2017年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线(供参考)

【母题原题1】【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1,1）。

过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A,B,其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点。

【答案】（Ⅰ）方程为2y x=，抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x=-.(Ⅱ）详见解析.【解析】【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量。

【母题原题2】【2016北京，理19】已知椭圆C ：22221+=x y a b (0a b >>）的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。

求证:BM AN ⋅为定值.【答案】（I ）1422=+y x ;（II ）见解析。

【解析】（II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ,则442020=+y x 。

当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y 。

令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M .直线PB 的方程为1100+-=x x yy 。

令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N 。

所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时,10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN 。

2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线是考查的重点之一。

圆锥曲线作为高中数学的重要内容，深受学生们的关注和重视。

本文将从以下几个方面对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线进行分析和总结，帮助学生更好地复习和备考。

一、考查的内容2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

涉及的知识点包括曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

考题以解析几何的形式出现，要求考生运用所学知识解题，考察学生对圆锥曲线的理解和掌握程度。

二、难度分析2017年的圆锥曲线考题整体难度适中，但从解题的角度来看，难度考查了学生对圆锥曲线的深入理解和灵活运用能力。

其中，部分考题对于几何图形的分析和推理要求较高，考生需要具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

三、备考建议针对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的考试情况，学生在备考过程中要重点掌握圆锥曲线的相关知识，包括各种曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

在解题方法上，要加强对几何分析和推理的训练，提高解题技巧和应试能力。

也要多做历年真题和模拟题，针对性地进行复习和练习，加深对知识点的理解和掌握。

四、复习方法在复习过程中，建议学生通过系统学习教科书相关章节，掌握圆锥曲线的基本概念和性质。

可以借助辅导书、习题集等辅助资料进行强化训练，加深对知识点的理解。

多做真题和模拟题，及时总结和归纳解题思路和方法，在实践中提高解题能力。

积极参加学校的数学学科活动和竞赛，加强学习氛围，激发学习兴趣。

五、总结2017年的全国1卷理科数学考试中的圆锥曲线部分，考查的内容主要围绕椭圆、双曲线和抛物线展开，难度适中，但要求学生在解题过程中具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

备考时，学生要重点掌握相关知识，加强几何分析和推理的训练，多做真题和模拟题，提高解题能力。

通过科学的复习方法和策略，相信学生们一定能够取得理想的成绩。

以上是对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的分析和总结，希望能够对广大学生在备考中有所帮助。

2017年高考真题：圆锥曲线班级______ 姓名________ 分数_______一、选择题1、（2017•全国Ⅲ）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A． B． C． D．2、（2017•全国Ⅰ）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]∪[4，+∞）3、（2017•全国Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．104、（2017•全国Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A． B． C． D．5、（2017•全国Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）6、（2017•全国Ⅲ）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17、（2017•全国Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B． C． D．8、（2017•全国Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A． B．2 C．2 D．3二、填空题1、（2017•全国Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|= ．2、（2017•全国Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ．3、（2017•全国Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为．三、解答题。

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改2011-2017年新课标全国卷123卷理科数学圆锥曲线大题真题分类汇编说明：2011和2012年只有新课标全国卷，2013、2014、2015年有新课标全国卷I 卷和II 卷，2016和2017年有新课标全国卷I 卷、II 卷、III 卷【2011年新课标】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足MB ∥OA ，MA ·AB =MB ·BA ，M 点的轨迹为曲线C . (I)求C 的方程；(II)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.【2012年新课标】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到m ，n 距离的比值。

