2020年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(强化班)(附带详细解析)

江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.123.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C.D.4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C .如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥）απ5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10D.10-6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A .1B.2C.3D 2.1217.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.11178.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z =a +b i(a ,b ∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z +i 与2z+iA.若z ⋅z ∈R ，则z ∈RC.若|z |=1，则|z -1-i |的最大值都是实数，则|z |=D.若z 2为纯虚数，则a =b ≠+110.已知 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件中，能使 ABC 的形状唯一确定的有（）A.a =2,b =3,∠C =60︒ B.a =1,b =∠A =30︒C.a =1,∠B =30︒,∠C =45︒D.a =3,b =2,∠A =30︒11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 3312.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B AC cos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H = O A + O B + O C三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z =．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．16.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.19.已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2A-2sin2B-sin2C-2sin B sin C=cos2C-cos2C.1）求角A（；（2）若AD是 ABC的中线，且AD=2，求b+c的最大值.20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P､Q分别为对角线BD､CD1上的点，且12 3CQ BP QD PD==．（1）求证：PQ//平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，ARB的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明A．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，∠A =90 ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE =α，试求花卉种植面积S (α)的取值范围．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求 OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O *)的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.234255i 5)(2i +2+【详解】因为复数z ===+i ，所-i 以z ==1．故选：C ．b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模的定义即可求解.b 的夹角为30︒【详解】解： 向量a ，， a =2， =b∴=2a +=b ==故选：C ．3.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由水平放置的平面图形的直观图的画法，画出原图形，然后根据原图形求面积即可．【详解】解：画出相应的平面直角坐标系xoy ，在x 轴上取OA =O 'A '，在y 轴上取OB =2O 'B '，作BC //x 轴，并且BC =B 'C '，然后连接OC ，AB ，则平行四边形OABC 为原图形，OA =1,OB =，∴原图形的面积为1⨯=故选：C ．4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥）nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥α【答案】C 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.【详解】对于A ，当l 与α相交时，在平面α内且过交点的直线与l 都是共面的，故A 错；对于B ，如图1，可能是n ∥α，故B错；对于C ，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C 正确；对于D ，如图2，由于直线l 与α相交时，也可以有两点到α的距离相等，故D 错．故选：C.π5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10-D.10-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2AD =a ⇒AB ,CD =2a ,AC a ⇒sin α=cos α=,sin β⇒cos ,cos βA 1=cos(α+β)=0-,故选C.考点：解三角形.6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A.1B.2C.3D 2.12【答案】B 【解析】【分析】通过构造面面平行，得到MN 平面ABD ，再利用三角形相似，能求出NB 1的长.【详解】如图所示，过点过点M 作MP //AB 交BB 1于点P ，再过点P 作PN //BD 交B 1C 1于N ，取BB 1中点为Q ，连接C 1Q .因为MP //AB ，MP ⊄平面ABD ，AB Ì平面ABD ,所以MP //平面ABD ，同理，PN //平面ABD ，又MP PN =P .MP ,PN ⊂平面MPN ,所以平面MPN //平面ABD ，又MN ⊂平面MPN ，所以MN 平面ABD ，又由题意知，四边形ABB 1A 1与四边形BCC 1B 1都为边长为3的正方形.因为A 1M =1，MP //AB ，所以B 1P =1，132因为Q 是BB 1中点，所以B 1Q 2=BB 1=，又D 为侧棱CC 1的中点，所以BQ ∥C 1D ，所以四边形BQC 1D 是平行四边形.所以C 1Q //BD ，所以C 1Q //PN ，所以 B 1PN B 1QC 1，1111B P NB 所以B 1QC B =,即132NB 13=，解得NB 1=2.故选：B.17.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.1117【答案】B 【解析】【分析】根据D ,O ,F 和E ,O ,C 三点共线，可得 A O=x A D+y A F和 A O =m A E +n A C，利用平面向量线性运算可用a ,b 表示出 A O，由此可得方程组求得x ,y ，进而得到λ+μ的值.【详解】连接AF，AC，A D ,O ,F 三点共线，∴可设 A =D x O +y A F，则x +y =1，44F AB A 1y D ⎫+y +B ⎛x ++ ⎭⎪=⎝⎛ ⎭⎪⎝b ∴AO =xAD +y ( A B )=x A D1 ⎫ +ya ；E ,O ,C 三点共线，∴可设 A O =m A E +n A C，则m +n =1，33m AD A AO B =+n +⎫ m ⎭⎪⎝b +n ( A D )=⎛+na ；4n 31m ⎧x +y =y 1⎪+=∴⎨⎪x m ⎪+1=⎪⎪⎩y =⎪n 917817x y ⎧=⎪⎪+n ，解得：⎨⎪=⎪⎩8111717AO ，∴=+ a b 8111917171，即λ+μ7=+=.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O 为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.8.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪ ⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪332【答案】A 【解析】【分析】由条件可得CD 2=AB =c ，然后根据余弦定理可得a 2+b 2=5c 2、22(25a b ab a 2+b b -c 2cos C ==a )，根据三角形是钝角三角形求+出2b ，+∞)⋃(-∞∈a ，)，然后3利用对勾函数的性质求出cos C 的范围即可．【详解】如图所示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，112 AG ⊥BG ，∴DG 2=AB =c ，332由重心的性质得CD =3DG ，即CD 2=AB =c ，由余弦定理得：AC 2=AD 2+CD 2-2AD ⋅CD ⋅cos ∠ADC ，BC 2=BD 2+CD 2-2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC ，∠ADC +∠BDC =π，AD =BD ，∴AC 2+BC 2=a 2+b 2=2AD 2+2CD 2=5c 2，22(25a bab a 2+b b -c 2则cos C ==a)+，∠AGD >∠ACD ，∠BGD >∠BCD ，∴90︒=∠AGB >∠ACB ，∴∠ACB 为锐角， ABC 是钝角三角形，∴∠BAC 或∠ABC 为钝角，∴b 2+c 2<a 2或a 2+c 2<b 2，将a 2+b 2=5c 2代入得：2b ，+∞)⋃(0∈a，3，∴<cos C <13．故选：A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z=a+b i(a,b∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z+i与2z +iA.若z⋅z∈R，则z∈RC.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值都是实数，则|z|=D.若z2为纯虚数，则a=b≠+10【答案】BC【解析】【分析】根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式和几何意义逐一判断即可得出答案.【详解】对于选项A：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z=a-b i(a,b∈R)，所以z⋅z=(a+b i)⋅(a-b i)=a2-(b i)2=a2+b2，所以z⋅z∈R.故A选项错.对于选项B：因为z+i=a+(b+1)i为实数，所以b+1=0，所以b=-1.因为()())()i2i2i2i555a bz2a2b+(2a+b)-+(2b-a)i+b-a =(==++i为实数-，所以2+i2b-5a=0，又因为b=-1，所以a=-2.所以z=-2-i，所以z=故B选项正确=.对于选项C：若|z|=1，则a2+b2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆，|z-1-i|表示圆上的动点与点A(1,1)之间的距离，故|z-1-i|的最大值为：OA+r=1，故C正确.对于选项D：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z2=(a+b i)(a+b i)=a2-b2+2ab i.因为z2为纯虚数，所以a2-b2=0且2ab≠0，解得：a=b≠0或a=-b≠0.故D选项错误.故选：BC.10.已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使ABC的形状唯一确定的有（）B.a=1,b= A.a=2,b=3,∠C=60︒C.a=1,∠B=30︒,∠C=45∠A=30︒︒ D.a=3,b=2,∠A=30︒【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.【详解】对于A ，由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =7，解得c 7=，故A 正确；对于B ，根据正弦定理：sin a A =sin b B，可得sin B 2=，4π又因为b >a ，所以∠B >∠A ，所以∠B =或34π，故B 不正确；sin sin sin a b cA B =C，可知b ,c 均=有对于C ，由三角形的内角和可知∠A =105 ，又a =1，利用正弦定理唯一值，故C 正确；1对于D ，根据正弦定理：sin a A =sin bB ，可得sin B 3=，又因为a >b ，所以∠A >∠B ，所以ÐB 只能是锐角，故D 正确；故选：ACD11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 33【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 与BD ，设AC BD =O ，连接EF ，依题意可得EF 必过点O ，即可判断A 、C ，再根据面面平行的性质判断B ，再由线段的长度可得O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a ，根据球的体积公式计算可判断D ；【详解】解：连接AC 与BD ，设AC BD =O ，则O 为正方形ABCD 的中心，连接EF ，根据正棱锥的性质可知EF 必过点O ，即EF AC =O ，所以E 、F 、A 、C 四点共面，所以AE 、CF 共面，故A 错误，显然E 、B 、A 、C 四点不共面，故直线AE 与BC 为异面直线，即C 正确；因为AD //BC ，AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC //平面ADE ，依题意AB =BC =CD =AD =EB =ED =EA =EC =FA =FB =FC =FD =a ，，所以BD 2=DE 2+BE 2，即 BDE 为等腰直角三角形所以AC =BD =，a ，即四边形AFCE 为平行四边形，所以AE //CF 所以OE =OF 2=，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以CF //平面ADE ，又BC CF =C ，BC ,CF ⊂平面BCF ，所以平面ADE //平面BCF ，故B正确；显然OE =OF =OB =OD =OC =OA 2=a ，则O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a，43πR 3所以外接球的体积V 3==πa 3，故D正确；故选：BCD12.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B ACcos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H= O A + O B + O C【答案】ABD 【解析】【分析】利用平面向量共线定理判断A ，根据数量积的运算律及向量垂直判断B 、C 、D ；【详解】解：对于A ，设BC 的中点为D ，1111((33333AD AB AC AE AF AF λμλ则AG μ==)+=)+= + 2 1 1，因为E ，F ，G 三点共线，则11=133λ+，所以μ11λ=3，故A 正确μ+．|||B Ccos B AC )⋅cos C +BC 对于B ，(| A B A A |AB |cos B |AC |cos C= A B ⋅BC + AC ⋅BC |AB |cos B |AC |cos C =|BC |cos C|AB |⋅| B C |cos(π-B )+|AC | ⋅=-|BC |+|BC |=0，|AB |cos B |AC |cos C所以 AB + AC与B C 垂直，又 A H ⊥C B ，|AB |cos B |AC |cos C则 AB + AC与 A H 共线，故B 正确；对于C ，OA ⋅OB =OA ⋅OC 等价于OA ⋅(OB -OC )=0，等价于OA ⋅CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故C 错误；对于D ，因为 A H ⊥C B，(OB )⊥B +O CC ；OH O ⋅A B =(∴ A H )⋅-B CC =0，(OB OC )⋅+B C =0；两式相减得(OH -OA -OB -OC )⋅BC =0；同理(OH -OA -OB -OC )⋅AC =0；H A B 若 C O - O - O - O ≠0，则该向量同时垂直于B 、 A C C ，显然不可能；∴ O H = O A + O B + O C，故D 正确；故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____5【答案】(3-,0) (0,+∞)【解析】【分析】先写出a +λb =(1+λ,2+λ)，再利用a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线求λ的取值范围即可.【详解】由题意知，a +λb =(1+λ,2+λ)，a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线，即1+λ+2⋅(2+λ)>05且1⋅(2+λ)-2⋅(1+λ)≠0，解得λ>3-且λ≠0.5故答案为：(3-,0) (0,+∞).14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z=．【答案】2+i ##i +2【解析】【分析】设z =a +b i ，则z =a -b i ，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．【详解】解：设z =a +b i ，则z =a -b i ，甲：由z +z =4可得2a =4，则a =2，乙：由z ⋅z =3可得：a 2+b 2=3，丙：由z 5z 2z =可得z 52z 2=，z ⋅z 即2225z z b a 2=，所以a 2+b 2=5+，若a =2，则a 2+b 2=4+b 2=3，则b 2=-1不成立，4+b 2=5，则b 2=1，解得b =1或-1，所以甲，丙正确，乙错误，此时z =2+i 或z =2-i ，又复数z 对应的点在复平面第一象限内，所以z =2+i ，故答案为：2+i ．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．【答案】#42【解析】1B2D 【分析】由余弦定理求出BC ,使用角平分线及正弦定理得到DC =，求出BD 3=，再利用高线求出AE ,BE ，得到DE ，求出直角三角形面积.【详解】在 ABC 中，由余弦定理得：BC ===，sin AB BDADB =在三角形ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD∠，AC CDADC =同理在三角形ACD 中，由正弦定理可得：sin ∠CADsin ∠，因为∠ADB +∠ADC =π，又∠BAC 的平分线交BC 于D ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD ，sin ∠ADB =sin ∠ADC ，故AB AC BD DC =1B 2D ，即DC =，所以BD 3=，227B AC C 2AB B AB 2C +-而cos B ==，又AE 为BC 边上的高⋅，所以AE =AB ⋅sin B 7==，BE =AB ⋅cos B 7=，从而372DE =BD -BE 1=-=，所以 ADE 的面积为1122721AE ⋅DE 42=⨯⨯=.故答案为：4216.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．1【答案】4-【解析】【分析】设出边长，通过做辅助线，将PN ⋅PB 转化为PE -E B 2 2，然后利用解三角形的知识，把P E 和BE 表示出来，建立函数关系求解最值即可.【详解】如图，连接BN ，设BN ，MN 中点分别为E ，F ，连接PE ，PF ，EF ．设CM =a ，CN =b (0≤a ≤2,0≤b ≤2)，222P 2N PN B E +PB E ⎛⎫-P =-P PN ⋅PB =-B ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎛⎫ 2 2，2124B 在Rt BCN 中，由勾股定理得BN 2=BC 2+CN 2=b 2+4，则B N E ⎫=⎛= ⎭⎝⎪2b 2+1，BN ，MN 中点分别为E ，F ，则EF 为△BMN 的中位线，112∴EF ∥BM 且EF 2=BM =1-a ，∴∠EFM =∠CMN，在Rt CMN 中，由勾股定理得MN ==CN MN ∴sin ∠CMN ===sin ∠EFM，2在等边 PMN 中，F 为MN 中点，则PF ⊥MN ，PF 2=MN =⋅π2cos ∠PFE =cos ⎛+∠EFM ⎫⎭⎪=-sin ∠EFM =⎝，在 PEF中，由余弦定理得34PE 2=EF 2+PF 2-2EF ⋅PF cos ∠PFE =a 22+b 2-ab -a ++1，当N 与C 重合时，△BCN ，△CMN ， PEF不存在，但可验证上述等式依然成立，1b 22- PN ⋅PB =a 2-a ++223131216441644⎡⎤⎛1⎫b +b 2-+-b b 2≥-+-=⎢a -⎥ ⎪ ⎪⎢⎝⎥4⎭⎣⎦14当且仅当a 2=+时等号成立．