[K12学习]2018版高中数学 小问题集中营 专题5.2 疑难点 与球体有关的组合体问题

专题17 球的有关问题（解析版）球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。

在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。

考查形式多以选择题和填空题出现。

本专题对近十年来，全国新课标卷理出现的与球有关的问题进行汇编和简要的分析。

球的有关性质性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为:R 2=d 2+r 2. 性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 球有关问题易错点 易错点1：公式记忆错误易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误题组一：以三视图为背景 1．（2016I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 【解析】由三视图可知该几何体为球去掉一个81球，设球的半径为R ，则37428,833VR R=2, 故其表面积2271431784SR R2.（20131）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为A.3cm 3500π B.3cm 3866π C.3cm 31372π D.3cm 32048π【解析】根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，862d2224,=5R R R 球的半径为：即334500cm 33R 球的体积为：V=故选A. 题组二，以棱（圆）柱为载体3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a 的正三棱柱，设上下底面中心连线EF 的中点O ，则O 就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D 为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，110sin 603A D EA == 122211t ,2712aR OEA OE R OA OE EA a 在中，由勾股定理得∆===+=22774123a S a 球的表面积为ππ=⋅=4．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________. 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径32r BC ==，那么圆柱的体积是2233()14V r h πππ==⨯⨯=，故选B ． 题组三：以棱（圆）锥为载体5.(2012)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为_________.【解析】根据题意做出图，设球心为O ，过A 、B 、C 三点的小圆的圆心为O 1,则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ，1123316,133CO OO 12623SD OO 高∵ΔABC 是边长为1的三角形313262,36ABCS ABCSV6.（20191）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为________为底面三角形的中心PO BG O =，的中点，所以EF PB . 6．7.（2011）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥0-ABCD 的体积为 。

第十二讲立体几何中球的综合问题A组一、选择题1 . （2018年高考全国卷I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。

2,过直线的平而截该圆柱所得的截而是面积为8的正方形，则该圆柱的表而积为（）A. 12 缶B. 12 兀 D. I （hr【答案】B【解析】•：过直线。

02的平面截该圆柱所得“的截而是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2点,底而圆的直径为2点，所以该圆柱的表面积为2x/rx （J5y+2jl/rx2应=2）・故选B.2 .三棱柱ABC - A4G的各个顶点都在球0的球面上，且AB二AC二1,8C二五，CC、1平面A8C。

若球。

的表面积为3万，则这个三棱柱的体枳是（）1 1A. —B.—6 3C. -D. 12【答案】C【解析】I '肋=AC = IBC = >/2, ABIAC/. CGJ.平而ABC、三棱柱ABC-A内接球。

，二。

为距形3〃渤中心，设球。

半径为r ,则4江，二3况二r二正，即0C二r二正，.•.三棱柱的高。

二2J/—(’8C ］二 1 . •.三棱2 2柱的体积工5»吹・力二'xlxlxl二1,故选C。

2 23.球。

的球面上有四点S,A&C,其中。

，48,。

四点共而，AABC是边长为2的正三角形，而S43_L面ABC,则棱锥S —43c的体积的最大值为(A.去B. >/3C. 2 耳D. 4【答案】A【解析】设球心和AA8C的外心为。