【2013年I 卷】已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2013年II 卷】平面直角坐标系x Oy 中，过椭圆M ： x2—a 2 + y 2—b2=1(a > b > 0)的右焦点的直线x+ y- 3 = 0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为 12 .（Ι）求M 的方程（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值.【2014年I 卷】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2014年II 卷】设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .【2015年I 卷】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a （a >0）交于M ，N两点．（Ⅰ）当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．【2015年II 卷】已知椭圆C ：2229m y x =+)0(>m ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点),3(m m，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【2016年I 卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,学.科网求四边形MPNQ 面积的取值范围.【2016年II 卷】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【2016年III 卷】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【2017年I 卷】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2017年II 卷】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【2017年III 卷】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M过点P（4， 2），求直线l与圆M的方程．最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34（B ）57 （C ）58 （D ）32、（福州市2017届高三3月质量检测）已知双曲线2222:1x y E a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若AQ =E 的离心率是（A ）（B（C （D3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A B C ．2 D 4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）如图，已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，以双曲线C 的实轴为直径的圆记为圆O ，过点2F 作圆O 的切线，切点为P ，则以12,F F 为焦点，过点P 的椭圆T 的离心率为（ ）A ．532- B ．53- C ．734- D ．73-6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足| PF 2 |＝| F 1F 2 |，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．54B ． 43C ．53D ．27、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=8、（福州八中2017届高三第六次质量检查）设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是_________9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））设双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点A 与点B ，若 A B ，始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C 离心率e 的取值范围（ ） A ．13e <．13e <≤ C.12e <≤．12e <≤10、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））现将一条直线l 经过点()1 1A -，，且与22:40C x x y ++=e 相交所得弦长EF 为23l 的方程是 ．11、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）设F 1、F 2分别为双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) （A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）25 12、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =u u u v u u u u v g ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．．2 D13、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于_______．二、解答题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向． (Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2、（福州市2017届高三3月质量检测）已知曲线C 上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交圆()22:11F x y +-=于,M N 两点(,A M 两点相邻).(ⅰ)若BF BA λ=u u u r u u u r ，当1223λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求k 的取值范围；(ⅱ)过,A B 两点分别作曲线C 的切线12,l l ，两切线交于点P ，求AMP △与BNP △面积之积的最小值．3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查） 已知曲线222:1(,1)x E y a b a a +=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠.（1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值； （2）记1212(,),(,)x x m y n y a a==u r r ，若m n ⊥u r r 为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1，()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于x 轴的直线1l ，直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ．（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值．6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (－1，0)，离心率e ＝12左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）. （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求| S 1－S 2 |的最大值，并求此时l 的方程.7、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为()，BC 过椭圆的中心，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点()0,t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =u u u r u u u r，求实数t 的取值范围．8、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））如图，等边ABC △的边长为83，且其三个顶点均在抛物线():20E x py p =>上. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设点()4 4S -，，过点()4 5N ，的直线l 交轨迹E 于 A B ，两点，设直线 SA SB ，的斜率分别为12 k k ，，证明：12k k 为定值，并求此定值.9、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21=e ，过点)23,3(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过A （-a ，0)且互相垂直的两条直线l 1、l 2与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q .问：直线PQ 是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若PH a =，则双曲线的离心率为2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 .【答案】75【解析】由双曲线的性质可知，1||2PF c =，2||22PF c a =-，∴2||33QF c a =-，1||3FQ c a =-2251270c ac a ⇒-+=，7()(57)05c c a c a e a --=⇒==，故填：75.3. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知F 是椭圆1C ：双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅BF AF ，则2C 的离心率是 ▲ ．【解析】设双曲线的实轴长为2a ，F '为椭圆1C ：2C 的另一个公共焦点，则由对称性知0AF AF '⋅=,4. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】抛物线24y x =上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为 ． 【答案】(2,22)±【解析】由题意知抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-；根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，知该点的横坐标为2，代入抛物线方程得该点坐标为(2,22)±．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知点(50)A 和曲线)522(142≤≤-=x x y 上的点12n P P P ，，，.若12||||||nP A P A P A ，，，成等差数列且公差1(55d ∈，，则n 的最大值为______. 【答案】14【解析】因题设的曲线是双曲线)522(1422≤≤=-x y x 上的一段，而点(50)A 是它的 7. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－23y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是 ． 【答案】12- 【解析】试题分析：由正弦定理得2122sin sin sin -=-=-=-=-c a c a AB AC BC C B A 8. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(2,4)- 【解析】试题分析：由题意得(4)(2)0(4)(2)024m m m m m -+>⇒-+<⇒-<<9. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 . 【答案】24y x =± 【解析】试题分析：由题意得21922a a +=⇒=，而双曲线2221x y a -=渐近线的方程为1,y x a =±即24y x =±10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设双曲线1169:22=-y x C 的两焦点分别为P F F ,,21是C 上一点，若以P 为圆心的圆过C 的一个焦点和顶点，则=⋅21PF PF ．11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知双曲线22221(0)x y a b ab 的一个焦点为(3,0)，直线10x y 与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为_______.【答案】22154x y【解析】由题意知方程组2222110x y a b x y 有正数解，即2222222()20b a x a x a a b 有正数解，所以0))((44222224≥+-+=∆b a a a b a ，即0122≥-+a b ,又229a b -=,故1022≤a ,即5≤a ,所以离心率53≥=a c e ,即当5a 时双曲线离心率取最小值，此时方程解为5x，双曲线方程为22154x y .12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线22154x y -=有相同渐近线，且一条准线方程为3y =的双曲线的标准方程为_______. 【答案】221810y x -=【解析】与双曲线22154x y -=有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为2254x y λ-=，因为一条准线方程为3y=，所以双曲线焦点在y 轴上，故0,λ<23λ=⇒=-，所求方程为221810y x -=13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，垂线交另一条渐近线于B 点，若向量BF 与FA 同向，且3AB OA OB =+，则双曲线的离心率为_______.14. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，长轴AB 上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M ，过1M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于12,P P 两点，1P点在x 轴上方；过2M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于34,P P 两点，3P 点在x 轴上方；以此类推，过2015M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于40294030,P P 两点，4029P 点在x 轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积为_______. 【答案】20151.2-【解析】因为椭圆的离心率为22，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a ⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-15. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点； （Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若ATeAB =，求椭圆C 的离心率；（第8题）（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1.2e -=（Ⅲ）详见解析 【解析】（Ⅰ）由22221x y a b y ex a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：222222()b x a ex a a b ++=，即22222342220b x a e x ea x a a b +++-=， 222322()20b c x ea x a c +++=，2220,x cx c x c ++==-，y ec a =-+，即直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a ……14分2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点，且点A （2，1）在椭圆上（1）试求椭圆的标准方程；（2）若点B 、C 是椭圆上的两点，直线AB 、AC 的斜率1k 、2k 满足等式2121-=k k ， ①试证B 、C 两点关于原点对称；②若椭圆左顶点为P ，直线PB 、PC 与y 轴分别交于点M 、N ，试证以MN 为直径的圆D 必过两定点.【答案】（Ⅰ）13622=+y x （Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】（1）由3212=+=c 得322=-b a ，又11422=+ba ，联立解之得3,622==b a 从而所求椭圆的标准方程为13622=+y x . )66,0(11-x y ,线段MN 中点坐标为D )66,0(2111-x yx ，121126y MN x =-从而以MN 为直径的圆方程为2211221112)66()66(-=--+x y x y x y x因点B 在椭圆上，故1362121=+y x ，故622121=+y x ，代入上式得212112)3()26(y y x y x =++，令0=y 得32=x ，于是3±=x ，故以MN 为直径的圆D 必过两定点)0,3(±.3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b 的离心率为2，直线2x =为椭圆的一条准线. 椭圆上两点1122(,)(,)A x y B x y 、. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点M 满足2OM OA OB =+，且121222x x y y +=-，求证：点M 在椭圆C 上；（Ⅲ）若点(1,0)M -满足2,OM OA OB λ=+求实数λ的取值范围.即实数λ的取值范围为[32,-……16分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】 （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 点到两定点(2,0),(2,0)D E -连线斜率之积为12-.（1）求证：动点P 恒在一个定椭圆C 上运动；（2）过F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，过O 的直线交椭圆C 于,M N 两点，若直线AB与直线MN 斜率之和为零，求证：直线AM 与直线BN 斜率之和为定值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则由题意得1222y y x x ⋅=-+-，化简得：22142x y += 因此动点P 恒在椭圆22142x y +=上 ……4分 即直线AM 与直线BN 斜率之和为定值0. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>> ,经过点P (1,. （1）求椭圆C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点． 【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）详见解析【解析】解：（1）由2222213142a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y +=. .