=4+b 2＞6+2√5， 则OM →•ON →∈（6+2√5，+∞）．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，a 2＝4，b 2＝3，c 2＝a 2﹣b 2＝1， 所以△AF 1F 2的周长＝2a +2c ＝6．（2）由椭圆方程得A （1，32），设P （t ，0），则直线AP 方程为y =321−t (x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q （4，32•4−t 1−t），OP →•QP →=（t ，0）•（t ﹣4，0−32•4−t1−t）＝t 2﹣4t ＝（t ﹣2）2﹣4≥﹣4， 当t ＝2时，（OP →⋅QP →）min ＝﹣4．（3）若S 2＝3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2＝3d 1，A （1，32），F 1（﹣1，0），可得直线AB 方程为y =34（x +1），即3x ﹣4y +3＝0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x ﹣4y +m ＝0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m ＝﹣6或12，当m ＝﹣6时，直线l 为3x ﹣4y ﹣6＝0，即y =34（x ﹣2），联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得（x ﹣2）（7x +2）＝0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127，所以M （2，0）或（−27，−127）．当m ＝12时，直线l 为3x ﹣4y +12＝0，即y =34（x +4），联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24＝0，△＝9×（36﹣56）＜0，所以无解，综上所述，M 点坐标为（2，0）或（−27，−127）． 16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）p =116，则p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标（132，0）， （Ⅱ）直线l 与x 轴垂直时，此时点M 与点A 或点B 重合，不满足题意， 设直线l 的方程为y ＝kx +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），由{x 22+y 2=1y =kx +t，消y 可得（2k 2+1）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0， ∴△＝16k 2t 2﹣4（2k 2+1）（2t 2﹣2）＞0，即t 2＜1+2k 2， ∴x 1+x 2=−4kt 1+2k2，∴x 0=12（x 1+x 2）=−2kt 1+2k 2，∴y 0＝kx 0+t =t 1+2k2，∴M （−2kt 1+2k2，t1+2k 2），∵点M 在抛物线C 2上，∴y 2＝2px ，∴p =y 22x =t 2(1+2k 2)22⋅−2kt 1+2k2=t −4k(1+2k 2)， 联立{y 2=2px y =kx +t ，解得x 1=t(1+2k 2)−2k 3，y 1=t −2k2， 代入椭圆方程可得t 2(1+2k 2)28k 6+t 24k 4=1，解得t 2=8k6(1+2k 2)2+2k2。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）1．(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C 地顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上,直线l ：1x =交C 于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ,且M 与l 相切．(1)求C ,M 地方程。

(2)设123,,A A A 是C 上地三个点,直线12A A ,13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 地位置关系,并说明理由．【结果】（1）抛物线2:C y x =,M 方程为22(2)1x y -+=。

（2）相切,理由见思路思路：（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-,20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ,所以抛物线C 地方程为2y x =,(0,2),M M 与1x =相切,所以半径为1,所以M 地方程为22(2)1x y -+=。

（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在,则12A A 方程为1x =或3x =,若12A A 方程为1x =,依据对称性不妨设1(1,1)A ,则过1A 与圆M 相切地另一款直线方程为1y =,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在3A ,不合题意。

若12A A 方程为3x =,依据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切地直线13A A为3)y x -=-,又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+,330,(0,0)x A =,此时直线1323,A A A A 有关x 轴对称,所以直线23A A 与圆M 相切。

若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在,则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++,所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+,整理得1212()0x y y y y y -++=,同理直线13A A 地方程为1313()0x y y y y y -++=,直线23A A 地方程为2323()0x y y y y y -++=,12A A 与圆M 相切,1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=,13A A 与圆M 相切,同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=地两根,2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--,M 到直线23A A地距离为：2=2121111y y +===+,所以直线23A A 与圆M 相切。

