无锡天一中学2017~2018学年度初三中考四模数学试卷(含答案)

无锡天一中学2017~2018学年度初三中考二模数学试卷2018．4一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．﹣2的绝对值是A ．2B ．12 C ．12- D ．﹣22x 的取值范围是A ．2x ≠B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x >3．下列运算正确的是A ．623a a a ÷=B ．523a a a -=C ．326(3)6a a = D ．3232622()3()a b a b a b -=- 4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是5．若关于x 的方程22x m x -=-的解为x ＝3，则m 的值为A ．﹣5B ．5C ．﹣7D ．76．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲＝610千克，x 乙＝609千克，亩产量的方差分别是S 2甲＝29.6，S 2乙＝2.7．则关于两种小麦推广种植的合理决策是 A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲B ．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C ．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲D ．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙7．世博会某纪念品原价150元，连续两次涨价a %后售价为216元．下列所列方程中正确的是 A ．150(12%)216a += B ．2150(1%)216a +=C ．150(1%)2216a +⨯=D ．2150(1%)150(1%)216a a +++= 8．下列命题中错误的是A ．一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形B ．不在同一直线上的三点确定一个圆C ．三角形的外心到三角形各边距离相等D ．对角线相等的平行四边形是矩形9．在平面直角坐标系中，点A(a ，)是直线y =上一点，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，若P(x ，y )是第一象限内⊙A 上任意一点，则yx的最小值为A ．1BC 1-D 10．如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE ＝x （0＜x ＜2），给出下列判断：①当x ＝1时，点P 是正方形ABCD 的中心；②当x ＝12时，EF ＋GH ＞AC ； ③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是3；④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 周长的值不变．其中正确的选项是A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④第17题 第10题二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上） 11．若分式31x x -+的值为0，则x 的值为 ． 12．分解因式：228x -＝ ．13．粤海铁路是我国第一条横跨海峡的铁路通道，设计年输送货物能力为11 000 000吨，用科学记数法应记为 吨．14则这30名同学每天使用的零花钱的中位数是 元． 15．已知双曲线1k y x-=经过点(﹣2，3)，那么k 的值等于 ． 16．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为 cm²． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为 ．18．如图，在⊙O 中，B ，P ，A ，C 是圆上的点，PB ＝PC ，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，若AC ＝AD ，PD ＝43，sin ∠PAD ＝45，则△PAB 的面积为 ．第18题 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）12(0.5)sin 30----︒； （2）2(2)(3)x x x ---． 20．（本题满分8分）（1）解方程：31144x x x -+=--； （2）解不等式组：1312215(1)6x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩．21．（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE ＝∠DCF ，求证：BE ＝DF ．。

江苏省无锡市2018届数学中考模拟试卷一、选择题1.− 2 的倒数是（ ）A. 2B. 12 C. −12 D. − 2 2.式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. >1B. ≥1C. <1D. ≤1 3.下列运算正确的是（ ）A. a 2·a 3﹦a 6B. a 3+ a 3﹦a 6C. |－a 2|﹦a 2D. (－a 2)3﹦a 6 4.一元二次方程x 2＋5x ＋7=0解的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定 5.若二次函数y ＝(a －1)x 2＋3x ＋a 2－1的图象经过原点，则a 的值必为（ ）A. 1或－1B. 1C. －1D. 0 6.已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ）A. 30cm 2B. 30πcm 2C. 15cm 2D. 15πcm 2 7.如图，AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，∠BOC=70°，则∠ABD=（ ）A. 20°B. 46°C. 55°D. 70°8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝6，BC ＝8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 109.已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数y=√3x(x>0)，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（）A. 4√33B. √3+2 C. 2 √3+1 D. 3√32+110.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A. 2B. 54C. 53D. 75二、填空题11.肥泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学计数法表示为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= √3，则sinA=________．