…………………5分 综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于两点Q P ,，且02160=∠PF F ． （1）若21PF F ∆是等腰三角形，求椭圆C 的离心率e 的值； （2）设||||1PF PQ λ=，且3443<≤λ，求椭圆C 的离心率e 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）21=e （Ⅱ）]913114447,313624(--∈e 【解析】（1）因21PF F ∆是等腰三角形，且02160=∠PF F ，故21PF F ∆是等边三角形，则c F F PF PF 2||||||2121===，所以由椭圆定义可得a c c 222=+，即21=e ,故所求椭圆的离心率为21=e .----------------------------------------------------------------5分； （2）由椭圆定义可得a PF PF 2||||21=+，a QF QF 2||||21=+，则a QF PQ PF 4||||||11=++，--------------------------------------------------------------------6分；222)2(2)2(4t t t e ---+=，即161222+-=tt e ，再令u t=1，由)3137,4137[++∈t ，得]9137,12137(1--∈t ， 即]9137,12137(--∈u --------------------------------------------------------15分．而二次函数1612)(22+-==u u u g e 的对称轴为41=u ，而4112137>-，所以)(u g y =在]9137,12137(--∈u 上单调递增,借助图象可得函数)(u g y =的值域为]271338149,31328(2--∈e ，即离心率e 的取值范围是 ]913114447,313624(--∈e ．-----------------------------------16分．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）定义：若12,P P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率23=e ，且经过点P )23,1( （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问：椭圆C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆E 方程；若不存在，请说明理由．(3)若圆F 是过椭圆C 上下顶点21,A A 的内切圆，过椭圆C 异于其顶点的任意一点Q 作圆F 的两条切线，切点分别为R T ,,(R T ,不在坐标轴上），直线TR 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22141n m +为定值； 由题意知，点E 在x 轴上，设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分14分)已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F .（Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.即2222(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得216k <. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.由1212120y y k k x m x m+=+=--，得 10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】 (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)2(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2）①635，②详见解析【解析】解：（1）由题意，得22c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3． 因为O 到直线PQ 2，所以△O PQ 63． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y 2 (x 3)时，△O PQ 63综上所述，△O PQ 的面积为63·································8分②解法二 消去y 得5x 2－3x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835． 由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．···············6分 ② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2． 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)． 因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ． 当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··························10分222612m k -+．·································12分 因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)×222612m k -+＋km ×(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ． 综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分11. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点()0,2M -，且,,a b c 的公比为22. (1)求猫眼曲线Γ的方程；（2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMK k 为与k 无关的定值； （3）若斜率为2的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.k 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠ ∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （8分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （10分） （3）设直线l 的方程为2y x m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k λk +=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)如图21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，E D ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2DEF ∆的面积为231-.若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00bya x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上．若点)0,(a A ，)3,0(a B ，且AB →＝32BC →. (1) 求椭圆M 的离心率；(2) 设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点7)6,0(-，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1)，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围． 【答案】（1）32；（2）①y ＝－x －67或y ＝－95x －67；（3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，113【解析】(1) 设C(x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－a 3.因为AB →＝32BC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，代入椭圆方程得a 2＝95b 2.因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23.所以x D ＝－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113. 综上所述，点D 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，点在E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 相交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积是一个定值.16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】 在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F三点共线．（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-． 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．。

