北京四中2013届高三数学10月统练试题 文 (无答案)北师大版

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。

2024北京北师大附中高三10月月考数 学班级______姓名______学号______求的一项.1. 已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=−<∣∣，则M N =（ ）A. {21}x x −≤<∣ B. {21}x x −<≤∣ C. {2}xx ≥−∣D. {1}xx <∣ 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(−，则i z ⋅=（ ） i +B. iiD. i3. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. ()2xf x =B. ()ln f x x =−C. ()1f x x=−D. ()13x f x −=4. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A. a b > B. a b > C. 2a ab >D. 2ab b >5. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，i e 在复平面中位于 （ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 已知函数()21,026,2x x f x x x ⎧−<<=⎨−≥⎩，那么不等式()12f x x >的解集为（ ）A. ()0,1B. ()0,2C. ()1,4D. ()1,67. 设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<8. 若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=−”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9. 已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+−∈−==−−⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（ ）A. [1,5]−B. (,1][5,)−∞−⋃+∞C. [1,)−+∞D. (,5]−∞10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()1ln f x x=______. 12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈−∞时，()123xf x =+，则23log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.13. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.14. 对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =−+−，根据这一发现，函数()y f x =的对称中心是______.15. 已知函数()22,2,x a x af x x ax x a⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①当0a =时，()f x 的最小值为0； ②当13a ≤时，()f x 存在最小值； ③当1a ≥时，()f x 在(),−∞+∞上单调递增；④()f x 的零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭. （1）若()102f =，求ϕ的值； （2）已知()f x 在区间π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，求ω，ϕ的值. 17. 在ABC 中，222b c a bc +−=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 14B =； 条件②：12a b +=； 条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率； （2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明） 19. 已知函数()()11ln f x a x x =+−−.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若2a <，证明：当1x >时，()1e xf x −<.20. 已知函数()e sin xf x a x =−．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，证明：函数()2y f x =−在区间()0,π上有且仅有一个零点； （3）若对任意[]0,πx ∈，不等式()2cos f x x ≥−恒成立，求a 的取值范围．21. 已知数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：{}0,1i a ∈（1i =，2，…，n ，2n ≥），从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（12m i i i <<<，2m ≥）称数列1i a ，2i a ，…，m i a 为A 的长度为m 的子列.记()T A 为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其()3T A =.（1）设数列A ：1，1，0，0，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；（2）设数列A ：1a ，2a ，…，n a ，A '：n a ，1n a −，…，1a ，A ''：11a −，21a −，…，1n a −，判断()T A ，()T A '，()T A ''的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数n ，k （11k n ≤≤−），若数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：12n a a a k ++⋅⋅⋅+=，求()T A 的最小值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥−∣，{10}{|1}N x x x x =−<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =−≤<.故选：A 2. 【答案】B【分析】首先表示出z ，再根据复数代数形式的乘法运算计算可得.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(−，所以1z =−+，则()2i i 1i i z ⋅=⋅−+=−+=. 故选：B 3. 【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A ：()2xf x =在定义域R 上单调递增，故A 错误；对于B ：因为ln y x =在定义域(0,+∞)上单调递增， 所以()ln f x x =−在定义域(0,+∞)上单调递减，故B 正确； 对于C ：()1f x x=−在(0,+∞)上单调递增，故C 错误； 对于D ：()1113,133,1x x x x f x x −−−⎧≥==⎨<⎩，所以()f x 在()0,∞+上先减后递增，故D 错误. 故选：B 4. 【答案】A【分析】由a a ≥可知A 正确；通过反例可知BCD 错误. 【详解】对于A ，a a ≥（当且仅当0a ≥时取等号），ab ∴>，A 正确；对于B ，当1a =−，2b =−时，a b <，B 错误；对于C ，当1a =−，2b =−时，21a =，2ab =，则2a ab <，C 错误； 对于D ，当1a =，2b =−时，2ab =−，24b =，则2ab b <，D 错误. 故选：A. 5. 【答案】A【分析】根据定义把i e 写成三角形式，即可得出对应点的坐标，从而得其象限．【详解】由题意cos1sin1i e i =+，对应点坐标为(cos1,sin1)，而cos10,sin10>>，点在第一象限． 故选：A ． 6. 【答案】C【分析】分别作出y =f (x )及12y x =的图象后，借助图象分析即可得. 【详解】分别作出y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4). 