31164b 2∵关于b 的函数y =4-+在[0,2]上单调递增b -，3111644b 2∴4-+b -，当且仅当b =0时等号成立≥-．1∴PN ⋅PB ≥4- 1，当且仅当a 2=，b =0时等号成立.1故答案为：4-．【点睛】在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.【答案】（1）z =2+2i 或z =-2-2i （2）-56【解析】【分析】（1）设z =x +y i ，x ,y ∈R ，根据复数的模及复数代数形式的乘运算得到方程组，解得即可；（2）首先判断z =2+2i ，再求出A 、B 、C 的坐标，最后根据向量数量积的坐标表示计算可得；【小问1详解】解：设z =x +y i ，x ,y ∈R ，所以z 2=(x +y i )2=x 2-y 2+2xy i ，z =，z 2的虚部为8由复数z 满足|z |=．⎧x 2+y 2=8可得⎨2xy =8，解得x =y =2或x =y =-2⎩，故z =2+2i 或z =-2-2i ；【小问2详解】解：因为z 在复平面内所对应的点A 位于第一象限，所以z =2+2i ，z 2=(2+2i )2=8i ，z -z 2=2+2i -8i =2-6i ，所以A (2,2)，B (0,8)，C (2,-6)，即OA =(2,2)， B O =(0,8)， C O=(2,-6)，所以OA +OB =(2,2)+(0,8)=(2,10)，所以(OA +OB )⋅OC =2⨯2+10⨯(-6)=-56；18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（【解析2）证明见解析.】【分析】（1）先由BC ∥AD 证明BC ∥平面PAD ，再结合平面PBC ∩平面PAD=l ，由线面平行推出线线平行，即得证；（2）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可证明四边形AMNE 是平行四边形，即MN ∥AE ，由线线平行推线面平行，即得证【详解】（1）∵▱ABCD ∴BC ∥AD ，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴BC ∥平面PAD.又∵平面PBC ∩平面PAD=l ，BC ⊂平面PBC∴l ∥BC.（2）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE ∥CD ，且NE=1CD 2，又AM ∥CD ，且AM=1CD 2，∴NE ∥AM ，且NE=AM.∴四边形AMNE 是平行四边形.∴MN ∥AE.又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.19.已知 ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C .1）求角A （；（2）若AD 是 ABC 的中线，且AD =2，求b +c 的最大值.【答案】（1）2π（2）8【解析3】【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解.【小问1详解】由2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C 及二倍角的余弦公式，得2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -(cos 2C -sin 2C )，即2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =sin 2C ，于是有，sin 2B +sin 2C -sin 2A =-sin B sin C 及正弦定理，得b 2+c 2-a 2=-bc ，2122c bc bc 2b b 2c +-a 2-由余弦定理，得cos A ===-，2π 0<A <π,∴A =【小问2详解3.】1 因为AD 是 ABC 的中线，所以AD 2= ( A B + A C )，两边平方，得()1A 4D A 2B = 2+2 A B ⋅ A C + A C 22π,由（1）知，A 3=，AD =2，2π413⎛所以22=+b 2c 2+2c ⋅b ⋅cos ⎫ ⎭⎪⎝，2212b 4+c ⎫所以16=c 2-bc +b 2=(b +c )2-3⨯2-3bc ≥(b +c )⎛(b +c =) ⎭⎝⎪即(b +c )2≤64，所以b +c ≤8，当且仅当b =c =4时，等号成立，所以b +c 的最大值为8.20.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ､Q 分别为对角线BD ､CD 1上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：PQ //平面A 1D 1DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR B的值为多少时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ？请给出证明A ．【答案】（1）证明见解析；（2）AR B 的值A 为3，证明见解析5．【解析】【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明BC //AD ，PQ //MD 1，又MD 1⊂平面/平面A 1D 1DA ，证明PQ //平面A 1D 1DA A 1D 1DA ，PQ ⊂；（2）R 是AB 上的点，当AR B 的值A 为3时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ，通过证明PR //平面A 1D 1DA 5，又PQ ⋂R =P ，PQ //平面A 1D 1DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M点，因为四边形ABCD 为正方形，所以BC //AD ，故△PBC ~△PDM ，CP BP 23所以PM =D P ，又因为2C 3Q =BP QD 1D ==，所以2C 3Q P CP QD 1PM ==，所以PQ //MD 1．又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ //平面A 1D 1DA ．（2）当ARB的值A为3时，能使平面PQR//平面A1D1DA5．证明：因为3A5RAB=，即有2B3RRA=故BR BP，RA PD=．所以PR//DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR//平面A1D1DA，又PQ⋂PR=P，PQ//平面A1D1DA．所以平面PQR//平面A1D1DA．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A=90 ，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE=α，试求花卉种植面积S(α)的取值范围．12⎛,1-【答案】⎝4【解析】【分析⎦】利用正弦定理得3sin4αBEπ=sin⎛ -α⎫⎭⎝⎪34sinπsinα⎛-α⎫⎭⎪，求得S∆BDE+S∆DCF，从而，CF⎝=有S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DC F ,42 ⎝ππ)，再根据条件得α∈⎛⎫⎭⎪，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34π-α，由正弦定理得13sin BE απ=sin ⎛ -α⎫⎭⎝4⎪，∴3sin 4αBE π=sin ⎛ -α⎫⎭⎝⎪，34π在△DCF 中，∠FDC =-α,∠DFC =α，由正弦定理得13sin 4CF π=sin ⎛ α-α⎫⎭⎝⎪，3sin πsin α⎛-α⎫ ⎝4⎭⎪∴CF =，112424ππ∴S ∆BDE +S ∆DCF =⨯BE ⨯BD ⨯sin ⨯CF ⨯CD ⨯si +n (BF +CF 4=)3sin 43sin 4παπα⎛⎫sin ⎛-α⎫ ⎪⎭⎝⎪ ⎪=+4 sin ⎛⎪-α⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos sin 443sin cos 4ππcos αα3ππαcos αsin α⎛sin α⎫- ⎪=+ ⎪4 sin ⎪-⎝⎭44si αn α⎛⎫=+ ⎝cos +α2==1sin 2α-cos 2α+2=2sin 2α-cos 2α+1112⎛1=+ sin 2α-cos 2α+1⎫⎭⎝⎪1124π=+⎛⎫2α- ⎭⎪+2⎝，∴S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DCF 1122)4π=-⎛⎫α- ⎭⎪+⎝2,42ππ∴AEDF 为四边形区域，∴α∈⎫⎛ ⎝3,444πππ⎫∈⎭⎪，∴2α-⎛ ⎭⎪⎝，4π⎛⎤∴sin ⎫⎛2α- ⎭⎪⎝∈⎝2⎦14<S (α)≤1⎥，2∴-，1∴花卉种植面积S (α)取值范围是2⎛,1- ⎝4⎦．【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O * )的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）【答案】（1（2）232【解析5】 uuu r uuuuu r uu r uu u r 【分析】（1）由题意可得OP 1+OP 2021=OA +OB，进而推出OP m +OP n =OA +OB ，代入题中的等式即可；（10101-0i i 2）当a =b =1，n =10时，OP i =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，，101010j j OP -j =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，进而得，到 ij -5i -5j +5OP i ⋅OP j 50=0，从而得j OP P P ⋅( O i + O 25(i -5)j +0i )=-15i +100=，列出i 的取值即可得到对应的函数值.【小问1详解】2021120222022OA O 由题意得OP 1B =uuu +r uu r uu u r 2012021202，2OP A O 9=20122B O u +uuuu r uu r uu u r ，uuu r uuuuu r uu r uu u r所以OP 1+OP 2021=OA +OB，事实上，对任意正整数m ，n ，且m +n =2022，20222022022m m OA OB -有OP m =uuu +r uu r uu u r ，2022202220222n n OA -uuu r OP n +=uu r uu u r ， 所以OP m +OP n =OA +OB所以当n =2022时，(20212OA B B +=O uuuur uu u +O r uu r OA +uu r uu r uuu r uuu uu r u r )uu u r OA +OP 1+OP 2+L +OP n -1+OB 20232|OA B +=O u |=u r uu u r .【小问2详解】当a =b =1，n =10时，10,10101010i i OP i OA O -B i ⎝=10-i + =⎛⎫⎭⎪，同理1010,10101010j j j OP OA OB --j = ⎫⎭⎝⎪ j + =⎛10101010101050j i j -OP i i ij -5i --5j +50j =⋅+ ⋅ O =P 2005i 2-0i 1i +50+⎫⎛OP i == ⎪ ⎝10⎭ 2⎛10-i ⎫⎭⎝1⎪2j i O j P P P P P ⋅( P O i + O )= O 2+ O ⋅ O i 2-10i +50+ij -5i -5j +5500=(i -5)j +i 2-15i +10500=M (j =)50(i -5)⋅1+i 2-15i +10500i 2-14i +95当i =6，7，8，9时，M (j )≥M (1)==，当i =7时，上式有最小值23255525-07+100当i =5时，M (j )==150(i -5)⋅9+i 2-15i +10500i 2-6i +55当i =1，2，3，4时，M (j )≥M (9)==，当i =3时，上式有最小值232综上5，j OP P OP i + i ⋅( O )的最小值是2325.。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.经过点（-2，3）且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是的倾斜角是______．2.在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积是，则AC的边长为______．3.直线（m+1）x﹣（1﹣2m）y+4m＝0经过一定点，则该定点的坐标是4.设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b+c=2a，3a=5b，则∠C=______．5.若直线l经过点A（-3，4），且在坐标轴上截距互为相反数，则直线l的方程为______．6.在△ABC中，sin A：sin B：sin C=2：3：4，则sin C=______．7.直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行，则a=______．8.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______．9.直线l过点P（1，5），且与以A（2，1），为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为______．10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为______．11.△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为______．12.△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=______．13.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P-AEF体积最大时，tan∠BAC=______．14.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c．（1）若a=14，b=40，cos B=，求cos C；（2）若a=3，b=，B=2A，求c的长度．16.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD．M是AD的中点，N是PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD；（3）若平面ABCD是矩形，PA=AB，求证：平面PMC⊥平面PBC．17.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量=（a，sin C-sin B），=（b+c，sin A+sin B），且∥（1）求角C的大小（2）若c=3，求△ABC的周长的取值范围．18.已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．19.某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．20.已知a，b，c∈（0，+∞）．（1）若a=6，b=5，c=4是△ABC边BC，CA，AB的长，证明：cos A∈Q；（2）若a，b，c分别是△ABC边BC，CA，AB的长，若a，b，c∈Q时，证明：cos A∈Q；（3）若存在λ∈（-2，2）满足c2=a2+b2+λab，证明：a，b，c可以是一个三角形的三边长．答案和解析1.【答案】arctan【解析】解：设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x -2y+m=0，把点（-2，3）代入可得-2-6+m=0，∴m=8，故所求的直线的方程为x -2y+8=0，故直线的斜率为k=，则直线方程是的倾斜角是arctan，故答案为：arctan．设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x -2y+m=0，把点（-2，3）代入可得m值，从而得到所求的直线方程，即可求出直线的倾斜角．本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线垂直，斜率之积等于-1，设出与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x -2y+m=0 是解题的关键．2.【答案】5【解析】解：在△ABC中，∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bc sin A=b=，即b=5，则AC的边长为：5．故答案为：5．利用三角形面积公式列出关系式，将c，sin A及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cos A的值代入计算即可求出a的值．本题考查三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3.【答案】（-，-）【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形可得m（x+2y+4）+（x-y）=0，进而解可得x、y的值，即可得答案．本题考查过定点的直线问题，注意将直线变形，属于基础题．【解答】解：根据题意，直线（m+1）x-（1-2m）y+4m=0，即m（x+2y+4）+（x-y）=0，又由，解可得，则该直线恒过点（-，-）；故答案为：（-，-）．4.【答案】【解析】【分析】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．利用已知条件可得b=a，c=a，利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵b+c=2a，3a=5b，∴b=a，c=a，∴cos C===-∵C∈（0，π），∴C=，故答案为：．5.【答案】4x+3y=0或x-y+7=0【解析】解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-x，即4x+3y=0；②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴x-y=a，将A（-3，4）代入得，a=-7，∴此时所求的直线方程为x-y+7=0；故答案为：4x+3y=0或x-y+7=0．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯，属于中档题．6.【答案】【解析】解：∵sin A：sin B：sin C=2：3：4，∴由正弦定理，得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，cos C===-，则sin C===，故答案为：．由sin A：sin B：sin C=2：3：4及由正弦定理，得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出．本题考查正弦定理、余弦定理，属基础题，准确记忆定理的内容是解题关键．7.【答案】-2【解析】解：由a2-4=0，解得a=±2．经过验证a=2时，两条直线重合，舍去．故答案为：-2．由a2-4=0，解得a．经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9.【答案】（-∞，-1]∪[5-，+∞）【解析】解：如图示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1，则k1==5-，当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2==-1，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（-∞，-1]∪[5-，+∞），故答案为（-∞，-1]∪[5-，+∞）．结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可．本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10.【答案】5【解析】解：∵球形容器表面积的最小值为30π，∴球形容器的半径的最小值为r=，∴正四棱柱体的对角线长为，设正四棱柱体的高为h，∴12+22+h2=30，解得h=5．故答案为：5．由球表面积的最小值求出球形容器的半径的最小值，从而得到正四棱柱体的对角线长，由此能求出正四棱柱体的高．本题考查球、正四棱柱的高等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题．11.【答案】【解析】解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理可得：，∴cosα=，再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）n•cosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n•，化简可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），∴n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6则cosα=，∴sinα=，S==．故答案为：．根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，由三角形面积公式可得三角形的面积．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．