13.因式分解：3x2﹣27=________．14.如图，点D在∠ΑΟΒ的平分线ΟC上，点Ε在ΟΑ上，ΕD//ΟΒ，∠1=25∘，则∠ΑΕD 的度数为________ ∘．15.某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11名成员射击成绩的中位数是________环．16.如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A ，B ，C 三点的拋物线对应的函数关系式是________．17.如图，A 点的坐标为（﹣1，5），B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标为（5，3），D 点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________．18.如图，正方形 ABCD 中，AB=3cm ，以 B 为圆心，1cm 长为半径画☉B ，点 P 在☉B 上移动，连接 AP ，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AP'，连接 BP'，在点 P 移动过程中，BP' 长度的最小值为________cm 。

无锡市 2018 年初三年级数学试题中考模拟考试含答案2018.4一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项 是符合题目要求的， 请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内． ．．．．1．－ 3 的倒数是（）11A ．3B ． 3C ．± 3D ．－ 3 ．2．使 x-2 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ．x > 1 B ． x >2 C ． x ≥ 2 12 D ． x ≥ ．23．下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是 （ ）A ．了解某班同学的体重情况B ．了解我省初中学生的兴趣爱好情况C ．了解一批电灯泡的使用寿命D ．了解我省农民工的年收入情况．4．如左图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（5．方程 2x － 1＝ 3x ＋2 的解为 A．B ．C ．A ．x ＝ 1B ． x ＝－ 1C ． x ＝ 36．如图 A ， D 是⊙ O 上两点， BC 是直径．若∠D=35 ，则∠ OAB A ．35B ． 55 C ． 65D ．70 ）D ．（D ． x ＝－ 3．的度数是（．））7．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．矩形D ．圆．8．如图，直线 a ∥ b ，三角板的直角顶点放在直线b 上，两直角边与直线 a 相交，如果∠ 1=55 °，那么∠ 2 等于（）A. 65°B .55°C .45°D. 35 ．°9．如图， 将正方形 ABCD 的一角折向边CD ，使点 A 与 CB 上一点 E 重合，若 BE =1，CE=2，则折痕 FG 的长度为（ ）A. 10B. 2 2C ． 3D ． 4 ．A ADGD1aF D /COB2bBEC第 8 题图第 6 题图第 9 题图10．经过点 （2，－ 1）作一条直线和反比例函数y2相交， 当他们有且只有一个公共点时，x这样的直线存在（ ）A ． 2 条Ｂ． 3 条 Ｃ．４条Ｄ．无数条．二、填空题（本大题共8 小题，每小题 2 分，共 16 分，不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡的相应位置的横线上）11． 2017 年我市参加中考的人数大约有11000 人，将 11000 用科学记数法表示为．12．因式分解： ab2－ 9a=．13．当x =1时，分式x+2无意义 .k14．若反比例函数 y= x的图像经过点A(2， 5)和点 B（ 1， n），则 n=．15．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为 5cm，则圆柱的侧面积是cm．16．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过 2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48 元/度；全年用电量在2880 度到 4800度之间（含4800），超过2880 度的部分，执行第二档电价标准为0.53元 /度；全年用电量超过 4800 度，超过 4800 度的部分，执行第三档电价标准为0.78 元/度．小敏家 2017年用电量为3000 度，则2017 年小敏家电费为元．17．在四边形 ABCD 中，AD ＝ 4，CD ＝3，∠ ABC＝∠ ACB＝∠ ADC ＝ 45°，则 BD 的长为．D ACB第17 题18．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点 A （ 0，-2）、点 B（ 3m， 4m+1）（m≠-1），点 C（ 6， 2），则对角线B D 的最小值是．三、解答题（本大题共 10 小题，共84 分．请在答题卡题目下方空白处作答，解答时应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分 8 分）计算 :（ 1） tan30o－ (－ 2)2－．（ 2） (2x－ 1)2+( x－2)(x+2) ．20． (本题满分8 分 )（ 1）解方程：1xx－ 3(x－2)≤4，= 2+．（ 2）解不等式组：1+2x＞ x－1．x－ 33－x321. （本题满分 6 分）如图，正方形AEFG的顶点 E、G 在正方形 ABCD的边 AB、AD 上，连接BF 、 DF .(1) 求证： BF=DF ；(2) 连接 CF，请直接写出CF（不必写出计算过程） .的值为BEB CEFAGD22．（本题满分 6 分）某校组织学生书法比赛，对参赛作品按 A、B、C、 D 四个等级进行了评定．现随机取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：分析结果的扇形统计图人数分析结果的条形统计图6048D 级 A 级5020%40C 级302430%B 级2010根据上述信息完成下列问题：B C 等级A D 图①图②（1）求这次抽取的样本的容量；（2）请在图②中把条形统计图补充完整；（ 3）已知该校这次活动共收到参赛作品750 份，请你估计参赛作品达到 B 级以上（即A 级和 B 级）有多少份？23. （本题满分8 分）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：（1)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；（ 2）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，（ 1）求甲伸出小拇指取胜的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；（ 2）求乙取胜的概率.24．