高中数学必修五综合练习

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

第一部分必修五三角函数知识点整理第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,⇒ 222A B C π+=-⇒sin cos 22A B C+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ........................... A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π;22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ∆外接圆的直径)2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章 解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角．答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A.答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析 在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5.答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a2－2a22·a ·3a＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a2＋3a2－a 22·2a ·3a＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定 解析 由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinAa ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°.答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32.∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3.答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35.答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3.答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( ) A ．0.5 km B ．1 km C ．1.5 kmD.32km 解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝ACtan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A.答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析 由B ＝A ＋60°，得sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA.又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA.即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0， ∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案 30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______. 解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴103＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8.答案 60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a2b＝sinA2sinB， ∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B. 则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求： (1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32.19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值 ②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

一、填空题（共14题，每题4分共70分）1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________.2．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是________．4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h ，15nmile/h ，则下午2时两船之间的距离是________nmile.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＝3sin C ，B ＝30°，b ＝2，则△ABC 的面积是________．6．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为________． 7.在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进103m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________m.图88．如图8，已知A，B两点的距离为100nmile，B在A的北偏东30°方向，甲船自A以50nmile/h 的速度向B航行，同时乙船自B以30nmile/h的速度沿方位角150°方向航行，航行________h，两船之间的距离最小．9．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为________．10．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 nmile/h.图1111．如图11所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A、B间的距离是________m.12．某海岛周围38nmile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile 后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．13．在△ABC 中，若AB ＝AC ，则cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围为________．14．在三角形ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，c ＝2，C ＝π3，记m ＝(sin C ＋sin(B －A )，2)，n ＝(sin2A,1)，若m 与n 共线，则△ABC 的面积为________．二、解答题（本题共6题，共90分）15．(14分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．16.（14分）如图16，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100m.(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．图1617．(15)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c ＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．18．(5分)如图18，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20km和50km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km/s.设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；图1819．(16分)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)20．(16分)已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且a cos C＋c cos A＝2b cos B.(1)求角B的大小；(2)求sin A＋sin C的取值范围．。

一元二次不等式及其解法（选择题：一般）1、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或2、关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A． B． C． D．5、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．6、已知集合则 ( )A． B． C． D．7、关于的不等式()的解集为,且,则（）A． B． C． D．8、已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．11、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B．(-∞,2］ C． D．12、若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．413、若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是A． B． C． D．14、不等式的解集是（）A． B．C． D．15、不等式的解为（）A． B． C． D．16、已知不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．17、不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A． B． C． D．18、关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B． C． D．19、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．20、不等式的解集是（）A． B． C． D．21、对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(-∞,2) B．(-∞,2］C．(-2,2) D．（-2,2］22、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．23、设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x成立，则下列关系中成立的是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=φ24、若实数，且，满足，，则代数式的值为（）A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或2025、若实数，且满足，，则代数式的值为（）A．-20 B．2 C．2或-20 D．2或2026、已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A． B． C． D．27、若为的解集，则的解集为()A．或 B．C． D．或28、若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）29、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则的取值范围是( ) A．或 B．或C．或 D．或30、已知集合，，则（）A． B． C． D．31、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．32、已知集合，，则A． B． C． D．33、已知集合，，则A． B． C． D．34、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )A．6 B．7 C．9 D．1035、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或36、若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．37、不等式的解集是（）A． B． C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．1440、对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．41、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．42、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a-b等于（）A．-10 B．10 C．-14 D．1443、当时，不等式恒成立，则k之的取值范围是（）A． B． C． D．（0，4）44、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =245、若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为()A．{x|x<2或x>3} B．{x|2<x<3}C． D．46、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．47、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是()A．(-∞,2] B．(1,+∞) C．(-∞,2) D．[1,+∞)48、函数的定义域是()A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4<x<3}C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}49、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－50、不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或51、当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)52、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]53、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)54、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．55、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．56、不等式的解集为A． B． C．R D．57、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－58、二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D.59、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、若关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．61、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]62、不等式的解集是 ( )A． B．C． D．63、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．64、设，=,C U A=,则m的取值范围是（）A．[0， ) B．{0} (，+)C．(-，0] D．( -，0] (，+)65、关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2） B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+） D．（-，1）（2，+）66、当x>0时，若不等式x2+ax+4≥0恒成立，则a的最小值为（）A．-2 B．2 C．-4 D．467、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．68、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．69、函数的定义域为_______________．70、关于x的不等式的解集中，恰有个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、C2、A3、B4、D5、B6、C．7、A8、B9、A10、C11、D12、A13、A14、D15、C16、A17、B18、C19、B20、A21、D22、B23、C24、A25、A26、A27、D28、A29、D30、B31、D32、A33、A34、C35、C36、D37、D38、B39、A40、A41、B42、A43、C44、B45、D46、C47、A48、C49、C50、C51、C52、C53、D54、B55、A56、A57、C58、C59、A60、D61、C62、B63、A64、A65、C66、C67、A68、A69、70、D【解析】1、求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2、试题分析：原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以，解得，故选A.考点：一元二次不等式3、由题意可知的两个根为，不等式即为，解不等式得解集为.考点：三个二次之间的关系.4、当时，恒成立；当时，有解得，所以.考点：不等式恒成立问题.5、试题分析：由已知可得是方程的两根．由根与系数的关系可知，，．代入不等式解得．考点：本题考查一元二次不等式的解法．6、试题分析：解得，，故选C．考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．7、试题分析：由得，，所以.所以选A. 考点：1.含参的二次不等式的解法.8、不等式等价于，令，由得在上是减函数，时，取最大值，故选B.9、不等式对于恒成立，(1)时，不等式成立；当时，，；综上可知：的取值范围是.10、，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.11、首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4<0,恒成立；当时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零，，且两种情况并到一起，得到a的范围为。