12.【答案】【解析】解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4-4a2b2+4b4=（a2-2b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα=AM：sin∠BBM：sinβ=AM又有sinβ=cos∠AMC=cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠B cos（α+∠B）=sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα=，若，则cos∠BAM=，tan∠BAM=，解得tan∠B=，cos B=易得sin∠BAC=．另解：作MD⊥AB交于D，设MD=1，AM=3，AD=2，DB=x，BM=CM=，用△DMB和△CAB相似解得x=，则cos B=，易得sin∠BAC=．故答案为：作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．13.【答案】【解析】解：∵AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，∴PB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，∴AF⊥PB，又AC⊥BC，AP⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面PAC，∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC，∵BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE=90°，设∠BAC=θ，则AC=2cosθ，BC=2sinθ，PC=，在Rt△PAC中，AF===，AE=PE=，∴EF=，∴==，∴当AF=1时，V P-AEF取最大值，此时，AF==1，解得cos，sinθ==，∴tanθ==，∴当三棱锥P-AEF体积最大时，tan∠BAC=．故答案为：．由题意PB⊥平面AEF，从而AF⊥PB，由AC⊥BC，AP⊥BC，得AF⊥BC，从而AF⊥平面PBC，∠AFE=90°，设∠BAC=θ，则AF=，AE=PE=，EF=，=，当AF=1时，V P-AEF取最大值，由此能求出当三棱锥P-AEF体积最大时，tan∠BAC的值．本题考查三棱锥体积最大时，角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．14.【答案】2+1【解析】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，如图：则A（2，0），设∠AOB=θ，（0≤θ≤π），则B的坐标为（cosθ，sinθ），则=（cosθ-2，sinθ），△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，又由C、O两点在直线AB的两侧，则=（sinθ，2-cosθ），则=+=（2+sinθ，2-cosθ），则||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-），分析可得：当θ=时，||2取得最大值9+4，则OC的最大值为2+1，若OC≤m恒成立，则m≥2+1，即m的最小值为2+1；故答案为：2+1．根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，设∠AOB=θ，分析A、B的坐标，可得向量的坐标，又由△ABC为等腰直角三角形，则AC⊥AB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐标，进而由向量坐标的加法可得向量的坐标，进而可得向量的模，分析其最大值，若OC≤m恒成立，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于综合题．15.【答案】解：（1）a=14，b=40，cos B=，∴sin B=，由正弦定理可得=，则sin A==，∴a＜b，∴cos A=，∴cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cos A cos B+sin A sin B=-×+×=-．（2）由正弦定理可得=，则=，则cos A=，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A，即9=24+c2-2×2×c，整理可得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5．【解析】（1）根据正弦定理和两角和的余弦公式，即可求出，（2）根据正弦定理和余弦定理即可求出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角函数的化简，属于基础题．16.【答案】证明：（1）取PB的中点E，连接EN，AE．∵E，N分别是PB，PC的中点，∴EN BC，∵M是AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴AM BC，∴EN AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．（2）假设CM与AD不垂直，在平面ABCD内过M作AD的垂线，交BC于Q，连接PQ，MQ，∵PA⊥平面ABCD，MQ⊂平面ABCD，∴PA⊥MQ，又AD⊥MQ，PA∩AD=A，∴MQ⊥平面PAD，又MQ⊂平面PMQ，∴平面PMQ⊥平面PAD，显然这与平面PMC⊥平面PAD矛盾．故假设不成立，∴CM⊥AD．（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，又PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，由（1）可知四边形AMNE是平行四边形，∴四边形AMNE是矩形，∴MN⊥EN，又AM=MD，PA=AB=CD，∠PAM=∠MDC=90°，∴△PMA≌△CMD，∴PM=CM，又N是PC的中点，∴MN⊥PC，又PC∩EN=N，PC⊂平面PBC，EN⊂平面PBC，∴MN⊥平面PBC，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PBC．【解析】（1）取PB的中点E，连接EN，AE．通过证明四边形AMNE是平行四边形得出MN∥AE，从而得出MN∥平面PAB；（2）假设CM与AD不垂直，构造与平面PAD垂直的平面PMQ，得出矛盾结论即可；（3）证明四边形AMNE是矩形得出MN⊥EN，再证明PM=CM得出MN⊥PC，故而MN⊥平面PBC，于是平面PBC⊥平面PMC．本题考查了线面平行，面面垂直的判定与性质，属于中档题．17.【答案】解：（1）由向量=（a，sin C-sin B），=（b+c，sin A+sin B），且∥，得：a（sin A+sin B）=（b+c）（sin C-sin B）由正弦定理，得：a（a+b）=（b+c）（c-b）化为：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得：cos C=-，所以，C=，（2）因为C=，所以，B=-A，由B＞0，得：0＜A＜，由正弦定理，得：=2，△ABC的周长为：a+b+c=2（sin A+sin B）+3=2[sin A+sin（-A）]+3，=2sin（A+）+3，由0＜A＜，得：＜A+＜，＜sin（A+）≤1，所以，周长C=2sin（A+）+3∈（6，2+3]．【解析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理得：cos C=-，即可得解C的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c=2sin（A+）+3，由0＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）如图，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1．由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，∴OD1∥BC1．又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．∴=1时，BC1∥平面AB1D1，（2）由已知，平面BC1D∥平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O．因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1．∴=，=．又∵=1，∴=1，即=1．【解析】（1）欲证BC1∥平面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC1与平面AB1D1内一直线平行，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1，OD1∥BC1，OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，满足定理所需条件；（2）根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，根据比例关系即可求出所求．本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=x sinθ，∴EM=BM=x sinθ，∴△EAM中，AM=EM cos2θ=x sinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴x sinθcos2θ+x sinθ=a，∴x=，∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，当且仅当θ=时，取得最大值，此时l min=2a．【解析】（1）设∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），即可求l的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．20.【答案】证明：（1）∵a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理可得：cos A==0.125∈Q，得证；（2）∵任意两个有理数的和，差，积，商（除数不为0）仍是有理数，∴a，b，c∈Q时，可得：cos A=∈Q；（3）∵不妨假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即：a+b≤c，∴两边平方，可得：a2+b2+2ab≤a2+b2+λab，∴λ≥2，∵λ∈（-2，2），矛盾，故假设不成立，即存在以a，b，c为三边的三角形．【解析】（1）由已知可求cos A的值，即可得证cos A∈Q；（2）由余弦定理可求cos A，根据有理数对加减乘除法是封闭的即可证明；（3）用反证法证明．假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即a+b＜c，两边平方，再代入条件，引出矛盾，从而得证．本题以三角形为载体，考查学生灵活运用余弦定理的能力，要求熟练掌握反证法证明，是一道中档题．。

江高一下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知中，，，，则等于（ ） ABC 4a =4b =30A ∠=︒B ∠A. 或 B. 或C.D.60︒120︒30︒150︒60︒30︒【答案】D 【解析】【分析】直接利用正弦定理化简求解即可．【详解】由题意在中，，，，ABC 4a =4b =30A ∠=︒由正弦定理：可得． sin sin a b A B=14sin 12sin 42b A B a ⨯===，或．0180B ︒<<︒ 30B ∴=︒150︒又，所以 a b =30B =︒故选：D ．2. 下列说法正确的是（ ）A. 设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角 a b 0a b ⋅> a bB. 若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线 AB CDC. 若，，则a b ∥b c ∥a c∥D. 若，则a b =a b =r r 【答案】D 【解析】【分析】对于A ，当向量，同向时，即可判断；对于B ，根据共线向量的定义即可判断；对于C ，根a b据零向量与任意向量共线，即可判断；对于D ，根据相等向量的定义即可判断.【详解】解：对于A ，若，则，故A 错误；0a b ⋅>,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭对于B ，若非零向量与是共线向量，AB CD则与平行或共线，故B 错误；AB CD 对于C ，若，，a b ∥b c∥当时，不能确定是否平行，故C 错误；0b =,a c 对于D ，若，则，故D 正确.a b =a b =r r 故选：D.3. 如图，在多面体中，平面平面 ，且ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF ==，则 ( )A. 平面B. 平面 //BF ACGD //CF ABEDC.D. 平面平面//BC FG //ABED CGF 【答案】A 【解析】【分析】取DG 的中点M ，连AM 、FM ，证明四边形ABFM 是平行四边形，问题得解. 【详解】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形， ∴且．//DE FM DE FM =∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ， ∴AB ∥DE ， ∴AB ∥FM ． 又AB ＝DE ， ∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM ．又BF 平面ACGD ，AM 平面ACGD ， ⊄⊂∴BF ∥平面ACGD ．选A ．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理及面面平行的性质，还考查了转化能力及空间思维能力，属于中档题.4. 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东40︒/20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）海里． A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解．【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，A CB由图可知，，海里， 1804020120BAC ∠=︒-︒-︒=︒2018660AC =⨯=在中，由余弦定理知，，ABC 222||||2cos BC AB ACAB AC BAC =+-⋅⋅∠所以，即，2221||626()2AB AB =+-⨯⨯-2||6400AB AB +-=解得或（舍负）， ||4AB =10-所以灯塔与轮船原来的距离为4海里． 故选：C ．5. 如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，ABCD //AD BC E AB 14DF FC =24BC AD ==，，则（ ）60ABC ∠= BF CE ⋅=A. B. C.D.12-10-8-6-【答案】B 【解析】【分析】求出，再由利用数量积的定义计算即可2AB CD ==4152BF CE BC CD BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解.【详解】在等腰梯形中，分别过点，作，垂直于于点，， ABCD A D AM DN BC M N 则，， 2MN AD ==1BM CN ==因为 ，所以，60ABC ∠= 2AB CD ==因为为线段的中点，，E AB 14DF FC =所以24112452255BF CE BC CD BA BC BA BC BC CD BA CD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212424cos 60422cos 6024cos120255=⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ，4162161055=-++=-故选：B.6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则该直三棱柱的体积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠=== A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠=由正弦定理得是外接圆的半径），.22(sin30mr r =ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长.所以球的表面ABC1AA=积为，解得)24π40π=m =因此该直三棱柱的体积是2311422ABC S AA m m ⋅=⨯== 故选：A.8. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足．角A 的内角平分线交ABC 2tan 1tan c Ab B=+于点M ，若，则（ ） BC 2BM CM ==AMBCA.B.C.D. 2233212【答案】A 【解析】【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得A ，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用2AB AC =ACM △ABM 180BMA CMA ∠+∠=︒AC表示出，从而可得出答案.,AM BC 【详解】由条件有：，sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin()cos 11sin sin sin cos sin cos sin cos cos AC A B B A A B A B A B B B A B A B A B++=+=+==又，则，sin()sin()sin ,sin 0,sin 0A B C C B C π+=-=>>2sin sin sin sin cos C CB B A=即，又，则1cos 2A =()0,A π∈3A π=由为的角平分线，则,即 AM CAB ∠2AB BM AC CM==2ABAC =则30CAM BAM ∠=∠=︒在中， ACM △222cos 2AC AM CM CAM AC AM +-∠==⋅⋅即①222AC AM CM AM +-=⋅在中，ACM △222cos 2CM AM AC CMA CM AM+-∠=⋅⋅在中，ABM 22222244cos 24BM AM AB CM AM AC BMA BM AM CM AM+-+-∠==⋅⋅⋅⋅由，则180BMA CMA ∠+∠=︒22222244024CM AM AC CM AM AC CM AM CM AM+-+-+=⋅⋅⋅⋅化简得到： ②22222AM AC CM =-将②代入①可得： ③ AMAC =将③代入②可得：, 所以CMAC =BC =所以23A BC M ==故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个1111ABCD A B C D -M N P 11CD BC 11A D 结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点； AP CM AP CM 1DDC. ；D. 平面.1//MN BD //MN 11BB D D 【答案】BD 【解析】【分析】本题首先可根据、判断出A 错误，然后根据平面平面//MP AC MP AC ≠11 A ADD 得出B 正确，再然后根据得出C 错误，最后根据线面平行的判定即可证得D111=C CDD DD 1//MN D O正确.【详解】A 项：如图，连接、、，PM AC 11AC因为、分别是、的中点，多面体是正方体， M P 11C D 11A D 1111ABCD A B C D -所以，，，11//MP AC 11//AC A C //MP AC 因为，所以与是同一平面内的相交直线，A 错误； MP AC ≠AP CM B 项：因为平面平面，平面，平面，11 A ADD 111=C CDD DD AP ⊂11A ADD CM ⊂11C CDD 所以、、相交于一点，B 正确；AP CM 1DD C 项：如图，连接与交于点，连接、，AC BD O ON 1OD由正方体性质易知，是中点， O BD 因为是中点，所以，， N BC //ON CD 12ON CD =因为，，所以，， 1//D M DC 112D M DC =1//ON D M 1ON D M =故四边形是平行四边形，，易知C 错误； 1ONMD 1//MN D O D 项：因为，平面，平面， 1//MN D O MN ⊄11BB D D 1OD ⊂11BB D D 所以平面，D 正确， //MN 11BB D D 故选：BD.10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH ||1OA =A.B.OA OD ⋅= OB OH +=C.D. 在向量上的投影向量为AH HO BC BO ⋅=⋅ AH AB AB 【答案】AB 【解析】【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数ABCDEFGH 45︒量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，ABCDEFGH 45︒对于，A 正确；A 11cos135OA OD ⋅=⨯⨯︒=对于B ，，则以，为邻边的对角线长是倍，90BOH ∠=︒OB OH ||OA可得，故B 正确；OH OB +==对于C ，，，与的夹角为，AH BC = ||||HO BO = AH HO180AHO ︒-∠与的夹角为，故，故C 错误；BC BO OBC AHO ∠=∠AH HO BC BO ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r对于D ，由已知可得，AH ==在向量上的投影数量为∴AH ABcos135AH AH ︒===则在D 错误．