2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题:1．（ 2010年高考全国卷I 理科9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2(C)(D)1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =2．（2010年高考福建卷理科2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0 【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．（2010年高考福建卷理科7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A. )+∞B. [3)++∞C. 7[-,)4+∞D. 7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。

2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线DOA a=，AN AM b == ∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b --∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan ba θ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:28yx=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则FN = ．【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =， 且MN NF =，∴6NF NM MF =+=lFN M C B AOyx【北京卷】（9）若双曲线221y x m-=3则实数m =_______________. 【解析】.1321mm +=⇒=【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 .【解析】右准线方程为33101010x ==，渐近线为33y x =±，则31030(,)1010P ，31030(,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则302102310S =⨯=.【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，3），P 4（13C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y+=．（2）①当斜率不存在时，设()():AAl x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kbx x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y kk x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦 点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM ⎛== ⎝， ∴2M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上．∴22122x +=，即222xy +=．⑵设点(3)QQ y -，，()PPP x y ，，(0)Qy ≠，由已知：()(3)1PPPQPOP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，，()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=，∴33PQ P Q P P Q xx y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Qyy x =⋅-， 因为直线l 与OQl 垂直．∴3lQk y =故直线l 方程为3()PPQy x x y y =-+，令0y =，得3()PQP y yx x -=-，13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13PQ Px yy x =-⋅+，∵33PQPy yx =+，∴1(33)13PPx x x=-++=-，若0Qy=，则33Px-=，1Px=-，1Py=±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++= 21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ， 120122y y y +==-，001924x y =-+=， 半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为0(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=， 半径22||31r OQ ==+则圆22:(3)(1)10M x y -+-= 【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ，∴焦点坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x， 由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21kk-，x 1·x 2=214k. 1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k， 上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c=②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）设0(,)P x y ，则000,0xy >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得02001x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴2220020(1)33y x y -=，∴2200169,77xy ==，故点P 的坐标是4737(,)77.【江苏卷】B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A = ，B =.(1) 求AB ;(2)若曲线C1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程. B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112x y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，所以228xy +=即曲线C 2的方程.【山东卷】（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k=，M是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M的半径为MC ，,OS OT 是M的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，所以2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ， 联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310kx k x +--=，由题意知0∆>， 且()112122211231,21221k x xx x k k +==-++，所以22112112211181221k k AB kx x k ++=+-=+.由题意知1224k k =，所以2124kk =由此直线OC 的方程为124y x k =.联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此2221211814k OC x y k +=+=+.由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而2121221121181411822321k OC k rk k k ++=+++21221112324141k k k +=++，令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈， 因此2223313112221121119224OC t r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±， 所以1sin22SOT ∠≤，因此26SOT ∠π≤， 所以SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为122k =±.【天津卷】（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程.（19）（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=， 解得1a =，12c =，2p =， 于是22234ba c =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x=.所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=.【浙江卷】21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2xy =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.21．解：（Ⅰ）由题易得P （x ，x 2），-12<x <32，故k AP=21412x x -+=x -12∈（-1,1）， 故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32， 故PA =（-12-x ，14-x 2）， 设直线AP 的斜率为k ， 则AP ：y =kx +12k +14，BP ：y =13924x k k -++， 由112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩222234981(,)2244k k k k Q k k +-++⇒++ 故23432221(,)11k k k k k k k PQ k k +----++=++ ， 又2(1,)PA k kk =---- ， 故323322(1)(1)(1)(1)(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--==+=+-++， 即3(1)(1)PA PQ k k =+-，令3()(1)(1),11f x x x x =+--<<， 则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-，当112x -<<时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<， 故max 127()()216f x f ==，即PA PQ 的最大值为2716.。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ．2、（西城区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区2017届高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．5、（海淀区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区2017届高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区2017届高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．12y x =-+B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-8、（石景山区2017届高三上学期期末）若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．9、（通州区2017届高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区2017届高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(0)A ,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区2017届高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区2017届高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A 8、( 9、A 1011、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 (II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ， 如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ， 又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=， 所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分 法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x yx x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+ 2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+ 21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+ 2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==， 所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2). 综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ． 因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. (13)分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在， 设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。