高中数学必修5课后习题答案(共10篇)高中数学必修5课后习题答案（一）: 人教版高一数学必修5课后习题答案课本必修5,P91练习2,P93习题A组3和B组3,全部都是线性规划问题, 生产甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2023元。

甲乙产品都需要A、B两种设备上加工，每台A、B设备上加工1件甲设备工时分别为1h，2h，加工乙设备工时2h,1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h，如何安排生产可使收入最大？2.电视台应某企业之约播放两套电视剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，广告时间1分钟，收视观众20万。

已知和电视台协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，二电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间。

如果你是电视台制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得更高的收视率？P91练习 2 答案：解设每月生产甲商品x件,生产乙商品y件,每月收入z元,目标函数z=3X+2y,需要满足的条件是：x+2y≤400 2X+y≤500 x≥0 y≥0作图略作直线z=3x+2y,当直线经过A点时,z 取最大值解方程组{x+2y=400 2x+y=500 可取点A 《200,100》所以z的最大值为800高中数学必修5课后习题答案（二）: 高一人教版数学必修5课后习题答案知道下列各项·写出同项公式1,√2/2,1/2,√2/4 1/4关于数列问题1,√2/2=1*√2/2,1/2=1*（√2/2）^2,√2/4=1*(√2/2)^31/4=1*(√2/2)^4……所以是以首项为1,公比为√2/2的等比数列An=(√2/2)^（n-1）高中数学必修5课后习题答案（三）: 高中数学必修5课后习题1.1A组第一第二题答案要有步骤解三角形A=70° B=30° c=20cm b=26cm c=15cm C=23° a=15cm，b=10cm，A=60° b=40cm，c=20cm，C=25°1.180°--70° --30° =80°所以角C=80°然后用正弦定理2.还是正弦定理3.还是正弦定理4.还是正弦定理很简单的正弦定理a比上sinA=b比上sinB=c比上sinCa是边长,A是角高中数学必修5课后习题答案（四）: 数学必修五课后习题答案数学必修五第五页（也可能是第四页）课后习题答案,要有解题过程,大神们呐,帮帮我吧参考书里没有解题过程!2在三角形ABC中，已知下列条件，解三角形(1)a=20cm,b=11cm,B=30°(2)c=54cm,b=39cm,C=115°画图题2个题做法基本一样比如第1小题,先根据已知角度画出已知角B,然后以角点B为圆心,以20为半径画圆弧,和B的某一线相交一点C,再以该点为圆心,以11cm为半径画圆弧,和B角的另一角边相交,这样得到A点,到此,三角形就画好了.高中数学必修5课后习题答案（五）: 数学必修5练习x^2-(2m+1)x+m^2+m分析x -(2m+1)x+m +m高中数学必修5课后习题答案（六）: 高一数学必修5解三角形正弦定理课后练习B组第一题(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;高中数学必修5课后习题答案（七）: 高二数学必修5答案,人民教育出版社的,习题2—3A的练习题,P51页,急用,我的同学瞧不起我,我非要做个全对不可,可我数学一点都不好,我不想就这样被同学踩在脚底下,希望谁有答案,帮忙写一下,拜托了,我先拿30分,不够的话,再说.看看这个,参考参考.高中数学必修5课后习题答案（八）: 高中数学必修5第三章不等式复习参考题答案【高中数学必修5课后习题答案】有本书叫《中学教材全解》,是陕西出版社的金星教育那上面有详细的解答准确度很高同时发几个网址,看有没有你需要的高中数学必修5复习题及答案（A组）人教版高中数学必修模块（1-5）全部精品课件集高中数学必修5课后习题答案（九）: 高一数学作业本必修5的题目..11.(1)已知x＞0,y>0．且(1/x)+(9/y)=1.求x+y的最大值．（2）已知x【高中数学必修5课后习题答案】11.(1) (1/x+1/y)*(x+y)=1+9+9x/y+y/x=10+9x/y+y/x9x/y+y/x>=2√9x/y*y/x1/x+9/y>=16(2)y=4x-5+1/(4x-5)+3>=2√(4x-5)*1/(4x-5）+3>=5(3)跟第一题是一样的,就是除以xy,答案是18高中数学必修5课后习题答案（十）: 人教版数学必修5习题2.2B组1答案求高中数学必修5的40页B组第一题的答案.（1）从表看出,基本是一个等差数列,d=2023,a2023=a2023+8d=0.26x10^5,在加上原有的9x10^5,答案为：9.26x10^5.(2)2023年底,小于8x10^5hm略。