故选：C. 7. 【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为0.4000.50.51<<=，即01a <<， 又0.50.5log 0.4log 0.51b =>=，44log 0.5log 10c =<=， 所以b a c >>. 故选：D 8. 【答案】C 【分析】解法一：由2x yy x+=−化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =−，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=−去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x yy x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x+=−， 所以222x y xy +=−，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =−， 所以112x y y y y x y y−+=+=−−=−−， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2xyy x+=−， 所以222x y xy +=−，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立. 所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+−+++−−+=====−，所以充分性成立； 必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=−， 所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+−++++−+====−=−， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立. 所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 故选：C 9. 【答案】A【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)−+∞，结合题意转化为()1g b −≥−，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示， 所以，当(,0)x ∈−∞时，()()11f x f ≥−=−；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)−+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =−，只需()1g b −≥−，即对于R b ∈，满足2441b b −++≥−成立，即2450b b −−≤， 解得15b −≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]−. 故选：A.10. 【答案】C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】()(]0,11,2【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案. 【详解】由题意可得{lnx ≠0x >02−x ≥0，解得()(]0,11,2x ∈⋃.故答案为：()(]0,11,2⋃. 12. 【答案】1【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈−∞时，()123xf x =+， 所以2log 2223233log log l 12og 2221213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−==⎭+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎭+⎝⎝=⎪. 故答案为：1 13. 【答案】16【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，从而求得所求面积.【详解】因为()2e 2sin 1x xf x x+=+，所以()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++−+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++−+⨯'==+，所以该切线方程为13y x −=，即31y x ，令0x =，则1y =，令0y =，则13x， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯−=. 故答案为：16. 14. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据所给定义，求出函数的一阶导数与二阶导数，再()0f x ''=，求出x ，即可得解. 【详解】因为()3211533212f x x x x =−+−，所以()23'=−+f x x x ，则()21f x x ''=−，令()210f x x ''=−=，解得12x =， 又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯+⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()y f x =的对称中心是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭15. 【答案】①④【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0；对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于④，对a 进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数()g a 的值域为{}0,1,2,3.【详解】对于①，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，当0x <时，021x <<，当0x ≥时，20x ≥，综上，当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0，①正确；对于②，不妨设12a =−，此时()2112,221,2x x f x x x x ⎧−<−⎪⎪=⎨⎪−≥−⎪⎩，当12x <−时，1112,222x⎛⎫−∈− ⎪ ⎪⎝⎭， 当21x ≥−时，22111244x x x ⎛⎫−=−−≥− ⎪⎝⎭，故()12f x >−，此时函数不存在最小值，②错误； 对于③，2x y a =+在(),x a ∈−∞上单调递增，且()2,2xay a a a =+∈+，当1a ≥时，()2222y x ax x a a =+=+−在),x a ⎡∈+∞⎣上单调递增， 且()2223y x a a a =+−≥， 当8a =时，223720a a a +−=>，故当8a =时，()f x 在R 上不单调递增，③错误；对于④，()22,2,x a x a f x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩，2x y a =+在x a <上单调递增，当0a <时，设()2at a a =+，显然()2at a a =+单调递增，又()110,02t t ⎛⎫−<−> ⎪⎝⎭，故存在011,2a ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，使得()00t a =，当0a a ≤时，20a a +=无解，即2x y a =+在x a <上无零点， 此时22y x ax =+有两个零点，0和2a −，故此时()2g a =，当0a a >时，2x y a =+在x a <上有1个零点，此时22y x ax =+有两个零点，0和2a −，故此时()3g a =，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，由①知，此时有1个零点，即()1g a =，当0a >时，2xy a =+在x a <上无零点，22y x ax =+在x a ≥上也无零点，此时()0g a =，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3，④正确. 