推论 1：△ ABC 的面积为 S △ ABC = ab sin C = bc sin A = ca sin B.
推论 3△：在 ABC 中，A+B=θ ，解 a 满足
a
= ?A B =
?1 - ? = [(b+c) 2 -a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
4b 2 c 2 《2011 年高考数学总复习系列》——高中数学必修五
第一章 解三角形
一、基础知识【理解去记】
在本章中约定用 A ，B ，C 分别表示 △ ABC 的三个内角， a, b, c 分别表示它们所对的各边长，
p = a + b + c
2
为半周长。
1．正弦定理： a b c = =
sin A sin B sin C
=2R （R △为 ABC 外接圆半径）。
1 1 1
2 2 2
推论 2△：在 ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. b =
，则 a=A.
sin a
sin(θ - a)
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，
BC 边上的高为 bsinC ，所以 S △ ABC = 1 2
ab sin C ；再证推论 2，因为 B+C= π -A ，所以 sin(B+C)=sinA ，即
sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a ；再证推论 4，由正弦定理 a b =
sin A sin B
，所
sin a sin(θ - a) 1
以 ， 即 sinasin( θ -A)=sin( θ -a)sinA ， 等 价 于 - [cos( θ -A+a)-cos( θ -A-a)]=
sin A sin(θ - A) 2 1
- [cos(θ -a+A)-cos(θ -a-A)]，等价于 cos(θ -A+a)=cos(θ -a+A)，因为 0<θ -A+a ，θ -a+A< π . 所以只有 2
θ -A+a=θ -a+A ，所以 a=A ，得证。
b 2 +
c 2 - a 2
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ? cos A =
，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
2bc
（ 1 ） 斯 特 瓦 特 定 理 【 了 解 】 ： 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 边 上 任 意 一 点 ， BD=p ， DC=q ， 则
AD 2=
b 2 p +
c 2 q
p + q
- pq . （1）
【证明】 因为 c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ∠ADB ， 所以 c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos ∠ADB. ① 同理 b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ∠ADC ， ② 因为 ∠ ADB+ ∠ ADC= π ，
所以 cos ∠ ADB+cos ∠ ADC=0， 所以 q ×①+p ×②得
qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即 AD 2=
b 2 p +
c 2 q p + q
- pq .
注：在（1）式中，若 p=q ，则为中线长公式 AD =
（ 2 ） 海 伦 公 式 ： 因 为 S 2 1
C
4
2b 2 + 2c 2 - a 2
. 2 1 b 2c 2sin 2A= b 2c 2 4 (1-cos 2A)=
1
4 b 2c 2
? (b 2 + c 2 - a 2 ) 2 ? 1 ? ? 16
这里 p =
a +
b +
c 2
.
所以S =p (p -a)(p -b )(p -c).
uv sin (α+β)= uwsin α+ 因为 O 1G ⊥ BC ，O 2D ⊥ BC ，所以只需证 1 = , = = , = = ? 例 5
设 a, b, c ∈R +，且 abc+a+c=b ，试求
P = 2
二、基础例题【必会】
1．面积法
例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足 ∠POQ = α , ∠QOR = β ，另 外 OP ，OQ ，OR 的长分别为 u, w, v ，这里 α，β，α+β∈(0, π )，则 P ，Q ，R 的共线的充要条件是
sin β sin α sin(α + β )
+ = . u v w
【证明】P ，Q ，R 共线 ? S
= 0 ? S ΔPQR
? 1 1 1
vwsin β
2 2 2
?OPR = S ?OPQ + S ?ORQ
sin(α + β ) sin β sin α
? = +
w u v
，得证。
2．正弦定理的应用
例 2 如图所示，△ ABC 内有一点 P ，使得 ∠ BPC- ∠ BAC= ∠ CP A- ∠ CBA= ∠ APB- ∠ ACB 。 求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。
【证明】 过点 P 作 PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，PF ⊥ AB ，垂足分别为 D ，E ，F ，则 P ，D ，C ，E ；P ，E ， A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以∠ EDF= ∠ PDE+ ∠ PDF= ∠ PCA+ ∠ PBA= ∠ BPC- ∠ BAC 。由题 设及 ∠ BPC+ ∠ CP A+ ∠ APB=3600 可得 ∠ BAC+ ∠ CBA+ ∠ ACB=1800。
所以 ∠ BPC- ∠ BAC= ∠ CP A- ∠ CBA= ∠ APB- ∠ ACB=600。 所以 ∠ EDF=600，同理 ∠ DEF=600，所以△ DEF 是正三角形。
所以 DE=EF=DF ，由正弦定理，CDsin ∠ ACB=APsin ∠ BAC=BPsin ∠ ABC ，两边同时乘以△ ABC 的 外接圆直径 2R ，得 CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：
例 3 如图所示，△ ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2 相切，直线 GF 与 DE 交于 P ，求证：PA ⊥ BC 。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M ，
GM O A AF
= = . MD AO AE
2
AP AF P A AE
由正弦定理 ，
sin(π - ∠1) sin α sin(π - ∠2) sin β
AE sin ∠1 sin β
所以 = ? .
AF sin ∠2 sin α
GM PM MD PM
另一方面， ，
sin α sin ∠1 sin β sin ∠2
GM sin ∠2 sin α
所以 ，
MD sin ∠1 sin β 所以 GM AF =
MD AE
，所以 P A//O 1G ，
即 PA ⊥ BC ，得证。
3．一个常用的代换：在△ ABC 中，记点 A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z ，则 a=y+z, b=z+x, c=x+y .
例 4 在△ ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y ，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)
≥ 8 xy ? yz ? zx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)-2abc.
所以 a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。 2 3
- + 的最大值。
a 2 + 1
b 2 + 1
c 2 + 1
?
1 ?
2 10 当且仅当 α+β= ，sin γ= ，即 a= 时，P max = .
【证明】 设 a=sin 2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β∈ 0, ? .
从而 β ∈ 0, ? ，所以 sin 2β>|cos 2α·cos 2β|.
= [1-cos 22β+(1-cos 22α)cos 4βcos2β] = + cos2β(cos 4β-cos 22αcos 4β-cos2β) > + cos2β(cos 4β-sin 4β-cos 2β)= .
2 2 2 4 【解】 由题设 b = a + c
1 - ac
，令 a=tan α, c=tan γ, b=tan β,
则 tan β=tan(α+γ), P=2sin γsin(2α+γ)+3cos 2γ≤ 10 3 - 3 s in γ - ? ≤ ? 3 ? 3 ，
π 1 10 , b = 2, c =
2 3 3
1
例 6 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求证: a 2+b 2+c 2+4abc< .