模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B3．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 4．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 0005．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B ．13C ．1D ．729．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－1010．(2019·河南信阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( )A.53 B ．32 C.43D ．5411．(2018·武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h12．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ．14．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前4项和为 ．16.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝ .三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－ax x ＋1>a ＋5的解集．18．(12分)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．20．(12分)(2019·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．21．(12分)(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13.(1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量为1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2018年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.故选A.解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6. ∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.故选D. 解析：选B 依据题设条件，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1或sin A ＝0(舍去)， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．故选B.7．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14 B ．15 C.16 D ．17解析：选A根据题中所给约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m所得的可行域如图．根据y ＝－2x ＋z 可知z 的几何含义为直线在y 轴上的截距．显然y ＝－2x ＋z 在点(1,1)和(m ，m )处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m ，故3＝4·3m ，解得m ＝14. 故选A.解析：选D ∵3a ＝2b ，∴b ＝32a ， 由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72.故选D.解析：选A∵数列{a n }是等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，由题意知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的首项为－9，公差为1，∴S n n ＝n －10，∴S 1010＝0，∴S 10＝0.故选A.解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.解析：选B 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×20t ×600×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)．故选B. 解析：选B ∵不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．故选B.解析：原不等式变形为x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，其在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)<0， 即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1441－14＝85128. 答案：8512815．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是 ．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2， 当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 答案：1解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ，∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝562. 答案：562解：(1)依题意可得，ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2， 由根与系数的关系得，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2. (2)将a ＝－2代入不等式得，1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得，－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1， 则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解； 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ， 由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332. 解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0， 当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18. 故T 5＝13，T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94. 又cos A ＝13，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324. 解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2018年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。

主视图6侧视图高中数学必修模块综合测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =A ．{0,1}B ．{10}-，C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}--2. 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。

在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为A ．20B ．24C ．30D ．36 3. 已知实数列1,,,,2a b c 成等比数列，则abc 等于（ ） A ．4 B ．±4 C ．22 D ．±22 4. 过点(1,1),(1,1)A B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程是A ．22(3)(1)4x y B. 22(3)(1)4x y C ．22(1)(1)4x yD. 22(1)(1)4x y5. 已知向量a 与b 的夹角为120，且||1a b ==||，则||a b -等于 A ．1 BC ．2D ．3 6.已知1,4,20,x y x y y -≥-+≤-≥则24x y +的最小值是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．13 7. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 （单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为 A ．212cm π B. 215cm π C. 224cm π D. 236cm π 8.设,x yR 则“2x 且2y”是“224x y ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件9. 若23x <<，12xP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log Q x =，R =则P ，Q ，R 的大小关系是 A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R <<10. 一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为 AB ．34 CD ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.sin(30)sin(30)cos的值为 .12. 如右图所示，函数()2x f x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .13. 若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ．14. 已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ， 该数列的通项公式n a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.（本题满分12分）有四个数，已知前三个成等比数列，且和为19,后三个成等差数列，且和为12,求此四数。

一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．12．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．33．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+4．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．6．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．47．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦D ．[ 8．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 10．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．15．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.16．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.17．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.19．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．20．已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________.三、解答题21．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值. 22．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 23．已知函数()243f x ax ax =--(1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意的x ∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a 的取值范围.24．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 25．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2()3f x a <．26．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z yx =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当34b a b a =，即3133,46a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.6．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．7．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

一元二次不等式及其解法（填空题：一般）1、设的解集为，则实数的取值范围是______.2、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.3、已知关于的不等式的解集为，则等于．4、设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .5、不等式组的解集是 .6、若关于的不等式的解集，则的值为_________．7、已知关于的方程有两根，且，求实数的取值范围__________．8、在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则__________9、关于x的方程x2－2tx＋t－1＝0的两个根中的一个根在(－2,0)内，另一根在(1,2)内，则实数t的取值范围是________.10、不等式的解集为________.11、设关于的不等式的解集为，已知，则实数的取值范围是________.12、已知，，若，则的值是___________13、下列命题正确命题的序号是：___________.①三角形中，若,则；②的解集是；③是数列的前项和，若，则；④是数列的前项和，若,则数列是等比数列.14、不等式的解集为__________．15、若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_______.16、若关于的不等式的解集为，则的值为__________．17、不等式的解集为________.18、若不等式的解集为｛x|2<x<3｝，则不等式的解集为________。

19、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．20、关于的不等式的解集是，则的取值范围是__________.21、已知不等式的解是，则=________，=________。

22、关于的不等式的解集，则的值为_________.23、已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．24、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.25、若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________．26、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.27、在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比，则的取值范围是________.28、已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )A．B．C．D．29、若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。

第二节 均值不等式题型87、利用均值不等式求函数最值❖ 知识点摘要：1. 均值不等式：如果+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）。