故答案为：①④【点睛】函数零点问题处理思路：（1）直接令函数值为0，代数法求出零点；（2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度；三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）π6（2）1ω=，π6ϕ=−【分析】（1）借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得；（2）由题意可得函数周期，即可得ω，而后借助正弦函数性质代入计算即可得ϕ.【小问1详解】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，()10sin 2f ϕ==，故()ππ2π23k k ϕ±+=∈Z ， 又π2ϕ<，故π6ϕ=； 【小问2详解】 由题意可得2ππ22π33T ⎡⎤⎛⎫=−−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故2π1T ω==，又0ω>，故1ω=， 由2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ， 解得()π2π6k k ϕ=−+∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=−. 17. 【答案】（1）π3（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解； （2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==， 又因为(0,π)A ∈，所以π3A =. 【小问2详解】解：由（1）知π3A =， 若选①②：11cos 14B =，12a b +=， 由11cos 14B =，可得sin 14B ==， 由正弦定理sin sin a b A B =214=，解得7a =，则125b a =−=， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，可得249255c c =+−，即25240c c −−=，解得8c =或3c =−（舍去），所以ABC的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=. 若选①③：11cos 14B =且12c =， 由11cos 14B =，可得sin 14B ==， 因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=+⨯=， 由正弦定理sin sin a c A C ==，解得212a =， 所以ABC的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=. 若选：②③：12a b +=且12c =， 因为222b c a bc +−=，可得22212(12)12b b b +−−=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18. 【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +> 【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =； （2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可. 【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”， 则11102511200300C C 1()C C 240P A ==， 【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=. 所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯−+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望()0125050502E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】 1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得 04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===， 则1202p p p +>. 19. 【答案】（1）y x =（2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程；（2）分0a ≤及0a >，结合导数讨论即可得；（3）构造函数()()1eln 11x g x x a x −=+−−−，多次求导研究其单调性即可得.【小问1详解】当2a =时，()()121ln 2ln 1f x x x x x =+−−=−−，则()121ln111f =⨯−−=， ()12f x x'=−，则()1211f ='−=， 即曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为()11y x =−+，即y x =；【小问2详解】f ′(x )=a −1x =ax−1x (x >0)，当0a ≤时，f ′(x )<0恒成立，故()f x 在(0,+∞)上单调递减；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则f ′(x )<0，若1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则f ′(x )>0， 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增； 【小问3详解】 令()()()11e 11ln e ln 11x x g x a x x x a x −−⎡⎤=−+−−=+−−−⎣⎦， ()11e x g x a x−+'=−， 令()()11e x h x g x a x −=+'=−，则()121e x h x x −−'=， 令()()121e x m x h x x −=−'=，则m ′(x )=e x−1+2x 2>0恒成立， 故()h x '在(1,+∞)上单调递增，则ℎ′(x )>ℎ′(1)=e 0−11=0，故()g x '在(1,+∞)上单调递增，则g ′(x )>g ′(1)=e 0+11−a =2−a >0，故()g x 在(1,+∞)上单调递增，则g (x )>g (1)=e 0+ln 0−a (1−1)−1=0，即()1ex f x −<.20. 【答案】（1）10x y +−=；（2）证明见解析； （3）(],1−∞.【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率()0f '，结合()01f =可得切线方程；（2）令()()2g x f x =−，求导后可知()0g x '>，由此确定()g x 在()0,π上单调递增，结合零点存在定理可得结论；（3）()()2cos h x f x x =−+，将问题转化为()0h x ≥恒成立；求导后，分析可知当0a ≥时，()h x '单调递增；当1a >时，利用零点存在定理可说明()h x 在()00,x 上单调递减，由此可得()()00h x h <=，知不合题意；当1a =时，可得()()00h x h ''>=，知()h x 单调递增，满足题意；当1a <时，采用放缩法得()e sin cos 2x h x x x >−+−，结合1a =时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果. 【小问1详解】当2a =时，()e 2sin x f x x =−，则()e 2cos xf x x '=−， ()0121f '∴=−=−，又()01f =，f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：1y x =−+，即10x y +−=. 【小问2详解】当1a =时，令()()2e sin 2x g x f x x =−=−−，则()e cos xg x x '=−； 当()0,πx ∈时，0e e 1x >=，cos 1x <，即()0g x '>，()g x ∴在()0,π上单调递增，又()01210g =−=−<，()πe 20g π=−>，()g x ∴在()0,π上有唯一零点，即()2f x −在()0,π上有且仅有一个零点.