2021年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、〔2021年四川高考〕设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,那么直线OM 的斜率的最大值为〔A 〔B 〕23〔C 〕2 〔D 〕1 【答案】C2、〔2021年天津高考〕双曲线2224=1x y b -〔b >0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，那么双曲线的方程为〔 〕〔A 〕22443=1y x -〔B 〕22344=1y x -〔C 〕2224=1x y b -〔D 〕2224=11x y - 【答案】D3、〔2021年全国I 高考〕方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值范围是〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3)【答案】A4、〔2021年全国I 高考〕以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】B5、〔2021年全国II 高考〕圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，那么a=〔 〕〔A 〕43- 〔B 〕34- 〔C 〔D 〕2 【答案】A6、〔2021年全国II 高考〕圆12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,那么E 的离心率为〔 〕〔A 〔B 〕32〔C 〔D 〕2【答案】A7、〔2021年全国III 高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中 点，那么C 的离心率为〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕34【答案】A8、〔2021年浙江高考〕 椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，那么A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、〔2021年北京高考〕双曲线22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，假设正方形OABC 的边长为2，那么a =_______________. 【答案】22、〔2021年山东高考〕双曲线E ：22221x y a b-= 〔a ＞0，b ＞0〕，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，那么E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、〔2021年上海高考〕平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，那么21,l l 的距离_______________【答案】2554、〔2021年浙江高考〕假设抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，那么M 到y 轴的距离是_______． 【答案】95、(2021江苏省高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠= ,那么该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)63三、解答题1、〔2021年北京高考〕 椭圆C ：22221+=x y a b〔0a b >>〕的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由，31122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，那么220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、〔2021年山东高考〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . 〔i 〕求证：点M 在定直线上;〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) 〔i 〕设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－． 所以点M 在定直线41=y －上．〔ii 〕在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、〔2021年上海高考〕 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）圆锥曲线选择题（精解精析）1．(2021年高考全国甲卷文科)点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==．故选：A ．2．(2021年全国高考乙卷文科)设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为( )A ．52B CD ．2【答案】A解析：设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426424PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=--+ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当012y =时，PB 的最大值为52．故选：A ．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==取等号∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为 ( )A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c ==，则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得5)3P ．5sin 9POF ∴∠=．则15533292OPF S ∆=⨯⨯⨯=．故选：B ．7．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 ( )ABC ．2D【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心，||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点评】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( ) A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为() ( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】由222AF F B =，1AB BF =，设2F B x =，则22AF x =，13BF x =，根据椭圆的定义21212F B BF AF AF a +=+=，所以12AF x =，因此点A 即为椭圆的下顶点，因为222AF F B =，1c =所以点B 坐标为3(,)22b ，将坐标代入椭圆方程得291144a +=，解得223,2a b ==.10．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为()( )A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e . 11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知双曲线22221x y C a b-=：(00a b >>，)，则点()40，到C 的渐近线的距离为 ( )AB ．2CD．【答案】D解析：由题意c e a ==，则1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==．故选D ． 12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 ( )A．1B．2CD1【答案】D解析：12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标2(,0)F c，所以1()2P c ．可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，解得1e =．故选D ．13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>()A．y = B．y = C．y = D．y = 【答案】A解析：∵双曲线的离心率为ce a ==，则b a =====即双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选A ． 14．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C．2D．3【答案】C解析：22224,2,8,b c a b c a ===+=∴=c e a ==． 15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )ABC ．D．【答案】A【解析】法一：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A ．法二：以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A ．22221x y C a b+=：0a b（）12A A，12A A 20bx ay ab -+=C31312A A R a =20bx ay ab -+=()0,020bx ayab -+=d R a ===223a b =c e a ==3==12A A 222x y a +=20bx ay ab -+=d a ==223a b =()22222323a a c a c =-⇒=2223c a =c e a ==【考点】椭圆离心率【点评】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)过抛物线的焦点,于点(在轴上方),为的准线,点在上,且⊥,则到直线的距离为()A B．C．D．【答案】C【解析】由题知,与抛物线联立得,解得所以,因为,所以,因为,所以所以到方法二:设,,,由题知:．解得:．则,,则到直线的距离为故选C．【考点】直线与抛物线位置关系【点评】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及中点弦问题往往利用点差法．或者由抛物线焦半径公式:得出．17．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查双曲线的性质．由题知,a>1,又, 则．故选C．,,a b c,,a b c b,a c,,a bc2:4C yx=F C M Mx l C N l MN l M NF:1)MF y x=-24y x=231030x x-+=121,33x x== (3,M MN l⊥(1,N-(1,0)F:1)NF y x=-M NF=()00,M x y()01,N y-()1,0F211cos60MF x==+-3x=()200120y y=>y=4MF MN NF===M NF1cos2p pMF xθ==+±1a>2221xya-=)+∞)2(()1,21b=c=c=(cea===【考点】双曲线离心率【点评】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设是椭圆上的动点,椭圆上存在点满足等价于的最大值大于或等于． 