AHAB故选：AB ．11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的ABC A B C a b c ABC S ABC 结论，正确的是（ ）A. 若为锐角三角形，则ABC sin cos A B >B. 若，则A B >sin sin A B >C. 若，则一定是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC D. ，则的外接圆半径是4 2,30a A ==︒ABC 【答案】AB 【解析】【分析】对于，根据锐角三角形的性质，结合正弦函数单调性以及诱导公式，判断A ，根据正弦定理A 判断B ，根据正弦定理，进行边角互换，可得正弦等式，判断C ，根据正弦定理，可判断D ． 【详解】对于，若为锐角三角形，可得且， A ABC 2A B π+>π,(0,)2A B ∈可得，且，根据正弦函数的单调性， π2A B >-ππ(0,)22B -∈可得，所以，故正确； πsin sin()2A B >-sin cos A B >A 对于B ，在中，由知，根据正弦定理可得，故B 正确；ABC A B >a b >sin sin A B >对于C ，由正弦定理知，，则，2sin a R A =2sin b R B =2sin cos 2sin cos R A A R B B =可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=ABC 对于D ，在中，设的外接圆半径是R ，则根据正弦定理可得，ABC ABC 22=4,21sin 2a R R A ===故D 错误． 故选：AB ．12. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） ABC A B C a b c A. ，．π3C ∠=2c =ABC B. ，．的最大值为 π3C∠=2c =AC AB ⋅ 2+C. 若，则的形状为等腰三角形 AB AC BA BC ⋅=⋅ABC D. ，则的形状为等边三角形 10,3AB AC BA BC BC AB ACBABC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭ABC 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得出面积的最大值，进而可判断A ab 是否正确；对于B ，由正弦定理结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数性质求得的cos b A 最大值，从而可得数量积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ，由向量数量积公式和两角和与差的三角函数公式即可判断C 是否正确；对于D ，因为，判断的平分线AD 与0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭A ∠BC 垂直，得是等腰三角形，因为，判断角B 是否为60°，即可判断D 是否正确. ABC 13BA BC BA BC ⋅=【详解】对于，由余弦定理可得， A 22222π22cos 23a b ab a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=当且仅当时，等号成立，2a b ==A 正确； 11πsin 4sin 223ABC S ab C =≤⨯⨯=△对于B ，， cos 2cos AC AB bc A b A ⋅==在中，，， ABC 22ππsin sin()sin 33b cC A ==-2πsin()3b A =-2π1cos sin()cos sin )cos 32b A A A A A A =-=+21sin cos )2A A A =+， πcos 2)sin 2])13A A A =++=++因为，所以，所以， π3C =2π03A <<ππ5π2333A <+<所以，即时，取得最大值1，即， ππ232A +=π12A =πsin(23A +cos b A 1所以的最大值为，故B 正确；AC AB ⋅ 2对于C ，因为，所以，即，AB AC BA BC ⋅=⋅cos cos bc A ac B =cos cos b A a B =由正弦定理得，即， sin cos sin cos =B A A B sin()=0A B -因为，所以， 0π,0πA B <<<<ππA B -<-<所以，所以是等腰三角形，故C 正确；A B =ABC 对于D ，因为， 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭所以的平分线AD 与BC 垂直，所以是等腰三角形A ∠ABC 因为，所以，所以， 13BA BC BA BC ⋅= 1cos 3B =π3B ∠≠所以是等腰非等边三角形，故D 错误．ABC 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为 262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为 2π故答案为：2π-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 在中，，若O 为外接圆的圆心，则的值为__________．ABC 4,6AB AC ==ABC AO BC ⋅ 【答案】10【解析】【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将,AB AC BC ,AB AC向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过作，垂足分别为，O ,OS AB OT AC ⊥⊥,S T 因为O 为外接圆的圆心，ABC 所以分别为的中点， ,S T ,AB AC 所以()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO AC OAC AO AB OAB =⋅∠-⋅∠AC AT AB AS =- , 64641022=⨯-⨯=故答案为：1015. 如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且ABCa =4c =23BAC π∠=P ABC .则___________；的取值范围___________. 1PA =AC AB +=PB PC ⋅【答案】①. 4 ②.[]11,9--【解析】 【分析】方法1：①由正弦定理求得，进而可求得b ，可得在是等腰三角形，取BC 的中点E ，在中ACB ∠ABC BEA △可求得AE ，再由可求得的值.AB+AC =2AE ||AB AC + ②设 ，，则展开计算，转化为三角函数在,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+ 给定区间上求值域，即可得结果.方法2： ①由余弦定理求得b 的值，再由即可求出；2||AB AC + ②以A 为原点建系，设 ，则可得，转化为三角函PAB α∠=2(0)3πα≤≤4sin(76PB PC πα⋅=-+- 数在给定区间上求值域，即可得结果.【详解】方法1：①在中，由正弦定理得：ABC sin sin B a C c BA AC =∠∠4sin ACB =∠解得：. 1sin 2ACB ∠=又∵，∴，∴ 23BAC π∠=6ACB π∠=6ABC π∠=∴，4b c ==取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，则：， ，AE BC ⊥AB+AC =2AE ∴在中， ，BEA △sin 4sin 26ABC AE AB π=⨯∠==∴，||2||4AB AC AE +== ②设 ，则 ， ,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈2()()()PB PC PA AB PA AC PA AC AB PA AB AC ⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 212||||cos 12||||cos 83AE AP AB AC AE AP πθ=-⋅+⨯⨯=-⨯⨯- ，7221cos 74cos θθ=--⨯⨯⨯=--∵，∴，∴， [0,]3πθ∈1cos [,1]2θ∈74cos [11,9]θ--∈--故的范围是：； PB PC ⋅ [11,9]--方法2：①在中，由余弦定理 ，ABC 2222cos a b c bc BAC =+-∠即： ，解得：或（舍）， 248164b b =++4b =8b =-， 2222222||()244244cos 163AB AC AB AC AB AC AB AC π+=+=++⋅=++⨯⨯⨯= ∴，||4AB AC += ②以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设 ，则P 点的坐标为，B 点的坐标为 ， PAB α∠=2(03πα≤≤(cos ,sin )αα(4,0)C 点的坐标为 ， (2,-∴ ，，(4cos ,sin )PB αα=-- (2cos ,sin )PC αα=---∴， 2cos 74sin()76PB PC πααα⋅=---=-+- ∵，∴，∴， 203πα≤≤5666πππα≤+≤1sin()126πα+≤≤∴，114sin()796πα-≤-+-≤-即：，故的范围是：，119PB PC -≤⋅≤- PB PC ⋅[11,9]--故答案为：4；.[11,9]--16. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方1111ABCD A B C D -M N BC 1CC P 形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________． 11BCC B 1//PA AMN 1PA【答案】 【解析】 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可．AMN 1A EF P 1A EF 1A P 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，，1BC EM 11B C E 1BB F 1A E 1A F EF 则，，所以，1BC //EF MN //1BC EF //MN 因为， ，1AA //1BB //EM 11M A B E A B ==所以四边形为平行四边形，所以，1AMEA 1//A E AM 因为平面，平面，,AN MN ⊂AMN 1,A E EF ⊄AMN 所以平面，平面，1A E //AMN EF //AMN 因为，所以平面平面，1A E EF E ⋂=1//A EF AMN 平面，的轨迹为线段．1//A P AMN P ∴EF，11A E A F == EF =当时， ∴1A P EF ⊥1A P =当与（或重合时，．P E )F 1A P ∴1A P ≤≤故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b = （1）若，求； ()+2a b b ⊥ 2a b + （2）若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥ a 2a b -r r【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据求得，从而可得，于是 ()+2a b b ⊥ 3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.a c ∥ (2,1)a =- 【小问1详解】 因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+ 2(2,4)b = 由，可得，即， ()+2a b b ⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以， ()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与夹角的余弦值为. a 2a b -rr 18. 在中，角所对的边分别为，且 ABC ,,A B C ,,a bc cos b A c ⋅=（1）求角B ；（2）若的面积为BC 边上的高，求，的值．ABC 1AH =b c 【答案】（1）π6B =（2），b =2c =【解析】【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以cos b A c =-2222b c a bc bc +-⋅=-所以，即22222b c a c +-=-222c ab +-=由余弦定理可得， 222cos 2c a b B ac +-==因为，所以 ()0,πB ∈π6B =【小问2详解】由（1）知，，因为BC 边上的高，所以， π6B =1AH =2πAHB ∠=在中，由正弦定理可得， ABH sin sin c AH AHB B=∠即. sin sin 22sin sin 6πAH AH AHB c πB∠===因为的面积为ABC所以，解得. 11sin 22ac B a ==a =在中,由余弦定理,得ABC，则. 2222cos 4842228b a c ac B =+-=+-⨯⨯=b =所以的值为，的值为. b c 219. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行1111ABCD A B C D -111C B CD -ABCD 四边形，O 为与的交点．AC BD（1）求证：∥平面；1A O 11B CD （2）求证：平面∥平面；1A BD 11B CD （3）设平面与底面的交线为l ，求证：．11B CD ABCD BD l ∥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； 11B D 1O 111,CO AO （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； BD ∥11B CD 1AO ∥11B CD 1A BD ∥11B CD （3）由线面平行证线线平行即可.【小问1详解】取的中点，连接，11B D 1O 111,CO AO ∵是四棱柱，∴， 1111ABCD A B C D -11AO OC ∥∴四边形为平行四边形，∴， 11AOCO 11AO O C ∥又平面平面，∴平面．1O C ⊂111,B CD AO ⊄11B CD 1AO ∥11B CD【小问2详解】∵，∴四边形是平行四边形，∴，111BB AA DD ∥∥11BB D D 11BD B D ∥∵平面平面，∴平面，BD ⊄1111,B CD B D ⊂11B CD BD ∥11B CD由（1）得平面且，平面， 1AO ∥11B CD 1BD AO O = 1BD AO ⊂、1A BD ∴平面平面．1A BD ∥11B CD 【小问3详解】由（2）得：平面，BD ∥11B CD 又平面，平面平面，∴．BD ⊂ABCD 11B CD ⋂ABCD l =BD l ∥20. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步ABCD道，且. ,2AC D B ∠∠=1,3,cos AD CD B ===（1）求氢能源环保电动步道的长；AC （2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①，②. 3BCA π∠==BC【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；cos D AC（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得AB =sin BAC ∠，，从而可求花卉种植区域总面积．ABC S ADC S △选②：利用余弦定理求出，，从而可求花卉种植区域总面AB =ABC S ADC S △积．【小问1详解】解：，， cos B =2D B ∠=∠21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，，由余弦定理得， 1AD = 3CD =∴22212cos 196()123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC > ∴=AC【小问2详解】解：若选①：，在中，由正弦定理得，3BCA π∠=ABC sin sin AB AC ACBB =∠ cosB =，由（1）知， sin B∴=AC==AB = 1sin sin()sin cos cossin 2BAC B ACB B ACB B ACB ∠=∠+∠=∠+∠==， 11sin 22ABC S AB AC BAC ∴=⨯⋅∠== ，1cos 3D=- sin D ∴==故11sin 1322ADC SAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯=∴=若选②：，在中，由余弦定理得，解得或=BC ABCcos B ==AB =（舍去），AB =，cos B =sin B ∴=11sin 22ABC S AB BC B ∴=⨯⋅== ，1cos 3D =- sin D ∴==故11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= 花卉种植区域总面积为∴=21. 几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的E ABCD -ABD △2BC CD ==120BCD ∠=︒M AE 中点.（1）求证：平面；//DM BEC（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，EB N ,,,D M N C BN BE 并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，13BN BE =【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平//MF EBC //DF EBC 行的判定定理证得面面，从而得到平面；//DMF EBC //DM BEC （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段N 4PC =成比例得到的值. BN BE【小问1详解】记为的中点，连接，如图1，F AB ,DF MF 因为分别为的中点，故，,F M ,AB AE //MF EB 因为平面平面MF ⊄,EBC EB ⊂,EBC 所以平面，//MF EBC 又因为为正三角形，所以 ，，ADB 60DBA ∠=︒DF AB ⊥又为等腰三角形，，所以,BCD △120BCD ∠=︒30DBC ∠=︒所以，即，90ABC ∠=︒BC AB ⊥所以，又平面平面//DF BC DF ⊄,EBC BC ⊂,EBC 所以平面，又，平面，//DF EBC DM MF F ⋂=,DM MF ⊂DMF 故平面平面，//DMF EBC 又因为平面，故平面.DM ⊂EBC //DM BEC【小问2详解】延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如,CD AB P PM BE N CN N //NQ AE AB Q 图2，因为平面，平面，平面平面， //DM ECB DM ⊂PDM PDM ECB CN =所以，此时四点共面，//DM CN ,,,D M N C 由（1）可知，，得，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥30,4CPB PC ∠=︒=故，又因为，所以， 4263PN CP PM DP ===//NQ AE 23NQ PN AM PM ==则有，故. 3112223NQ NQ AE AM ==⨯=13BN NQ BE AE ==22. 在中，分别是角的对边，．ABC ,,a b c ,,A B C 2cos cos cos a A b C c B =+（1）求角A 的大小；（2）若，点为重心，点为线段的中点，点在ABC G ABC M AC N 线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.AB 2AN NB =BM CN P GP【答案】（1） π3（2）16GP ⎛∈ ⎝ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即AB AC AG AP 可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积GP 2bc =b 的运算律及对勾函数的性质计算可得．【小问1详解】因为，2cos cos cos a A b C c B =+由正弦定理可得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=又因为，则，()0,πA ∈sin 0A >可得，即，所以. 2cos 1A =1cos 2A =π3A =【小问2详解】由题意可得，， 23AN AB = 12AM AC = 所以， ()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，故设， C N P ()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设， M B P ()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- 则，解得， ()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， 1124A AB A PC =+ 则， ()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭ 因为，所以，1sin 2ABC S bc A == 2bc =又因为为锐角三角形，ABC 当为锐角，则，即， C 0AC BC ⋅> ()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以； 22b c b>=1b >当为锐角，则，即， B 0AB CB ⋅> ()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则，即，所以； 2c b >22b b⋅>02b <<综上可得，12b <<又因为， 1212GP AB AC =⋅- 则， ()222222222216144|2444|4||424GP AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b =-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ 因为，则，12b <<214b <<且在上单调递减，， ()164f x x x=-+(1,4)()()113,44f f ==所以，即， ()()4,13f x ∈()22216144||44,13GP b b =-+∈u u u r所以．16GP ⎛∈⎝。