【小问3详解】令()()2cos e sin cos 2xh x f x x a x x =−+=−+−， 则对任意[]0,πx ∈，()0h x ≥恒成立；又()e cos sin xh x a x x '=−−， 令()()t x h x ='，则()e sin cos xt x a x x '=+−； 当0a ≥时，若[]0,πx ∈，则0e e 1x ≥=，cos 1≤x ，sin 0x ≥，()0t x '∴≥在[]0,π上恒成立，则()h x '在[]0,π上单调递增；①当1a >时，()010h a '=−<，()ππe 0h a '=+>，()00,πx ∴∃∈，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在()00,x 上单调递减，此时()()00h x h <=，不合题意；②当1a =时，()e sin cos 2xh x x x =−+−； 当()0,πx ∈时，()()00h x h ''>=，则()h x 在[]0,π上单调递增，()()00h x h ∴≥=恒成立，满足题意；③当1a <时，()e sin cos 2e sin cos 2x xh x a x x x x =−+−>−+−， 由②知：对任意[]0,πx ∈，()e sin cos 20xh x x x >−+−≥，满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为(],1−∞.【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.21. 【答案】（1）子列为：1，0，0；1，1，0；()6T A =；（2）()()()T A T A T A '''==，理由见解析；（3）22nk n k +−−.【分析】（1）根据()T A 的定义结合条件即得；（2）若121k k m m m m −，，，，是12n A a a a ：，，，的一个子列，则121k k m m m m −，，，，为11n n A a a a −'：，，，的一个子列.若121k k m m m m −，，，，与121k k n n n n −，，，，是12n A a a a ：，，，的两个不同子列，则121k k m m m m −，，，，与121k k n n n n −，，，，也是11n n A a a a −'：，，，的两个不同子列，得()()T A T A '≤，同理()()T A T A '≤，得()()T A T A '=，同理()()T A T A ''=；（3）令000111n k k A *−个个：，得数列A *中不含有0的子列有1k −个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有1k +个，，含有n k −个0的子列有1k +个，即可解决.【小问1详解】由()T A 的定义以及1100A ：，，，， 可得：A 的长度为3的子列为：100110，，；，，，有2个， 又A 的长度为2的子列有3个，A 的长度为4的子列有1个，所以()6T A =；【小问2详解】()()().T A T A T A '''==理由如下：若121k k m m m m −，，，，是12n A a a a ：，，，的一个子列，则121k k m m m m −，，，，为11n n A a a a −'：，，，的一个子列.若121k k m m m m −，，，，与121k k n n n n −，，，，是12n A a a a ：，，，的两个不同子列，则121k k m m m m −，，，，与121k k n n n n −，，，，也是11n n A a a a −'：，，，的两个不同子列.所以()()T A T A '≤；同理()()T A T A '≤，所以()()T A T A '=.同理()().T A T A ''=所以有()()().T A T A T A '''==【小问3详解】由已知可得，数列12n A a a a ：，，，中恰有k 个1，n k −个0.令000111n k k A *−个个：，下证：()()T A T A *≥.由于000111n k k A *−个个：，所以A *的子列中含有i 个0，j 个1(0101,2)i n k j k i j =−=+≥，，，，，，，的子列有且仅有1 个， 设为：000111i j 个个.因为数列12n A a a a ：，，，的含有i 个0，j 个1的子列至少有一个，所以()()T A T A *≥.数列000111n k k A *−个个：中，不含有0的子列有1k −个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，，含有n k −个0的子列有1k +个，所以2()()(1)22T A n k k k nk n k *=−++−=+−−.所以()T A 的最小值为22nk n k +−−.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.。

北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理）试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=, 选B.2. 函数的定义域为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，则有23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2+3400x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得41x -≤≤且0x ≠，选D.3．下列命题中是假命题的是（ ） A ．都不是偶函数 B ．有零点C ．D ．上递减【答案】A 【解析】当=2πϕ时，()=sin(2)=cos 22f x x x π+为偶函数，所以A 错误，选A.4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知2225871cos ==2582θ+-⨯⨯，所以=60θ，所以最大角与最小角的和为120，选B. 5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构.判断框内为满足循环的条件 第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3；当执行第10项时，11n =， n 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。

故答案为：9n ≤或10n <,选B. 6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。

北京市四中2013届高三上学期期中测试数学（理）试题试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．3．下列命题中是假命题的是（）A．都不是偶函数B．有零点C．D．上递减4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．B．C．D．6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（）7．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．2D．8．定义在R上的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．9．设为虚数单位，则______.10．正项等比数列中，若，则等于______.11. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.12. 设函数______.13. 已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是______.14．定义一种运算，令，且，则函数的最大值是______.三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．（1）求的值；（2）求的值．16.（本小题满分13分）已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）求的单调增区间.（3）当时,求函数的最大值，最小值.17.（本小题满分13分）设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为S n.（1）若，求数列的通项公式；（2）若求所有可能的数列的通项公式.18.（本小题满分13分）已知函数（）.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.（3）若，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.