山西省忻州市高考数学 专题 导数概念及运算复习课件

导数的概念及运算
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最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观 理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为 常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函 数)的导数.
2.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数， 其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
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3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
x
f(x)＝ln x
1
f′(x)＝___x_ln_a_____
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4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝___f′_(x_)_±__g_′(_x_)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f_′(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′(_x_)__； f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3)gf（（xx））′＝___________[g_（__x_）__]_2__________ (g(x)≠0).
f(x)＝sin x
f′(x)＝__0____
αxα－1
f′(x)＝__co_s_x___ f′(x)＝_－_s_i_n _x__
f(x)＝cos x f((x)＝__a_x_ln_a_____
f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝____1_______
5.复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为 yx′＝___y_u_′·_u_x′__，即 y 对 x 的导数等于___y_对__u___ 的导数与___u_对__x___的导数的乘积.
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考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
或y＋2＝0.
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规律方法 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0， y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有 可能和曲线还有其他的公共点. (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P 的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标. (3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数 在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
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诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( √ ) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( × )
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2.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0) 处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，
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考点二 导数的几何意义 【例2】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程. 解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2， ∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x －y－4＝0.
f′(x0)或
y′|x＝x0，即
f′(x0)＝
lim
x0
Δ Δyx＝
lim f（x0＋Δx）－f（x0）
x0
Δx
________________________________________________________________.
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(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在 曲线y＝f(x)上点___(_x_0_，__f(_x_0)_)_处的__切__线__的__斜__率___.相应地， 切线方程为___y_－__y0_＝__f_′(_x_0)_(_x_－__x0_)_.
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规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是 导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提 高运算速度，减少差错. (2)①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. ②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导， 必要时可换元处理.
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知识梳理
1.函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
(1) 定 义 ： 称 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率
_l_ixm_0_f_（__x0_＋__Δ__xΔ_）_x_－__f_（__x_0）__＝
lim
x0
ΔΔyx为函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的导数，记作
(1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x；(4)y＝ln 1＋2x.
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解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)∵y＝x－12sin x，∴y′＝1－12cos x. (4)∵y＝ln 1＋2x＝12ln(1＋2x)， ∴y′＝12·1＋12x·(1＋2x)′＝1＋12x.
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(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点 P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，