（本题满分 8 分）如图，△ ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥ AC 于点 F．（1）试说明 DF 是⊙ O 的切线；（2）若 AC=3 AE，求 tanC．25、（本题满分 10分）今年我市某公司分两次采购了一批第 24 题大蒜，第一次花费40 万元，第二次花费 60 万元，已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500 元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了 500元，第二次采购的数量是第一次采购数量的两倍.（ 1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（ 2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8 吨大蒜，每吨大蒜获利 1000 元；若单独加工成蒜片，每天可加工12 吨大蒜，每吨大蒜获利600 元 . 为出口需要，所有采购的大蒜必须在30 天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半. 为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？226．（本题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ mx +6mx＋n（ m＞ 0）与x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），顶点为 C，抛物线与y 轴交于点 D ，直线 BC 交 y 轴于 E，且△ ABC 与△ AEC 这两个三角形的面积之比为2∶ 3．（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）将△ACO 绕点 C 顺时针旋转一定角度后，点 A 与求抛物线的解析式．B 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，27．（本题满分 10 分）已知，如图，在边长为10 的菱形 ABCD 中， cos∠ B=3，点 E 为 BC 10边上的中点，点 F 为边 AB 边上一点，连接EF，过点 B 作 EF 的对称点 B’，（ 1）在图（ 1）中，用无刻度的直尺和圆规作出点B’（不写作法，保留痕迹）；（ 2）当△EFB ’为等腰三角形时，求折痕EF 的长度．（３）当 B’落在 AD 边的中垂线上时，求BF 的长度．A D A D A DF F FB EC B E C B EC图 1备用图备用图28．（本题满分 10 分）【缘起】苏教版九下56，“如图1，在Rt△中，∠=90°，CDP ABC ACB是△ ABC 的高，则△ ACD 与△ CBD 相似吗？”于是，学生甲发现CD2=AD ·BD 也成立．问题 1：请你证明 CD 2=AD ·BD ；CA D B图 1学生乙从CD2=AD ·BD 中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．问题 2：已知两条线段AB 、BC 在 x 轴上，如图 2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．yA O ( B)Cx图 2学生丙也从 CD 2=AD·BD 中悟出了矩形与正方形的等积作法．问题 3：如图 3，已知矩形 ABCD ，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP ，使得 S 正方形BMNP =S 矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．D CA B图3参考答案与评分标准一、 ：1．D 2． C 3． A 4． B 5． D 6． B 7． A 8． D 9． A 10． C二、填空 ：11 ．1.1× 10412． a(b+3)(b-3) 13． x ＝－ 214．1015 ．30π 16．144617． 4118． 6三、解答 ：19 ．解：（ 1）原式＝3- 4 - 23 ⋯⋯（ 3 分）（2）原式＝ 4x 2－4x ＋ 1+（ x 2－ 4）=34 3（ 4 分）＝ 4x 2－ 4x ＋1+x 2－ 4 ⋯（ 3 分）- 63＝ 5x 2－ 4x-3．⋯⋯（ 4 分）20 ．解：（ 1） 1=2（ x-3）-x⋯（ 2 分）（ 2）第 1 个不等式解得： x ≥ 1∴ x=7 ⋯（ 3 分）第 1 个不等式解得： x ＜ 4⋯（ 2 分）x=7 是原方程的解．⋯（ 4 分）∴原不等式 的解集 1≤ x ＜4 ⋯（ 4 分）21 ．（ 1）略⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 分）（ 2） 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）22 ．（ 1） 120⋯⋯（ 2 分）（ 2） 略， C ：40； D ： 12每个 1 分（ 4 分）（ 3） 750×4824＝ 450（份）．⋯⋯⋯⋯⋯（ 6分）120123 ．解：（1）画 状 或列表略⋯⋯⋯⋯（ 6 分）画 状 或列表正确，得5 分， 正（ 2）125确 1 分⋯⋯⋯⋯⋯（ 8 分）524． 解析： （ 1） 明： 接 OD ，∵ OB=OD ， ∴∠ B=∠ ODB ，⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵ AB=AC ， ∴ ∠ B= ∠ C ， ∴ ∠ ODB= ∠ C ， ∴ OD ∥ AC ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）∵ DF ⊥ AC ， ∴ OD ⊥ DF ， ⋯⋯⋯（ 3 分）∴ DF 是⊙ O 的切 ；⋯⋯⋯（（ 2）解： 接BE ， ∵ AB 是直径，∴∠ AEB=90°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 分）5 分）∵ AB=AC ， AC=3AE ，∴ AB=3AE ， CE=4AE ， 22∴ BE= AB -AE =2 2 AE ， ⋯⋯⋯（ 6 分）BE 2 2AE2在 Rt △ BEC 中， tanC=AE = 4AE = 225．