（1）求+的值及+的值（2）已知，当时，+++，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. A8. D提示：由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且而函数在是减函数，∴第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9. i10. 16.11. 1012.13. ③④14. 1提示：令，则∴由运算定义可知，∴当，即时，该函数取得最大值.由图象变换可知，所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得：．∵为锐角∴．∴．∴．--------------------6分（Ⅱ）∵∴．为锐角，∴，∴．-----------13分16. （本小题满分13分）解：（I）.…3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）故的单调增区间为…8分(III) ,……10分.……11分当时,函数的最大值为1,最小值为.…13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由又故解得因此，的通项公式是1，2，3，…，（Ⅱ）由得即由①+②得－7d<11，即由①+③得, 即,于是又，故.将4代入①②得又，故所以，所有可能的数列的通项公式是1，2，3，….18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，，所以，由，解得，由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和.（Ⅱ）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以，所以当时，有最大值为，因为对任意，恒成立，所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.（III）.19.（本小题满分14分）解：（1）由当；当（2），有解由即上有解令，上减，在[1，2]上增又，且（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使……10分又时，故②-①×2得，解得（舍）故，此时满足存在满足条件的数列……14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.又＝，即，，∴+=1.①当=时，=，+=；②当时，，+=+===综合①②得，+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +∴，k=.n≥2时，+++，①，②①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.（Ⅲ）==，=1++=..=2-，=-2+=2-，∴，、m为正整数，∴c=1，当c=1时，，∴1<<3，∴m=1.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）带答案本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|1B x x =-≤{}|11B x x =-≤＜,则A B =（A ）{}0（B ）{}-1,0（C ）{}0,1（D ）{}-1,0,1（2）设,,a b c R ∈,且a b >,则（A ）bc ac > （B ）11a b<（C ）22a b <（D ）33a b >（3）下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（A ）1yx=(B)x y e-=（C ）21y x =-+ (D)lg y x =（4）在复平面内，复数()2i i -对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（5）在ABC ∆中，3a =，5b =,1sin 3A =,则sinB =（A ）15 错误！未找到引用源。

（B ）59（C （D ）1（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）11（B ）23（C ）321（D ）610987（7）双曲线221y x m-=C1A1C俯视图侧（左）视图正（主）视图（A）12m＞（B）1m≥（C）1m＞（D）2m＞(8)如图，在正方体1111ABCD A B C D- 1中，P为对角线1BD的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线22y px=的焦点坐标为()1,0则p=____;准线方程为_____(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.(11)若等比数列{}n a满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=__________;前n项nS=_____.(12)设D为不等式组0,2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D上的点与点{}1,0之间的距离的最小值为___________.(13)函数()f x=12,12,1xx xx≥⎧⎪⎨⎪<⎩㏒的值域为_________.（14）已知点()1,1A-，()3,0B，()2,1C.若平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+()12,01λμ≤≤≤≤的点P组成，则D的面积为__________.三、解答题共6小题，共80分。

北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试及答案〔理〕试卷总分值为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分〔选择题，共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．1. 已知集合，，则〔〕A．B．C．D．2. 函数的定义域为〔〕A．B．C．D．3．以下命题中是假命题的是〔〕A．都不是偶函数B．有零点C．D．上递减4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是〔〕A．B．C．D．5. 已知数列，假设利用如下图的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是〔〕A．B．C．D．6．已知函数的图象如下图则函数的图象是〔〕7．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为〔〕A．B．1 C．2D．8．定义在R上的函数满足，当时，，则〔〕A．B．C．D．第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．9．设为虚数单位，则______.10．正项等比数列中，假设，则等于______.11. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.12. 设函数______.13. 已知函数，给出以下四个说法：①假设，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是______.14．定义一种运算，令，且，则函数的最大值是______.三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．〔1〕求的值；〔2〕求的值．16.〔本小题总分值13分〕已知函数.〔1〕求函数图象的对称轴方程；〔2〕求的单调增区间.〔3〕当时,求函数的最大值，最小值.17.〔本小题总分值13分〕设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为S n.〔1〕假设，求数列的通项公式；〔2〕假设求所有可能的数列的通项公式.18.〔本小题总分值13分〕已知函数〔〕.〔1〕假设，试确定函数的单调区间；〔2〕假设函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.〔3〕假设，求的取值范围.19.〔本小题总分值14分〕已知函数〔为自然对数的底数〕．〔1〕求的最小值；〔2〕设不等式的解集为，假设，且，求实数的取值范围〔3〕已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？假设存在，请求出数列的通项公式．假设不存在，请说明理由．20.〔本小题总分值14分〕已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点〔可以重合〕，点M在直线上，且.