八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)(解析版)

无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1−i)=i，则复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由所确定的平面区域内整点的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个4.函数y=a−x与y=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.5.在中，，，则的面积为()A. B. C. D.6.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a=103，b=97，则输出n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 87.已知双曲线：x 2−y 24=1上一点P 到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为( ) A. 3B. 4C. 6D. 2+2√58.已知f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0； ⑤abc <4； ⑥abc >4．其中正确结论的序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑥C. ②③⑤D. ②④⑥二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =√2，CC 1=1，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是( ) A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分10. 已知(x +2)7=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+a 3(x +1)3+⋯+a 6(x +1)6+a 7(x +1)7，则( )A. a 5=21B. ∑(7i=0−1)ia i =0C. ∑i 7i=1a i =448D. a 0，a 1，a 2，…，a 7这8个数中a 6最大11. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1、F 2是双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 的横坐标为203 B. △PF 1F 2的周长为803 C. ∠F 1PF 2大于π3D. △PF 1F 2的内切圆半径为3212. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0，则下列说法正确的有( )A. 三棱锥P −B 1BM 的体积为定值B. 异面直线MN 与BC 1所成的角为60°C. AP +PC 1的长的最小值为√2+√6D. 点B 1到平面BCD 1的距离为2√23三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知二项式的各项系数和为，则的常数项为 ．14. 已知两条直线和互相垂直，则等于15. 底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为______时最省材料．16. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB =√3b ． (1)求角A 的大小；(2)若a =6，b +c =8，求△ABC 的面积． (3)若b =6，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18. 已知等差数列{a n }中，a 3a 7=−16，a 4+a 6=0 (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 3<a 2，S n 是数列{a n }的前n 项和，求{Snn}的前n 项和．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：A 1C//平面AB 1D ； (3)求二面角B −AB 1−D 的正切值．20. 北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，采用7局4胜制(若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格)，采用2−3−2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场)，以下是总决赛赛程：(1)若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为23，客场取胜的概率均为13，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；(2)根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关)，若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为12，设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X ，求X 的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=(x 2+mx +m)√1−2x ，(m ∈R)(1)当m =4时，求f(x)的极值．(2)若f(x)在区间(0,14)上单调递增，求m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l′：x =4的距离的比是常数12．(1)求点M 的轨迹C 方程；(2)设过点A(2,0)的直线l 与曲线C 交于点B(B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点P ，与y 轴交于点D ，若BF ⊥DF ，且∠POA ≤∠PAO ，求直线l 斜率的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：因为，所以，要使，只需．考点：集合的运算．2.答案：B解析：解：由z(1−i)=i，得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意画图如下阴影部分，所以阴影部分内部的整数点只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)(2,1)，(3,1)六个．故选：A．4.答案：C解析：解：∵在y=log a(−x)中，−x>0，∴x<0；∴图象只能在y轴的右侧，故排除A、D；当a>1时，y=log a(−x)是减函数，y=a−x=(1a)x是减函数，故排除B；当0<a<1时，y=log a(−x)是增函数，y=a−x=(1a)x是增函数，∴C满足条件；故选：C．用排除法，根据对数的真数大于0，排除A、D；讨论a的取值，排除B；从而得到正确答案．本题考查了函数的图象与对应函数之间的关系，是基础题．5.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于，，那么，那么可知则根据三角形的正弦定理，，然后结合三角形的面积公式可知，故选C．考点：解三角形点评：解决的关键是利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的面积，属于基础题。

江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期第三次调研模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,a b ∈R ，则集合()(){}()(){}22|10,|10P x x x a Q x x x b =--==+-=，若P Q =，则a b -=（ ） A ．0B ．2C ．2-D ．12．已知复数z 满足1z =，且有171z z +=，求z =（ ）A ．12 B 12i C ± D ．都不对3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 各项的和为（ ） A ．137835B ．137836C ．135809D ．1358104．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=，则221sin188sin 18n ︒︒-=（ ）A ．14B ．12C ．4D ．25．电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是单数，1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即{}3,99,99,99，那么，所有分法的种数为（ ） A ．6 B ．9 C ．10D ．126．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．916D8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫--⎪⎝⎭二、多选题9．2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则（人数保留整数）（ ） 参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150人D ．超过98分的人数为1人10．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．十八世纪，函数()[]f x x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是（ ） A ．x R ∃∈，[]1x x ≥+B ．x ∀，y R ∈，[][][]x y x y +≤+C ．x R ∀∈，1[][]1x x x x -<<<+D ．函数()[]f x x x =-的值域为[)0,111．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =存在跟随区间，则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”三、填空题13．已知向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则cos α=__________．14．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____．15．若非负实数,x y 满足222244432x y xy x y +++=，2)2x y xy ++的最大值为_____.16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD ==AD BC ==,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.四、解答题17．若数列{}n a 满足11a =，且存在常数1k >，使得对任意的*n N ∈都有11n n n a a ka k+≤≤，则称数列{}n a 为“k 控数列”． （1）若公差为d 的等差数列{}n a 是“2控数列”，求d 的取值范围；（2）已知公比为()1q q ≠的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 与n S 都是“k 控数列”，求q 的取值范围（用k 表示）．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请在①cos sin b b C B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③2223ABCa b c S +-=这三个条件中任意选择一个，完成下列问题： （1）求∠C ；（2）若a ＝5，c ＝7，延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求线段BD 的长度. 19．数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”间题，题意如下：“如图1，两塔相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）.求两塔与喷泉中心之距.”如图2，现有两塔 AC 、BD ，底部A 、B 相距12米，塔AC 高3米，塔BD 高9米.假设塔与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.（1）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点M ，求喷泉距塔底A 的距离；（2）若塔底A 、B 之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C 出发，飞抵水面A 、B 之间的某点P 处饮水之后，飞到对面的塔顶 D 处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点P 到塔底A 的距离.20．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ； （3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由. 21．已知函数()e cos(1)x f x a a =--，a R ∈.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）设()()ln(1)g x f x x =-+，若()0g x ≥，求a 的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4. （1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.参考答案1．C 【分析】由集合的描述写出集合,P Q ，根据P Q =求,a b ，进而可求-a b . 【详解】 由题意，得{}{}{}{}1,,11,,1{,{1,11,1a ab b P Q a b ≠-≠-===-=-，∵P Q =，∴仅当1,1a b =-=时符合题意，故2a b -=-. 故选：C. 2．A 【分析】根据题意可设cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得()()cos17cos sin17sin =1i θθθθ+++，再根据复数的概念，可得cos17cos =1sin17sin =0θθθθ+⎧⎨+⎩，利用三角函数同角关系，即可求出θ的值，进而求出结果. 【详解】因为1z =，设cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）； 由棣莫佛公式，可得()()17cos17sin17cos sin =cos17cos sin17sin z z i i i θθθθθθθθ+=++++++，所以()()cos17cos sin17sin =1i θθθθ+++所以cos17cos =1sin17sin =0θθθθ+⎧⎨+⎩，即cos171cos sin17sin θθθθ=-⎧⎨=-⎩因为()()22sin17cos17=1θθ+，所以()()()()2222sin17cos17=sin 1cos 1θθθθ+-+-=； 化简可得22sin cos 2cos 0θθθ+-=，即12cos 0θ-=所以1cos 2θ=，所以sin 2θ==±；所以122z =±. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键. 3．D 【分析】由题意知n a 被15除余1，它们成等差数列，公差为15，由此只要确定不大于2021的项数即可得求和． 【详解】由题意n a 被15除1，{}n a 是等差数列，公差15d =，首项为11a =，115(1)1514n a n n =+-=-，由15142021n -≤得，21353n ≤．因此135n ≤，1351351341351151358102S ⨯=⨯+⨯=．故选：D ． 4．A 【分析】利用二倍角公式可求三角函数的值． 【详解】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-==-︒︒︒=-⨯. 故选：A ． 5．D 【分析】设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >，由已知条件可得出3300n m +=，分析出n 为3的倍数，设()*3n t t N =∈，求出t 的可能取值，然后列举出所有的分法，由此可得出结果. 【详解】设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >. 根据题意，3300n m +=，则n 一定是3的倍数，可设()*3n t t N =∈，由m n >，得075n <<，则0375t <<，即025t <<.由n 为奇数，则t 为奇数，即{}1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23t ∈，于是分配方法有以下12种：{}3,99,99,99、{}9,97,97,97、{}15,95,95,95、{}21,93,93,93、{}27,91,91,91、{}33,89,89,89、{}39,87,87,87、{}45,85,85,85、{}51,83,83,83、{}57,81,81,81、{}63,79,79,79、{}69,77,77,77.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查分配问题，根据题意得出m 、n 的等式以及n 的可能取值是解题的关键，本题是数学文化题，在解题时要充分理解题中的信息，将题意转化为等式或不等式来求解. 6．C 【分析】首先排除函数的奇偶性，再判断0x >时的函数值的正负. 【详解】()()()()()2cos 2cos x x x x x e e x e e f x f x x x---+-+-===-+-+，函数是奇函数，故排除AB ，当0x >时，0x x e e -+>，2cos 0x +>，所以()0f x >，故排除D. 故选：C 7．B 【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可. 【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>， ∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知： 32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-， ∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 8．D 【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果. 【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ， ∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,22142x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<<⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()12ln 12ln 2ln04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D . 