解：（ 1） 去年每吨大蒜的平均价格是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ x 元，8 分）由 意得，4000002600000⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）x 500x 500解得： x =3500， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （3 分）： x =3500 是原分式方程的解，且符合 意，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 分）答：去年每吨大蒜的平均价格是 3500 元；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）（ 2）由（ 1）得，今年的大蒜数 ： 40000040003 300（吨）⋯⋯⋯⋯（6 分）将 m 吨大蒜加工成蒜粉， 将（ 300 m ）吨加工成蒜片，由 意得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）解得： 100≤m ≤120， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 8 分）利 ： 1000 +600（300）=400+180000，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9 分）mm m当 m =120 ，利 最大， 228000 元． 答： 将120 吨大蒜加工成蒜粉，最大利 228000 元． ⋯⋯⋯（10 分）26．解：（ 1）抛物 y ＝mx 2 +6mx ＋ n （m ＞ 0），得到 称 x=－2，⋯⋯⋯（ 1 分）①当 S △ ABC ： S △AEC =2∶ 3 ， BC ： CE=2： 3，∴ CB ： BE=2：1∵ OF=3，∴ OB=1，即 B （－ 1， 0）∴ A(－5， 0)， B(－ 1， 0)， ⋯⋯（ 2 分）②当 S △ABC ： S △AEC =3∶ 2 ， BC ：CE=3 ： 2，∴ CD ： BD =2： 1∴ A(－15， 0)， B( 3， 0)， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 分）22（ 2）①当 A(－ 5， 0)，B(－1， 0) ，把 B(－ 1， 0)代人 y ＝ mx 2得， n=5m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 分）+6mx ＋ n m ＝6 ， n= 546 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）4∴ y ＝6 x 2+ 3 6 x+ 5 6 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）4 2 4②当 A(－15 ， 0)， B(3， 0) ，22把 B( 3，0)代人 y ＝ mx 2+6mx ＋ n 得， n= -45m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）24m ＝2 5， n=-55 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9 分）276∴ y ＝2 5x 2+ 4 5 x -5 5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）279627．解：（ 1）尺 作 略．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）（ 2）① 当 B ’E=EF ， EF=5，⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）②当 B ’E=B ’F ， EF= 35 ，⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分） ③当 EF=B ’F ， EF=25⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）3上： EF=5，35 ， 25⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）3（3） 2 91 - 12⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）y5D28．解：（ 1）明略⋯⋯⋯（ 2 分）（ 2） CD所要画的段⋯⋯⋯（ 4 分）（ 3）①延 AB 至 E，使得 BE=BC；A O (B) C x②以 AE 直径，画半 O，与 BC 的延相交于M图 2③以 BM 做正方形 BMNP⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）N MD C⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）AP O B E。

2018年江苏省无锡市锡山区天一中学中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．（3分）4的平方根是（）A．2B．±2C．8D．±82．（3分）要使式子有意义，x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞﹣1且≠0D．x≥﹣1且x≠0 3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣x）2÷x＝﹣xC．a3（﹣a）2＝﹣a5D．（﹣2x2）3＝﹣8x64．（3分）已知实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（）A．a+3＜0B．a﹣3＜0C．3a＞0D．a3＞05．（3分）我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3 7．（3分）某工厂进行技术创新，现在每天比原计划多生产50台机器，并且现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设现在每天生产x台机器，根据题意可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．（3分）已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，﹣a），若过点C的圆的圆心是线段AB 的中点，则这个圆的半径的最小值是（）A．B．C．D．29．（3分）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24B．16：15C．5：4D．4：310．（3分）如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF 的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A．18πB．27πC．πD．45π二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．（2分）无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可以表示为秒．12．（2分）若﹣4x a y+x2y b＝﹣3x2y，则a+b＝．13．（2分）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）14．（2分）一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是．15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD ＝∠CAB＝26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于°．