2. 均值不等式特例：21,0≥+a a a ＞；2≥+ab b a （b a ,同号）。

3. 均值不等式变形： ①2)(222b a b a +≥+（沟通两和b a +与两平方和22b a +的不等关系式）； ②222b a ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22b a +的不等关系式）； ③22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （沟通两积ab 与两和b a +的不等关系式）。

4. 不等式串： 2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（+∈R b a ,），既： 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值。

5. 均值定理：已知+∈R y x ,， 如果S y x =+（定值），则4222S y x xy =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤（当且仅当y x =时取“=”），即“和为定值，积有最大值”； 如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”），即“积为定值，和有最小值”。

87.1.利用均值不等式求函数的最值，要注意条件的验证❖ 典型例题精讲精练：1. （2010·重庆）已知0＞t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为 。

2. （2004·湖北）已知25≥x ，则函数4254)(2-+-=x x x x f 有（ ） A .最大值45 B .最小值45 C .最大值1 D .最小值13. （2008·重庆）函数1)(+=x x x f 的最大值为 。

4. （2010·山东）对任意实数0＞x ，a x x x ≤++132恒成立，求a 的范围是 。

87.2、“1”的变换5. （2007·上海）若+∈R y x ，，且14=+y x ，则xy 的最大值是 。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章综合素质能力检测及讲评备选练习一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．) 1．a、b∈R，下列命题正确的是()A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b22．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x＞5或x＜－1}C．{x|－1＜x＜5}D．{x|－1≤x≤5}4．若a＞b＞0，全集U＝R，A＝{x|ab＜x＜a}，B＝{x|b＜x＜a ＋b2}，则(∁U A )∩B 为( )A ．{x |b ＜x ≤ab }B ．{x |ab ＜x ＜a ＋b2} C ．{x |b ＜x ＜a ＋b2}D ．{x |x ＜a ＋b2或x ≥a }5．不等式x ＋(a －1)y ＋3＞0表示直线x ＋(a －1)y ＋3＝0( ) A ．上方的平面区域 B ．下方的平面区域C ．当a ＞1时表示上方的平面区域，当a ＜1时表示下方的平面区域D ．当a ＜1时表示上方的平面区域，当a ＞1时表示下方的平面区域6．已知方程x 2＋2x ＋2a ＝0和x 2＋2(2－a )x ＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜12或a ＞4 B ．0≤a ＜12或a ＞4 C ．0＜a ≤12或a ≥4 D.12＜a ≤47．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m 、n 、p 的大小顺序是( )A ．m ≥n ＞pB ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p 8．(2011·福州模拟)设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a <15B ．a ＜－1C ．a ＜－1或a ＞15 D ．a ＞159．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 10．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则( ) A ．m ＜n B ．m ＞n C ．m ＝nD ．不能确定11．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12 C ．2D ．－512．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、G 、H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．不等式x 2－px －q ＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，则不等式qx 2－px －1＞0的解集是__________________．14．若点(x ，y )在第一象限，且在直线2x ＋3y ＝6上移动，则log 32x ＋log 32y 的最大值是__________．15．不等式(m ＋1)x 2＋(m 2－2m －3)x －m ＋3＞0恒成立，则m 的取值范围是__________．16．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＜12x －2y ＜05x －4y ＞0x 、y ∈N下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)求函数f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1(x ＜－1)的最大值及相应x 的值．18．(本小题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2＜1 .19．(本小题满分12分)某汽车运输公司，购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)的关系为二次函数(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大？20．(本小题满分12分)已知x 、y 都是正数，则满足x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值，并求出此时x 、y 的值．21．(本小题满分12分)已知实数a 、b 、c 满足ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥1.22．(本小题满分14分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，y ≥－4，－4x ＋3y ≤12，4x ＋3y ≤36，(1)求目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值与最大值． (2)求目标函数z ＝－4x ＋3y －24的最小值与最大值． 详解答案 1[答案] C[解析] 由不等式的可乘方性质知a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 2[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .3[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5. 4[答案] A[解析] ∵a >b >0，∴b <ab <a ＋b2<a ，∵∁U A ＝{x |x ≤ab 或x ≥a }，B ＝{x |b ＜x ＜a ＋b2}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |b ＜x ≤ab }5[答案] C[解析] 根据B 值判断法知，a －1的符号与不等号一致时，表示直线的上方，故a >1时，表示直线上方，因此选C ；也可以取特值检验，a ＝2时，x ＋y ＋3>0表示直线x ＋y ＋3＝0上方区域(或a ＝0时，x －y ＋3>0表示直线x －y ＋3＝0下方区域)，故排除A 、B 、D ，选C.6[答案] B[解析] △1＝4－8a ，△2＝4(a －2)2－16，由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ △1＞0△2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧△1≤0△2＞0，∴0≤a ＜12或a ＞4. 7[答案] A[解析] 取a ＝1，b ＝4，检验，m ＝4.5，n ＝3，p ＝5，∴m ＞n ＞p 排除C ，D ；又n 2－p 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ＞0，∴n ＞p ，∴选A.8[答案] C[解析] 由题意知f (－1)f (1)＜0， ∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0，∴a ＜－1或a ＞15. 9[答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D.解法2：直接求解化为：2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0 ∴－92≤x ≤1. 