【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性. 9．ABD 【分析】根据正态分布概念知A 正确；根据95和70关于x μ=对称知B 正确；根据3σ原则计算可求得CD 中的人数，知C 错误，D 正确. 【详解】 对于A ，()282.5,5.4ZN ，82.5μ∴=， 5.4σ=，由正态分布概念知：年级平均成绩82.5μ=，A 正确； 对于B ，957082.52μ+==，∴成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等，B 正确；对于C ，7782.5 5.4μσ≈-=-，()()10.6827770.158652P Z P Z μσ-∴<≈<-==， 10000.158********⨯≈>，∴成绩不超过77分的人数多于150人，C 错误；对于D ，82.5 5.4398.799+⨯=≈，()()10.99739930.001352P Z P Z μσ-∴≥≈≥+==， 10000.001351⨯≈，∴超过98分的人数为1人，D 正确.故选：ABD. 10．BD 【分析】由“取整函数”定义可判断选项A ，C ；根据定义与不等式性质可判断B ，D ． 【详解】由定义得：[][]1x x x ≤≤+，故对[],1x R x x ∀∈<+，故A 错；由定义得：[][][),,,,,0,1x y R x x a y y b a b ∀∈=+=+∈，所以[][]x y x y a b +=+++[][][][]x y x y a b +=+++ ，所以[][][]x y x y +≤+，故B 正确；由定义得：[][]11x x x x -<≤<+，故C 错；由定义得：[]1x x x -<≤，所以[]01x x ≤-<，故()[]f x x x =-的值域为[)0,1，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：正确理解新定义是解题的基础，由新定义转化为不等式关系是解题的关键． 11．ACD 【分析】A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1AD EF ⊥； B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确.B 选项：当122BE BF BC ===时，112,A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥ 由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=，三棱锥1A EFD -334433R ππ==，故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ==在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11111143323A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅=⨯=故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯， 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 12．ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =存在跟随区间[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤.所以(1a m m =-=-,令t =20t t m --=,同理t =也满足20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确. 对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题. 13．725-【分析】根据向量垂直的坐标表示得3cos 25α=，再根据半角公式即可得答案. 【详解】因为向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，所以3cos 052α-+=，即3cos 25α=，所以27cos 2cos 1225αα=-=-． 故答案为：725-. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.向量垂直的坐标表示：已知()()1122,,,a x y b x y →→==，若a b →→⊥，则12120a b x x y y →→⋅=+=.14．3 【分析】利用抛物线的定义得1x PF =-,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去半径即可转换题目中的条件分析. 【详解】画出图像,设焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义有1PF x =+,故1x PF =-.又PQ QC CP +≥当且仅当,,C Q P 共线且Q 为CP 与圆C 的交点时PQ 取最小值为1PC QC PC -=- .故PQ x +的最小值为112PC PF PC PF -+-=+-.又当P 为线段CF 与抛物线的交点时PC PF +取最小值,此时2223PQ x PC PF CF +=+-=-==【点睛】(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离. (2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系. 15．16 【分析】2)2(0)x y xy t t ++=≥，结合题意，得到2223243270x y txy t --⨯+=，根据关于xy 的方程必须有解，利用0∆≥，求得以016t ≤≤，即可求解. 【详解】2)2(0)x y xy t t ++=≥，2)20x y t xy +=-≥，两边平方，可得227(2)(2)x y t xy +=-， （1） 因为222244432x y xy x y +++=，所以2222244(2)324x y xy x y x y ++=+=-， （2） 由（1）（2）可得2227(324)(2)x y t xy -=-， 整理得2223243270x y txy t --⨯+=，因为关于xy 的方程必须有解，所以2216432(327)0t t ∆=-⨯⨯-⨯≥，解得21616t ≤⨯，因为20t ≥，所以016t ≤≤，所以t 的最大值为16，2)2x y xy ++的最大值为16. 故答案为：16. 【点睛】2)2x y xy ++转化为关于xy 的方程2223243270x y txy t --⨯+=必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.16【分析】1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果． 【详解】1的长方体，由于EF ⊥平面α，故截面为平行四边形MNKL ，由平面几何的平行线段成比例可得5KL NK ，设异面直线BC 与AD 所成角为θ，则sin θsin sin HFB LKN ，解得sin 5θ=所以平行四边形MNKL 的面积2266sin 522NK KL S NK KL NKL，当且仅当KL NK 时取“=”号，故答案为2． 【点睛】本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用，能否根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题． 17．（1）[0,1]（2）1,1k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）根据“k 控数列”的定义得出*1122，n n n a a a n N +∈，则由等差数列的通项公式可得(1)1(2)1n d n d +-⎧⎨--⎩对*n N ∈恒成立，求出公差d 的取值范围； （2）由等比数列{}n b 为“k 控数列”得1q k k，又{}n S 是“k 控数列”得1*1111111，n n nq q q k n N k qq q+---⋅⋅∈---，分类讨论求出q 的取值范围.【详解】（1）因为公差为d 的等差数列{}n a 是“2控数列”，所以11a =，所以*111(1)22，，n n n n a n d a a a n N +=+-∈，即*1[1(1)]12[1(1)]2，n d nd n d n N +-++-∈， 所以**(1)1,(2)1,n d n N n d n N ⎧+-∈⎨--∈⎩由(1)1n d+-得所以11d n -+，又11,012n ⎡⎫-∈-⎪⎢+⎣⎭，所以0d ≥， 由(2)1n d --得：当1n =时，1d -≥-，所以1d ≤； 当2n =时，01≥-成立； 当3n 时，12dn --，又1[1,0)2n -∈--，所以0d ≥； 综上，01d ，所以d 的取值范围是[0,1]；（2）因为数列{}n b 是公比为(1)≠q q 的等比数列且为“k 控数列”，所以11n n n b b kb k+，显然0n b >，故1q k k． 易知11nn q S q-=-，要使{}n S 是“k 控数列”，则1*1111111，n n nq q q k n N k q q q+---⋅⋅∈---，（ⅰ）当11q k <时，1*111，n n q k n N k q+-∈-， 令1*11()11，n n nq q f n q n N q q+--==+∈--，则()f n 递减， 所以1()1f n q <+， 所以1k q +，即11q k k-． 要使q 存在，则111k k k>⎧⎪⎨-⎪⎩得512k+； （ⅱ）当1q k <时，1*111，n nq k n N k q+-∈-， 令1*11()11，n n nq q g n q n N q q +--==+∈--，则()g n 递减，()1q g n q <+， 所以11q k k q ⎧<⎪⎨⎪+⎩，又1q k <，所以11q k <-，要使q 存在，需11k <-，得2k > 综上，当512k +时，公比q 的取值范围是1,1k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，数列不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力． 18．（1）答案见解析；（2）5. 【分析】（1）主要考查利用正余弦定理进行边角互化；（2）本题为多三角形问题，在ABD △中，需要算出BAD ∠的三角函数值，然后用正弦定理即可. 【详解】 （1） 选①∵cos sin b b C B +=，及正弦定理，∴sin sin cos sin B B C C B +=，∵在ABC 中，()0,B π∈，∴sin 0B >，cos 1C C -= ∴1sin coscos sinsin 6662C C C πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，则3C π=. 选②∵()2cos cos b a C c A -=，及正弦定理，∴2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -= ∴()2sin cos sin B C A C =+ ∵在ABC 中，A B C π++=，∴()sin sin A C B +=，∴1cos 2C = ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴3C π=.选③2221sin sin 2ABC a b c ab C C ∆+-===由余弦定理得：222cos 2a b c C C ab +-==∵在ABC 中，()0,C π∈，∴sin tan cos C C C ==3C π=. （2）第一问的答案都一样3C π=在ABC 中，∵5,7,3a c C π===，由余弦定理得212549225b b+-=⨯ ∴25240b b +-=，得8,3b b ==-（舍去）由正弦定理得：sin sin b c ABC C =∠，∴87sin sin 3ABC π=∠，则sin ABC ∠=由余弦定理得：2222549641cos 22577a cb ABC ac +-+-∠===⨯⨯在ABC中，cos 7ADC ∠=，∴sin 7ADC ∠== ∴()sin sin sin cos cos sin BAD ABC ADC ABC ADC ABC ADC ∠=∠-∠=∠∠-∠∠1777749=-⨯=由正弦定理得：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，则5BD == 【点睛】本题需要熟练运用正余弦定理进行边角互化，遇到多三角形问题，可以从要求的结果出发，把所求量放在一个三角形中，然后逆向思考. 19．（1）9米；（2）3米. 【分析】（1）设AM x =，列方程求解；（2）作出C 关于AB 的对称点C '，C D '与AB 的交点就是最短距离的P 点，由此可计算出结论． 【详解】（1）设AM x ==9x =；（2）设C '是C 关于直线AB 的对称点，连接C D '交AB 于P ，Q 是线段AB 上任一点，如图，QC QD QC QD C D ''+=+≥，当且仅当Q 与P 重合时，等号成立．P 点即为所求．∵,AC AB BD AB '⊥⊥，∴//AC BD '，∴AC AP BD BP '=，而AC AC '=，∴3912APAP=-，解得3AP =．【点睛】本题考查数学文化，考查数学的应用，解题关键是正确理解题意，抽象出数学问题，用相应的数学知识求解． 20．（1）37；（2）分布列见解析，607；（3）比赛不公平，理由见解析. 【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与12比较大小即可. 【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则()1121632793217C C C P A C +=== （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分()33371635C P C ξ===()2133379735C C P C ξ⋅=== ()1233379835C C P C ξ⋅=== ()11331333774935C C C P C C ξ⋅==+= ()1113313791035C C C P C ξ⋅⋅=== ()21313731135C C P C ξ⋅=== 所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望678910113535353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为137p =由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为294935357p +++== 若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为221162233372235C C C C p C ++== 若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为2263437(1)1735C C P C -+== 则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P =⨯+⨯+⨯+⨯=> 所以比赛不公平. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是12，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类. 21．（1）0x y -=；（2）[1,)+∞. 【分析】（1）若1a =，则()e 1x f x =-，()e x f x '=，求得(0)f '，(0)f ，写出切线方程. （2）构造函数()cos(1)()t a a a a =--∈R ，知()t a 在(,)-∞+∞上单调递增，且(1)0t =，由()0g x ≥恒成立，得1a ≥，再利用导数研究()g x 的单调性证得()0g x ≥恒成立即可.【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x =-，则()e x f x '=，(0)1f '∴=， 又(0)0f =，故切点为(0,0)所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=． （2）()e ln(1)cos(1)x g x a x a =-+--，定义域为(1,)-+∞， 令()cos(1)()t a a a a =--∈R ，求导()1sin(1)0t'a a =+-≥， 所以()t a 在(,)-∞+∞上单调递增，且(1)1cos(11)=0t =--，若()0g x ≥，则当0x =时，cos((0))01g a a --=≥恒成立，即()(1)t a t ≥，所以1a ≥．因为1()e 1xg x a x'=-+， 当1a ≥时，令()()m x g x '=，则21e 0((1))xm x a x =+>+'，所以()m x 在(1,)-+∞上单调递增，且(0)10m a =-≥，1111e 0a m a a a a a -⎛⎫-=-≤-= ⎪⎝⎭，所以存在0(1,0]x ∈-，使得0()0m x =，即01e 01xa x -=+，00ln(1)ln x x a +=--， 当0(1,)x x ∈-时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以000()()e ln(1)cos(1)x g x g x a x a ≥=-+--001ln cos(1)1x a a x =++--+0011ln cos(1)11ln cos(1)01x a a a a x =+++---≥+--≥+． 综上，所求a 的取值范围为[1,)+∞. 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数的几何意义以及导数与不等式恒成立问题，常用方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.考查了学生的转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．（1）22184x y +=；（2）是定值，【分析】（1）由(,0),(,0)A a B a -，设()00,E x y ，可得22AE BE b k k a⋅=-，22202c AE BE x c a ⋅=-，结合已知列方程求参数a 、b 、c ，写出椭圆方程即可；（2）由椭圆对称性知：4MPNQ OMP S S =，设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，由题设知1212k k ⋅=-，讨论直线MP 的斜率，联立直线与椭圆方程，应用根与系数关系确定MPNQ S 是否为定值. 【详解】（1）设()00,E x y ，则2200221x y a b+=，故(,0),(,0)A a B a -，∴2202220002222200001AE BEx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 又()()()()22200000021x AE BE x a x a y x a x a b a ⎛⎫⋅=+-+=+-+- ⎪⎝⎭222202c x c c a=-≥-，由题意知：222124b ac ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON =，OP OQ =， ∴四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S=.