高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为，所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以故答案为.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.【答案】【解析】【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.两平行直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】化为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】化为，由平行线的距离公式可得，两平行直线与之间的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为，因为过点，所以，解得，所以，所求直线方程为，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________.【答案】【解析】【分析】由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的高与底面半径都是2，所以其侧面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________. 【答案】【解析】【分析】由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，所以，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数,所以,故答案为,【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.在中，角，，所对的边分别为，，，，当的面积等于时，________.【答案】【解析】【分析】由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为的面积等于，所以，由余弦定理可得，故答案为. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题为________（填所有真命题的序号）.【答案】①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．综上，以上真命题①③．故答案为：①③点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.11.点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.12.如图，在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是________.【答案】【解析】【分析】作于连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】作于，可得，连接，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，就是二面角的平面角，，故答案为.【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.【详解】将平面与平面展开到一个平面（），如图连接交于，则此时最小，由，可得是的中点，因为是正三棱柱，所以平面平面，所以到的距离就是到平面的距离，即到平面的距离为，所以，故答案为,【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.14.已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】【分析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.【详解】原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结，，因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，由平行四边形性质得点也是中点，因为点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，点是的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，因平面，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.已知在中，内角，，.所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得的值，再由正弦定理可得结果. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理，可得，即有，在中，由余弦定理得，将代入上式，得，因为，所以.（2）由，，得，所以，所以由正弦定理得.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.【答案】（1）；值域为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，由可得，利用正弦函数的图象与性质可得结果；（2）求得，利用，解不等式可得结果.【详解】（1），所以，当时，，，所以的值域为.（2），当时，，要使函数有且只有一个零点，则，解得.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．18.如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.（1）在图中作出并指明平面和平面的交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，直线即为所求交线；（2）由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面.则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】（1）如图，延长与交于点，连接，直线即为所求交线.（2）因为四边形是正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如图，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角，在中，，，，所以，，从而，，在中，，所以.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，然后解不等式，进而可得结果.【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知直线，，，记，，.（1）当时，求原点关于直线对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为.（3）【解析】【分析】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得点到距离，则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，则解得故所求点的坐标为.（2）法一：由，得，故为直角三角形，且为斜边，中线长为，由，得与的交点，由，得与的交点，故中线长，即当时，中线长有最小值为.法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.（3）由，得与交点，由两点间距离公式得，点到距离，三角形面积，当时，；当时；当时.所以，，.【点睛】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.。

江苏省天一中学2022—2023学年第二学期期末试卷（强化班）高一化学命题人：马然 审阅人：高晓红 本试卷总分100分，考试时间75分钟。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12S 32O 16Cl 35.5第Ⅰ卷 选择题一、单项选择题：共15题，每题3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．新冠病毒来袭时，全球医疗物资告急，下列关于常见医疗用品的说法正确的是（ ） A ．医用酒精是95%的乙醇水溶液B ．乙醚是一种易挥发的液体，具有麻醉作用C ．制作气密型防护服的材料氯丁橡胶属于天然高分子材料D ．来苏尔消毒液（主要成分为甲酚溶液）是利用其强氧化性进行杀毒 2．下列说法正确的是（ ） A ．聚丙烯的结构简式：B ．丙烷的空间填充模型：C ．对硝基甲苯的结构简式：D ．属于醇类化合物3．丙烯醇的结构简式为22CH CHCH OH =，结合乙烯和乙醇的结构与性质，推测不能与丙烯醇发生的反应的物质有（ ） A ．金属钠B ．溴水C ．3NaHCO 溶液D ．氢气4．下列有机物的命名中，正确的是（ ）A ．2—乙基戊烷B ．3—甲基—2—戊烯C ．二溴乙烷D ．1—甲基—5—乙基苯5．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（ ）A ．22.4L 3CH Cl 中含氯原子数目为A NB ．7.8g 苯中含碳碳双键数目为3A NC ．15g 甲基（—3CH ）含有电子数为7A ND ．28g 乙烯和丙烯的混合气体中含共用电子对数目为6A N6．在实验室中，下列除杂（括号内物质为杂质）的方法正确的是（ ） A ．苯（苯酚）：滴加足量的浓溴水，过滤 B ．乙烷（乙烯）：通过盛有4KMnO 溶液的洗气瓶C ．硝基苯（浓3HNO ）：将其倒入足量NaOH 溶液中，振荡、静置，分液 D ．乙烯（2SO ）：通过盛有溴水的洗气瓶 7．下列各组中的反应，属于同一反应类型的是（ ） A ．乙醇的催化氧化；溴乙烷水解制乙醇B ．甲苯使酸性高锰酸钾溶液褪色；丙炔使溴的四氯化碳溶液褪色C ．乙醇脱水制乙烯；溴乙烷与NaOH 乙醇溶液共热制乙烯D ．苯的硝化；苯与氢气（镍作催化剂）制取环己烷8．用如图实验装置进行相应的实验（部分夹持仪器已省略），能够达到实验目的的是（ ）A ．图1所示装置可用于测定乙醇的分子结构B ．图2所示装置可用于分离苯与硝基苯的混合物C ．图3所示装置中滴加几滴硝酸银溶液可检验HBr 的生成D ．图4所示装置可证明乙醇与浓硫酸溶液共热生成乙烯9．有机物（烃）“PX ”的结构模型如下图，下列说法错误的是（ ）A ．“PX ”的分子式为810C HB ．“PX ”的二氯代物共有6种（不考虑立体异构）C ．“PX ”分子中，最多有14个原子共面D ．可用酸性4KMnO 溶液鉴别“PX ”与苯10．下列叙述一和叙述二不能证明基团之间能相互影响的是 选项 叙述一叙述二A 乙烷不能使酸性高锰酸钾溶液褪色 甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色B 乙醇不能与NaOH 溶液反应 苯酚能与NaOH 溶液反应C 苯与硝酸反应生成硝酸苯 甲苯与硝酸反应生成TNT D乙烯能与溴水发生加成反应而褪色乙烷不能使溴水褪色11．如图表示取1mol 乙烯雌酚进行的4个实验，下列对实验数据的预测正确的是（ ）A ．①中生成7mol 2H OB ．②中生成2mol 2COC ．③最多消耗3mol 2BrD ．④中最多消耗7mol 2H12．由化合物X 、Y 为起始原料可合成药物Z 。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1． 故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（ ） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（ ） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75． 故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ． 【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5； 又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113． 故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时． （1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？ （2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解； （2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0． 由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ． （3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ． 综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211． （2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t． 设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265． （3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。

2019-2020学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.两条异面直线是指A. 空间中两条不相交的直线B. 不同在任何一个平面内的两条直线C. 分别在两个平面内的两条直线D. 平面内的一条直线和平面外的一条直线2.如果，，那么直线不通过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题为A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则或4.一个球的表面积是，则它的体积是A. B. C. D.5.若三条直线，和相交于一点，则A. B. C. 2 D.6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7.平行六面体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 68.在中，，则是A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 两直角边互不相等的直角三角形9.正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为，则的取值范围是A. 一定是锐角B. 一定是钝角C. 可能是直角D. 可能是锐角，钝角，但不是直角10.在中，若，，则角C的取值范围是A. B. C. D.11.从点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B. 5 C. D. 312.若的三边为a，b，c，它的面积为，则角C等于A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.用一张长8cm、宽4cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为______．14.已知在中，，，，若点D在BC上，且，则AD的长为______．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与为圆心的圆相交于，两点，且满足，则实数m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．17.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．求角B；若，，求sin C的值．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABE，，，F为CE的中点，求证：平面BDF；平面平面ACE．19.已知四棱锥中，底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，E是PD的中点．求点A到平面PDC的距离；求异面直线AE与PC所成角的余弦值．20.已知直线l经过点．且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．21.某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角从正北方向顺时针转到AB方向所成的角是，距离是1km；从B到C，方位角是，距离是1km；从C到D，方位角是，距离是．求出从A到C的方位角；计算从A到D的距离．22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在y轴右侧，原点O和点都在圆C上，且圆C在x轴上截得的线段长度为3．求圆C的方程；若M，N为圆C上两点，若四边形MONP的对角线MN的方程为，求四边形MONP面积的最大值；过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为，，且，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：在A中，空间中的两条平行线不是异面直线，故A错误；在B中，由异面直线的定义得不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故B正确；在C中，分别在两个平面内的直线有可能相交，也有可能平行，故C错误；在D中，平面内的一条直线和平面外的一条直线有可能相交，也有可能平行，故D错误．故选：B．利用异面直线的定义和性质求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线的性质的合理运用．2.答案：B解析：解：直线化为：．，，假设，则，，则直线不通过第二象限．假设，则，，则直线不通过第二象限．故选：B．直线化为：由，，对C分类讨论即可得出．本题考查了直线斜率与截距的意义、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：由两条直线m，n和平面，知：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则由线面平行的性质定理得或，故D正确．故选：D．对于A，或；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，或；对于D，由线面平行的性质定理得或．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.答案：D解析：解：设球的半径为R，则球的表面积，，它的体积故选：D．利用球的表面积公式求出球的半径，代入球的体积公式计算即可．本题考查了球的表面积，体积公式及应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：由得交点为，代入，得．故选：B．先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k的值．考查学生会利用联立两条直线的方程组成方程组求交点坐标，理解直线交点的意义．6.答案：A解析：解：三角形三边长分别是4，5，6，设，，，可得因此，三角形三个角满足，C为最大角，得，而为锐角，从而A、B均为锐角所以三角形ABC的形状是：锐角三角形故选：A．设三角形ABC中，，，，可得，所以满足然后利用余弦定理，计算出角C的余弦为正数，得到角C为锐角，可得三角形的三个角均为锐角，从而证明出为锐角三角形．本题借助于一个三角形形状的证明，着重考查了余弦定理及其应用，和三角函数的定义域、值域等知识点，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】根据平行六面体的结构特征和平面的基本性质进行判断，即找出与AB和平行或相交的棱．本题考查了平行六面体的结构特征和平面的基本性质的应用，找出与AB和平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、、、符合条件．故选C．8.答案：C解析：解：在中，，由正弦定理得：，，，，，或，或，为等腰或直角三角形，故选：C．利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图，为正四棱锥，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角为，且，，在正方形ABCD中，由勾股定理得，，，在中，由余弦定理得，．，则的取值范围是，故选：B．正四棱锥中，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角，且，，利用余弦定理，即可求得的取值范围．