2 ? π ?
? 2 ?
1
因为 a, b, c 为三边长，所以 c<
, c>|a-b|，
2
? π ?
? 4 ?
因为 1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca), 所以 a 2+b 2+c 2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin 2βcos 2β+sin 2αcos 2α·cos 4β·cos2β 1
4
1 1
4 4 1 1 1
4 4 4
1
所以 a 2+b 2+c 2+4abc< .
2
三、趋近高考【必懂】
A b + c 9
= =
1．（全国 10 高考）在△ABC 中，cos 2 2 2c 10 ，c ＝△5，求 ABC 的内切圆半径．
b +
c 9
=
【解析】：∵ c ＝5， 2c
10 ，∴ b ＝4 A 1 + cos A b + c
= =
又 cos 2 2
2 2c b
∴ cosA ＝ c
b 2 +
c 2 - a 2
又 cosA ＝
2bc
∴
b 2 +
c 2 - a 2 b
=
2bc c
∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2
∴ △ABC 是以角 C 为直角的三角形．
a ＝ c 2 -
b 2
＝3
n n 1
∴ △ABC 的内切圆半径 r ＝ 2 (b ＋a -c)＝1．
2．（全国 10 高考）R 是△ABC 的外接圆半径，若 ab ＜4R 2cosAcos △B ，则外心位于 ABC 的外部．
【解析】：∵ ab ＜4R 2cosAcosB
由正弦定理得 a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ∴ 4R 2sinAsinB ＜4R 2cosAcosB ∴ cosAcosB ＞sinAsinB ∴ cosAcosB -sinAsinB ＞0 ∴ cos(A ＋B)＞0
∵ cos(A ＋B)＝-cosC ∴ -cosC ＞0 ∴ cosC ＜0
∴ 90°＜C ＜180°
∴ △ABC 是钝角三角形
∴ 三角形的外心位于三角形的外部．
3．（全国 10 高考）半径为 R 的圆外接于△ABC ，且 2R(sin 2A -sin 2C)＝( 3 a -b )sinB ． (1)求角 C ；
(2)求△ABC 面积的最大值．
【解析】：(1)∵
a b c
= = = 2R
sin A sin B sin C
a c b
∴ s i 2n A = ( ) 2 , s i 2 C = ( ) 2 , s i B
= 2R 2R 2R
∵ 2R(sin 2A -sin 2C)＝( 3 a － b )sinB
a c b
∴ 2R ［( 2 R )2-( 2 R )2］＝( 3 a -b )· 2 R ∴ a 2-c 2＝ 3 ab -b 2
∴
a 2 +
b 2 -
c 2 3
=
2ab 2
3
∴ cosC ＝ 2 ，∴ C ＝30°
1 1
R 2
(2)∵ S ＝ 2 absinC ＝ 2 ·2RsinA ·2RsinB ·sin C ＝R 2sinAsinB
＝- 2 ［cos(A ＋B)-cos(A -B)］
R 2 R 2 3 ＝ 2 ［cos(A -B)＋cosC ］ ＝ 2 ［cos(A -B)＋ 2 ］
当 cos(A-B)＝1 时，S 有最大值
第二章 数列
*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。因此同学要熟练百
倍！
S n = n (a + a )
= na + d ；3）a n -a m =(n -m)d ，其中 n , m 为正整数；4）若 n +m=p +q ，则 a n +a m =a p +a- 2 2
a
定理 3 *****【必考】等比数列的性质：1）a n =a 1q n-1；2）前 n 项和 S ，当 q ≠
1 时，S =
；当 1 - q
例 2 已知数列{a n }满足 a 1= ,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项 a n .
1
a
1 所以 a 2= ，a 3= 3 ?
2 32 - 1
3 ?
4 n (n + 1)
证明；1）当 n =1 时，a 1= ，猜想正确。2）假设当 n ≤k 时猜想成立。
一、基础知识【理解去记】
定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列 {a n }的一般形式通常记作 a 1, a 2, a 3,…，a n 或 a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中 a 1 叫做数列的首项，a n 是关于 n 的具 体表达式，称为数列的通项。
定理 1 若 S n 表示{a n }的前 n 项和，则 S 1=a 1, 当 n >1 时，a n =S n -S n-1. 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n ，都有 a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。 若三个数 a, b , c 成等差数列，即 2b =a +c ，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为 d, 则 a =b -d, c =b +d. 定理 2 *****【必考】等差数列的性质：1）通项公式 a n =a 1+(n -1)d ；2）前 n 项和公式：
n (n - 1) 1 n 1 q ；5）对任意正整数 p , q ，恒有 a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若 A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充
要条件是 S n =An 2+Bn.
定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n ，都有 a
n +1 = q ，则{a }称为等比数列，q 叫做公比。
n
n
a (1 - q n ) 1 n n
q =1 时，S n =na 1；3）如果 a, b , c 成等比数列，即 b 2=ac(b ≠
0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若 m+n =p +q ，
则 a m a n =a p a q 。
定义 4 极限，给定数列{a n }和实数 A ，若对任意的 ε >0，存在 M ，对任意的 n >M(n ∈N ),都有|a n -A |< ε ， 则称 A 为 n →+∞时数列{a n }的极限，记作 lim a n = A.
n →∞
定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比 q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前 n 项
和 S n 的极限（即其所有项的和）为 -1q （由极限的定义可得）。
定理 4 数学归纳法：给定命题 p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当 p (n )时 n =k 成立时能推出 p (n )对 n =k +1 成立，则由（1），（2）可得命题 p (n )对一切自然数 n ≥n 0 成立。
【补充知识点】
定理 5 第二数学归纳法：给定命题 p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当 p (n )对一切 n ≤k 的自然数 n 都成 立时（k ≥n 0）可推出 p (k+1)成立，则由（1），（2）可得命题 p (n )对一切自然数 n ≥n 0 成立。
定理 6 对于齐次二阶线性递归数列 x n =ax n-1+b x n-2，设它的特征方程 x 2=ax +b 的两个根为α ,β :(1)若α ≠ β ， 则 x n =c 1a n-1+c 2β n-1，其中 c 1, c 2 由初始条件 x 1, x 2 的值确定；(2)若α =β ，则 x n =(c 1n +c 2) α n-1，其中 c 1, c 2 的值由 x 1, x 2 的值确定。
二、基础例题【必会】
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的 普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）； ）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…； 3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n .