江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.02一、选择、填空题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =u u u u r u u u r ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+-=2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．y = C.y = D ．2y x =±3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 40y +-=平行，则双曲线C 的离心率为（ ）D.2 4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则该双曲线C 的离心率为（ ）A ．．2 C. 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知双曲线方程为222214x y m b-=+，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．6(1,]2B ．6[,)2+∞ C ．6(1,)2D ．6(,)2+∞ 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线:l 116y =-的距离记为d ，若22MN d λ=g ，则λ的最小值为 （ ） A. 3 B. 3 C. 13+ D. 47、（新余市2017高三上学期期末考试）已知12F F 、 是双曲线22221(a 0,b 0)y x a b-=>>的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，||2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.38、（宜春中学2017届高三2月月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）设A 、B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则21ln ||ln ||2||b a m n a b mn ++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A.2B. 3C.6D. 6210、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 A ．1B ．3C ．19D ．4911、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ． (2，＋∞)二、解答题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知椭圆的焦点坐标为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率3e =，右顶点、上顶点分别为 A B ，，直线AB 被圆22:1O x y +=截得的弦长为25. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B 且斜率为k 的动直线l 与椭圆C 的另一个交点为M ，()ON OB OM λ=+u u u r u u u r u u u u r，若点N 在圆O 上，求正实数λ的取值范围.3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（I ） 求和抛物线的方程;（II ） 过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积.4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）已知圆2219:()24E x y +-=，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F E A ，，三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M N ，，且(0)MN OA λλ=≠u u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程.5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，圆Q ：224230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考） 已知右焦点为F 的椭圆222:1(3)3x y M a a +=>与直线7y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥.（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC ∆的重心，试探究ABC ∆的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知椭圆()222:11x M y a a+=>右顶点、上顶点分别为A 、B ，且圆1:22=+y x O 的圆心到直线AB 的距离为23. （1）求椭圆M 的方程；（2）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆M 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知抛物线E ：y 2=2px （P ＞0）的准线为x=﹣1，M ，N 为直线x=﹣2上的两点，M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8，P 为抛物线上一动点，PN ，PM ，分别交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线E 的方程；（2）问直线AB 是否过定点，若过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左右焦点分别为,E F ，过点F 作直线交椭圆C 于,A B两点，若FB AF 2=且0.AE AB ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O 为原点，圆)0()3(:222>=+-r r y x D 与椭圆C 交于N M ,两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PN PM ,与x 轴分别交于点,,S R 求证：||||OR OS ⋅为常数.10、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=的距离为2，1C 与2C 的一个交点的纵坐标为6．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围．11、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线202x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切.（1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．参考答案一、选择、填空题 1、C 2、答案：D解析：设切点为M ，则1EM PF ∥，又22114F E F F =，所以14PF r b ==，所以22PF a b =+， 因此()222242b a b c b a ++=⇒=，所以渐近线方程为2y x =±. 