16．（2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝°．17．（2分）如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝．18．（2分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．20．（8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；（2）解不等式组：．21．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE ＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长．22．（8分）某高校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学就餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名；（2）补全条形统计图；（3）计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数；（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校20000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？23．（8分）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan C．25．（8分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P 与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC ＝2.0分米、设AP＝x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN＝60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．27．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB，若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．（1）在点C1（﹣2，3+2），点C2（0，﹣2），点C3（3+，﹣）中，线段AB的“等长点”是点；（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，求点D的坐标；（3）若直线y＝kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围．28．（10分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．2018年江苏省无锡市锡山区天一中学中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．（3分）4的平方根是（）A．2B．±2C．8D．±8【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：B．2．（3分）要使式子有意义，x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞﹣1且≠0D．x≥﹣1且x≠0【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠0．故选：D．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣x）2÷x＝﹣xC．a3（﹣a）2＝﹣a5D．（﹣2x2）3＝﹣8x6【解答】解：∵（a3）2＝a6，∴选项A不符合题意；∵（﹣x）2÷x＝x，∴选项B不符合题意；∵a3（﹣a）2＝a5，∴选项C不符合题意；∵（﹣2x2）3＝﹣8x6，∴选项D符合题意．故选：D．4．（3分）已知实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（）A．a+3＜0B．a﹣3＜0C．3a＞0D．a3＞0【解答】解：A、a+3＜0是随机事件，故A错误；B、a﹣3＜0是必然事件，故B正确；C、3a＞0是不可能事件，故C错误；D、a3＞0是随机事件，故D错误；故选：B．5．（3分）我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；B、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；C、主视图为等腰梯形，左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；D、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误．故选：C．6．（3分）下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1＝（0﹣2）2+1＝5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3＝（0﹣2）2﹣3＝1，故C选项正确．故选：C．7．（3分）某工厂进行技术创新，现在每天比原计划多生产50台机器，并且现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设现在每天生产x台机器，根据题意可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：由题意可得，，故选：D．8．（3分）已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，﹣a），若过点C的圆的圆心是线段AB 的中点，则这个圆的半径的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵C（a，﹣a），∴点C在直线y＝﹣x上，设AB的中点D，则D（4，﹣2）过D点作DC垂直直线y＝﹣x于点C，此时CD为过点C的圆的最小半径，∵CD⊥直线y＝﹣x，∴直线CD的解析式可设为y＝x+b，把D（4，﹣2）代入得4+b＝﹣2，解得b＝﹣6，∴直线CD的解析式为y＝x﹣6，解方程组得，此时C点坐标为（3，﹣3），∴CD＝＝，即这个圆的半径的最小值为．故选：B．9．（3分）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24B．16：15C．5：4D．4：3【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A．10．（3分）如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF 的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A．18πB．27πC．πD．