1 2
【解】 因为 a 1= 1 2
,又 a 1+a 2=22·a 2,
1 a + a 1 1
1 2 = ,猜想 a = (n ≥1).
n
1 2 ?1
当 n =k +1 时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k+1)2-1] a k +1,，
+ + +
=k(k+2)a k +1, 即1 - + - + + - =k(k+2)a k +1,
所以 =k(k+2)a k +1,所以 a k +1= 例 3 设 01.
a 1 + a 1 + a 1 + a
q 2 a 2
2 2
2 ) = q [a 2 +a (pq +qa )]=q ( a 2 + pa q 2 2 2
所以 1 1 1
2 ? 1
3 ? 2 k ? (k + 1)
1 1 1 1 1
2 2
3 k k + 1
k k + 1 1
(k + 1)(k + 2)
.
由数学归纳法可得猜想成立，所以 a =
n 1 n (n + 1)
.
1 a
n
【证明】 证明更强的结论：1 2)假设 n =k 时，①式成立，即 1 1 1 1 + a + a 2 1 + a 1 + a > a = + a ≥ + a = > = 1. k +1 k 由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法 数列的通项 a n 或前 n 项和 S n 中的 n 通常是对任意 n ∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n +1 或 n -1 等，这种 办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{a n }满足 a n +p a n-1+qa n-2=0, n ≥3， ≠ 0，求证：存在常数 c ，使得 a n +1 + pa n +1 · n + qa n + cq n = 0. 【证明】 a 2 + pa n +1 n +1 ·a n+1+ qa n +1 = a n +2 (p a n +1+a n +2)+ qa n +1 =a n +2·(-qa n )+ qa n +1 = q (a 2 - a a n +1 n n +2 n +1 n n +1 n n +1 n +1 a + qa 2 ). n n 若 a 2 + pa a + qa 2 =0，则对任意 n , a 2 + pa 2 2 1 1 n +1 n +1 a + qa 2 =0，取 c =0 即可. n n 若 a 2 + pa a + qa 2 ≠ 0，则{ a 2 + pa 2 2 1 1 n +1 n +1 a + qa 2 }是首项为 a 2 + pa a + qa 2 ，公式为 q 的等比数列。 n n 2 2 1 1 所以 a 2 + pa a + qa 2 = (a 2 + pa a + qa 2 ) ·q n . n +1 n +1 n n 2 2 1 1 1 取 c = -(a 2 + pa a + qa 2 ) · 即可. 2 1 2 1 综上，结论成立。 例 5 已知 a 1=0, a n +1=5a n + 24a n + 1 ，求证：a n 都是整数，n ∈N +. 【证明】 因为 a 1=0, a 2=1，所以由题设知当 n ≥1 时 a n +1>a n . 又由 a n +1=5a n + 24a n + 1 移项、平方得 a 2 - 10a a n +1 n n +1 + a 2 - 1 = 0. ① n 当 n ≥2 时，把①式中的 n 换成 n -1 得 a 2 - 10a a n n n -1 + a 2 - 1 = 0 ，即 n -1 a 2 - 10a a n +1 n n +1 + a 2 - 1 = 0. ② n 因为 a n-1 a n-1=10a n (n ≥2). 再由 a 1=0, a 2=1 及③式可知，当 n ∈N +时，a n 都是整数。 ****3．数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例 6 已知 a n = 1 4 n + 2100 (n =1, 2, …)，求 S 99=a 1+a 2+…+a 99. 【解】 因为 a n +a 100-n = 1 1 2 ? 2100 + 4 n + 4100-n 1 + = = 4 n + 2100 4100-n + 2100 4100 ? 2 + 2100 (4 n + 4100-n ) 2100 ， 1 99 99 99 . 所以 S 99= 2 2 2100 2101 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n (n + 1)(n + 2) = 2 ? k (k + 1) (k + 1)(k + 2) ?? 2 ??1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ?? 2 ?? 2 (n + 1)(n + 2) ?? ? 2 n ? 2 2 2 23 2 4 2 5 2 6 2 n 2 2 2 23 2 4 25 + + + n -2 2 2 2 ? 2 2 2 2 n -2 ?? - 2 n +1 2 2 4 故设 a n =(α +β n )·2n-1，其中 ?3 = α + β ， 所以 a n =α ·3n +β ·(-1)n ，其中 ?3 = 3α - β ， n 100-n n =1 例 7 求和： S = + +…+ n 1 1 1 . 【解】 一般地， 1 k + 2 - k = k (k + 1)(k + 2) 2k (k + 1)(k + 2) 1 ? 1 1 ? - ? ， n 所以 S n = ∑ k =1 1 k (k + 1)(k + 2) = = 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? - + - + + - 1 ? 1 1 ? - 1 1 = - . 4 2(n + 1)(n + 2) ? a ? 例 8 已知数列{a n }满足 a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n , S n 为数列 ? n ? 的前 n 项和，求证：S n <2。 【证明】 由递推公式可知，数列{a n }前几项为 1，1，2，3，5，8，13。 1 1 2 3 5 8 a 因为 S = + + + + + + + n ， ① n 所以 1 1 2 3 5 S = + + + n + + a n 2 n +1 。 ② 由①-②得 1 1 1 ? 1 1 a S = + 2 n ? a ? n ， 所以 1 1 1 S = + S n n -2 - a 2 n +1 n 。 又因为 S n-2 a n >0, 2 n +1 1 1 1 1 1 所以 S < + S , 所以 S < ， 2 n 2 4 n 4 n 2 所以 S n <2，得证。 4．特征方程法 例 9 已知数列{a n }满足 a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ，求 a n . 【解】 由特征方程 x 2=4x-4 得 x 1=x 2=2. ?6 = (α + 2β ) ? 2 所以α =3，β =0， 所以 a n =3·2n-1. 例 10 已知数列{a n }满足 a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ，求通项 a n . 【解】由特征方程 x 2=2x +3 得 x 1=3, x 2=-1, 4 a a ? a ? n -1 + 1?. 即 + 1 = 2 a a ? n -2 令 b n = a +1，则{ b n }是首项为 +1=2，公比为 2 的等比数列， 所以 b n = a 所以 a n = · n -1 … 2 · 1 ·a 0= ∏ (2 k - 1) 2 . 1 注： ∏ C 例 12 已知数列{x n }满足 x 1=2, x n +1= ,n ∈N +, 求通项。 因为 x 1=2, x n +1= n 2 由①÷②得 n +1 - 2 x + 2 >0， 由③可知对任意 n ∈N +， x - 2 x + 2 >0 且 lg ? ?? x ? 所以 lg ?? x - 2 ? ? 是首项为 lg ? ? ，公比为 2 的等比数列。 ? x + 2 ?? ? 2 + 2 ? x + 2 2 + 2 ? ?? 解得α = 3 3 ，β = - ， 4 4 1 所以 a = [3n +1 + (-1) n +1 ·3]。 n 5．构造等差或等比数列 例 11 正数列 a 0,a 1,…,a n ,…满足 a n a n -2 - a a n -1 n -2 =2a n-1(n ≥2)且 a 0=a 1=1，求通项。 【解】 由 a a n n -2 - a a n -1 n -2 = 2a a n n -1 a - 2 n -1 =1， a n -2 n n -1 ? ? a n n -1 a 1 a a n n -1 a +1=2n ，所以 n =（2n -1）2， a n -1 a a a a n n a a a a n -1 n -2 k =1 n i = C 1·C 2·…·C n . i =1 x 2 + 2 n 2x n x 2 + 2 x 2 + 2 【解】 考虑函数 f(x)= 的不动点，由 =x 得 x = ± 2. 2 x 2 x x 2 + 2 2x n ,可知{x n }的每项均为正数。 又 x n +2≥ 2 2x n ，所以 x n +1≥ 2 (n ≥1)。又 X n +1- 2 = X n +1+ 2 = x 2 + 2 n 2 x n x 2 + 2 n 2 x n - 2 = + 2 = ( x - 2) 2 n 2x n ( x + 2) 2 n 2x n , ① , ② x x + 2 n +1 ? x - 2 ? 2 =? n ? 。 ③ ?? x n + 2 ?? 又 x - 2 1 1 n n ? x n +1 n +1 - 2 ? ? x - 2 ? ? = 2 lg ? n ? , + 2 ?? ? x n + 2 ?? 