晶体的宏观对称性

2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：

2
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T

1.1.5 晶体的宏观对称性 1、几个概念
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m

钻石常见晶形
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为