〔1〕求+的值及+的值〔2〕已知，当时，+++，求；〔3〕在〔2〕的条件下，设=，为数列{}的前项和，假设存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.【参考答案】第一部分〔选择题，共40分〕一、选择题〔每题5分，共40分〕1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. A8. D提示：由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如下图：∵且而函数在是减函数，∴第二部分〔非选择题，共110分〕二、填空题：〔每题5分，共30分〕9. i10. 16.11. 1012.13. ③④14. 1提示：令，则∴由运算定义可知，∴当，即时，该函数取得最大值.由图象变换可知，所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.三、解答题：〔本大题共6小题，共80分〕15.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由已知得：．∵为锐角∴．∴．∴．--------------------6分〔Ⅱ〕∵∴．为锐角，∴，∴．-----------13分16. 〔本小题总分值13分〕解：〔I〕.…3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分〔II〕故的单调增区间为…8分(III) ,……10分.……11分当时,函数的最大值为1,最小值为.…13分17.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由又故解得因此，的通项公式是1，2，3，…，〔Ⅱ〕由得即由①+②得－7d<11，即由①+③得, 即,于是又，故.将4代入①②得又，故所以，所有可能的数列的通项公式是1，2，3，….18.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：当时，，所以，由，解得，由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和.〔Ⅱ〕解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以，所以当时，有最大值为，因为对任意，恒成立，所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.〔III〕.19.〔本小题总分值14分〕解：〔1〕由当；当〔2〕，有解由即上有解令，上减，在[1，2]上增又，且〔3〕设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使……10分又时，故②-①×2得，解得〔舍〕故，此时满足存在满足条件的数列……14分20.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕∵点M在直线x=上，设M.又＝，即，，∴+=1.①当=时，=，+=；②当时，，+=+===综合①②得，+.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当+=1时, +∴，k=.n≥2时，+++，①，②①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.〔Ⅲ〕==，=1++=..=2-，=-2+=2-，∴，、m为正整数，∴c=1，当c=1时，，∴1<<3，∴m=1.。

2012～2013学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科） 2012．10第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5,7B =，则A B =U （ ） 2．下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上是增函数的是（ ） 3．已知a 、b 为实数，则“22ab>”是“22log log a b >”的（ ） 4．函数2log y x =的图象按向量a 平移后可以得到函数2log (2)3y x =-+的图象，则（ ） 5．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a （ ） 6．设a 、b 是两个非零向量（ ）（A ）{}1,3（B ）{}1,2,3,4,5,7 （C ）{}5,7（D ）{}2,4,5,7（A ）2x y =（B ）32y x x =+（C ）sin y x =-（D ）1y x=-（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）(2,3)=a（B ）(2,3)=-a（C ）(2,3)=-a（D ）(2,3)=--a（A ）一定是等差数列 （B ）一定是等比数列（C ）或者是等差数列，或者是等差数列（D ）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列（A ）若||||||=-a +b a b ，则⊥a b （B ）若⊥a b ，则||||||=-a +b a b（C ）若||||||=-a +b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a （D ）若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||=-a +b a b7．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根 其中正确命题的个数为（ ） 8．已知函数()f x 的定义域是{|(}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且，函数()f x 满足()()f x f x π=+，当(,)22x ππ∈-时，()2sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．9． 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为 ． 10．函数21()log (21)1f x x x=+--的定义域是 ． 11．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos(),sin())33ππαα=++b ，则||-=a b ． 12．已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24mn+的最小值为 ．13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足21a b c ++=+，sin sin 2sin A B C +=，则c = ；若3C π=，则ABC ∆的面积S = ．14．已知关于x 的不等式220x ax -+>，若此不等式对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ；若此不等式对于任意的(2,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知x ∈R ，向量2(cos ,1)OA a x =u u r ，(2,3sin 2)OB a x a =-u u u r ，()f x OA OB =⋅u u r u u u r ，0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为5，求实数a 的值．16．（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值．17．（本小题满分13分）已知函数32()2f x x ax =++，若()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．（Ⅰ）求导函数()f x '及实数a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且1323(2,)n n a a n n n *-=-+≥∈N ． （Ⅰ）求23,a a ，并证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求12a a ++…n a +的值．19．