10[答案] A[解析] ∵a ＞b ＞0，∴m ＞0，n ＞0，且b ＜ab .m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )＝2(b －ab )＜0∴m 2＜n 2，∴m ＜n .11[答案] A[解析] 作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.12[答案] A[解析] ∵a ，b ∈R ＋∴a ＋b 2≥ab ，∴aba ＋b 2≤1，即2ab a ＋b ≤1，两边同乘以ab ，则2aba ＋b≤ab ， ∴a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b >0.又∵f (x )＝(12)x 是减函数， ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )即：A ≤G ≤H .13[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13[解析] 由条件知，2和3是方程x 2－px －q ＝0的根， ∴p ＝5，q ＝－6，∴不等式qx 2－px －1＞0化为6x 2＋5x ＋1＜0 ∴(2x ＋1)(3x ＋1)＜0 ∴－12＜x ＜－13. 14[答案] 1[解析] 由题意x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴u ＝log 32 x ＋log 32 y ＝log 32 (x ·y )＝log 32 [16(2x ·3y )]≤log 32[16(2x ＋3y 2)2]＝1，等号在2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时成立． [点评] 也可以消元，用二次函数最值求解． 15[答案] [－1,1)∪(1,3)[解析] m ＋1＝0时，m ＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m ＋1≠0时，要使不等式恒成立须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0△<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0(m 2－2m －3)2－4(m ＋1)(－m ＋3)＜0 ， ∴－1＜m ＜3且m ≠1. 综上得－1≤m ＜3且m ≠1. 16[答案] 13[解析] 可行域如图，A (2,2.5)，B (4,2)．由于x ，y ∈N 故可行域内整点有：(1,1)，(2,2)，(3,2) .可见经过(3,2)点时z 取最大值，z max ＝13.17[解析] ∵x ＜－1，∴x ＋1＜0. ∴f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x －1)＋4－x －1＋5 ≤－2(－x －1)·4－x －1＋5＝－4＋5＝1.当且仅当－x －1＝4－x －1，即x ＝－3时取等号．所以当且仅当x ＝－3时，f (x )＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1最大，最大值为1.18[解析] a ＝0时，x ∈R 且x ≠2； a ≠0时，axx －2＜1⇔(a －1)x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0. ∵a ＜1，∴a －1＜0. ∴化为(x －21－a )(x －2)＜0，当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a； 当a <0时，1－a >1，∴21－a <2，∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为{x ∈R |x ≠2}．19[解析] 设二次函数为y ＝a (x －6)2＋11(a ＜0)． 又x ＝4时，y ＝7，∴a ＝－1. ∴二次函数为y ＝－x 2＋12x －25. 设年平均利润为z ，则 z ＝y x ＝－(x ＋25x )＋12≤－2x ·25x ＋12＝2.当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．故每辆客车营运5年，年平均利润最大．20[解析] 解法1：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22·xy 又x ＋2y ＋xy ＝30，令xy ＝t ，则22t ＋t 2≤30，∵t ＞0∴0＜t ≤32，∴0<xy ≤18.当xy ＝18时，∵x ＝2y .∴x ＝6，y ＝3. 因此当x ＝6，y ＝3时，xy 取最大值18. 解法2：由x ＋2y ＋xy ＝30得y ＝30－xx ＋2，∵y ＞0，x ＞0，∴0＜x ＜30 ∴xy ＝(30－x )x x ＋2＝－x 2－30x x ＋2＝－x (x ＋2)－32(x ＋2)＋64x ＋2＝－(x －32)－64x ＋2＝－[(x ＋2)＋64x ＋2]＋34≤－264＋34＝18，等号在x ＋2＝64x ＋2即x ＝6时成立，此时y＝30－66＋2＝3.故当x ＝6，y ＝3时，xy 取最大值18. 21[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥1.22[解析] (1)作出可行域(如图A 阴影部分)． 令z ＝0，作直线l ：2x ＋3y ＝0.当把直线l 向下平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B 时，z ＝2x ＋3y 取得最小值．从图中可以看出，顶点B 是直线x ＝－3与直线y ＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；当把l 向上平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值．顶点 D 是直线－4x ＋3y ＝12与直线4x ＋3y ＝36的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋3y ＝12，4x ＋3y ＝36.可以求得顶点D 的坐标为(3,8)． 所以z min ＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，z max ＝2×3＋4×8＝38. (2)可行域同(1)(如图B 阴影部分)．作直线l 0：－4x ＋3y ＝0，把直线l 0向下平移时，所对应的z ＝－4x ＋3y 的值随之减小，即z ＝－4x ＋3y －24的值随之减小，从图B 可以看出，直线经过可行域顶点C 时，z ＝－4x ＋3y －24取得最小值．顶点C 是直线4x ＋3y ＝36与直线y ＝－4的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，4x ＋3y ＝36，得到顶点C 的坐标(12，－4)，代入目标函数z ＝－4x ＋3y －24，得z min ＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.由于直线l 0平行于直线－4x ＋3y ＝12，因此当把直线l 0向上平移到l 1时，l 1与可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点．此时z max ＝12－24＝－12.讲评备选练习1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定[答案] B[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)． 又a 1，a 2∈(0,1)，则a 1－1<0，a 2－1<0， 则(a 1－1)(a 2－1)>0，则M >N .2．已知变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 画出可行域，如图中的阴影部分所示，由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z 取最大值，此时x ＝1，y ＝0，则z 的最大值是2x ＋y ＝2＋0＝2.3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[0,4)D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C.[点评] 也可以分k ＝0与⎩⎨⎧k >0Δ<0讨论．4．设c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则有( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 、b 的关系与c 的值有关 [答案] B[解析] a ＝1c ＋1＋c ，b ＝1c ＋c －1，∵c >1，∴c ＋1＋c >c ＋c －1>1， ∴a <b .5．(2011·德州高二检测)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－12<x <13}，则a －b 的值为( )A ．－10B ．－14C ．10D ．14[答案] A[解析] 由根与系数的关系知， ⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，(－12)×13＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2，∴a －b ＝－10. 6．