所以 lg n = 2 n -1 · lg ? ? ，所以 n =? ? n (2 + 2) - (2 - 2) 2 2 2 2 2 2 6 【解析】：（1）由 ??S = 98， ，即 ? ， ? 1 ? 11 2 3 （2）由 ?a > 0， ，得 ?a ≥ 6， ? ?a 1 + 10d > 0， ， ?a ≥ 6， ? 解得 x = 2 · (2 + 2) 2n -1 + (2 - 2) 2n -1 n 2n -1 2n -1 。 注意：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、趋近高考【必懂】 1.（2010.北京）设 f (n) = 2 + 24 + 27 + 210 + + 23k +10 ，则 f (n ) = （ ）． （A ） 2 2 (8n - 1) （B ） (8n +2 - 1) 7 7 2 2 （C ） (8n +3 - 1) （D ） (8n +4 - 1) 7 7 解析：数列2，4，7，10 ，…，2 3n +10 是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，给出的这个数列共有(n + 4) 项， 根据等比数列的求和公式有 S = n 2(8n +4 - 1) 2 = (8n +4 - 1) ．选（D ）． 8 - 1 7 2.（2010.广东）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正 三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按下图所 示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n ) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) = _____； f (n ) = =_____（答案用 n 表示）． 【解析】：观察归纳， f (3) = 6 + 3 + 1 = 10 ； 观察图示，不难发现第 n 堆最底层（第一层）的乒乓球数 a = 1 + 2 + 3 + + n = n n (n + 1) 2 ，第 n 堆的乒乓球总数相当于 n 堆乒乓球的底层数之和， 1 1 n (n + 1) n (n + 1)(n + 2) 即 f (n ) = a + a + a + + a = (12 + 22 + 32 + + n 2 ) + = 1 2 3 n 品：数列求和，无论等差还是等比数列，分清项数及规律都尤为重要． 3.（2010.北京）设等差数列{a } 的首项 a 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 S ． n 1 n ． （1）若 a = 0，S 11 14 = 98 ，求数列{a } 的通项公式； n （2）若 a ≥ 6，a > 0，S ≤ 77 ，求所有可能的数列{a } 的通项公式． 1 11 14 n ? 2a + 13d = 14， 14 1 a = 0， a + 10d = 0 ， 解得 d = -2，a = 20 ． 1 因此，{a } 的通项公式是 a = 22 - 2n ，n = 1，，， ； n n ?S ≤ 77， ? 14 11 1 ?2a + 13d ≤11， ? 1 1 即?-2a-20d<0， ?1 ?-2a≤-12.(3) ? 由①+③，得13d≤-1，即d≤-． 所以- 23 }{b}{c 232 3 23 23 n+2． ?2a+13d≤11，(1) (2) 1 1 由①+②，得-7d<11，即d>-11 7．1 13 111 713 又d∈Z，故d=-1． 将d=-1代入①、②，得10 1 又a∈Z，故a=11或a=12． 111 所以，数列{a}的通项公式是a=12-n或a=13-n，n=1，，，． n n n 品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法． 4.（2010.江苏）设数列{a，，}满足b=a-a，c=a+2a n n n n n n+2n n n+1+3a n+2 (n=1，，，)，证明{a}为等差数列的充要条件是{c}为等差数列且b≤b(n=1，，，…)．n n n n+1 【解析】：必要性：设{a}是公差为d的等差数列， n1 则b n+1-b=(a n n+1 -a n+3 )-(a-a n n+2 ) =(a n+1-a)-(a n n+3 -a n+2 )=d-d=0． 11 易知b≤b n n+1 (n=1，，，)成立． 由递推关系c n+1-c=(a n n+1 -a)+2(a n n+2 -a n+1 )+3(a n+3 -a n+2 )=d+2d+3d=6d 1111 （常数）（n=1，2，3，…）． 所以数列{c}为等差数列． n 充分性：设数列{c}是公差为d的等差数列，且b≤b n2n n+1 (n=1，，，)， ∵c=a+2a n n n+1+3a n+2 ，① ∴c n+2=a n+2 +2a n+3 +3a n+4 ，② 由①-②，得c-c n n+2=(a-a n n+2 )+2(a n+1 -a n+3 )+3(a n+2 -a n+4 )=b+2b n n+1 +3b ∵c-c n n+2=-2d， 2 ∴b+2b n n+1+3b n+2 =-2d，③ 2 23 23 -a=1 222 n+1 ，② 从而有b n+1+2b n+2 +3b n+3 =-2d，④ 2 ④-③，得(b n+1-b)+2(b n n+2 -b)+3(b n+1n+3 -b n+2 )=0，⑤ ∵b n+1-b≥0，b n n+2 -b n+1 ≥0，b n+3 -b n+2 ≥0， ∴由⑤得b n+1-b=0(n=1，，，)，n 由此不妨设b=d(n=1，，，)， n3 则a-a n n+2=d（常数）．3 由此c=a+2a n n n+1+3 a n+2 =4a+2a n n+1 -3d． 3 从而c n+1=4a n+1 +2a n+2 -3d，两式相减得c 3n+1 -c=2(a n n+1 -a)-2d． n3 因此a n+1(c-c)+d= d+d（常数）（n=1，2，3，…），即数列{a}为等差数列． 品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公式． 5.（2010.福建）已知数列{a}满足a=1，a n1n+1=2a+1． n （1）求数列{a}的通项公式； n （2）若4k1-14k2-14k n-1=(a+1)k n，b=k，证明{b}是等差数列． n n n n 【解析】：（1）∵a n+1=2a+1(n∈N*)，∴a n n+1 +1=2(a+1)． n ∴{a+1}是以a+1=2为首项，2为公比的等比数列．n1 ∴a+1=2n，即a=2n-1； n n （2）∵4k1-14k2-1…4k n-1=(a+1)k， n 利用{a}的通项公式，有4(k1+k2+ n +k n)-n=2nk n． ∴2[(b+b+ 12构建递推关系2[(b+b+ 12 ②－①，得 +b)-n]=nb．① n n +b+b)-(n+1)]=(n+1)b n n+1 (n-1)b n+1-nb+2=0，③n 从而有nb n+2-(n+1)b n+1 +2=0，④ 数学必修5第11页共18页 (a + b )(b + c)(c + a) ? c a b ? a + b 【证明】 左边-右边= x 2+y 2+z 2 - 2 ab ? b a c b ? 2 ? a c ? 2 b + c x + c + a y + c + a y - a + b z + a + b z - b + c x ≥ 0. 故 {b } 是等差数列． n [方法：]由递推式求数列的通项，常常构造新的辅助数列为等差或等比数列，用迭代法、累加法或累乘法 求其通项． 第三章 不等式 一、基础知识【理解去记】 ***【必会】不等式的基本性质： （1）a>b ? a-b>0； （2）a>b, b>c ? a>c ； （3）a>b ? a+c>b+c ； （4）a>b, c>0 ? ac>bc ； （5）a>b, c<0 ? ac （7）a>b>0, n ∈N + ? a n >b n ; （8）a>b>0, n ∈N + ? （9）a>0, |x|a ? x>a 或 x<-a; n a > n b ; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b |≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0 ? a 2+b 2≥2ab; （12）x, y, z ∈R +，则 x+y ≥2 xy , x+y+z ≥ 33 xyz. 因为前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6）因为 a>b>0, c>d>0，所以 ac>bc, bc>bd ，所以 ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性 质（8），用反证法，若n a ≤ n b ，由性质（7）得 (n a ) n ≤ (n b ) n ，即 a ≤b ，与 a>b 矛盾，所以假设不成 立，所以 n a > n b ；由绝对值的意义知（ 9）成立； -|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以 -(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以 |a+b |≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b -b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11） 显然成立；下证（12），因为 x+y-2 xy = ( x - y ) 2 ≥0，所以 x+y ≥ 2 xy ，当且仅当 x=y 时，等号成 立 ， 再 证 另 一 不 等 式 ， 令 3 x = a, 3 y = b , 3 z = c ， 因 为 x 3+b 3+c 3-3abc =(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc =(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= 1 2 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以 a 3+b 3+c 3≥3abc ，即 x+y+z ≥ 33 xyz ，等号当且仅当 x=y=z 时成立。 