设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，()11,M x y ，()22,P x y ，则111y k x =①，222y k x =②. 又1//l AE ，2//l BE ，即1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时，12y y =-，12x x =.由①⨯②，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得12x =，1y =∴1114422MPNQ OMPS Sy x ==⨯⨯⨯=当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，联立方程组得22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则()()()22222(4)421288840km k m k m ∆=-+-=+->，即122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+. ∵()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-，∴22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得：2242m k =+. 由直线MP 过(0,)m ，12144||2||2MPNQ OMPS Sm x x m ==⨯⨯-=2||m ==， 将2242m k =+代入，整理得MPNQ S =.综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且为【点睛】 关键点点睛：（1）应用两点斜率公式、向量数量积的坐标表示，求AE BE k k ⋅，AE BE ⋅关于椭圆参数的代数式，结合已知条件列方程求参数，写出椭圆方程；（2）利用椭圆的对称性，由直线与椭圆的位置关系，讨论直线斜率的存在性，结合直线与椭圆方程及根与系数关系，求四边形的面积并判断是否为定值.。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M C N 等于（ ）A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1256}，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义计算即可；【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x y <，则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，必有x y <”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.【详解】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件， 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ）A.B.C. D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4.设()1,3a =-，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则a 与c 的夹角余弦值为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据()1,3a =-，()1,1b =，表示c 的坐标，再由b c ⊥建立方程求得k ，得到c 的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-，()1,1b =， 所以()1,3c a kb k k =+=-++， 因为b c ⊥，所以()()11310k k -+⨯++⨯=， 解得1k =-， 所以()2,2c =-，因为8,10,22a c a c ⋅===，所以cos ,5102a c a c a c⋅===⋅⋅，所以a 与c . 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>的值等于（ ） A.95B.75C.65D. 3【答案】A【解析】 【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则 1sin 222cos 2αα-++()12sin cos 21cos 2ααα=-⋅++()22sin cos 4cos ααα=-+189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A.【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100.050.010.0050k2.7063.8416.6357.879A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可.【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为700200140⨯=,女生有30020060⨯=.列出22⨯列联表有：故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7.25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，则该展开式中含9x 项的系数是（ ） A. 15- B. 5-C. 5D. 15【答案】B【解析】 【分析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，令1x =，可得25(11)32a --=-，解得2a =，结合二项式展开通项公式，即可求得答案. 【详解】25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =，可得25(11)32a --= 故：5()32a -=- 解得：2a =故：()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为：()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为：()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=，可得1i r += 又05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩，由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩，由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A. (1,)+∞B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D. 22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】 【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10.直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ） A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】BC 【解析】 【分析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可.【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知：2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%，2020年1月同比涨幅最大为5.4%， 故A 错误，B 正确； 根据环比折线图可知：2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨，故C 错误；2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题.12.抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A. |PM | +|PF |的最小值为3B. 抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C. 存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D. 若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++， 所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______. 【答案】221105x y -=【解析】 【分析】设所求双曲线方程为22126x y k -=，代入所过点的坐标，可求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b-=．14.已知) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】2y ex e =- 【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出0x >时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程． 【详解】) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >，30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得：3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-，可得1(1)2=f e e e =--故：2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是：()1y e e x +=-整理可得：2y ex e =- 故答案为：2y ex e =-【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ=______，若函数()f x 在[],a a -是减函数，则a 的最大值是______. 【答案】 (1). 6π (2). 12π 【解析】 【分析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，结合诱导公式可求得ϕ的值，求得函数()y f x =的单调递减区间，由0x =属于该区间求得k 的值，再由区间的包含关系可求得a 的最大值.【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤，6πϕ∴=，令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，可得0k =， 由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减，则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，12512a a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得012a π<≤，则a 的最大值为12π.故答案为：6π；12π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OB C 中作11OM B C ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===, 因为1O 为三角形1AB E 的中心， 所以111224323333B O B B ==⨯=在11Rt B OO 中，22111165333R OO B O =+=+=, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍，22.ABD CBD θ∠=∠= （1）若∠ABC =2π，求sin sin A C 的值；（2）若BC 2，AB =3，求边AC 的长. 【答案】（13217 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可； （2）由题设条件结合三角形面积公式得出2cos 2θ=，进而得出334ABC πθ∠==，最后由余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，22ABD CBD θ∠=∠=，所以6πθ=.所以11sin 3sin 2326AB BD BC BD ππ⋅=⨯⋅，所以sin 3sin 3BC A AB C ==；（2）因为11sin 23sin 22AB BD BC BD θθ⋅=⨯⋅，即2cos 3AB BC θ= 所以2cos 2θ=,所以4πθ=，334ABC πθ∠==2292232172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以17AC =.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.给出以下三个条件:①数列{}n a 是首项为 2，满足142n n S S +=+的数列；②数列{}n a 是首项为2，满足2132n n S λ+=+（λ∈R ）的数列； ③数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列.. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =+++，21++=n n n n n c b b ，求数列{n c }的前n 项和n T ；（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据所填条件求出数列{}n a 的通项公式，再依次求{}n b ，{}n c 的通项公式，由111(1)1n c n n n n ==-++，用裂项相消求数列{n c }的前n 项和n T 即可.【详解】选①，由已知142n n S S +=+（1）， 当2n ≥时，142n n S S -=+（2），（1）-（2）得：()1144n n n n a S S a +-=-=，即14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+，由12a =，所以22422a +=⨯+， 所以28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=，2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++，所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②，由已知2132n n S λ+=+（1）， 当2n ≥时，21132n n S λ--=+（2），（1）-（2）得，21212132232n n n n a +--=-=⋅，即212n n a -=，当1n =时，12a =满足212n na -=，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①；选③，由已知132n n S a +=-（1）， 则2n ≥时，132n n S a -=-（2），（1）-（2）得13n n n a a a +=-，即14n n a a +=，当1n =时，1232a a =-，而12a =，得28a =，满足214a a =， 故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n 项和.19.如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.（1）求证：//DA 平面EBC ； （2）若3BAC π∠=，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，推导出EH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ，再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ；（2）推导出四边形DAHE 为矩形，然后以点H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值.【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ， 因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面ABC ，又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ；（2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2DEB DEC π∠=∠=，由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =， 所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥， 所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AHEH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a . 设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =， 又(),3,0AB a a =-，()0,0,2AD a =.由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，得()3,1,0m =.设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 因为(),3,2BD a a a =-，(),0,2BE a a =-.由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222232020ax ay az ax az ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =；设二面角A BD E --的平面角为θ，则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅， 由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --的余弦值为15【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ 为正方形，△PF 1F 2的周长为()221.+（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16，证明：直线恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据四边形MNPQ 为正方形，可得到关于,a b 的一个方程，由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C 的方程.（2）对直线l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论. 