(2010·天津理，8)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ， x >0，log 12(－x )， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 2a >log 12a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) [答案] B[解析] 可行域为图中阴影部分，yx －1的几何意义是区域内点与点A (1,0)连线的斜率．当过点A 的直线与l 平行时，斜率k ＝1；当直线过点A 和B (0,1)时，斜率k ＝－1，故欲使过点A 的直线与可行域有公共点，应有k >1或k <－1，故y x －1>1或yx －1<－1.8．不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a 的值为_____．[答案] 12[解析] 由题意知x ＝2是方程axx －1＝1的根，∴a ＝12 .9．已知x ，y 为正实数，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为___________．[答案] 18[解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18.当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6.∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.[点评] 可以消元，消去y ＝2xx －8再用基本不等式求解．10．已知a ＋b ＋c ＝0，求证ab ＋cb ＋ca ≤0.[证明] 若a ＝b ＝c ＝0原结论成立；否则至少有两个不为0，则必至少一正，至少一负，不妨设a >0，c <0由于b ＝－(a ＋c )，∴ab ＋bc ＋ac ＝b (a ＋c )＋ac ＝－(a ＋c )2＋ac <0.综上可知ab ＋bc ＋ac ≤0成立．反馈练习一、选择题1．已知P ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞a ，y ＞b ，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a ＋b ，(x －a )(y －b )＞0，则( )A ．若P 成立，则Q 成立B ．若Q 成立，则P 成立C ．P 与Q 等价D ．P 是否成立与Q 无关系 [答案] C[解析] 若⎩⎪⎨⎪⎧x ＞ay ＞b，由同向可加性得x ＋y ＞a ＋b ，又x －a ＞0，y－b ＞0，∴(x －a )(y －b )＞0；若(x －a )(y －b )＞0，则x －a 与y －b 同号，又x ＋y ＞a ＋b 即(x －a )＋(y －b )＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＞0y －b ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞ay ＞b.2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N[答案] C [解析] N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y＝x ＋y 2＋x ＋y＝M . 3．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1 C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜1且x ≠－1}[答案] D[解析] (1＋x )(1－|x |)＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01－x 2>0或⎩⎨⎧x <0(1＋x )2>0 ⇔x ＜1且x ≠－1.[点评] 也可以用检验的方法：令x ＝0满足排除B ；令x ＝－2满足排除A ，C .4．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中正确的有几个( ) (1)a 2＋1＞a ； (2)(a ＋1a )(b ＋1b )≥4； (3)(a ＋b )(1a ＋1b )≥4； (4)a 2＋9＞6a ； (5)a 2＋1＋1a 2＋1＞2.A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴a 2＋1≥2a ＞a ，∴①正确；(a ＋1a )(b ＋1b )＝(ab ＋1ab )＋(b a ＋ab )≥2＋2＝4，等号在a ＝b 时成立，∴②正确；(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥4.等号在a ＝b 时成立，∴③正确； ∵a 2＋9－6a ＝(a －3)2≥0，∴a 2＋9≥6a .等号在a ＝3时成立，∴④错误；a 2＋1＋1a 2＋1≥2.等号在a ＝0时成立，但a ＞0，∴a 2＋1＋1a 2＋1＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个．5．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≤0[答案] C[解析] 取平面区域内的点(－12，0)检验知，满足y ≥－1，和2x －y ＋2≥0，又x ≤0，排除A 、B 、D ，∴选C.6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3[答案] C[解析] ∵x ∈(0，12]， ∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x .由于函数y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减， ∴在x ＝12处取得最小值52. ∴－(x ＋1x )≤－52. ∴a ≥－52.7．设M ＝a ＋1a －2 (2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．不能确定 [答案] A[解析] ∵2<a <3，∴a －2>0，M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4，N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.5116＝4，∴M ＞N .8．已知f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)、B (3,1)是其图像上的两点，那么| f (x ＋1)|＜1的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，1]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)[答案] A[解析] 由题设知f (0)＝－1，f (3)＝1， 不等式|f (x ＋1)|＜1化为－1＜f (x ＋1)＜1， 即f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)∵f (x )在R 上单调递增，∴0＜x ＋1＜3，∴－1＜x ＜2.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >1)－1(x ≤1)，则不等式xf (x )－x ≤2的解集为( )A ．[－2,2]B ．[－1,2]C ．(1,2]D ．[－2，－1]∪(1,2][答案] B[解析] 不等式xf (x )－x ≤2化为：Ⅰ.⎩⎨⎧x >1x 2－x ≤2或Ⅱ.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1－x －x ≤2由(Ⅰ)得1<x ≤2.由(Ⅱ)得－1≤x ≤1.∴原不等式的解为－1≤x ≤2.10．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[2，＋∞) C ．(0,4] D ．[4，＋∞)[答案] D[解析] 由题设log 2(x ＋y )＝log 2(xy )，∴x ＋y ＝xy 且x ＞0，y ＞0，∴y ＝xx －1＞0，∴x ＞1，∴x ＋y ＝x ＋x x －1＝x －1＋1x －1＋2≥4， 等号在x －1＝1x －1即x ＝2时成立．11．设O 为坐标原点，点M 坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1.则使OM →·ON →取得取大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] D[解析] OM →＝(2,1)，ON →＝(x ，y )，z ＝OM →·ON →＝2x ＋y .画出可行域如图，当直线2x ＋y －z ＝0与直线2x ＋y －12＝0重合时，z 取最大值，此时N 点有无数个．12．下列函数中，最小值是4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 [答案] C[解析] 当x ＜0时，y ＝x ＋4x ≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x 无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4e x 即e x ＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D.二、填空题13．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.