二、基础例题【必会】 1．不等式证明的基本方法。 （1）比较法，在证明 A>B 或 A 最后得出结论。 A B （A ，B>0）与 1 比较大小， 例 1 设 a, b, c ∈R + ， 试 证 ： 对 任 意 实 数 x, y, z, 有 x 2+y 2+z 2 ≥ 2 abc b + c c + a ? xy + yz + xz ?. ? - 2 2 bc xy - 2 yz (b + c)(c + a) (a + b )(c + a) ca b ab a c xz = x 2 - 2 xy + y 2 + y 2 - (a + b )(b + c) b + c (b + c)(c + a) c + a c + a bc b a ca c yz + z 2 + z 2 - 2 xz + x 2 = (a + b )(c + a) a + b a + b (a + b )(b + c) b + c ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以左边≥右边，不等式成立。 例 2 若 a =|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x) >log (1-x)(1-x)=1（因为 0<1-x 2<1，所以 >1-x>0, ≥ ≥ + ≥ ≥ + ≤ + ≤ k +1 ⅰ）x ≥y ≥z ，则 1 【 解 】 因 为 1-x ≠ 1 ， 所 以 log a (1-x) ≠ 0, | log (1 + x) | 1 1 a | log (1 - x) | 1 + x 1 + x a 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|. （2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为： 要证……，只需证……。 例 3 已知 a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-3 3 abc ≥a+b - 2 ab . 【证明】 要证 a+b+c - 33 c ? a ? b ≥a+b - 2 ab . 只需证 c + 2 ab ≥ 33 abc ， 因为 c + 2 ab = c + ab + ab ≥ 33 c ? a ? b = 33 abc ，所以原不等式成立。 1 例 4 已知实数 a, b, c 满足 0 2 2 1 1 ≤ + . c(1 - c) a(1 - b ) b (1 - a) 1 【证明】 因为 0 2 1 1 1 所以 ， a(1 - a) b (1 - b ) c(1 - c) 1 1 2 2 所以 ， a(1 - a) b (1 - b ) b (1 - b ) c(1 - c) 1 1 1 1 所以只需证明 ， a(1 - a) b (1 - b ) a(1 - b ) b (1 - a) a - b a - b 也就是证 ， a(1 - a)(1 - b ) b (1 - a)(1 - b ) 只需证 b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。 （3）数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n . 【证明】 1）当 n=3 时，因为 34=81>64=43，所以命题成立。 (k + 1) k +2 k k +1 2）设 n =k 时有 k k+1>(k+1)k ，当 n=k+1 时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即 >1. 因为 > 1 ， (k + 2) k +1 (k + 1) k 所以只需证 (k + 1) k +2 k k +1 > (k + 2) (k + 1) k ，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证 k 2+2k +1>k 2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。 n-1). 例 6 设实数 a 0, a 1,…,a n 满足 a 0=a n =0，且 a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证 a k ≤0(k=1, 2,…, 【证明】 假设 a k (k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设 a r 是 a 1, a 2,…, a n-1 中第一个出现的正数， 则 a 1≤0, a 2≤0,…, a r -1≤0, a r >0. 于是 a r -a r -1>0，依题设 a k+1-a k ≥a k -a k -1(k=1, 2, …, n-1)。 所以从 k=r 起有 a n -a k -1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r -1>0. 因为 a n ≥a k -1≥…≥a r +1≥a r >0 与 a n =0 矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。 例 7 已知 x, y, z ∈R +，求证： x 2 - y 2 y 2 - z 2 z 2 - x 2 + + ≥ 0. y + z z + x x + y 【证明】 不妨设 x ≥y, x ≥z. 1 1 ≤ ≤ ，x 2≥y 2≥z 2，由排序原理可得 x + y x + z y + z x 2 y 2 z 2 y 2 z 2 x 2 + + ≥ + + ，原不等式成立。 y + z z + x x + y y + z z + x x + y ⅱ）x≥z≥y，则 1 1111?11??111? ? 2?44? 例9已知a,b,c△是ABC的三条边长，m>0，求证： a ??= k? 1+k1+k 11 ≤≤，x2≥z2≥y2，由排序原理可得 x+z x+y y+z x2y2z2y2z2x2 ++≥++，原不等式成立。 y+z z+x x+y y+z z+x x+y （6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1,C1≥C2,…,C n-1≥C n,C n>B(n∈N+). 111 例8求证：1+++ + 232n-1 【证明】1+++ +>1++ +?+ + ++ +?232n-12n2n2n? - 1 2n n-11n =1+->，得证。 22n2 2n-1 b c +>. a+m b+m c+m a b a b a+b m 【证明】+>+==1- a+m b+m a+b+m a+b+m a+b+m a+b+m m c >1-= c+m c+m（因为a+b>c），得证。 （7）引入参变量法。 例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数，求f(x,y)= a3 x2 + b3 y2的最小值。 【解】设=k，则x=,y=，f(x,y)= x l2y l kl(1+ k)2 ? ? a3+ ? 1 1 1 1 l 2 k k ?? 2 ，等号当且仅当 = 时成立。所以 f(x, y)min = 2 【 证 明 】 设 x 1=k(x 2+x 3+x 4) ， 依 题 设 有 ≤k ≤1, x 3x 4≥4 ， 原 不 等 式 等 价 于 (x 2+x 3+x 4) ≤x 2x 3x 4，因为 f(k)=k+ 在 ? ,1? 上递减， 所以 (x 2+x 3+x 4)= (k + + 2) (x 2+x 3+x 4) ≤ ·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. b 3 ? 2 ? ? ? a 3 + b 3 + a 3 k + a 3 k + b 3 ? + b 3 ? + b 3 ? + a 3 k 2 ? ≥ k ? ? 1 l 2 (a 3+b 3+3a 2b+3ab 2)= (a + b ) 3 a b (a + b ) 3 l x y l 2 . 例 11 设 x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4x 1x 2x 3x 4. 1 3 (1+k)2(x 2+x 3+x 4)2≤4kx 2x 3x 4(x 2+x 3+x 4)，即 (1 + k ) 2 1 ? 1 ? 4k k ? 3 ? (1 + k ) 2 1 1 4k 4 k 1 3 + + 2 3 4 所以原不等式成立。 （8）局部不等式。 例 12 已知 x, y, z ∈R +，且 x 2+y 2+z 2=1，求证： x y z + + 1 - x 2 1 - y 2 1 - z 2 3 3 ≥ . 2 数学必修 5 第 14 页 共 18 页 同理 b 2( c 2 + 1 - c) 【证明】 先证 x 3 3 ≥ x 2 . 1 - x 2 2 因为 x(1-x 2)= 1 2 ? 2 x 2 (1 - x 2 ) 2 ≤ 1 ? 2 ? 3 2 ?? ? = , 2 ? 3 ? 3 3 x x 2 x 2 3 3 所以 = ≥ = x 2 . 1 - x 2 x(1 - x 2 ) 2 2 3 3 同理 y 1 - y 2 3 3 ≥ y 2 ， 2 z 3 3 ≥ z 2 ， 1 - z 2 2 x y z 3 3 3 3 所以 + + ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = . 1 - x 2 1 - y 2 1 - z 2 2 2 例 1 3 已知 0≤a, b, c ≤1，求证： a b c + + bc + 1 ca + 1 ab + 1 ≤2。 a 2a 【证明】 先证 ≤ . ① bc + 1 a + b + c 即 a+b+c ≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc ≥a. 