【详解】解：（1）如图所示，设点()00,N x y ，由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ， 因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以2220043x x b +=，即22023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，所以2200221x x a b+=，即2222133b a +=，所以2212b a =①，又△PF 1F 2的周长为)21，即)2221a c +=②，由①②解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上，所以2212A y m +=，即2212A y m =-， 所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得()222124220kxkbx b +++-=，所以122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+，则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，将122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得： 121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-，解得，2b =-， 所以直线l 恒过定点()0,2-.【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ （1）若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-，求a ；（2）若a e ≥，且x 1，x 2是()f x 的两个极值点，证明：()()()221212122f x f x x x e +<+-（其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈）【答案】（1）1a =-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调性，再由最值，解出a 的值；（2）由题意结合韦达定理得出122x x a +=，122x x a =，2221244x x a a +=-，将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++，构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，利用导数得出其最大值，进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解：（1）()f x 定义域是0,，222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+，对称轴00x a =<因为1a >，()110g =>，所以当[]1,x e ∈时，()0g x >，即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.（2）由()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()'0f x =在0,有2个不等的实根即2220x ax a -+=在0,有2个不等的实根，则2480a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得2a >.122x x a +=，122x x a =，()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时，()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=，当a e ≥时，()'0h a <，所以()h a 在[),e +∞单调递减. 所以()()h a h e ≤即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-< 所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替） （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）ˆ0.320.08y t =+，20000人.（2）（i ）11万元，6.8（ii ）13.6万元【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将6t =代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）（i ）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；（ii ）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价. 【详解】解：（1）根据题意，得：3t =， 1.04y =52155ii t==∑，5118.8i i i t y ==∑5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时，2y =.所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人. （2）（i ）根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）. 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=.（ii ）竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.。

江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-【答案】D【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-，故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.7． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 10．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b，∴3b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2021届八省市高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-答案：C【分析】直接由交集的定义求解即可解：解：因为{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥， 所以{05}A B x x ⋂=≤<， 故选：C 2．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1答案：C【分析】直接利用复数的基本概念得选项.解：1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.点评：该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目. 3．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63答案：A【分析】先利用三角函数的平移变换的应用得2()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦型函数单调减区间的整体思想的应用求出结果即可．解：把()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后，得到()sin(2)2g x x ϕπ=-+=sin(2)6x π+的图象， 0ϕπ<<，23πϕ∴=，即2()sin(2)3f x x π=+.令2222,232k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈Z ， 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，可得函数()f x 的一个单调减区间为,]1212π5π[-. 故选：A ．4．设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 答案：C【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.解：()(3lg f x x x =+定义域为R ，()(3lg f x x x -=-+-()()((33lg lg lg10f x f x x x x x +-=+-+-==，函数为奇函数易知：3,lg y x y x y x ===在()0,∞+上单调递增，且()(300lg 00f =+=故()f x 在R 上单调递增当0a b +≥时，()()()()()0a b f a f b f b f a f b ≥-∴≥-=-∴+≥，充分性； 当()()0f a f b +≥时，即()()()0f a f b f b a b a b ≥-=-∴≥-∴+≥，必要性； 故选：C点评：本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.5．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 答案：C【分析】根据题意，设五人所得的钱数等差数列{}n a ，设公差为d ，根据110.4a =，5 5.6a =，得到d ，从而得到234,,a a a ，得到答案.解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ， 则110.4a =，5 5.6a =，设公差为d ，所以514 5.6a a d =+=， 即10.44 5.6d +=，解得 1.2d =-， 可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=；31210.4 1.228a a d =+=-⨯=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-⨯=，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C.点评：本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题..6．函数()f x =A ．B ．C ．D ．答案：C【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．解：f （﹣x ）2x x1x e e--+==-+f （x ），即f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，当x ＞0时，f （x ）＞0恒成立，排除A ，D 故选C ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．7．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A 21e e+-B 221e e +-C 21e e --D ．11e e+- 答案：A【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 解：依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e xe e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e xe e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（八）数学（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1.已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=．则AB =（ ）A. []3,3--B. []22-,C. []4,4-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】首先确定集合,A B ，再由交集运算求解．【详解】()(){}440{|44}[4,4]A x x x x x =-+≤=-≤≤=-，{}{}222416{|4}22[2,2]B y x y y y y =+==≤=-≤≤=-，所以[2,2]AB =-．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，确定出集合的元素是解题关键． 2.“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”是“0a =”的（ ） A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分也不是必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b 不为0.故选A ．考点：本题主要考查充要条件的概念，复数的概念．点评：简单题，涉及充要条件的判定问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断．3.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A. 18B. 9C. 6D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先写出双曲线渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与直线13y x =垂直，由斜率乘积等于-1求解.【详解】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3a y x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=， 解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18. 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()ln 211f x x x =+-，利用函数零点存在性定理判断即可得到结论. 【详解】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x'=+>恒成立， 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈， 又()0,1x k k ∈+，*k N ∈，所以4k =. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法：图象法和零点判定定理，将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，将方程转化为函数，利用零点判定定理是基本方法．5.已知,x y 满足约束条件{34y xy x x y ≤≥+≤，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A. 2z x y =-B. 2z x y =-+C. 12z x y =-- D. 2z x y =+【答案】B 【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(2,2),(3,1)A B C ，所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值，直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值，选B.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A. 41 B. 56 C. 156 D. 252【答案】B 【解析】 【分析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．【详解】解：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．故有5856C =种．故选：B【点睛】本题考查“插板”法解决组合问题，属于基础题.7.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.21- B.21+ C. 612D.312【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-=而截面到球体最低点距离为31，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 8.已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan2α=（ ） A.152-+ B. 15+ C.152- D.152- 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得tan 2α=，再由二倍角正切公式解方程可得； 【详解】解：因为2sin 21cos2αα=-所以()24sin cos 112sin ααα=--，即24sin cos 2sin ααα= 因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2cos sin αα=，即tan 2α=又22tan2tan 1tan 2ααα=-，所以22tan221tan 2αα=-，即2tan tan 1022αα+-=解得15tan 2α--=或15tan2α-+=因为3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以15tan 2α--= 故选：B【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos xf xg x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求出()()2cos xxf xg x e -=-，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果.【详解】因为()()2cos xf xg x e x +=，所以()()()2cos xf xg x ex --+-=-，即()()()2cos xf xg x e x --+=，所以()()2cos xxf xg x e -=-. 因为2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误. 又()222sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以4πx =-为极值点，即B 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用，属于基础题.10.如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质分析判断.【详解】∵()()a P X a Φ-=≤-，∴图中阴影部分面积为()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为()()1122P X a a ≤-=Φ-， 又()P a X a -≤≤=()()a a Φ-Φ-，阴影部分面积为()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦; 故正确的个数为①③④共3个， 故选：C.