3、A 4、B 5、A 6、A 7、C 8、D9、D 解析：设点00(,)P x y 则00(,)Q x y -，所以0000,AP BQ y y m k n k x a x a-====+-，即2022y m n a x ⋅=-，又2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a =-，所以22b m n a ⋅=-，则2222212ln ||ln ||ln 2||2b a b a a b m n a b mn a b b a++++=+++，令bx a=则222221ln ln 22b a a b x x a b b a x x +++=++，考查函数1()2ln 2f x x x x x=++，由(1)(21)'()x x f x +-=1(0,)2x ∈时()f x 单调递减，1(,)2x ∈+∞时()f x 单调递减，所以当12x=时，()f x取得唯一极小值即为最小值，此时2212ba=，所以16122e=+=10、A 11、D二、解答题1、解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，则=，…令t=，则t≥1，则，…令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t ≥1时，f ′（t ）≥0，f （t ）在[1，+∞）上单调递增，有f （t ）≥f （1）=4，S △F1MN ≤3，即当t=1，m=0时，S △F1MN ≤3，S △F1MN =4R ，∴R max =，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l ：x=1，△F 1MN 内切圆面积的最大值为π.2、解：（1）32e a b =⇒=，所以直线AB 的方程为12x yb b+=即220x y b +-=，……2分圆心()0 0O ，到直线AB 的距离为12515d =-=，所以2515b =⇒=， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；……………………………………6分（2）设点M 的坐标为()()000 0x y y ≠，则N 点的坐标为()()00 1x y λλ+，， 所以()2222002200011121x y x y y λλ⎡⎤++=⇒=⎣⎦+++，……8分 又220014x y +=，所以()202001 1 1325y y y λ=∈-++，，，得2316λ≥. 所以正实数λ的取值范围是3 4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.………………………………12分 3、（1）准线L 交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是 (3分)在中有,所以所以⊙M 方程是： (6分)（2）解法一 设所以:切线；切线(8分)因为SQ 和TQ 交于Q 点所以和成立 所以ST 方程：(10分)所以原点到ST 距离，当即Q 在y 轴上时d 有最大值此时直线ST 方程是 (11分)所以所以此时四边形QSMT 的面积 (12分)4、（1）OyxF 2F 1AE如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点1F ，2F ， 所以2219(0)24c +-=，解得2c =1分 因为1F ，E ，A 三点共线，所以1AF 为圆E 的直径， 所以212AF F F ⊥…………………………………………2分 因为2222121AF AF AF =-=，所以1224a AF AF =+=．所以2a =…………………………………………………4分 由222a b c =+，得2b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=…………………………………………………………5分 （2）由（1）得，点A 的坐标为2,1)，因为(0)MN OA λλ=≠u u u u r u u u r所以直线l的斜率为2，设直线l的方程为2y x m =+……………………………6分联立222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m +-=………………………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y，由22)4(2)0m ∆=-->，得22m -<<．因为122122x x x x m ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩所以12MN x =-=9分又点A 到直线l的距离为d =，12AMN S MN d ∆==22422m m -+=≤=10分 当且仅当224m m -=，即m =11分所以直线l的方程为2y x =+2y x =…………………………………12分 5、解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以c = 因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以22411a b+=， 由223a b -=，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=． （2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：1sin tan 2QA QB AQB AQB ⋅∠=∠， 即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=u u u r u u u r，①当l 垂直x轴时，(1)QA QB ⋅=-u u u r u u ur(2,1)4132⋅-=+-=，此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221,631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得22(12)440k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122412k x x k -+=+，122412x x k-=+， 代入2QA QB ⋅=u u u r u u u r可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=，代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，代入化简得：2224(1)8201212k k k k -+++=++，解得14k =， 经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=， 综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=． 6、（1）设(,0)F c，(P t，则(Q t - ，…………………………（1分） 22317t a ∴+=，即2247t a =，①…………………………（2分） PF QF ⊥Q，1=-，即2297c t -=-，②…………………………（3分）∴由①②得224977c a -=-，又223a c -=，24a ∴=，…………………………（4分）∴椭圆M 的方程为22143x y +=．…………………………（5分） （2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，122122834634km x x k m y y k -⎧+=⎪⎪+∴⎨⎪+=⎪+⎩ O Q 为重心，2286()(,)3434km mOC OA OB k k-∴=-+=++u u u r u u u r u u u r，…………………………（7分）C Q 点在椭圆E 上，故有222286()()3434143km m k k -+++=，可得22443m k =+，………………………………………………………………………………（8分）而||AB ==， 点C 到直线AB 的距离21|3|km d +=（d 是原点到AB 距离的3倍得到），……………………（9分）19||22ABC S AB d ∆∴====g ，……………（10分）当直线AB 斜率不存在时，||3AB =，3d =，92ABC S ∆=， ABC ∴∆的面积为定值92．…………………………………………………………（12分）7、【解析】（1）据题意：)1,0(),0,(B a A ，故直线AB 的方程为：1=+y ax，即：0=-+a ay x 。