45π【解答】解：如图1中，∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，∴S矩形AGHF＝2π×3＝6π，由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG＝120°，∴S扇形BAG＝＝3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）＝3（6π+3π）＝27π；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．（2分）无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可以表示为5×10﹣3秒．【解答】解：0.005＝5×10﹣3，故答案为：5×10﹣3．12．（2分）若﹣4x a y+x2y b＝﹣3x2y，则a+b＝3．【解答】解：由同类项的定义可知a＝2，b＝1，∴a+b＝3．13．（2分）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为4π．（结果保留π）【解答】解：根据圆柱的侧面积公式可得π×2×1×2＝4π．14．（2分）一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是5．【解答】解：180﹣108＝72，多边形的边数是：360÷72＝5．则这个多边形是五边形．故答案为：5．15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD ＝∠CAB＝26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于51°．【解答】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD＝∠CAB＝26°，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∠EFC＝∠CAB＝26°．∵AB＝AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴DF＝AF＝CF，∴DF＝EF，∠CAD＝∠ADF＝26°．∵∠DFC是△AFD的外角，∴∠DFC＝26°+26°＝52°，∴∠EFD＝∠EFC+∠DFC＝26°+52°＝78°，∴∠EDF＝＝51°．故答案为：51．16．（2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝65°．【解答】解：连接DO，∵∠DAB＝20°，∴∠DOB＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵CO＝DO，∴∠OCD＝∠CDO，∴∠OCD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．故答案为：65．17．（2分）如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝﹣12．【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝ab，∵△BCE的面积是6，∴×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，∵AB∥OE，∴＝，即BC•EO＝AB•CO，∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，∴k＝﹣12，故答案是：﹣12．18．（2分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是x≤．【解答】解：由题意知，令3x﹣1＝x，x＝，此时无输出值当x＞时，数值越来越大，会有输出值；当x＜时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值故x≤，故答案为x≤．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）＝4+1+|1﹣2×|＝4+1+|1﹣|＝4+1+﹣1＝4+；（2）＝＝＝．20．（8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，（x﹣6）（x+1）＝0，x﹣6＝0，x+1＝0，x1＝6，x2＝﹣1；（2）∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．21．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE ＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE；∵BE＝AF，∴AF＝DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥BD于点H．∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DH＝BD＝×6＝3，∵BE＝DE，∴BH＝DH＝3，∴BE＝＝2，∴DE＝BE＝2．22．（8分）某高校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学就餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名；（2）补全条形统计图；（3）计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数；（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校20000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？【解答】解：（1）被调查的同学的人数是400÷40%＝1000（名）；（2）剩少量的人数是1000﹣400﹣250﹣150＝200（名），；（3）在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数是：360°×＝54°；（4）×200＝4000（人）．答：该校20000名学生一餐浪费的食物可供4000人食用一餐．23．（8分）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？【解答】解：（1）画树状图如下：（2）∵共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，∴只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率P＝；（3）∵共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，∴乐乐进入复赛的概率P＝＝．24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan C．【解答】解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE＝＝2AE，在Rt△BEC中，tan C＝＝＝．25．