【点睛】本题考查了正态分布的性质，熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属容易题． 11.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 3C. 6+D. 3+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值．【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 12.设fx 是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在△ABC 中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ()()22sin sin sin sin f A B f B A <B. ()()22sin sin sin sin f C B f B C <C. ()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D. ()()22cos sin sin cos f C B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】设2()(),f x g x x =再利用导数证明函数()g x 在0+∞（，）单调递增，再证明(sin )(cos )g B g C <，化简即得解. 【详解】因为()()2f x f x x'>，0x >， 所以()()2(),2()0f x x f x f x x f x ''⋅>∴⋅->. 设23()()2()(),()0f x f x x f x g x g x x x '⋅-'=∴=>，所以函数()g x 在0+∞（，）单调递增. 因为A ∠为钝角，所以,,sin sin(),sin cos 222B C B C B C B C πππ+<∴<-∴<-∴<,所以(sin )(cos )g B g C <, 所以22(sin )(cosC),sin cos f B f B C< 所以()()22cos sin sin cos f C B f B C >. 故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2020503+被7除后的余数为________________________． 【答案】4 【解析】 【分析】 先化简20202020503(491)3+=++，再利用二项式定理求出余数.【详解】由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3494949493C C C C +=++=+++++020201201920192020202020204949494C C C =++++因为02020120192019202020202020494949C C C +++能被7整除，所以2020503+被7除后的余数为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查二项式定理求余数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________． 【答案】24x y =或24y x = 【解析】 【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，当2,1x y =-=时，4m =，此时，24x y =，点()4,4在抛物线上. 设抛物线的标准方程为：2n y x =，当1,2x y ==时，4n =，此时，24y x =，点()4,4在抛物线上.故答案为：24x y =或24y x =.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点．若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________．【答案】26⎣⎦【解析】 【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解．【详解】解：补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面EFGHQR ， P AC ∴∈，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C C D D所以1D PD ∠即为直线1D P 与直线1C C 所成角， 连接DP ，则22DP ≤≤，在1DDP 中，22211D P DP D D =+，所以16,22D P ⎡⎤∈⎣⎦所以1126cos ,23D D D P θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦故答案为：26,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了线面平行，面面平行，立体几何中的动点问题，属于中档题． 16.ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且()2223sin SA C a c b+=+-，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC 面积的最大值为____________________． 【答案】843-【解析】 【分析】先根据余弦定理以及三角形面积公式化简条件()23sin SA C +=得B ，再利用向量化简条件：BM =2，并利用基本不等式求ac 最大值，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】()123sin 2332sin sin cos 2cos acBS A C B B ac B ⨯+=∴=∴= (0,)3B B ππ∈∴=1(),||22BM BA BC BM =+=222214(2cos )16323423c a ac B c a ac ac ac ac ∴=++∴=++≥+∴≤+当且仅当a c =时取等号因此ABC 面积111sin 4(23)84324423S ac B ac ==≤⋅=-=-+ 故答案为：843-【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、向量表示、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA.（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】 【分析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求.【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE. 因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ，又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ， 因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒1111124230330x y z x z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(113n =，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒22222423040x y z y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒()301m =-，，，所以cos 215n m n m n m⋅===，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值为5-. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.18.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明详见解析；12n n a ；（2）存在，0λ=．【解析】 【分析】（1）根据数列递推关系可得1112n n S a +++=，即可证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，再进一步求出数列的通项公式；（2）先根据数列的前3项成等差数列求得0λ=，再证明0λ=一般性也成立. 【详解】解：（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-， 则111n n n n n n a S a a S a ++++=+， 即()()1111n n n n S a S a +++=+． ∵数列{}n a 的各项均为正数， ∴1111n n n n a S a S +++=+． ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得1112n n S a +++=，①∴当2n ≥时，12n n S a +=，② ②-①，得12n n a a +=，∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n na ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=． 综上所述，可得1n a =，*n N ∈．∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查根据数列的递推关系求等比数列的通项公式、利用等差数列的性质求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点).（1）求椭圆C方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得222223311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++， 212112012122102225381213y y y y y m y y m y y mm y λλ⨯-+=====---+++， 综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（i ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 改造前 改造后（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）工厂生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天()*k N∈进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列．【答案】（1）（i ）列联表详见解析；（ii ）有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）（i ）根据茎叶图的数据先求得中位数，进而得到5a =，15b =，15c =，5d =，完成列联表；（ii ）根据（i ）中的列联表将数据代入22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求得2K ，然后与临界表对比下结论.（2根据茎叶图可知：生产线需保障维护的概率为51204p ==，设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，根据正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元，得到一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，然后求得相应的概率列出分布列.【详解】（1）（i ）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（ii ）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率， 生产线需保障维护的概率为51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()4438124256P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：【点睛】本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.已知函数()1=xx f x a e --的两个零点记为12,x x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：12x x ->【答案】（1）)1(0a ∈，（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，构造1()x x g x e-=，求导，根据函数的单调性求出a 的范围．（2）先证明122x x +>，所以要证明12||x x ->，只需证明2112(1)x x x ->->2112x x a ->-，111x x a e-=，只需证明12111120x x x x e-+->，101x <<，构造函数()h x ，利用导数研究函数的单调性和最值，证明即可．【详解】解：（1）由()0f x ＝，得1x x a e -＝，令()1x x g x e -＝，()11'x xg x e--＝， 当()()()1'0x g x g x ∈-∞，，＞，递增；当()()()1'0x g x g x ∈+∞，，＜，递减； ()g x 有最大值()00g ＝，又()0x g x →+∞→，，故函数有两个不同的零点，)1(0a ∈，； （2）先证明122x x +＞，不妨设12x x ＜，由（1）知，1201x x ＜＜＜， 构造函数()()()()()()()111122'1xx x x F x f x f x xex e F x x e e ----------＝＝，＝，当)1(0x ∈，时，()'0F x ＞，()F x 递增，()()100F F x ＝，＜， 所以()10F x ＜，即()()112f x f x -＜，所以121x -＞，由()()12f x f x ＝， 由（1）知，当(1)x ∈+∞，，()f x 递减； 所以212x x -＞，即122x x +＞，要证明12x x ->只需证明()21121x x x --＞＞即2112x x a ->-，111x x a e -＝，只需证明1211111+2001x x x x x e--＞，＜＜， 构造函数()212x x h x x x e -+-＝，()()11'12x h x x e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，当()()()012'0x ln h x h x ∈-，，＞，递增；()()()121'0x ln h x h x ∈-，，＜，递减； 当]1[0x ∈，时，()()(){00}1min h x min h h ＝，＝， 所以当()()010x h x ∈，，＞， 故原命题成立.【点睛】本题考查了函数零点判断问题和极值点偏移问题，用到构造函数法判断函数的单调性和最值，难度较大，综合性高．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE -的值． 【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】【分析】 （1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-． 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =．故曲线C 的直角坐标方程为24y x =． （2）设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <． ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23.已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+． 【答案】（1）{}02x x <<；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可；（2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【详解】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<． （2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +， ∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+， ∴()224281a b b a b +++≥+． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。