（本小题满分14分）设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求实数c 的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有12121212()()3333f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数2()f x x =是否为定义域上的C 函数，并说明理由； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x（12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数．已知()f x 是R 上的π函数．m 是给定的正整数，设()n a f n =，0,1,2,n =…,m ，且00a =，2m a m =，记12f S a a =++…m a +．对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2012～2013学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科）答题卡第Ⅰ卷（40分）（用2B 铅笔将选中项涂满涂黑，黑色以盖住框内字母为准） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]第Ⅱ卷（110分）（用黑色字迹的签字笔在题目黑色框区域内作答，否则答题无效） 9．10．11．12．13． ；14． ；姓 名准考证号注意事项1．答题前考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号和座位号，无误后粘贴在条形码框内。

2018～2018学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5,7B =，则A B =U （ ） 2．下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上是增函数的是（ ） 3．已知a 、b 为实数，则“22ab>”是“22log log a b >”的（ ） 4．函数2log y x =的图象按向量a 平移后可以得到函数2log (2)3y x =-+的图象，则（ ） 5．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a （ ） 6．设a 、b 是两个非零向量（ ）（A ）{}1,3（B ）{}1,2,3,4,5,7 （C ）{}5,7（D ）{}2,4,5,7（A ）2x y =（B ）32y x x =+（C ）sin y x =-（D ）1y x=-（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）(2,3)=a（B ）(2,3)=-a（C ）(2,3)=-a（D ）(2,3)=--a（A ）一定是等差数列 （B ）一定是等比数列（C ）或者是等差数列，或者是等差数列 （D ）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列（A ）若||||||=-a +b a b ，则⊥a b （B ）若⊥a b ，则||||||=-a +b a b（C ）若||||||=-a +b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a （D ）若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||=-a +b a b7．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根 其中正确命题的个数为（ ） 8．已知函数()f x 的定义域是{|(}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且，函数()f x 满足()()f x f x π=+，当(,)22x ππ∈-时，()2sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．9． 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为 ． 10．函数2()log (21)f x x =+-的定义域是 ． 11．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos(),sin())33ππαα=++b ，则||-=a b ． 12．已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24mn+的最小值为 ．13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且满足1a b c ++=，sin sin A B C +=，则c = ；若3C π=，则ABC ∆的面积S = ．14．已知关于x 的不等式220x ax -+>，若此不等式对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ；若此不等式对于任意的(2,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知x ∈R ，向量2(cos ,1)OA a x =u u r ，sin 2)OB x a =-u u u r ，()f x OA OB =⋅u u r u u u r ，0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为5，求实数a 的值．16．（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值．17．（本小题满分13分）已知函数32()2f x x ax =++，若()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．（Ⅰ）求导函数()f x '及实数a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且1323(2,)n n a a n n n *-=-+≥∈N ． （Ⅰ）求23,a a ，并证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求12a a ++…n a +的值．19．（本小题满分14分）设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求实数c 的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有12121212()()3333f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数2()f x x =是否为定义域上的C 函数，并说明理由； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x（12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数．已知()f x 是R 上的π函数．m 是给定的正整数，设()n a f n =，0,1,2,n =…,m ，且00a =，2m a m =，记12f S a a =++…m a +．对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2018～2018学年第一学期北京四中统练1 高三数学（文科）答题卡○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线39（1）○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ 学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________ 密封线。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2013北京，文1)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )．A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}2．(2013北京，文2)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )．A．ac＞bc B．11<a b C．a2＞b2 D．a3＞b33．(2013北京，文3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A．1yxB．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|4．