因为 0≤a, b, c ≤1，所以①式成立。 2b c 2c ≤ , ≤ . ca + 1 a + b + c ab + 1 a + b + c 三个不等式相加即得原不等式成立。 （9）利用函数的思想。 例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)= 1 1 1 + + a + b b + c c + a 的最小值。 5 5 【解】 当 a, b, c 中有一个为 0，另两个为 1 时，f(a, b, c)= ，以下证明 f(a, b, c) ≥ . 不妨设 a ≥b ≥c ， 2 2 3 2c a + b 1 则 0≤c ≤ , f(a, b, c)= + + . 3 c 2 + 1 c 2 + 1 a + b (a + b ) 2 因为 1=(a+b)c+ab ≤ +(a+b)c ， 4 解关于 a+b 的不等式得 a+b ≥2( c 2 + 1 -c). 考虑函数 g(t)= t 1 + , g(t)在[ c 2 + 1,+∞ ）上单调递增。 c 2 + 1 t 3 又因为 0≤c ≤ ，所以 3c 2≤1. 所以 c 2+a ≥4c 2. 所以 2 ( c 2 + 1 - c) ≥ c 2 + 1. 3 所以 f(a, b, c)= 2c a + b 1 + + c 2 + 1 c 2 + 1 a + b ≥ = 2c 2( c 2 + 1 - c) 1 + + c 2 + 1 c 2 + 1 2c c 2 + 1 + c + c 2 + 1 c 2 + 1 = 2 2 - + c 2 + 1 ? + 2 ? c 2 + 1 ? = + + . - c ? ≥0 ? c ≤ . 所以 f(a, b, c) ≥ ，所以 f(a, b, c)min = . （1）【只需了解】柯西不等式：若 a i ∈R, b i ∈R, i=1, 2, …, n ，则 (∑ a 2 )(∑ b 2 ) ≥ (∑ a b ) 2 . ∑ a (∑ a ) 2 (∑ b ) 2 变式 2：设 a , b 同号且不为 0(i=1, 2, …, n)，则 ∑ b (∑ a ) 2 ∑ a b 1 1 n n = n n ? 1 ? c 3 c 2 + 1 ? c 3 c 2 + 1 5 3(1 - c 2 + 1) c ≥ 4 + - 2 2 2 2 2 ? 3 ? 3 下 证 3(1 - c 2 + 1) + c ≥ 0 ① ? 3 + c ≥ 3 c 2 + 1 ? c 2+6c+9≥9c 2+9 ? c ? 4 ? 4 因为 c ≤ 3 3 < ，所以①式成立。 3 4 5 5 2 2 2．几个常用的不等式——《选修 4-5 不等式选讲》 n n n i i i i 等号当且仅当存在 λ∈R ，使得对任意 i=1, 2, , n, a i =λb i , i =1 i =1 i =1 变式 1：若 a i ∈R, b i ∈R, i=1, 2, …, n ，则 ( n 2 i b i =1 i ) ≥ n i =1 n i i . 等号成立条件为 a i =λb i ,(i=1, 2, …, n)。 i i i =1 n a i ≥ i =1 i n i =1 n i i i . i =1 等号成立当且仅当 b 1=b 2=…=b n . （2）【必会】平均值不等式：设 a 1, a 2,…,a n ∈R +，记 H n = 1 + + + a a a 1 2 n , G n = n a 1 a 2 a n , A n = a + a + + a a 2 + a 2 +a 2 1 2 n , Q 1 2 n ， 则 H ≤G ≤A ≤Q . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤ - k k 例 15 已知 a 1, a 2,…,a n ∈R +，求证； a a a a , n + a ≥2a n . a a a n -1 a 1 2 n n n n 平方平均。 其中等号成立的条件均为 a 1=a 2=…=a n . 【证明】 由柯西不等式得 A n ≤Q n ，再由 G n ≤A n 可得 H n ≤G n ，以下仅证 G n ≤A n . 1）当 n=2 时，显然成立； 2）设 n =k 时有 G k ≤A k ，当 n=k+1 时，记 1+k a 1 a 2 a k a k +1 =G k+1. 因为 a 1+a 2+…+a k +a k+1+(k -1)G k+1≥ k k a 1 a 2 a k + k k a k +1 ? G k -1 k +1 ≥ 2k 2k a a a 1 2 k +1 G k +1 = 2k 2k G 2+1 = 2kG k+1, 所以 a 1+a 2+…+a k+1≥(k+1)G k+1，即 A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式： a 2 a 2 a 2 a 2 1 + 2 + + n -1 + n ≥ a +a +…+a . 1 2 n 2 3 n 1 a 2 a 2 a 2 a 2 【证明】证法一：因为 + a ≥ 2a , + a ≥ 2a ，…， n -1 + a ≥ 2a 1 1 3 2 n 1 2 3 n 1 数学必修 5 第 16 页 共 18 页 a ? a 2 a 证法二：由柯西不等式 1 + 2 + + n -1 + n ?? (a +a +…+a )≥(a +a +…+a )2， a ? 1 2 a 因为 a 1+a 2+…+a n >0，所以 1 + 2 + + n -1 + n ≥a 1+a 2+…+a n . 证法三： 设 a 1, a 2, … ,a n 从 小 到 大 排 列 为 a ≤ a ≤ ≤ a 1 1 1 i n a + a + + a =a 1+a 2+…+a n ≥ i 【解析】原不等式等价于 ? ， x + 1 ≠ 0 由题意 ?0 ≤ x ≤ 6 且 x 、y ∈Z ?0 ≤ y ≤ 4 3 （D ） - 上述不等式相加即得 a 2 a 2 1 + 2 + + a a 2 3 a 2 n -1 + a n a 2 n ≥a +a +…+a . 1 2 n 1 ? a 2 a 2 a 2 a 2 ? n 1 2 n 3 n 1 a a a ≤ ≤ ≤ ，由排序原理可得 a a a a i n i i n -1 1 a 2 a 2 a 2 a 2 1 + 2 + + n -1 + n ，得证。 i 1 2 i n a a a a 2 3 n 1 注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。 三、趋近高考【必懂】 1.（成都市 2010 届高三第三次诊断理科）不等式 (A){x|－1≤x ≤2} (B) {x|－1＜x ≤2} (C){x|－1≤x ＜2} (D){x| －1＜x ＜2} 【答案】B [ ?( x + 1)(x - 2) ≤ 0 ? ] x - 2 x + 1 ≤ 0 的解集为（ ） 解得－1＜x ≤2 2.（成都市 2010 理）某物流公司有 6 辆甲型卡车和 4 辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送 280t 货物 的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为 30t ，运输成本费用为 0.9 千元；每辆乙型卡车每天的运输量为 40t ，运输成本为 1 千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【答案】C 【解析】设需要甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆 ?30 x + 40 y ≥ 280 ? ? 运输成本目标函数 z ＝0.9x ＋y y 4 z ＝0.9x ＋y A 6 3x ＋4y ＝28 x 画出可行域(如图)可知，当目标函数经过 A(4,4)时，z 最小 7.6 千元 及需要甲型卡车和乙型卡车各 4 辆。 3.(绵阳 2010 年)把圆 C ： x 2 + y 2 = 1 2 按向量 a =(h ，-1)平移后得圆 C 1，若圆 C 1 在不等式 x +y +1 ≥0 所确定的平面区域内，则 h 的最小值为（ A ） （A ）1 （B ）-1 （C ） 3 3 3 必修五综合测试题 一．选择题 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11 ()2 n n a a n N +=+ ∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 2．2 1与21，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1 C ． 1 D ． 12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．0 30 B ．0 60 C ．0120 D ．0 150 4．在⊿ABC 中， B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 5.已知n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列{}n b 中， 若783b b ?=， 则3132log log b b ++…… 314 log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知数列 是等差数列，若，且它的前n 项和有最大值，则使得 的n 的最大值为 A. 11 B. 12 C. 21 D. 22 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 11．已知关于x 的不等式的解集为，则 的最大值是 绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； 人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案 数学必修5试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ） Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101 2.