江苏省无锡市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅UA B A B ，同时⋂=∅⇒⊆UA B A B .故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题. 2．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意，得3ln 333a ==，1ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x=，所以21ln '()x f x x -=.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1[()]()f x f e b e===，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.3．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．4．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．0,2⎛ ⎝⎦B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦D．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021by b x x ay +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<, 所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.5．ABC 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．534B ．334C ．64D ．364【答案】D 【解析】 【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 113131362332334342P BCFE BCFE ABCV S h Sh -==⨯=⨯⨯⨯=故选：D. 【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线的离心率. 【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得22241639b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.8．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k=，代入上式即可求出k 的取值范围．【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=，∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<，且12242kb x x k -+=，2122b x x k=，12124()2y y k x x b k+=++=， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=，0m >，0k ∴>，把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题． 9．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.10．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >【答案】C 【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==，9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题. 11．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4 C ．12D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届高三新高考统一适应性考试 江苏省天一中学考前热身模拟试题数学试题一､选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-【答案】C【解析】由已知得{05}AB x x =≤<，故选C2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】由已知得342525z i =-，z 的实部为325，虚部为425-，共轭复数为342525i +，模为不为模为15，故选C3．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（ ）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63【答案】A【解析】由已知得()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<向右平移4π个单位长度得到()sin(2)2g x x πϕ=+-，所以2=+2=2263k k πππϕπϕπ-+，(0)ϕπ<<，∴2=3πϕ，()sin(232)f x x π=+，()f x 的单调减区间是123222322k k x πππππ≤++≤+，即151212x k k ππππ-≤≤+，A 选项符合题意4．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得()f x 为奇函数，0a b +≥，a b ≥-，()()f a f b ≥-，即()()0f a f b +≥，故选C 5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C6．(本题5分)函数2()x x f x e e-=+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式可知得(()f x f x -=-为奇函数，且定义域为[]3,3-，0x >，则中()0f x >恒成立，故选C7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）ABCD ．11e e+- 【答案】A【解析】依题意，圆心为1(,0)C e e+，设P 点的坐标为(,ln )x x ，由两点间距离公式得()22222211||ln 21+ln PC x x x e x e e e e e x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦+,21()2+f x x e x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22+ln 1x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，12ln ln ()22+2()x e x x f x x e x e e x ex -⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，()0,f x x e '==，2ln ln 1ln =e x x x x ex x x ''--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知当()ln 0,,x x e x ∈递增，()ln ,,x x e x ∈+∞递减，故当=x e 时取得极大值也是最大值为0，ln 10x x e-≤，当()0,,x e ∈()0f x '≤，当(),,x e ∈+∞()0f x '≥，()0,f x x e '== ()0,,x e ∈()f x 单调递减，(),,x e ∈+∞()f x 单调递增，∴2min21()()e f x f e e+==，线段PQ 的长度的最1e e=，故选AA ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和0123456666666662=64C C C C C C C ++++++=,令=1x ，即可得到所有项的系数和为60=0，含有常数项为()3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,01234566666666,,,,,,C C C C C C C 中最大的项为36C ，第4项，，故选ABD9．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =- 【答案】BC【解析】由题意可知，7+0,+,6122k k Z ωππωπϕϕπ-==+∈，即41()32k ω=+，6πωϕ= 252212312T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，则=1k ，此时23πωϕ==，，()sin(2)3f x x π=+，∴26x ππ<< ∴242333x πππ<+<，∴()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误，由592+3=206πππ⨯，∴59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确，∴,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，min ()=()=4f x f π- 1sin()62π-=-，max ()=()=sin =1122f x f ππ，∴最大值与最小值的和为12，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到sin()3y x π=+的图象，再向左平移6π个单位，得到sin()=sin()=cos 632y x x x πππ=+++，即()cos g x x =故D 错误，BC 正确 10．(本题5分)下列结论正确的是（ ）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1). 【答案】BD【解析】A 、ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则ν是平面α的一个法向量；但=0λ时，()R λνλ∈为零向量，不是平面α的一个法向量B 、过点00(,)P x y 的直线方程为22+0(0)Ax By C A B +=+≠可得00+0Ax By C +=，即00C Ax By =--，代入直线方程得2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠，故B 正确；C 、直线l 方程为过点3(2)y k x -=+，原点到l 的距离是2，则32k d ，解得5=12k ±的方程是512260x y +-=，故C 不正确D 、设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)(2020,0)-、、 (0,4078380)，由相交弦定理得：20192020=20192020a ⨯⨯⨯，解得：=1a ，故另一个交点坐标为(0,1)，故D 正确11．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】解：∴数列{}n a 为递增数列，∴123a a a <<，又∴12n n a a n ++=，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩， ∴12123212244a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，∴101a <<，故A 正确.∴()()()22123421226102(21)2n n n S a a a a a a n n -=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=又∴{}n b 均为递增数列，∴123b b b <<，∴12(N)nn n b b n +⋅=∈∴122324b b b b =⎧⎨=⎩，∴2132b bb b >⎧⎨>⎩ ∴11b <，故B 正确.又∴()()12212213521242(21)(21)+2121n nn n n n b b T b b b b b b b b b b ---=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+=--()()))12212121nnnb b +-≥--，∴对于任意的*n N ∈，22n n S T <，故C 正确，D 错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 12．(本题5分)下列命题：∴2:,10p x R x x ∀∈++≥；∴000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；∴():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；∴:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)【答案】∴∴【解析】∴2=14010x x ∆-<++≥，为真命题，∴sin cos 2sin +24x x x π⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，不存在0x R ∈，使得00sin cos 2x x +=，为假命题，∴()1),()(1x x g x e x g x e '=+=--，当()0,()0x g x '∈-∞<，，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，即1x e x >+为真命题，∴若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若=0ab ，则=0a 为假命题13．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______. 【答案】-6480【解析】有关23ab c 的项为()()()()23231232323236532360236480C a C b C c ab c ab c ab c⋅⋅-=⋅⋅-=- 14．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【答案】22【分析】根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果.【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，因为Q 在PAD △内及边上，所以AB QA ⊥，CD QD ⊥，所以tan CD CQD DQ ∠=，tan AB BQA QA =，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD ABDQ QA=，因为2,CD AB ==，所以QD =，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：则(1,0)D -，(1,0)A ，(1,3)P ，设(,)P x y，则||DQ =||QA =QD ==22(3)8x y -+=，所以Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，如图所以，当Q 为圆22(3)8x y -+=与PA 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令1x =，解得2y =±，所以点Q到DA 的距离最大为2，也就是三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，因为122ABC S ==△以三棱锥Q ABC -的体积最大值为1233⨯=.故答案为：3.15．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___. 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【答案】0 1010【解析】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x ，111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n ， 令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增，+1()log 302=-<n n f n n n ；+1()1>02=n f ，由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=【点睛】关键点点睛：在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题15分)在ABC 中，3A π=，b =∴、条件∴这两个条件中选择一个作为已知，求（∴）B 的大小；（∴）ABC 的面积 .条件∴：222b a c =+； 条件∴：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件∴和条件∴分别解答，按第一个解答计分.【答案】（∴）4B π=（∴【分析】若选择条件∴：222b a c +=+. （∴）根据余弦定理求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.若选择条件∴：cos sin a B b A = （∴）根据正弦定理可求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.【解析】若选择条件∴：222b a c +=+.（∴）因为222b ac =+，由余弦定理222cos a c b B +-==，因为()0,B π∈，所以B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△. 若选择条件∴：cos sin a B b A=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.17．(本题12分)已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a na n +=+数列{}nb 是等比数列，并满足12b =，且11b -，4b ，51b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=；2nn b =（2）()1122n n S n +=-⋅+. 【分析】（1）由数列{}n a 的递推公式判断数列{}n na 是常数列，从而求得{}n a 的通项公式，根据11b -，4b ，51b -成等差数列，列式求数列的公比q ，再求通项公式；（2）由（1）可知 2n nn nb c n a ==⋅，利用错位相减法求和.【解析】（1）由已知11a =，()11n n na n a +=+，所以{}n na 是常数列，所以111n na a =⋅=，故1n a n= 设{}n b 的公比是q ，由已知得()()415211b b b =-+-，所以3442q q =，所以2q，故2n n b =（2）由题意可知：2n nn nb c n a ==⋅，又121n n n S c c c c -=+++，代入可得：()1211222122n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅……∴()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅……∴ ∴-∴得：()123111212222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--所以()1122n n S n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.18．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD =．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）7【分析】（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由,BE BC AB BE B ⊥⋂=，得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠= 由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -， 则()()()(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C EA (D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,140,33y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =则0,9y x ==， 所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，由（1）知EA ⊥平面ABCD，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量.设二面角F AD C --的平面角为α，由图知α为锐角，则cos 23EA n EA nα⋅===⨯⋅所以二面角F AD C --.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.19．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：： （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2N ,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.【答案】（1）(1)0.016P X =≈，() 5.442E X =；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可. （2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可. 