（8分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P 与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC ＝2.0分米、设AP＝x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN＝60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．【解答】解：（1）∵BC＝2分米，AC＝CN+PN＝12分米，∴AB＝AC﹣BC＝10分米．∴x的取值范围是：0≤x≤10．（2）∵CN＝PN，∠CPN＝60°，∴△PCN是等边三角形．∴CP＝6分米．∴AP＝AC﹣PC＝6分米．即当∠CPN＝60°时，x＝6．（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．∵PM＝PN＝CM＝CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PB＝．在Rt△MBP中，PM＝6分米，∴MB2＝PM2﹣PB2＝62﹣（6﹣x）2＝6x﹣x2．∵CE＝CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH＝HF，EF⊥AC．∵∠ECH＝∠MCB，∠EHC＝∠MBC＝90°，∴△CMB∽△CEH．∴＝．∴＝（）2，∴EH2＝9•MB2＝9•（6x﹣x2）．∴y＝π•EH2＝9π（6x﹣x2），即y＝﹣πx2+54πx．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．【解答】解：（1）设y＝0，则0＝ax2+ax﹣12a（a＜0）∴x1＝﹣4，x2＝3∴A（﹣4，0），B（3，0）（2）如图1，作MD⊥x轴，∵MD⊥x轴，OC⊥x轴∴MD∥OC∴且NB＝MN∴OB＝OD＝3∴D（﹣3，0）∴当x＝﹣3时，y＝﹣6a∴M（﹣3，﹣6a）∴MD＝﹣6a，∵ON∥MD∴∴ON＝﹣3a根据题意得：C（0，﹣12a），∵S△MBC＝∴（﹣12a+3a）×6＝a＝﹣（3）如图2：过M点作ME∥AB，∵ME∥AB∴∠EMB＝∠ABM且∠CMB＝2∠ABM∴∠CME＝∠NME，且ME＝ME，∠CEM＝∠NEM＝90°∴△CME≌△MNE∴CE＝EN设NO＝m，（k＞0）∵ME∥AB∴＝＝k∴ME＝3k，EN＝km＝CE∴EO＝km+m，CO＝CE+EN+ON＝2km+m＝﹣12a即∴M（﹣3k，km+m）∴km+m＝a（9k2﹣3k﹣12）（k+1）×＝（k+1）（9k﹣12）∴∴k＝∴27．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB，若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．（1）在点C1（﹣2，3+2），点C2（0，﹣2），点C3（3+，﹣）中，线段AB的“等长点”是点；（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，求点D的坐标；（3）若直线y＝kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（，0），∴AB＝2，∵点C1（﹣2，3+2），∴AC1＝＝2，∴AC1＝AB，∴C1是线段AB的“等长点”，∵点C2（0，﹣2），∴AC2＝5，BC2＝＝，∴AC2≠AB，BC2≠AB，∴C2不是线段AB的“等长点”，∵点C3（3+，﹣），∴BC3＝＝2，∴BC3＝AB，∴C3是线段AB的“等长点”；故答案为：C1，C3；（2）如图1，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝，∴AB＝2，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，当点D在y轴左侧时，∵∠DAB＝60°，∴∠DAO＝∠DAB﹣∠BAO＝30°，∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，∴AD＝AB，∴D（﹣，0），∴m＝，n＝0，当点D在y轴右侧时，∵∠DAB＝60°，∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB＝90°，∴n＝3，∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；（3）如图2，∵直线y＝kx+3k＝k（x+3），∴直线y＝kx+3k恒过一点P（﹣3，0），∴在Rt△AOP中，OA＝3，OP＝3，∴∠APO＝30°，∴∠P AO＝60°，∴∠BAP＝90°，当PF与⊙B相切时交y轴于F，∴P A切⊙B于A，∴点F就是直线y＝kx+3k与⊙B的切点，∴F（0，﹣3），∴3k＝﹣3，∴k＝﹣，当直线y＝kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E，∴∠AEG＝∠OPG＝90°，∴△AEG∽△POG，∴＝，∴＝，解得：k＝或k＝（舍去）∵直线y＝kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，∴﹣≤k≤28．（10分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A（2，0），B（1，），C（﹣1.）．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝x．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝﹣x+．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是﹣1＜r＜+1．【解答】解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝，∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），故答案为（2，0），（1，），（﹣1，）．②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，∴＝，∴＝，∴y＝x．③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．则有＝，∴＝，∴y＝﹣x+．故答案为y＝x，y＝﹣x+．（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．∵ω＝120°，OM⊥y轴，∴∠MOA＝30°，∵MF⊥OA，OA＝4，∴OF＝F A＝2，∴FM＝2，OM＝2FM＝4，∵MN∥y轴，∴MN⊥OM，∴MN＝，ON＝2MN＝，∴M（，）．②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．∵MK∥x轴，ω＝120°，∴∠MKO＝60°，∵MK＝OK＝2，∴△MKO是等边三角形，∴MN＝，当FN＝1时，MF＝﹣1，当EN＝1时，ME＝+1，观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为﹣1＜r＜+1．故答案为﹣1＜r＜+1．。