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为（ ） A ． 2 1 B ．23 C.1 D.3 3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101 4.已知0x >，函数4 y x x = +的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 5.在等比数列中，112a =，12q =，132 n a =，则项数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.不等式2 0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ） A. 0,0a ?≥ D. 0,0a >?> 7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为（ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ?中,80,100,45a b A ? ===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ） 2A. 3 2B.-3 1C.-3 1D.-4 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲 （全册完整版） 第一章：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为AB C ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?=== sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R ?= == ::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： 222222 2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? 222 222222 cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、三角形内角和定理： 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =- 222()C A B π?=-+. 5、一个常用结论： 在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2 A B A B A B π ==+=则或特别注意，在三角函数中， sin sin A B A B >?>不成立。 第二章：数列 1、数列中n a 与n S 之间的关系： 1 1,(1),(2). n n n S n a S S n -=?=? -≥?注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2 a b A +?= ⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()() 11122 n n n n n a a S na d -+=+ = ⑸常用性质： ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列； 《必修五知识点整理》 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：①2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半 径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③ sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤ sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 图 形 关 系 式 解 的 个 数 A 为 锐 角 ①sin a b A = ②a b ≥ 一 解 sin b A a b << 两 解 sin a b A < 无 解 A 为钝角或直角 b a > 一 解 b a ≤ 无 解 4、任意三角形面积公式为： 2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2 ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C ==== =---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2 n 9．如果a ＜b ＜0，那么( )． 高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数 2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列 2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式 高一数学月考试题 1．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知数列{a n }中， a 1 2 ， a n 1 a n 1 2 (n N ) ， 则 a 101 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 2． 2 + 1 与 2 - 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ． - 1 C ． ± 1 D ． 1 2 3．在三角形 ABC 中，如果 a b c b c a 3bc ，那么 A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ．120 0 D ．150 0 4．在⊿ABC 中， c cos C b cos B ，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知 { a n } 是等差数列，且 a 2+ a 3+ a 10 + a 11 =48，则 a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列b n 中，若b 7b 83， 则 log 3 b 2 …… log 3 b 14 等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知 a , b 满足： a =3， b =2， a b =4，则 a b =( ) A ． 3 B ． 5 C ．3 D 10 8.一个等比数列{a n } 的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1 ＝2a n ＋1(n ∈N + )，那么 a 4 的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝ 6 ，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大 小 ( )． * 0 r r r r r r r r 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2） sin sin a b A B = sin c C = 等价于 sin sin a b A B = ， sin sin c b C B = ， sin a A = sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+ 066.2=； 根据正弦定理， 00 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理， 等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 北师大版数学必修五教材分析 高三一轮复习已经进入中期,刚刚复习完不等式、数列及解三角形部分,在此将所涉及的教材必修五进行简要的分析。本册教材包含:解三角形、数列、不等式三章内容。具体课时分配如下:第一章解三角形8课时 第二章数列12课时 第三章不等式16课时 本模块的地位和内容: 解三角形在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模中,学生该在已有的知识的基础上,通过多任意三角形边角关系的探究,发展并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系,并认识到运用它们可以理解一些与测量和几何计算有关的实际问题。 数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握他们一些几门数量关系,感受这两种数列模型的管饭运用,并利用他们解决一些实际问题。 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学探究的重要内容。建立不等观念,处理不等式关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中,学生将通过具体情境,感受,在现实世界和 日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组对于刻画不等式的意义和价值:掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式方程及函数之间的联系。 “解三角形”的主要内榕树介绍三角形的正,余弦定理,及其简单应用。旨在通过对任意三角形变与角之间的探索,掌握正弦定理,余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理,余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 正弦定理,余弦定理,常作为解斜三角形的工具,有时也用于立体几何中的求三角形的边,角的计算中。