，延长CO交AB于点P,则由球的对称性可知PD±AB.继而由而548_1 _ 而43c可得尸0_LAA8C所在的平面，所以尸。

是三棱锥的高；再由。

，ARC四点共而可知。

是AABC的中心，故。

尸二个二r二至上，当三棱锥的体积最大时，其高为P。

二j (2£ ) 2- (E) 2 故三棱锥的体积的最大值为x'-x 22 x 1 ，应选Ao34 .如图所示，直四棱柱ABC。

1．球的表面积公式为S 球＝4πR 2，即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝34πR 3．【例】用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．【易错易混】注意两个截面的位置．1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A ．2倍B ．2倍C ．倍D ．23倍【答案】B【解析】球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍．2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )A ．66πB ．2πC ．22πD ．66π3．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R【答案】D【解析】设圆柱的高为h ，则3×34πR 3＝πR 2·h ，所以h ＝4R ．4．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．【答案】12π．【解析】设球的半径为R ，则34πR 3＝4π，∴R ＝，∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×3＝12π．5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．【答案】3π【解析】由三视图还原为实物图为半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝21×4π×12＋π×12＝3π．【易错易混】表面积为半球面＋底面圆，而不是表面积为半球面．1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．31＋32πB ．31＋32πC ．31＋62πD ．1＋62π【答案】C【解析】由三视图知,半球的半径R ＝22,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥,∴V ＝31×1×1×1＋21×34π×22＝31＋62π，故选C ．2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3．14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈V 16B ．d ≈2V 3C ．d ≈V 300D ．d ≈V 213．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍．【答案】240【解析】由题意，得4πR 木2＝4πR 地2·120，所以R 木＝R 地所以V 木＝34πR 木3＝34π·(R 地)3＝240·34πR 地3＝240V 地．4．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．【答案】4000π【解析】∵AB：BC：AC＝18：24：30＝3：4：5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°．又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，露珠为何是圆的表面张力的原因．表面张力使得液体尽可能的减小表面积，而球体正好满足这一要求，所以在没有外力作用下，液体成球体状．在自然环境中，由于有重力、外界的支撑力等因素，露珠不会成标准的球体．科学家曾设想在太空中来生产标准球体的钢珠，因为在地球上是很难完成的，而在太空中是很容易的事情．我们学习了球的体积与表面积之后不难得到详细答案．。

多面体与球的组合体问题2018届高三数学优等生提分专题讲义一、考情分析纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．(3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱三、知识拓展(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1四、题型分析(一) 球与柱体的组合体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示,正方体1111ABCD A BC D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFGH 和其外接圆,则GO R ==；三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11ACAC 和其外接圆,则1AO R '==.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.【例1】 棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．2B ．1C ．12+D 【分析】本题求解关键是得出直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径122AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径2R =【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为（ ） A. B. C. D.1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径22l R == 【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3B.4πC.8π3D.7π3【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程中,进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球,故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球,三部分的体积为：3241101212=.323πππ⨯⨯⨯+⨯⨯【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为则该正四棱锥的外接球的表面积为 .1.3 球与直棱柱球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,,,,23h OD AO R AD ===借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求R =【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132D ．310 【分析】先确定球心位置,再利用222R r d =+确定球的半径【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.【小试牛刀】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上,若1AB BC ==,0120ABC ∠=,1AA =则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π(二) 球与锥体的组合体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4,设正四面体S ABC -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O .此时,,CO OS R OE r ===,,,SE CE ==则有22223a R r R r CE +=-=，=，解得：,.412R a r ==这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.【例4】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上学期月考】正四面体的棱长为a ,其内接球与外接球的体积比为 ．2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A BC D -的外接球的球心重合.设1AA a =,则R =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).【例5】在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .【解析】如图6,正三棱锥对棱相互垂直,即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等,故将正三棱锥补形为正方体.球的半径2,3,436.R R S R ππ=∴=∴==【小试牛刀】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．C ．3πD ．2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.【例6】在三棱锥P －ABC 中,PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π 【解析】如图7所示,过P 点作底面ABC 的垂线,垂足为O ,设H 为外接球的球心,连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠=故AO =,32PO =，又△AHO 为直角三角形,222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+2223344(),1,1.233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【小试牛刀】【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟】设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --H R =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =.【例7】矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 【解析】由题意分析可知,四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点,此时满足,OA OD OB OC === 522AC R ∴==,343V R π=1256π=. 【小试牛刀】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期联考】已知三棱锥内接与球,且,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（ ） A. B. C. D. (三) 球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.【例8】 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)RC. 1 4RD. 1 3R 【解析】要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的四个顶点,如图9所示,此时正四面体A BCD -的外接球的球心为O ,即为半径为R 的球的球心,则,AO R r =-又因O 为1AO 的四分点,故14(),3AO R r =-在1Rt ABO ∆中,222142,,[()](2)),32).AB r BO R r r r R ==∴-⨯=-∴=【小试牛刀】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1,O 2,这两个球外切,且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切,则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )(四) 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：4r a '=. 【例9】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（ ）A ．B ．10 cmC ．D ．30cm 【解析】如图11所示,由题意球心在AP 上,球心为O,过O 作BP 的垂线ON 垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以AM=10,BP=20,BM=10,AB=,设BPA α∠=,在Rt ∆BPM 中,222BP BM PM =+,所以PM =.在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,所以PA =.在Rt ∆ABP 中, sin AB BP α===,在Rt ∆ONP 中, sin ON R OP OP α==,所以2R OP =所以OP =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以,22)100R =+,解得,10R =或30（舍）,所以,10,R cm =故选B.(五) 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还 原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.【例10】【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A. 2B. 34πC. 3π 【小试牛刀】【2017届河北省正定中学高三上学期期中）】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.。