[答案] 2[解析] 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2，∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.14．(2012·山东理，13)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法．由|kx －4|≤2可得－2≤kx －4≤2，即2≤kx ≤6，而1≤x ≤3，所以k ＝2.掌握好绝对值不等式的常见解法．[点评] 也可把不等式转化为方程来解决，如由题意可知x ＝1，x ＝3是方程|kx －4|＝2的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧|k －4|＝2|3k －4|＝2，解得k ＝2.15．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折；(3)一次性购物超过300元的一律八折，有人两次购物分别付款80元，252元．如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款_______．[答案] 当第二次购物费超过300元时，应付316元； 当第二次购物费不超过300元时，应付288元．[解析] 该人一次性购物付款80元，据条件(1)、(2)知他没有享受优惠，故实际购物款为80元；另一次购物付款252元，有两种可能，其一购物超过300元按八折计，则实际购物款为2520.8＝315元．其二购物超过100元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为2520.9＝280元．故该人两次购物总价值为395元或360元，若一次性购买这些商品应付款316元或288元．16．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8＞0x ＜0y ＜0表示的平面区域内的整点坐标是__________．[答案] (－1，－1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如下图，可见整点只有(－1，－1)．三、解答题17．设a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝1，求证a 2＋b 2＋c 2≥13.[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )≤3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.18．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞02x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解只有－2，求k 的取值范围． [分析] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此，分别求解两个不等式，就其交集中只有整数－2，求k .[解析] 由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2.方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52＞－k ，即k ＞52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解为－k ＜x ＜－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52. (2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0解集为∅. (3)当－52＜－k ，即k ＜52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解为－52＜x ＜－k .∴不等式组的解集由⎩⎨⎧x ＜－1，－52＜x ＜－k ，或⎩⎨⎧x ＞2，－52＜x ＜－k确定．∵原不等式组只有整数解－2，∴⎩⎨⎧k ＜52，－k ＞－2，－k ≤3.∴－3≤k ＜2.故所求k 的取值范围是{k |－3≤k ＜2}．[点评]－k >－2保证不等式组⎩⎨⎧x <－1－52<x <－k的解集中只含有整数－2；－k ≤3保证⎩⎨⎧x >2－52<x <－k的解集中不含有整数，才能实现原不等式解集中只有整数－2.19．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )(0<x <1)．整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧y －(1.2－1)×1000>00<x <1，即⎩⎨⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13.20．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3sin 2B ＋3sin 2C －2sin B sin C ＝3sin 2A ，a ＝3，求AB →·AC →的最大值．[解析] ∵3sin 2B ＋3sin 2C －2sin B sin C ＝3sin 2A ，由正弦定理得3b 2＋3c 2－2bc ＝3a 2，即3b 2＋3c 2－3a 2＝2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13.∵a ＝3，∴3b 2＋3c 2－2bc ＝9≥6bc －2bc ＝4bc ， ∴bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立． ∴AB →·AC →＝c ·b ·cos A ＝bc 3≤34， 故AB →·AC →的最大值为34.21．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值与最小值．[解析]满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1的可行域如图，将目标函数z＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵截距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0得A (5,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0得B (1,1)， 将A 、B 点坐标代入z ＝2x ＋y 中得，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3.22．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程f (x )－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜1a .(1)当x ∈(0，x 1)时，求证：x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，求证：x 0＜x 12. [证明] (1)令F (x )＝f (x )－x . ∵x 1，x 2是方程f (x )－x ＝0的根， ∴F (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0.又a ＞0， 得F (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )．x 1－f (x )＝x 1－[x ＋F (x )]＝x 1－x ＋a (x 1－x )(x －x 2)＝(x 1－x )[1＋a (x －x 2)]．∵0＜x ＜x 1＜x 2＜1a ，∴x 1－x ＞0,1＋a (x －x 2)＝1＋ax －ax 2＞1－ax 2＞0. 得x 1－f (x )＞0.由此得f (x )＜x 1. ∴x ＜f (x )＜x 1. (2)依题意知x 0＝－b2a .∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的根，即x 1、x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝1－ba ，x 0＝－b 2a ＝a (x 1＋x 2)－12a ＝ax 1＋ax 2－12a . ∵ax 2＜1，∴x 0＜ax 12a ＝x 12.备选题库1．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则( ) A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a[答案] D[解析] 假设a ＞b 即2＞7－3，∴2＋3＞7，平方得6＞1成立，∴a ＞b 排除B 、C.又假设b ＞c ，即7－3＞6－ 2∴7＋2＞6＋3，平方得14＞18显然不成立 ∴b ＜c 排除A.2．已知：0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝log b a ，z ＝log 1ab ，则( )A ．z ＜x ＜yB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜z ＜y[答案] A[解析] y ＝log b a ＞log b b ＝1,0＜x ＝a b ＜a 0＝1，z ＝log 1ab ＜0，∴z ＜x ＜y .3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0a －b >0⇒a 2－b 2>0，故选C.。