可以猜测:当点为椭圆短轴上的顶点时,取得最大值(证明放在最后)当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得;当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得,故的取值范围为,故选A ．命题:设,是椭圆长轴的两个端点,是椭圆上任意一点,为椭圆短轴上一顶点,求证:．,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c ,A B 22:13x yC m+=C M 120AMB ∠=︒m (][)0,19,+∞([)9,+∞(][)0,14,+∞([)4,+∞P C C M 120AMB ∠=︒APB ∠120︒P APB ∠03m <<x C M 120AMB ∠=︒tan 60ab ≥︒=≥01m <≤3m >y C M 120AMB ∠=︒tan 60a b =≥︒=9m ≥m (0,1][9,)+∞A B 22221(0)x y a b a b +=>>P M APB AMB ∠≤∠如图,设,则则,故,又由于,在递增所以当时,取得最大值．【考点】椭圆【点评】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系,求解时充分借助题设条件转化为,这是简化本题求解过程的一个重要措施,同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．19．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】 D【解析】由得,所以,将代入,得,所以,故选D ． (,),(,0)P x y G x 2222222221x y a x a a b y b -+=⇒=tan P AG a x APG G y +∠==tan BG a xBPG PG y-∠==222222222tan tan 2tan tan()1tan tan 11a ay y APG BPG a b APB APG BPG a x a APG BPG y c y b ∠+∠∠=∠+∠====-⨯--∠∠--22222tan a b abAPB b c c ∠≤-⨯=-tan 0APB ∠<tan y APB =∠(,)2ππy b=APB ∠,a b 120AMB ∠=︒tan60ab ≥︒=F 22:13y C x -=P C PF xA (1,3)APF △131223322224c a b =+=2c =(2,0)F 2x =2213y x -=3y =±133(21)22=⨯⨯-=【考点】双曲线【点评】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算,属容易题．由双曲线方程得,结合与轴垂直,可得,最后由点的坐标是,计算的面积．20．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：F 的左焦点，A B ，分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】法1：由题意得，(),0A a -，(),0B a ，根据对称性，不妨2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设:l x my a =-，∴,a c M c m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,a E m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线:(),()a c BM y x a m a c -=--+又∵直线BM 经过OE 中点， ∴()1()23a c a a c e a c m m a -=⇒==+，故选A ． 法2． 如图：记OE 的中点为N ，因为MF OE ∥，所以,.ON a MF a cMF a c OE a-==+ 又因为2OE ON =，所以12a a c a c a -=⋅+，解得13c e a ==．故选A ．21．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为抛物线:C 24y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =( )．A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以,A C ，所以2k =，选D ．22．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短(2,0)F PF x 3PF =A (1,3)APF△轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】如图，由题意得在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯= 在Rt OFB ∆中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆得离心率得：12e =，故选B ．23．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B分析：∵抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为，c =2，∵，∴，∴，∴椭圆E 方程为， 将代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB |=6，故选B ． 考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质24．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ．B 两点，则||AB = ( )AB ．6C ．12D．【答案】C解析：方法一：设2AF m =，2BF n = ，3(,0)4F ，由抛物线的定义和直角三角形知识可得，mn =6m n +=，2212AB AF BF m n =+=+=。

专题19：圆锥曲线全国卷高考真题综合1（解析版）一、单选题1，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p .故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）ABC．5D．5【答案】B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为2255d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 4，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca =，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.7，2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷） 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680， 解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.8，2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得3(,)22M N -，所以3MN ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.9，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y = B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴= 因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.10，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a ba b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．12，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=故选B .点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 二、填空题1，2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 已知双曲线过点3)，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2214x y -=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=. 点(4,3)M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】()3,15 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又12220148241544152MF F S y =⨯-=∴=△015y = 2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M ∴的坐标为(15．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 4，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2 【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为2. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122A ,,B ,x y x y ，利用点差法得到1212124k y y x x y y -==-+，取AB 中点()00M'x y ，, 分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B''，由抛物线的性质得到()'1MM '2AA BB '=+，进而得到斜率． 三、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2. 【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b>0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQS d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得2k =±时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：22y x =-或22y x =--. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由2229y kx bx y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=，∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的导数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设 的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。