本题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，是中档题．10.答案：A解析：解：因为，，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，根据余弦定理所以故选：A．利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cos C的表达式，根据b的范围求得cos C的范围，进而求得C的范围．本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，掌握切线长问题的一般求解思路．因为过P点的圆的切线长，圆半径，以及P点到圆心距离构成直角三角形，又因为圆半径为定值1，所以要求切线长的最小值，只需求P点到圆心距离的最小值即可．【解答】解：设圆心为C，切点为A，连接PC，PA，AC，为圆C的切线，，，当PC最小时，PA有最小值．，，，即，此时，故选A．12.答案：A解析：【分析】利用余弦定理列出关系式，表示出，利用三角形面积公式表示出面积，根据题意列出关系式，求出tan C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解答】解：由余弦定理得：，即，由三角形面积公式得：，，即，且C为锐角，则角C等于．故选A．13.答案：或解析：解：若圆柱的高为8cm，底面周长为4cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积；若圆柱的高为4cm，底面周长为8cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积．故答案为：或．根据圆柱的结构特征分类求得圆柱的底面半径和高，则体积可求．本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：因为在中，，，，若点D在BC上，且，利用余弦定理的应用，整理得，解得，在中，设，则，，利用余弦定理，在中，，，，利用余弦定理，由于，所以，解得．故答案为：．首先利用余弦定理的应用求出BC的长，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．15.答案：3解析：解：根据题意，圆：，圆心为，圆的坐标为；两圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线为直线，又由A满足，变形可得，则有，即点O在线段AB的垂直平分线上，则有点O在直线上，则有，解可得；故答案为：3．根据题意，由圆与圆相交的性质可得线段AB的垂直平分线为直线，进而由，变形可得，则有，即可得点O在直线上，据此可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查圆与圆相交的性质，涉及两圆相交弦的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.答案：解：在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．，，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．解析：在中，由以及正弦定理可得，求得cos B的值，结合B的范围可求B的值．由条件利用余弦定理可得c的值，进而根据正弦定理即可求解sin C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：设，连接FG，易知G是AC的中点，是EC中点，由三角形中位线的性质可得，平面BFD，平面BFD，平面BFD．平面平面ABE，，平面平面平面ABE，又平面ABE，，又，，平面BCE，．在中，，F为CE的中点，，，平面ACE，又平面BDF，平面平面ACE．解析：设，由三角形中位线的性质可得，从而证明平面BFD．利用线面垂直的判定定理平面BCE，得到，由等腰直角三角形的性质证明，从而证明平面ACE，即证平面平面ACE．本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定、面面垂直的判定，证明是解题的难点．19.答案：解：底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，．由底面ABCD，且平面PAD，得平面平面ABCD，又平面平面，且，得平面PAD，，．设A到平面PDC的距离为h，则，即．点A到平面PDC的距离为；取CD的中点F，连接EF，则，是异面直线AE与PC所成角或其补角．连接AF，由知，则，，．．异面直线AE与PC所成角的余弦值为．解析：由已知求出三棱锥的体积，再求出三角形PCD的面积，利用等体积法求点A 到平面PDC的距离；取CD的中点F，连接EF，则，可得是异面直线AE与PC所成角或其补角，然后求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，解得；直线l的方程为．综上，所求直线方程为或；设直线l夹在直线，之间的线段为在上，B在上，A，B的坐标分别设为，，被点P平分，，，于是，；由于A在上，B在上，，解得，，即A的坐标是，直线l的方程的斜率为：；直线l的方程，即．解析：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线方程可求；设直线m夹在直线，之间的线段为在上，B在上，求出点B的坐标用A 的坐标表示，根据A在上，B在上，求得A的坐标，用两点式求得直线l的方程．本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．21.答案：解：连接AC，在中，，又，故，由余弦定理可得，，中，，，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，故，于是AD的方位角为，所以从A到D的方位角为，距离为．解析：结合已知方位角，然后利用余弦定理可求AC，进而可求AD；结合正弦定理可求，即可求解距离．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档试题．22.答案：解：由题意，圆C过点，，，设圆C的方程为．则，解得．圆C的方程为，即；由可知，，半径，C到MN的距离．，当且仅当时取等号．由，解得．由O，P在MN的两侧，得，即．O到MN的距离，P到MN的距离．四边形MONP的面积．时，四边形MONP的面积有最大值为；由题意可设PA：．联立，得．设，则，，．，结合，同理．解析：由题意，圆C过点，，，设出圆的一般方程，把三个点的坐标代入可得关于D，E，F的方程组，求得D，E，F的值，则圆的方程可求；由求得圆心坐标与半径，求得C到MN的距离．由垂径定理求弦长，得到弦长最大值．再由题意求出m的范围，然后利用点到直线的距离公式分别求出O到MN的距离，P到MN的距离弦长四边形MONP的面积，可得时，四边形MONP 的面积有最大值为；由题意可设PA：与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得A的坐标，同理求得B的坐标，结合及两点求斜率公式可得直线AB的斜率为定值．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。

2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．sin 20cos10cos 20sin10+=o o o o （ ）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可.【详解】()1sin 20cos10cos 20sin10sin 2010sin 302+=+==o o o o o o o . 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型. 2．用数字123、、组成没有重复数字的三位数，其中三位数是奇数的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．14【答案】C【解析】写出所有的三位数，从中找出奇数，即可求得概率.【详解】由1、2、3组成的没有重复数字的三位数有：123，132，213，231，312，321，共6个，其中奇数有：123，213，231，321，共4个， 则三位数是奇数的概率为4263p ==. 故选：C.【点睛】本题考查了等可能事件的概率，用列举法求古典概型的概率问题，属于基础题. 3．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α内”，正确的是( ) A ．,A l l α∈∉B ．,A l l α⊂⊄C ．,A l l α⊂∈D ．,A l l α∈⊂ 【答案】D【解析】根据定义，选择正确的符号，即可表示.【详解】由定义：点A 在直线l 上，表示为∈A l ，l 在平面α内，表示为l α⊂.故选：D.【点睛】本题考查了点与线，线与面的位置关系表示方法，属于基础题.4．已知一组数据5.55.45.14.84.7,,,,，则该组数据的方差为( ) A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】D【解析】根据平均数的计算公式，先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可.【详解】 5.55.45.14.84.7,,,,的平均数为：5.5 5.4 5.1 4.8 4.7 5.15++++=， 则该组数据的方差为：222221[(5.5 5.1)(5.4 5.1)(5.1 5.1)(4.8 5.1)5S =-+-+-+- 2(4.7 5.1)]0.1+-=.故选：D.【点睛】本题考查了平均数，方差的求解，考查了运算能力，属于基础题.5．过三点(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,的圆交x 轴于M N 、两点，则=MN ( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，代入点的坐标，求出,,D E F ，令0y =，即可得出结论.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,代入，得：193036462014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩，2,4,20D E F ∴=-==-,∴圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0y =，可得22200x x --=，1x ∴=MN =故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．已知两条直线12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=平行，则m =( ) A ．3B ．1-C ．1或 1-D ．3或1-【答案】B【解析】利用直线与直线平行的系数关系，求出m 的值，经检验，舍去重合的结果，则可得结论.【详解】 12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=Q ，12//l l ，(2)30m m ∴--= ，则3m =或1-，当3m =时，1:310++=l x y 与2:310++=l x y 重合，当1m =-时，1:3310l x y -++=，2:10l x y -+=平行.故选：B.【点睛】本题考查了由直线平行关系求参数，注意代入检验，属于基础题.7．已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取30名学生，则抽取的学生总人数为( )A ．40B ．60C ．90D ．120【答案】B 【解析】由题意，利用分层抽样的定义和方法，求出抽取的学生总人数.【详解】 高中生所占的比例为720019600720048003=++， 设抽取的学生总人数为x ， 则2013x =，解得60x =. 故选：B.【点睛】本题考查分层抽样的定义，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,0]B ．2]C ．[2,2]D ．(2,2)- 【答案】C【解析】本题的实质是圆O 上存在,A B 两点，使90ATB ∠=︒.若TA ，TB 为切线，则可求得6OT =过T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，6OT ≤进而求得答案.【详解】 M Q 为AB 的中点，且2AB MT =，TAB ∴V 为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT V 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，3OB =， 则6OT =∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m 6，即2226OT m =+…，解得22m -剟.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了转化的思想，难度较大.二、多选题9．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b>-- 【答案】ABC 【解析】根据不等式的基本性质对各项依次进行判断，即可选出正确答案.【详解】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a>>，故A 正确； B.由a b >及2c ≥0得22ac bc ≥，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--， 322-<-，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了不等关系与不等式、不等式的性质，属于基础题.10．有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A 为“只选甲套餐”，事件B 为“至少选一种套餐”，事件C 为“至多选一种套餐”，事件D 为“不选甲套餐”，事件E 为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是( )A ．A 与C 是互斥事件B ．B 与E 是互斥事件，且是对立事件C ．B 与C 不是互斥事件D ．C 与E 是互斥事件【答案】AD【解析】根据互斥事件和对立事件的概念，将每个事件的基本事件列出来，对照即可判断.【详解】事件A 为“只选甲套餐”；事件B 为“至少选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；事件C 为“至多选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；事件D 为“不选甲套餐”，包括选乙套餐，甲乙两种都不选；事件E 为“一种套餐也不选”.A.事件A 与C 既不互斥也不对立，故A 错误；B.事件B 与E 是互斥事件，且是对立事件，故B 正确；C.事件B 与C 不互斥，故C 正确；D.事件C 与E 不互斥，故D 错误.故选：AD.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 11．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n +B 的最大值为12C 2D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD 【解析】利用基本不等式，逐一判断个选项，即可.【详解】A. 正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n m m n m n m n m n∴+=++=++12322(32)22n m m n +≥+⋅= 当且仅当2n m m n=时，等号成立，故A 正确； B.由2m n +=且0,0m n >>得12m n mn +≤=， 当且仅当1m n ==时，等号成立，则122mn ≤，故B 正确； C. 由2m n +=且0,0m n >>得22()()2m n +=，222()2[()()]4m n m n ∴+≤+=则2m n +≤ ，故C 错误；D.222()22m n m n ++≥=，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,，»CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，»CB是以BC 为直径的圆上一段圆弧，»BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．»CB与»BA 的公切线方程为：12=0x y +- C ．»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截»CD所在的圆，所得的弦长为22【答案】BC【解析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A ；设»CB与»BA 的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B ；由两圆方程联立相减，则可求出»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程，可判断C ；由弦长公式求出弦长，可判断D.【详解】各段圆弧所在圆方程分别为：»CD：22(1)1x y ++=，»CB ：22(1)1y x +-=， »BA：22(1)1x y -+= 曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个14圆， 面积为22224πππ++⨯=+，故选项A 错误；设»CB与»BA 的公切线方程为：(0,0)y kx b k b =+<>， 则221111b k b k k -++==++，解得1,12k b =-=+，所以»CB与»BA 的公切线方程为：12y x =-++， 即120x y +--=，故选项B 正确；由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得： 0x y -=即为交点弦所在直线方程，故选项C 正确；»CD所在圆的方程为22(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-， 圆心到直线y x =的距离为1222d -==， 则弦长为2221()22-=，故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..三、填空题13．若tan()64πα+=-，则tan α=_____________. 【答案】75 【解析】根据两角和的正切公式，列出方程，即可解得tan α.【详解】tan 1tan()641tan πααα++==--Q ， 7tan 5α∴=. 故答案为：75. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了方程的思想，属于基础题.14．已知变量,x y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数=4=5x y ，，线性回归方程ˆ=ybx a +中的系数,b a 满足4b a +=，则线性回归方程为___________. 【答案】111ˆ33y x =+ 【解析】根据回归直线过样本点的中心，可列出方程组，即可解得,a b 的值，从而写出回归直线方程.【详解】由题知，点(4,5)在回归直线上，则45b a +=，又4b a +=， 所以111,33a b ==，即回归直线方程为：111ˆ33y x =+. 故答案为：111ˆ33y x =+. 【点睛】本题考查了回归直线过样本点中心这一特征，考查了方程的思想，属于基础题. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 满足222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，则11tan tan A B-=_________.【答案】2-【解析】先根据正弦定理化角为边，转化为22abc a b R-=，再利用余弦定理，得22(cos cos )a b c a B b A -=-.则可求得(cos cos )abc c a B b A R=-，又利用正弦定理化为2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =-.根据同角三角函数的关系，11cos sin sin cos tan tan sin sin A B A B A B A B--=，则可求值. 【详解】222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，设外接圆半径为R ， 则由正弦定理得：22abc a b R-=， 又由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-则22222(cos cos )a b b a c b A a B -=--- 22(cos cos )a b c a B b A -=-， 所以(cos cos )abc c a B b A R =-，即cos cos ab a B b A R=- 又由正弦定理得：2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =- 则11cos sin sin cos 2tan tan sin sin A B A B A B A B--==- 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，同角商数关系化切为弦.难度较大.. 16．已知实数,x y 满足:1xy y -=，且01x <<.则122x y +-的最小值是__________.【答案】3【解析】利用1xy y -=，得11y x =-，则12111232x y x x +=+---，将其配凑成基本不等式可应用的式子，求得最小值.