高中数学必修三必修五综合测试时间：120 分值：150一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) （1）《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1/3是较小的两份之和，问最小一份为（A ）10 （B ）5 （C ）6 （D ）11（2）不等式()()12-+x x ＞0的解集为（A ）｛x x ＜—2或x ＞1｝ （B ）｛x —2＜x ＜—1｝ （C ）｛x x ＜—1或x ＞2｝ （D ）｛x —1＜x ＜2｝（3）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +等于 （A ）21-（B ）21 （C ）—1 （D ）1（4）数列｛n a ｝满足n a =)1(2+n n ，若前n 项和n S ＞35，则n 的最小值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）已知a ＞0，b ＞0，1=+b a ，则ba 221--的最大值为 （A ）—3 （B ）—4 （C ）41- （D ）29-（6）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（A ）20、18 （B ）13、19 （C ）19、13 （D ）18、20 （7）数列｛n a ｝的通项公式n a =2cos 41πn +，其前n 项和为n S ，则2012S 等于 （A ）1006 （B ）2012 （C ）503 （D ）022011≤--≥+-≥y x y x x 若y ax +的最小值为3，则a 的值为（8）已知点()y x M ,满足 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （9）如图，程序框图所进行的求和运算是 （A ）201...614121++++（B ）191...51311++++ （C ）181...41211++++（D ）103221...212121++++ （10）函数)(x faxex x 1223++ 在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a 的 取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 312 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2ln 31,0（C ）(]0,∞- （D ）⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 31,（11)在R 上定义运算⊗：b a ab b a ++=⊗2，则满足0)2(<-⊗x x 的实数x 的取值范围为（A ）()2,0 （B ）()2,1- （C ）()()+∞-∞-,12,U （D ）()1,2- (12）数列｛n a ｝中，若11=a ，nnn a a a 211+=+，则这个数列的第10项=10a（A ）19 （B ）21 （C ）191 （D ）211 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)（13）锐角三角形的三边分别为3，5，x ，则x 的范围是___________（14）y x ,满足 （15）已知x 与y 之间的一组数据： 则y 与x 的线性回归方程______ (16)若函数tx xt x tx x f ++++=222sin 2)(()0>t 的最大值为M ,最小值为N ,且4=+N M ，则实数t 的值为 ．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(17) (本小题满分10分)已知函数R x x a x x f ∈-+-=,21)( x 0 1 2 3 y1357x (＞0)第9题图(Ⅰ）当25=a 时，解不等式10)(+≤x x f （Ⅱ）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．(18) (本小题满分12分)已知等差数列｛n a ｝首项11=a ，公差为d ，且数列｛n a2｝是公比为4的等比数列 （1）求d ；（2）求数列｛n a ｝的通项公式n a 及前n 项和n S ；（3）求数列｛1.1+n n a a ｝的前n 项和n T（19） (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得 到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为4:2:1．（20) (本小题满分12分)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且满足C a A c cos sin =（1）求角C 的大小；（2）求)cos(sin 3C B A +-的取值范围．(21) (本小题满分12分)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。