2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一 ，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行 口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。

各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。

【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。

2018年全国高中数学联赛安徽省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题|z |=5，则z=_________. 2.设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=__________.3.函数f (x )=|sin2x +sin3x +sin4x |的最小正周期=_________.4.设点P 、Q 分别在函数y=2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=_________.5.从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=_________.6.在边长为1的长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=___________. 7.设H 是△ABC 的垂心，且3HA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +4HB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +5HC⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则cos∠AHB =_____________. 8.把1，2，…，n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1，2，…，n.例如：T 3=[123894765].设2018在T 100的第i 行第j 列，则（i ，j ）=___________.二、解答题是矩形，点E 、F 分别是线段AD 、BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D 、H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：∠HAB=3∠GAB.10.设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值；⑵求△AOB的外心P的轨迹方程.11.⑴求证：对于任意实数x、y、z都有x2+2y2+3z2≥√3(xy+yz+zx).⑵是否存在实数k>√3，使得对于任意实数x、y、z有x2+2y2+3z2≥k(xy+ yz+zx)恒成立？试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案1.4-3i 或-3+4i【解析】1. 设z=x +yi ，由题设得x +y =1且x 2+y 2=25.故（x,y ）=（4，-3）或（-3，4）.所以z=4-3i 或-3+4i . 故答案为：4-3i 或-3+4i 2.213【解析】2.由n 5 ≈<44×1010，得200<n <300.设n =200(1+x ).由(1+x )5=1+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5 ≈<4432=1.375，得x ≈<0.075，n ≈<215.再由n 5≡n (mod10)，得n=213.（注：“≈<”表示“小于约等于”.）故答案为：213 3.2π【解析】3.f (x )=|1+2cosx |⋅|sin3x |，其中|1+2cosx |的最小正周期是2π，|sin3x |的最小正周期是π3. 故答案为：2π4.1+ln (ln2)ln2√2【解析】4.设P （a,2a ），Q （b,log 2b ）使|PQ |最小.由y=2x 与y =log 2x 互为反函数，知点P 、Q 处的切线斜率都是1，直线PQ 的斜率都是-1.故2a=b =1ln2，|PQ |=|a −b |√2=1+ln (ln2)ln2√2. 故答案为：1+ln (ln2)ln2√2 5.115【解析】5.x 1<x 2<x 3的样本方差s 2=13∑(x i −x )23i=1≤1，当且仅当x 1、x 2、x 3是连续的正整数. 故P (s 2≤1)=8C 103=115.故答案为：115 6.4−√65【解析】6.当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点D 1的三个面相切.以D 1为原点，D 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设A （0，1，1），C 1（1，0，0），小球圆心P （r ，r ，r ），则P 到AC 1的距离|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ×AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC 1|=√23|1−2r |=r . 再由r<12，得r =4−√65.故答案为：4−√65 7.−√66【解析】7. 由题设得tanA3=tanB 4=tanC5=λ.再由tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC ，得λ=√5，tanC=√5.故cos∠AHC =−cosC =−√66.故答案为：−√668.（34，95）【解析】8. 设1≤k ≤50，则T 100的第k 行第k 列元素是1+4∑(101−2i )k−1i=1=1+4(101−k )(k −1).因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列. 故答案为：（34，95） 9.见解析【解析】9.由E 、F 分别是AD 、BC 的中点，得EF//AB ⊥AD.如图，设P 是E 关于l 的对称点，则EP//AG ⊥l ，故四边形AEPG 是等腰梯形.进而∠PAG=∠EGA =∠GAB ，∠APG =∠GEA ，从而AP ⊥HG.再由HP=DE=EA=PG ，得∠HAP =∠PAG =∠GAB .因此∠HAB=3∠GAB.10.（1）见解析（2）a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2【解析】10.⑴双曲线在M （x 0,y 0）处的切线方程为x 0xa 2−y 00b2=1，与渐近线方程联立，得A （x 1,y 1）=(ax 0a +y 0b ,bx 0a +y 0b)，B （x 2,y 2）=(a x 0a−y 0b,−b x 0a−y 0b).从而S=12|x 1y 2−x 2y 1|=|ab |是定值.⑵由⑴可设A （λa,λb ），B （aλ,−bλ），P （x ，y ），λ为非零常数. 由|AP |=|OP |=|BP |，得(x −λa )2+(y −λb )2=x 2+y 2=(x −a λ)2+(y +b λ)2.从而有ax+by =λ2(a 2+b 2)，ax −by =12λ(a 2+b 2).上述两式相乘，得P 的轨迹方程为a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2.11.（1）见解析 （2）见解析.【解析】11.⑴由均值不等式，可知x 22+3y 22≥√3xy ，x22+3z 22≥√3xz ，y22+3z 22≥√3yz .故有x 2+2y 2+3z 2≥√3(xy +yz +zx ).⑵x 2+2y 2+3z 2−k (xy +yz +zx )=(x −k 2y −k 2z )2+(2−k 24)y 2+(3−k24)z 2−(k22+k )yz .上式≥0恒成立，当且仅当2−k 24≥0且(k22+k )2≤4(2−k 24)(3−k24). 化简得|k |≤2√2且k 3+6k 2≤24.故存在k >√3满足要求.12.N =2C 10093【解析】12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x i 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有M +N =C 20183，∑x i (2017−x i )2018i=1=2M .当且仅当每个x i =1008或1009时，N 取得最小值C 20183−10092×1008=2C 10093.N =2C 10093是可以取到的，例如：把线段i →i ±jmod2018（1≤i ≤2018，1≤j ≤504）染成红色，其他线段染成蓝色.。