【详解】由1xy y -=得11y x =-， 12112111232232x y x x x x∴+=+-=+----121[2(32)]()13232x x x x =+-+-- 12(32)2[3]13232x x x x-=++--1(313≥+-3=，当且仅当2(32)2232x x x x -=-，即32x =-时，等号成立，则122x y +-的最小值是3.. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化和化归的思想，属于较难题.四、解答题17．过点()34M ，作直线l ，当l 的斜率为何值时. （1）直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分？ （2）直线l 与圆22(1)(2)4x y ++-=相切？ 【答案】（1）12；（2）0或43【解析】（1）由题知，直线l 过圆心(1,2)-，则结合点()34M ，可以求出l 的斜率； （2）设过点()34M ，的切线方程为4(3)y k x -=-，利用直线与圆相切的几何性质，即圆心到切线的距离等于半径，列出方程，即可解得斜率. 【详解】解：（1）Q 直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分，∴直线l 过圆心(1,2)-，又Q 直线l 过点()34M ，， ∴直线l 的斜率为4213(1)2k -==--；（2）设切线l 的方程为：4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，∴圆心(1,2)-到直线的距离2d ==，解得0k =或43. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式，直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，12a =， _______，求ABC ∆的周长l 的取值范围. ①(cos ,sin )22A A a =--r ，(cos ,sin )22A Ab =-r ，且12a b ⋅=-r r ；②(2)cos 0c b A acosC -+=； ③3()cos cos()34f x x x π=-+，5()4f A =. 注：这三个条件中选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①②③均可填入；13,]22【解析】若填①，则由题设条件及二倍角公式计算a b ⋅r r可解得3A π=，则由12a =及正弦定理得sin 3b B =，2sin()33c B π=-，计算化简得周长1sin()26a b c B π++=++.根据锐角三角形条件可得(,)122B ππ∈，结合三角函数的性质，可求得周长的范围.若填②，则根据正弦定理化简该式，可得1cos 2A =即3A π=，后续解答同①.若填③，则根据恒等变换求得3A π=，后续解答同①.【详解】解：填①，由221cossin cos 222A A a b A ⋅=-+=-=-r r ， 即1cos 2A =，又(0,)A π∈Q ，3A π∴=，由正弦定理有sin sin sin 3b c a B C A ===2,sin()3b Bc B π∴==-，则ABC V 的周长12sin()2333a b c B B π++=++-11sin )22B B B =+11cos 22B B =+ 1sin()26B π=++， 由锐角三角形知2(0,),(0,)232B B πππ∈-∈，则(,)62B ππ∈，2(,)633B πππ∴+∈，sin()6B π+∈故周长3]2a b c ++∈； 若填入②(2)cos 0c b A acosC -+=，由正弦定理可得(sin 2sin )cos sin cos 0C B A A C -+=， 则2sin cos sin()sin B A A C B =+=，sin 0B >Q ，1cos 2A ∴=， 后续解答同填入①；若填入③3()cos cos()34f x x x π=-+，13cos (cos )24x x x =++213cos cos 224x x x =++13(1cos 2)sin 2444x x =+++ 1sin(2)126x π=++， 又15()sin(2)1264f A A π=++=，1sin()62A π∴+=，(0,)2A π∈Q ，72(,)666A πππ∴+∈，则5266A ππ+=，即3A π=，后续解答同填入①. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，三角函数的性质以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了转化的思想和运算能力，属于中档题.19．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为R ，则由正弦定理可求得2sin BC R BAC =∠； （2）由2DBC BCD ∠=∠及正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，再根据余弦定理求得215CD =，1cos 6CBD ∠=-，35sin CBD ∠=，从而计算三角形的面积1sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠V . 【详解】解：（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC V 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =；（2）在BCD V 中，2DBC BCD ∠=∠Q ，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =，解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠=V . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.20．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x =【解析】（1）由频率之和为1以及0.4a b =列方程组求得,a b 的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断56x <<，再根据频率列出方程，求出x 的值.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =， 该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=， 则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400.8835.2⨯=（万）； （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，求平均数，计算频率，总体百分位数的估计，考查了数据处理能力和运算能力，属于中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y ++++=及其上一点(2,4)A --.（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线7y =-上，求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且1=5BC OA ，求直线l 的方程；（3）设点()0,T t 满足：存在圆M 上的两点,P Q ，使得TQ TP TA -=u u u r u u r u u r，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2211()(7)24x y ++-=；（2）2200x y +++=或2200x y ++-=；（3）[44---+ 【解析】（1）设出圆的标准方程222:()(7)(0)N x a y r r -++=>，由两圆外切，列出方程65a r +=+.再由圆N 与y 轴相切，得a r =，联立解出,a r ，进而写出圆的方程；（2）先求出OA 的斜率以及OA ，则可设直线:20l x y m ++=，利用直线与圆的相交的弦长公式列方程，解出m 的值，从而写出l 的方程；（3）利用向量的运算，将TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 化为PQ TA =u u u r u u r.因,P Q 为圆上的两点，则10PQ ≤u u u r ，即10TA ≤u u r.利用两点间的距离公式，列出不等式，即可解得t 的取值范围.【详解】解：（1）因为圆N 的圆心N 在直线7y =-上， 所以设圆222:()(7)(0)N x a y r r -++=> 又圆M 的标准方程为22(6)(7)25x y +++=， 圆M 与N 外切，则圆心距65a r +=+①， 又因为圆N 与y 轴相切，则a r =②，联立①②解得，11,22a r =-=， 则所求圆N 的方程为2211()(7)24x y +++=；（2）422OA k -==-Q，OA == 又直线l OA ⊥，则可设直线:20l x y m ++=， 圆心(6,7)--到直线l的距离d ==，∴弦长BC =15BC OA ==，2(20)12555m -∴-=，即2402760m m -+=，解得20m =±:2200l x y ∴+++=或2200x y ++-=；（3）由TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 可得PQ TA =u u u r u u r，,P Q Q 为圆上的两点，10PQ ∴≤u u u r ，即10TA ≤u u r，又(0,),(2,4)T t A --Q ，10≤，即28800t t +-≤，44t ∴--≤-+即t 的取值范围为[44---+. 【点睛】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长公式，两点间的距离公式，考查了转化思想和运算能力.难度较大. 22．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值. 【答案】（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ==【解析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】解：（1）4tan 3α=Q ，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==-- 则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()5f αβαβ+=+=-，,αβ为锐角，sin()5αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，Q 2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立，令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又Q 函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-；（3）3()()()2f f f αβαβ+-+=，即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ，cos cos()22αβαβα+-=+Qcoscossin sin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-Q ， 232cos cos 2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=，则24cos4cos cos 10222αβαβαβ++--+=， 22(2cos cos )1cos 0222αβαβαβ+---+-=，即22(2cos cos )sin 0222αβαβαβ+---+=， 2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<Q ，0βπ<<，3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题.。

江苏省无锡市2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·清城期中) 已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A .B .C .D .2. （2分）在所在的平面内，点满足，且对于任意实数，恒有，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·邹城期中) 如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B ，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·江西模拟) 函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度5. （2分）已知，且，则的值等于（）A .B . -7C .D . 76. （2分）若均为单位向量，且，则的最大值为（）A . 3B .C . 1D .7. （2分）(2019·大连模拟) 已知向量，则＝（）A . 6B . -6C . -1D . 18. （2分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A . -B .C . -D .9. （2分） =（）A . ﹣1B . 1C .D .10. （2分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A . 1B .C .D . 211. （2分） (2020高一下·焦作期末) 已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·山东模拟) 如果，，那么等于（）A . ﹣18B . ﹣6C . 0D . 18二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·杭州模拟) 已知向量，满足||=1，2- ·+1=0，则·（2+)的取值范围是________．14. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知，在第二象限，则 ________．15. （1分） (2019高一下·凯里月考) 如图，在正方形中，，为上一点，，为的中点，则 ________.16. （1分）给出下列命题：①函数y=sin2x偶函数；②函数y=sin2x的最小正周期为π；③函数y=ln（x+1）没有零点；④函数y=ln（x+1）在区间（﹣1，0）上是增函数．其中正确的命题是________（只填序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2020高一下·句容期中) 如图，已知正三角形的边长为1，设， .（1）若D是的中点，用分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角.18. （5分）已知角α∈[﹣30°，120°]；（1）写出所有与α终边相同的角β的集合A；并在直角坐标系中，用阴影部分表示集合A中角终边所在区域；（2）在（1）条件下，若，α∈A，求sinα，cosα的值．19. （10分） (2020高一下·怀仁期中) 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，，且 .（1）求角A；（2）当，时，求边长b和角B的大小.20. （15分） (2016高一下·芒市期中) 已知向量 =（3，0）， =（﹣5，5）， =（2，k）（1）求向量与的夹角；（2）若∥ ，求k的值；（3）若⊥（），求k的值．21. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 在中，，，分别为内角，，的对边，，，且满足 .（1）求角的大小；（2）设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.22. （5分） (2019高一下·南宁期中) 已知函数的在区间的最大值为4 ，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知12iz i-=，则在复平面内z 对应的点的坐标为（）A.()1,2-- B.()1,2- C.()2,1- D.()2,1--2.如图，A O B '''V 为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为（）A.9B.10C.11D.123.若向量a ，b 满足||1a = ，||b = ，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（）A.2π B.23π C.34π D.56π4.在ABC 中，a =3b =，6A π=，则此三角形（）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定5.已知复数z 满足4z z ⋅=，且||0z z z ++=，则2022z 的值为（）A.1B.20222 C.1- D.20222-6.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为（）A.2154a π B.26163a π C.2308a π D.2616a π7.在ABC 中，角A B C ､､所对应的边分别为,1c b a b c a b a c+=++､､，则B C +=（）A.3πB.23π C.6π D.4π8.在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠= ，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A.34B.53C.73D.83二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述错误的是（）A.已知直线l 和平面α，若点∈A l ，点B l ∈且,A B αα∈∈，则l α⊂B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C.若直线1l 和2l 不平行，且12,,l l l αβαβ⊂⊂= ，则l 至少与12,l l 中的一条相交D.若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则α内的所有直线与l 都不相交10.向量(cos ,sin )aθθ=，b = ，则2a b - 的值可以是（）A.2B. C.4D.11.已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.若120z z +=，则12=z zB.若1211z z +=+，则12=z zC.2211z z = D.若312z z z =，则312z z z =12.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，22a b bc =+，则（）A.22sin sin sin sin A B B C -=B.(12cos )b c A =+C.2A B= D.ABC 不可能为锐角三角形三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若31bia bi i+=+-(,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a b +=________.14.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.15.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.16.如图，在ABC 中，AB a = ，AC b =，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB = .若BP xa yb =+ ，则x y +=___________；若3AB =，4AC =，π3BAC ∠=，则BP ED ⋅=___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈.（1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：AD //平面PBC （2）求证：CE //平面PAB .19.已知向量(cos ,sin )a b αα==，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若a b ⊥ ，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上的一个动点，E ，F 分别是,BC CM 的中点.（1）设G 为棱CD 上的一点，问：当G 在什么位置时，平面GEF 平面11BDD B ？（2）设三棱锥C BDF -的体积为1V ，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为2V ，求12V V .21.北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且1,3,cos 3AD CD B ===.（1）求氢能源环保电动步道AC 的长；（2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①3BCA π∠=，②=BC 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.22.在ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，且2AO OC =，R 为BO 和CP 的交点，设,AB a AC b ==.