（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之多面体及球体的概念、性质、计算 新人教A 版1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。

立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。

考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。

在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。

因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。

一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解： 1. 多面体及球体的概念、性质、计算；2. 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3. 关于线线、线面及面面平行的问题；4. 关于线线、线面及面面垂直的问题；5. 关于空间距离和空间角的问题。

一、多面体及球体的概念、性质、计算： 典型例题：例1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为【 】()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 2【答案】A 。

【考点】三棱锥的性质。

【解析】∵ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==。

又∵SC 为球O 的直径，∴点S 到面ABC 的距离为2d =∴ 此棱锥的体积为112336ABC V S d ∆=⨯==。

故选A 。

例2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 【 】（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B 。

立体几何 - 球 - 专题学案练习1.下列四个命题中错误的个数是（）．．①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆②球面积是它大圆面积的四倍③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长2.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 cm，则该球的体积是A. 100π208πcm3 C.500π416 3πcm3 B. cm 3 D. cm3 3 3 3 33.某地球仪上北纬 30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是 _____________cm2.预备1. 球心到截面的距离d与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系：．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫．3.在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫．4. 球的表面积表面积S＝；球的体积V＝．5.球面距离计算公式： __________典例剖析（ 1）球面距离，截面圆问题例 1．球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过这 3 个点的小圆的周长为 4π，那么6这个球的半径为3 3 D. 3练习：球面上有三点A、 B、 C， A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的1，B和C之间的球面距离是大圆4周长的1，且球心到截面ABC的距离是21，求球的体积．67例 2. 如图，四棱锥A－BCDE中，AD底面BCDE，且 AC⊥ BC，AE⊥ BE．A(1) 求证： A、 B、 C、 D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上；E(2) 若 CBE 90 ,CE 3, AD 1,求 B、 D 两点间的球面距离．DB C（ 2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误例 3. 在底面边长为 2 的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切），求小球的半径。

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问题5 深化点 对号函数的应用一、问题的提出在不等式恒成立和有解问题中会涉及到利用对号函数求最值问题,所以掌握对号函数图象和性质至关重要,本文列举了对号函数的应用,以飨读者. 二、问题的探源 (1）对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xb ax y 的函数，叫做对勾函数。

（2)对勾函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f 的图象与性质1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xb ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x bax =,即a b x =时取等号)。

当0<x 时，ab xb ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+(当且仅当x bax -=-，即a b x -=时取等号）。

函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+.3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称,)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=,则对勾函数为奇函数.4.单调性由于2)(x ba x f -='，令0)(>'x f ,解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ,解得0<<-x ab或ab x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b-上为减函数,在),0(a b 上为减函数,在),(+∞ab上为增函数。