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2018各省数学竞赛汇集
2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数
3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.
2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.
3、从集合
{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
10
_______. 4、已知a 是实数，方程2
(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位）
，则
||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22
1124
x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且
倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜
率为___1
2
____.
6、已知a 是正实数，lg a k
a =的取值范围是___[1,)+∞_____.
7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的
体积为____________.
8
、
已
知
等
差
数
列
{}
n a 和等比数列
{}
n b 满足：
11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.
（*
n N ∈）
9、将27,37,47,48,557175，
，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组
(,,)a b c 的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=
（2）
2
2sin cos cos 2
C A B
a b
c
+=
+
12、已知
,a b
为实数，
2
a >，函数
()|ln |(0)
a
f x x b x x
=-+>.若
(1)1,(2)ln 212
e
f e f =+=
-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数
()f x 的单调区间；
（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <
13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线
OM
上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点
C ，
D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.
14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2
()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边
长是整数且面积为ab 的直角三角形.
2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ． 2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=
++++963741a a a a a a 35
2
-． 3．函数741
)(2+++=
x x x x f 的值域为
6[0,6
． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα1
3
-
． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，
⎪⎩⎪⎨⎧+=+,
,13,,21
为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．
6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=
A sin 7
．
7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则
q p
的值为32
． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则5
35251x x x ++的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列}{n a
=11a =，
28a =，求}{n a 的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=+
+++n
n n n a a
a a ， 所以
11)=． ------------------------------------------4分
令111
++=+n
n n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数
列
，所以
n
n n b b 4411=⋅=-.
------------------------------------------8分
所
以
n n
n a a 4111
=++
+,即
n
n n a a ]1)14[(21--=+.
------------------------------------------12分
于是，当1>n 时,
22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a
∏∏-=--=---=
--==1
1
21
1
1
12
1
]1)14
[(]1)14
[(n k k n k k a ，
因此,
⎪⎩⎪⎨
⎧≥--==∏
-=-.2,]1)14[(,1,
11
1
21n n a n k k n ------------------------------------------16分
10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02
π
θ<<
，则
3
2233
3
)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．-------------------------