在三角形中,常与三角函数的有关公式的相连联系,解决相关问题。另外,解三角形问题与知识综合,且在实际中应用广泛,因而是高考观察的一个热点,题型一般为选择题,填空题,也可能在中档解答题中出现。 知识点串讲 必修五 第一章：解三角形 1．1．1正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 2、已知?ABC 中，∠A 060=，a 求 sin sin sin a b c A B C ++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解：设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C == 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C ++++=k 又sin a A =2k ==，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2 评述：在?ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。 3、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） 1.1.2余弦定理 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2+-=b c a A bc 222 cos 2+-=a c b B ac 高中数学必修5 命题人：魏有柱 时间：100分钟 一、选择题 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（） （A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() （A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A ． B ． C ． D ． 4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5．△ABC 中，cos cos A a B b =，则△ABC 一定是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于() A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 7.在△ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8．若110a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 () A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( ) 必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 [提出问题] 如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2. 问题1：求△ABC的其他边和角． 提示：B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝ 3. 问题2：试计算 a sin A， b sin B， c sin C的值，三者有何关系？ 提示：a sin A＝2，b sin B＝3 sin 60°＝2， c sin C＝2，三者的值相等． 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A＝a c， ∴a sin A＝c. ∵sin B＝b c，∴ b sin B＝c. ∵sin C＝1，∴a sin A＝ b sin B＝ c sin C. 问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝3， 则AD＝ 3 2，CD＝ 3 2， BC＝3·AB＝3，∠BAC＝120°. 问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足． 问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：成立． [导入新知] 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A＝ b sin B＝ c sin C. 2．解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形． [化解疑难] 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. [例1]在△ [解]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由 b sin B＝ a sin A得b＝ a sin B sin A＝ 8×sin 60° sin 45°＝46， 由 a sin A＝ c sin C得c＝ a sin C sin A＝ 8×sin 75° sin 45°＝ 8× 2＋6 4 2 2 ＝4(3＋1)． ∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)． 编者：大成 审核：程倩 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．在△ABC 中，若a = 2 ,b =,30A = , 则B 等于( ) A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或 150 2．在等比数列{n a }中,已知9 1 1= a ,95=a ，则=3a ( ) A ．1 B ．3 C ． 1± D ．±3 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ． 81 B ．120 C ．168 D ．192 4.已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( ) .170 C 6．已知等比数列{}n a 的公比13 q =-，则 1357 2468 a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.1 3 D.3 7．设b a >，d c >，则下列不等式成立的是（ ）。 A.d b c a ->- B.bd ac > C.b d c a > D.c a d b +<+ 8．如果方程02)1(2 2=-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1，另一个大于1，那么实数 m 的取值范围是（ ） A ．)22(，- B ．（－2，0） C ．（－2，1） D ．（0，1） 9．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7}，B ={x |2 340x x -->}，且A B = R ，则实数a 的取值范围( ) A. 4a ≥ B.4a ≥- C. 4a ≤ D. 14a ≤≤ 11.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23 a b +的最小值为（ ） A. 256 B.256 C.6 D. 5 12.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ） A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．在ABC ?中, 若2 1 cos ,3- ==A a ,则ABC ?的外接圆的半径为 _____. 14．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22 _________。 15．若不等式022 >++bx ax 的解集是?? ? ??-31,21，则b a +的值为________。 16．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和 S n = ___________ 。 三、解答题 17．（12分）在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 18．（12分）在△ABC 中，0120,ABC A a S ===c b ,. 19．（12分）21.某种汽车购买时费用为16．9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车高中数学必修五测试题
高中数学必修五综合测试题(卷) 含答案解析
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案.doc
高中数学必修五测试题含答案
2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲(全册完整版)
高中数学必修五知识点整理【经典最全版】
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
高中数学必修5试题及详细答案
高中数学必修5教材电子课本(人教版)
高中数学必修五测试题含答案
人教版高中数学必修5期末测试题
高中数学必修5测试题(基础)
高中数学必修五全套教案
(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题
S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____北师大版数学必修五教材分析
高中数学必修五知识点大全
北师大版高中数学必修5综合测试题及答案
(word完整版)高中数学必修五数列测试题
S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )人教版高中数学必修五教材用书 word
高中数学必修5测试题(含答案)
相关主题
文本预览