【解析】（1）由题意知：0.0470.6x ⨯=. ∴(2,](70.620.06,70.610.03](50.54,80.63]μσμσ-+=-+=， 而11(2)()(22)0.818622P k P k P k μσμσμσμσμσμσ-≤+=-≤++-≤+=＜＜＜. 从而质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的概率为0.1814.因此12930(1)(0.8186)0.1814300.00300.18140.0163260.016P X C ==⨯≈⨯⨯=≈X 的数学期望为()300.1814 5.442E X =⨯=.（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k 与对应概率如下表所示：(14)t <<故每个包装胶带的利润50.1630.320.40.10.20.22y t t t t e e =⨯+⨯+⨯+⨯-=-+ 则()0.2 2.60.213tty e e '=-+=--， 令0y '=，得ln13t =，故当(1,ln13)t ∈时，0y '>，当(ln13,4)t ∈时，0y '<，所以当ln13 2.6t =≈时，y 取得最大值，ln13max 0.2 2.6ln13 2..6 2.6 2.6 4.16y e =-+⨯≈-+⨯=（元），由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.1610004160⨯=（万元），而4160万元5000<万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.20．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，该点坐标10(3-,0)【分析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．【解析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由32OP =，123·4PF PF =-可得2294m n +=，(,)(,)c m n c m n ----22229344m c n c =-+=-=-，即有23c =，即c =，又c e a ==，可得2a =，1b ==，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ,2)y ，由题意可得(2,0)M -，若直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即120y y >，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．联立椭圆方程2244x y +=， 化为：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，∴∴22226416(14)(1)0k m k m =-+->，化为：2214k m +>．122814km x x k ∴+=-+，21224(1)14m x x k-=+． 由2παβ+=，可得tan tan 1αβ=，∴1212·122y y x x =++， 1212()()(2)(2)kx m kx m x x ∴++=++，化为：221212(1)(2)()40k x x mk x x m -+-++-=，222224(1)8(1)(2)()401414m km k mk m k k -∴-+--+-=++， 化为22316200m km k -+=，解得2m k =，或103m k =． ∴直线AB 的方程可以表示为2y kx k =+（舍去），或103y kx k =+，则直线AB 恒过定点10(3-,0)． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．21．(本题12分)已知函数cos ()(,a xf x b a x=+b ∴R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+(i )求f (x )的解析式; (ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 【答案】（1）单调递减函数；（2）(i ) 3cos ()1xf x x=-； (ii ) 3个，理由见解析. 【分析】（1）当1,0a b ==时，求得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-，进而得到()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调性；（2）(i ) 求得函数的导数()'f x ，求得2()2af ππ-'=，得到26aππ-=-，求得a 的值，进而求得b 的值，即可求得函数的解析式； (ii ) 令()()312g x f x π=-+，求得()23(sin cos )x x x x g x -+'=，分(0,]2x π∈，3(,)22x ππ∈和3[,2]2x ππ∈三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【解析】（1）当1,0a b ==时，cos ()x f x x =，可得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-， 因为(0,)2x π∈，所以sin cos 0x x x ⋅+>,即()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,)2π上为单调递减函数.（2）(i ) 由函数cos ()a x f x b x=+，可得2(sin cos )()a x x x f x x -⋅+'=，则2()2a f ππ-'= 因为函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为62y x π=-+，所以26aππ-=-，解得3a =，当2x π=，代入切线方程为6212y ππ=-⨯+=-，可得()12f b π==-， 所以函数()f x 的解析式为3cos ()1xf x x=-. (ii ) 令()()33cos 3122x g f x x x ππ+=-=-，则()23(sin cos )x x x x g x -+'=，∴当(0,]2x π∈时，可得()0g x '<，()g x 单调递减，又由330(,022)()62g g πππππ->-=<=， 所以函数()g x 在区间(0,]2π上只有一个零点；∴当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，可得()3cos 302x x g x π-=<恒成立， 所以函数()g x 在区间3(,)22ππ上没有零点；∴当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，可得()cos 0h x x x '=>， 所以()h x 在区间3[,2]2ππ单调递增，3(2)0,()02h h ππ><，所以存在03[,2]2x ππ∈，使得()g x 在03[,)2x π上单调递增，在0(,2]x π单调递减， 又由(2)0,()02g g ππ=<，所以函数在3[,2]2ππ上有两个零点， 综上可得，方程3()12f x π=-在(0,2]π上有3个解. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}1B x x =≥，则()UAB =（ ）A ．{}0x x >B ．{}1x x <C ．{}2x x <D ．{}01x x <<2．设53a -=，3log 0.2b =，2log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>3．已知sin α=()cos αβ-=，且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 4．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（ ） A ．1360B ．16C ．115D ．7156．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m7．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦C ．1,33⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎢⎪⎣⎭8．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（）A ．1BC ．3D ．13-二、多选题9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A是两两互斥的事件 10．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=-11．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 12．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x = B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a = C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、填空题 13．若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.14．已知ABC 的外心为,34O AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B 的取值范围是_____________.15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.四、双空题16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.五、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n nS +=，数列{}n b 满足：2log n n a b =，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1,?(2) 2,? nn nn a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求2n T .18．已如函数()()2ππsin 2cos 12f x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2f A =，2a =，求ABC 面积的最大值．19．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.20．如图1，矩形ABCDBC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △ 向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A -BE -D 的正弦值.21．已知椭圆C .22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px Γ=：（0p >）共焦点，以椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，经过F 2的直线交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且满足22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭.（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;（2）若点D 在第三象限，且点A 在点B 上方，点C 在点D 上方，当△BF 1D面积取得最大值S 时，求212F F F B ⋅的值. 22．已知函数()()xf x xex =∈R ，其中e 为自然对数的底数．（1）当1x >时，证明：()()211ln 231f x x x x x --->-+； （2）设实数1x ，()212x x x ≠是函数()()()2112g x f x a x =-+的两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】解出集合A 中的不等式，然后可得答案. 【详解】因为{}{}220=02A x x x x x =-<<<，{}1B x x =≥所以{}1UB x x =<，所以()U AB ={}2x x <故选：C 2．D 【分析】利用对应指对数函数性质即可判断a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3x y =的性质知：01a <<， 由3log y x =的性质知：0b <， 由2log y x =的性质知：1c >， 所以c a b >>. 故选：D 3．A 【分析】 易知()()sin sinβααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin 5αβ∴-==±.当()sin 5αβ-=时， ()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---5757535=-⨯=-， 304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴= 当()sin αβ-=sin β=，符合题意.综上所述：sin β=. 故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.4．C 【分析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x x OA OB x ee -⋅=-并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101x x e x +=>-，即得1x 的范围，得命题②错误；构造函数1111()1x x F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题③正确. 【详解】()x f x e =，()x f x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-. 命题①中，若10x =，由121xe x =可得21x =，此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立，矛盾；10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<； 若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<.所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠>，故①正确；命题②中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111x x x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故②错误；命题③中，因为21ln 2111x x x x ex ex --=-=-，由②知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >， 故当10x <时，即11x <-，设1111()1x x F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故 ()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，因为21ln 2111x xx x e x e x --=-=-，故构造函数()x h x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，则()10xh x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()52222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+> ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题. 5．C 【分析】先求得总可能性为410A 种，再求得满足题意的可能性为2283A A 种，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种，琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻的概率2283410115A A P A ==. 故选：C 6．C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 7．A 【分析】根据三角形的面积关系，可得(1122222p a c c y +=，再根据||P y b ≤可得关于,a c 的不等式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】12PF F 的面积关系可得：(11222222p a c c y +=，∴()p a c c y +=≤，∴()a c +≤， ∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 8．A 【分析】先求出概率4()(2)(1)f p p p p =--，再求最大值，借助于均值不等式求解． 【详解】解：设事件A ：检测5个人确定为“感染高危户”， 事件B ：检测6个人确定为“感染高危户”. ∴4()(1)P A p p =-，5()(1)P B p p =-.即454()(1)(1)(2)(1)f p p p p p p p p =-+-=--. 设10x p =->，则()424()(1)(1)(1)1g x f p x x x x x =-=-+=-，∴()()242221()1222g x xxx x x ⎡⎤=-=⨯-⨯⨯⎣⎦ ()322222142327x x x ⎡⎤-++≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2222x x -=即x =时取等号，即013p p ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题． 9．BCD 【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案． 【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A 、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A ，463535541()1011101110111102P M =⨯+⨯+⨯=≠，故A 错误； 对B ，11146()61011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯===，故B 正确； 对C ，当1A 发生时，6()11P M =，当1A 不发生时，5()11P M =，∴事件M 与事件1A 不相互独立，故C 正确；对D ，1A ，2A ，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 10．BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭， 即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y ⎪=⎪+⎭=1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 11．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12．ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e-'=，()π,πx ∈-， 令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x x a e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e --'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos xxh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以42a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数x y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点， 则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 13．1721- 【分析】先利用二项展开式的通项公式求解171a =，然后利用赋值法求解012316a a a a a ++++⋯+. 【详解】由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+， ∴171a =，令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－. 故答案为：1721-.14．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】作出图示，取BC 的中点D ，则有ODBC ，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出()2212AO BC b c ⋅=-，()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，代入已知得222+23a c b =，由余弦定理表示cos B ，再由基本不等式可求得范围.【详解】作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，因为ABC 的外心为O ,则OD BC ，因为()++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，又()()()()2222111+222AD BC AB AC AC AB AC AB b c ⋅=⋅-==--，所以()2212AO BC b c ⋅=-，同理可得()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，所以34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅化为()()()22222211134222b c a c b a ⨯-=⨯+--，即222+23a c b =.由余弦定理得()2222222221+2123cos 2232+a c a c a c ba c B acac ac+-+-===⨯，又22222+a c ac ac ≥=c =时，取等号，又0B π<<，所以cos 13B ≤<.故答案为：3⎫⎪⎪⎣⎭.【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题. 15．1003π 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解. 【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由12,4,BB BC AB AC ====可得14AB ==,14B E ==,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OBC 中作11OM BC ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM BC ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B可知1111122OO B C BC ===因为1O 为三角形1AB E 的中心，所以1112233B O B B ==⨯=在11Rt B OO中，3R ===, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.16．0 1010 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【详解】 （1）当1n =时，221log 4-=x x ， 设221()log 4=--f x x x 单调递减， 1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x 111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增+1()log 302=-<n nf n n n ； +1()1>02=n f由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =， 当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k 所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010故答案为：①0；②1010 【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.17．（1）n a n =，2nn b =；（2）()2712622134n nT n =--+⨯ 【分析】（1）根据22n n n S +=，利用数列的通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）由（1）知，n a n =，2nn b =得到()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和法求解. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，当1n =时，111a S ==当2n ≥时，22n n n S +=，()21112n n n S --+-=，两式相减得：1n n n a S S n -=-=(2)n ≥ 又1n =时，11a =满足上式 所以n a n =又2log n n a b =，所以2log n n b =， 所以2nn b =.（2）()()()122n n n n a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由（1）知，n a n =，2nn b =所以()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++()()21111111 (1335212128)2n n n -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-+⎝⎭⎝⎭ 11111111124112335212114n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+-++-+ ⎪-+⎝⎭- 1121(1)(1)22134n n =-+-+ 71262(21)34nn =--+⨯ 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 18．（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2【分析】（1）先将函数整理，得到()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，先求出π3A =，根据余弦定理，求出224b c bc bc =-+≥，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】（1）()1πcos cos 222cos 22sin 226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由()πππ2π22π262k x k k -+≤-≤+∈Z ， 得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）∵()2f A =，∴π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC 为锐角三角形， ∴ππ262A -=，∴π3A =．在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =-+≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A =≤△，∴当2b c ==时，()maxABC S =【点睛】 方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.19．（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值； （ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个； （2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增； 当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减； 所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.20．（1）证明见解析；（2【分析】（1）先沿EF 将ABFE 折起，同时在平面ABFE 内再沿折痕AF 将面ABF 折起翻过来，使得B 落在FC 上，所以AB 与BF 始终垂直，及FC AB ⊥，若能证明FC BE ⊥，问题就获得解决，接下来就设出相关量，通过勾股定理等计算，证明EF EC =，12BF FC =，从而说明B 点是FC 的中点，从而达到证明目的.（2）建立空间直角坐标系，求出两面的法向量，即可得解.【详解】（1）证明：在平面ABCD 中，AF =FC ，BF +FC ，设AB =，则3BC a =，设BF =ED =x ，在BAF △中，2223(3)x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==， 因为点B 落在线段FC 上，所以2BC a a a =-=，B 点是FC 的中点，又())222234EF a a a a =--+=，所以2EF a =根据等腰三角形三线合一得BE FC ⊥， 又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点，FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,0,0),(,0),(,0,0)C a F E a B a ，(0,,0)BE =， 易得平面ABE 的一个法向量为(2,0,0)FC a =，作DG EC ⊥于G ， 因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5(4G a ，5(4D a ，1(4BD a =， 设平面DBE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30104m BE ay m BD axy ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令z =(n =-， 因为cos ,||||2n FC n FC nFC a ⋅〈〉===⋅⋅所以锐二面角A -BE -D 13= 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，抓住“到底是怎么翻折的”，“翻折后哪些量是不变的”，要树立“有些垂直关系是通过数量给出的”的意识.21．（1）22:184x y C +=；2:8y x Γ=；（2161-【分析】（1）利用已知条件，列出含,,a b c的方程组，进而出,,a b c 的解即可； （2）设直线AB 的倾斜角为θ，利用椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到2244;1cos 1cosep F D F B e θθ====-+ 进而得到2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ， 列出面积的方程，进而利用导数的性质可求解 【详解】解：（1）先作如下计算，设过2F 的直线AB 的倾斜角为θ，设22,F D x F C y ==，由椭圆定义得112,2F D a x FC a y =-=-，由余弦定理得2222cos (2)(2)x c c x a x θ⋅⋅=+--， 整理可得2cos b x a c θ=-⋅，同理可求得2cos b y a c θ=+⋅，2112ax y b∴+=，∴222112a CF DF b +=； 所以，222cos 1cos b b a F D c a c aθθ==-⋅-⋅；过,A B 两点分别向x 轴作垂线1AA 、1BB ，1A 、1B 为垂足， 再设22,F A x F B y ==，可得， 点A 的横坐标为cos 2p x θ+⋅，点B 横坐标为cos 2py θ-⋅， 由抛物线定义知cos 22p p x x θ+⋅+=，cos 22p py y θ-⋅+=， 所以，1cos p x θ=-，1cos py θ=+，此时， 112x y p +=，∴22112AF BF p+= 设椭圆C 的焦距为2c ，所以，2pc =，易知24y cx Γ=：， 又因为椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，得1482bc ⨯=，得4bc =，又21p c=由22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭得，212a c b =，得2ac =，联立方程得，22224bc ac a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得22842a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴22:184x y C +=，2:8y x Γ= （2）由（1）得，直线AB 的倾斜角为θ，且2ac =，得，椭圆离心率2e =，则222cos cos 1cos 1cos p b F D a c a c e e θθθθ====-⋅-⋅-⋅-⋅，得，2421cos 2p F D e θ===-⋅，又由（1）得241cos F B θ=+∴2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ， 则12sin 4sin DB h FF θθ==，112sin 421cos DB BF D DB h θθ⎫∆=⨯⨯=⎪+⎭()()()22sin 121cos 1cos cos f f θθθθθθθ'-=-⇒=-++()(()202cos 1cos 50f θθθ-'=⇔+=，根据cos θ的性质，只有cos θ=符合题意，根据导数的性质，可知，()f θ在cos θ=时，取得最大值，21221216116cos cos 1cosF F F B F F FB θθθ-∴•=⋅⋅==+，【点睛】 关键点睛：解题关键在于根据椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到，2244;1cos 1cos ep F D F B e θθ====-+，进而列出面积方程，再求导后求解，本题的运算量相当大，属于难题22．（1）证明见解析；（2）(),0-∞．【分析】（1）构造函数()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-，证明最小值大0即可得解；（2）先求导()()2112x g x xe a x =-+可()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-， 分0a =，0a <和0a >进行讨论即可得解.【详解】（1）设()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-， ∴()112x h x e x -'=+-，∴()121x h x e x-''=-， ∵1x >，∴11x e ->，2101x <<，∴()1210x h x e x-''=->，∴()h x '在()1,+∞上单调递增， 又()10h '=，∴1x >时，()()10h x h ''>=，()1ln 21x h x e x x -=+-+在()1,+∞上单调递增，又()10h =，∴1x >时，()()10h x h >=，故当1x >时，()1ln 211f x x x x ->-+--， ∴()()211ln 231f x x x x x --->-+．（2）∵()()2112x g x xe a x =-+， ∴()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-， 当0a =时，易知函数()g x 只有一个零点，不符合题意．当0a <时，在(),1-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；又()110g e-=-<，()120g e a =->， 不妨取4b <-且()ln b a <-时，()()()2ln 2111120222a g b be a b a b b -⎛⎫>-+=-++> ⎪⎝⎭， [或者考虑：当x →-∞，()g x →+∞]，所以函数()g x 有两个零点，∴0a <符合题意，当0a >时，由()()()10x g x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =． （ⅰ）当ln 1a =-，即1a e=时，在(),-∞+∞上，()0g x '≥成立， 故()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．（ⅱ）当ln 1a <-，即10a e<<时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；在()ln ,1a -上，()0g x '<，()g x 单调递减；又()110g e-=-<，且()()()2211ln ln ln 1ln 1022g a a a a a a a =-+=-+<， 所以函数()g x 至多有一个零点()g x ，不符合题意．（ⅲ）当ln 1a >-即1a e>时， 在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x '>，()g x 单调递增；在()1,ln a -上()0g x '<，()g x 单调递减，以()110g e-=-<，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(),0-∞．【点睛】本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题.解决本类问题的方法有以下几点：（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.。