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．(2013北京，文5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝( )．A．15 B．59 C．3 D．16．(2013北京，文6)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．A．1 B．23 C．1321 D．6109877．(2013北京，文7)双曲线x2－2ym＝1的充分必要条件是( )．A．m＞12 B．m≥1 C．m＞1 D．m＞28．(2013北京，文8)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个第二部分(非选择题共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013北京，文9)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________．10．(2013北京，文10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．11．(2013北京，文11)若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和S n＝__________.12．(2013北京，文12)设D为不等式组0,20,30xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．13．(2013北京，文13)函数f(x)＝12log,1,2,1,xx xx≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________．14．(2013北京，文14)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP＝λAB ＋μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(2013北京，文15)(本小题共13分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，且f(α)＝2，求α的值．16．(2013北京，文16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：24x＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1,2，…，n－1，该数列的前i 项的最大值记为A i，后n－i项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1＞0.证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．答案：B解析：集合A 中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A ，B 的公共元素为－1,0，故选B.2．答案：D解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.3．答案：C解析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 4．答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.5．答案：B解析：根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin B ＝b a sin A ＝515339⋅=，故选B. 6．答案：C 解析：i ＝0时，向下运行，将212213S S +=+赋值给S ，i 增加1变成1，经判断执行否，然后将21132121S S +=+赋值给S ，i 增加1变成2，经判断执行是，然后输出1321S =，故选C. 7．答案：C解析：该双曲线离心率1e =m ＞1，故选C.8．答案：B解析：设正方体的棱长为a .建立空间直角坐标系，如图所示．则D (0,0,0)，D 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，P 221,,333a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PB |=，|PD |a =，|1PD |=，|1PC |＝|1PA |a =，|PC |＝|PA |3a =， |1PB |=， 故共有4个不同取值，故选B.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．答案：2 x ＝－1解析：根据抛物线定义12p =，∴p ＝2，又准线方程为x ＝2p -＝－1，故填2，x ＝－1. 10．答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V ＝13×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.11．答案：2 2n ＋1－2解析：根据等比数列的性质知a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3，故求得a 1＝2， ∴S n ＝21212n (-)-＝2n ＋1－2. 12．答案：5解析：区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0的距离=13．答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜2x＜2；故f (x )的值域为(－∞，2)．14．(2013北京，文14)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ＝λAB ＋μAC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．答案：3解析：AP ＝λAB ＋μAC ，AB ＝(2,1)，AC ＝(1,2)．设P (x ，y )，则AP ＝(x －1，y ＋1)． ∴12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得23,323,3x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得629,023,x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩如图．可得A 1(3,0)，B 1(4,2)，C 1(6,3)，|A 1B 1|=，两直线距离d ==， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝π424x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2.(2)因为f (α)＝2，所以πsin 414α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4α＋π4∈9π17π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以π5π442α+=.故9π16α=. 16．解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613. (2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”． 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值． 当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ，f (0)＝1＜b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b. 由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d＞B i＋d i＝A i.又因为A i＋1＝max{A i，a i＋1}，所以a i＋1＝A i＋1＞A i≥a i.从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．因此A i＝a i(i＝1,2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1,2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。