（1）试用,a b表示AR ；（2）若H 在边BC 上，且RH BC ⊥，设||2||1,a b θ== ，为,a b 的夹角，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CH CB的取值范围.江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知12iz i-=，则在复平面内z 对应的点的坐标为（）A.()1,2-- B.()1,2- C.()2,1- D.()2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简为复数的标准形式，得到对应点的坐标，进而判定.【详解】()212122i ii z i i i--===--，则z 对应的点为()2,1--，故选:D ．2.如图，A OB '''V 为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.【详解】由直观图可得，在OAB 中，23,4OAO A OB O B '''='===，且OA OB ⊥，所以5AB ==，所以OAB 的周长为34512++=.故选：D.3.若向量a ，b 满足||1a = ，||b = ，且()a b a +⊥ ，则a 与b 的夹角为（）A.2πB.23π C.34π D.56π【答案】C 【解析】【分析】由()ab a +⊥，得()0a b a += ，即20a a b += ，再由||1a =，||b =，可得cos ,2a b <>=-，根据,[0,]a b π<>∈可得答案．【详解】解：()a b a +⊥，()0a b a ∴+= ，即20a a b +=，又||1a =，||b =，11cos ,0a b ∴+<>=，得cos ,2a b <>=- ，而,[0,]a b π<>∈ ，43,a b π∴<>=，故选：C ．4.在ABC中，a =3b =，6A π=，则此三角形（）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再根据所求值及a 与b 的大小关系即可判断作答.【详解】在ABC中，a =3b =，6A π=，由正弦定理得3sinsin sin 12b AB aπ===<，而A 为锐角，且a b <，则3B π=或23B π=，所以ABC 有两解．故选：C5.已知复数z 满足4z z ⋅=，且||0z z z +=，则2022z 的值为（）A .1B.20222 C.1- D.20222-【答案】B 【解析】【分析】先设出复数()i ,z a b a b =+∈R ，由4z z ⋅=，||0z z z +=求出,a b ，再求得38z =，即可求解.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i ,z a b a b =-∈R ，()22i 4i ()a b a b z z a b +-=+⋅==，i ||20i z z a b a b a z +++++-=+=，解得1,a b =-=±，则1z =-±，又()()()()()3231112182-+=-+-+=---+==，()()()()()3231112182--=----=-+--==，故()()674674332022202222z z ===.故选：B.6.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为（）A.2154a π B.26163a π C.2308a π D.2616a π【答案】D 【解析】【分析】先画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，然后根据题意求出垃圾篓的高，从而可求出球心到上底面的距离，进而可求出球的半径，于是可求得球的表面积【详解】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.根据题意，得垃圾篓的高为h =.所以球心到上底面的距离为.设篮球的半径为r ，则()22221012154ra a a =+=.故篮球的表面积为224616r a ππ=.故选：D.7.在ABC 中，角A B C ､､所对应的边分别为,1c b a b c a b a c+=++､､，则B C +=（）A.3π B.23π C.6π D.4π【答案】B 【解析】【分析】化简所给的条件，用余弦定理即可.【详解】由1,c ba b a c+=++()()221ac c ab b a b a c +++=++，得222a b c bc=+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A=+-，∴1cos,23A A π==，23BC π+=；故选：B.8.在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠= ，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A.34B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅= ，同理得出212AM AC AC ⋅= ，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅= ，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29m =，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述错误的是（）A.已知直线l 和平面α，若点∈A l ，点B l ∈且,A B αα∈∈，则l α⊂B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C.若直线1l 和2l 不平行，且12,,l l l αβαβ⊂⊂= ，则l 至少与12,l l 中的一条相交D.若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则α内的所有直线与l 都不相交【答案】BD 【解析】【分析】由点线面的位置关系及相关定理依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若一条直线上两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，正确；对于B ，若三条直线相交于一点，则三条直线能确定一个平面或三个平面，错误；对于C ，若l 与12,l l 均不相交，则l 与12,l l 均平行，可得12,l l 平行，与直线1l 和2l 不平行矛盾，则l 至少与12,l l 中的一条相交，正确；对于D ，若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则直线l 与平面α相交，设交点为A ，则平面α中所有过点A 的直线均与直线l 相交，错误.故选：BD.10.向量(cos ,sin )aθθ=，b = ，则2a b- 的值可以是（）A.2B.C.4D.【答案】ABC 【解析】【分析】利用公式表达出2a b- ，利用三角函数恒等变换，求出2a b- 的范围，进而求出结果.【详解】())()22cos ,2sin 2cos 2sin 1ab θθθθ-=-=--，所以2a b -=== ，因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈ ，显然ABC 均满足题意.故选：ABC11.已知复数123,,z z z ，1z是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.若120z z +=，则12=z z B.若1211z z +=+，则12=z z C.2211z z = D.若312z z z =，则312z z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：选项A ：若120z z +=，则12z z =-，所以122||||||z z z =-=，故A 正确，选项B ：设124i z =+，24z =，则12|1||34i |5|1||5|5z z +=+==+==，但是12||||4z z ==≠=，故B 错误，选项C ：设1i(,R)z x y x y =+∈，则()22212i 2i z x y x y xy =+=-+，1||z =，所以2221||z x y =+，故2211≠z z ，故C 错误；选项D ：设1i z x y =+，2i(z a b x =-，y ，a ，R)b ∈，则12(i)(i)()()i z z x y a b ax by ay bx =+-=++-，则12||z z ==12||||z z =312||||z z z =，故D 正确，故选：AD ．12.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，22a b bc =+，则（）A.22sin sin sin sin A B B C-= B.(12cos )b c A =+C.2A B= D.ABC 不可能为锐角三角形【答案】AC 【解析】【分析】由正弦定理即可判断A 选项；由余弦定理即可判断B 选项；由B 选项得(12cos )b A c +=，再结合正弦定理及三角恒等变换即可判断C 选项；取特殊值说明存在锐角三角形即可判断D 选项.【详解】对于A ，由正弦定理可得22sin sin sin sin A B B C =+，即22sin sin sin sin A B B C -=，故A 正确；对于B ，2222222(12cos )121222b c a b c b bc c c A c c bbc bc b⎛⎫⎛⎫+-+--+=+⋅=+⋅=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，由上知：2(12cos )c c A b+=，即(12cos )b A c +=，结合正弦定理可得()sin (12cos )sin sin sin()B A C A B A B π+==-+=+⎡⎤⎣⎦，整理得sin()sin A B B -=，则A B B -=或A B B π-+=，即2A B =或A π=（舍），故C 正确；对于D ，222222cos 222b c a b c b bc c b A bc bc b+-+---===，取2,3a b c ===，满足22a b bc =+，此时角A 最大，且1cos 04A =>，即A 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故D 错误.故选：AC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若31bia bi i+=+-(,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a b +=________.【答案】3【解析】【详解】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,{,a b b a b +=-=解得0,{3,a b ==所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.14.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为___________.【答案】81【解析】【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP ′，由余弦定理求出2cos =3P OP π'∠，求出底面圆的半径r ，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：(222222441cos =22442OP OP PP P OP OP OP +-''+-'∠==-'⨯⨯ ∴2cos =3P OP π'∠.设底面圆的半径为r ,则有2243r ππ= ,解得43r =,所以这个圆锥的高为3h =，则这个圆锥的体积为2111163339381VSh r h ππ===⨯⨯=.故答案为：81.【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.15.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.【答案】3⎛⎝【解析】【分析】根据题意和余弦定理，求得224a c ac =+-，再结合余弦定理求得1cos 2B =，再由正弦定理可得a A =，c C =，化简84sin 2363ac A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据ABC 是锐角三角形求得62A ππ<<，得到1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，即8,43ac ⎛⎤∈⎥⎝⎦，结合面积公式，即可求解.【详解】由余弦定理可得224cos 424a c a c C a +-==-，整理得224a c ac =+-，又由2241cos 22a c B ac +-==，因为()0,B π∈，所以3B π=．由正弦定理可知：sin b B ==，所以aA =，c C =，故16162161sin sin sin sin sin cos sin 333322acA C A A A A A π⎛⎫⎛⎫=⋅=-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2881184cos sin sin 2cos 2sin 233222363A A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62A ππ<<，可得52,666A πππ骣琪-Î琪琪桫，所以1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，故8,43ac ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由ABC的面积1sin 234Sac π==，所以3S ⎛∈ ⎝．故答案为：3⎛⎝16.如图，在ABC 中，AB a = ，AC b =，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB = .若BP xa yb =+ ，则x y +=___________；若3AB =，4AC =，π3BAC ∠=，则BP ED ⋅= ___________.【答案】①.13-②.43【解析】【分析】利用平面向量基本定理求解出2133BP a b =-+ 及1162ED a b =-+，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.【详解】连接DF，因为D ，F 分别为BC ，AC 的中点，所以DF 是△ABC 的中位线，所以12DF PD AB AP ==，则()2212133233BP BA AP AB AD AB AB AC a b =+=-+=-+⨯+=-+ ，所以21,33x y =-=，所以13x y +=-；()21113262ED EA AD AB AB AC a b =+=-++=-+ ，故2221111717π81cos 336291861833BP ED a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+=-⋅+=-⋅+⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 718413418233=-⨯⨯⨯+=故答案为：13-，43四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数()()2281543i,z m m m m m R=-++-+∈.（1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值.【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【解析】【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果.【详解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：AD //平面PBC（2）求证：CE //平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可证得AD //BC ，进而证得AD //平面PBC ；（2）取PA 中点F ，先证四边形BCEF 为平行四边形，进而证得CE //BF ，即可证得CE //平面PAB .【小问1详解】因为BC //平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以AD //BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，则AD //平面PBC ；【小问2详解】取PA 中点F ，连接,EF BF ，易得EF //AD ，且12EF AD =，由（1）知AD //BC 且12BC AD =，则EF //BC 且EF BC =，则四边形BCEF 为平行四边形，则CE //BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，则CE //平面PAB .19.已知向量3),(cos ,sin )a b αα== ，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若ab ⊥，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t=-时min ||0m =（2）6t =-或23t =【解析】【分析】（1）首先求出b ，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到m ，最后求出m的模；（2）根据数量积的运算律求出||ab -，||a tb + ，()()a b a tb-⋅+ ，再根据()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ 得到方程，解得即可；【小问1详解】解：当3πα=时，13cos ,sin =2323b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以(((133=3+,331322222t t t m a tb t ⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2||1222t m t⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当2t=-时min ||0m =【小问2详解】解：依题意()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅= ，又3)a = ，(cos ,sin )b αα= ，所以()22132a =+=，22cos sin 1b αα=+= 又因为2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= ，22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以||a b -=，||a tb += ，()()22224a b a tb a ta b a b tb a t b t -⋅+=+⋅-⋅-=-=- ，2=，且4t <，整理得2316120t t +-=，解得6t =-或23t =，所以存在6t =-或23t =满足条件．20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上的一个动点，E ，F 分别是,BC CM的中点.（1）设G 为棱CD 上的一点，问：当G 在什么位置时，平面GEF平面11BDD B ？（2）设三棱锥CBDF -的体积为1V ，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为2V ，求12V V .【答案】（1）G 为CD 中点时，平面GEF平面11BDD B ；（2）112【解析】【分析】（1）G 为CD 中点时，先证EF平面11BDD B ，再证GE平面11BDD B ，即可证得平面GEF平面11BDD B ；（2）由12C BDFF BDC M BDC VV V ---==，结合11B D平面BCD 得1216M BDC B BDC V V V --==即可求得12112V =.【小问1详解】G 为CD 中点时，平面GEF平面11BDD B ，理由如下：连接BM ，取CD 的中点G ，连接,EG FG ，因为E ，F 分别是,BC CM的中点，则EFBM ，EF ⊄平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，则EF平面11BDD B ，同理可得GEBD ，GE ⊄平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，则GE平面11BDD B ，又GEEF E ⋂=，,GE EF ⊂平面GEF ，则平面GEF平面11BDD B ；【小问2详解】由F 是CM 的中点得12C BDFF BDC M BDC V V V ---==，又11B D BD ，BD ⊂平面BCD ，11B D ⊄平面BCD ，则11B D平面BCD ，又点M 是线段11B D 上的一个动点，则111111211112236ABCD A B B C M BDCB B A D DC BCD VV V V V ----===⨯=，则1221112612V=⨯=，则12112V V =.21.北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且1,3,cos 3AD CD B ===.（1）求氢能源环保电动步道AC 的长；（2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①3BCAπ∠=，②=BC 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出cos D ，利用余弦定可求AC 的长；（2）选①：由正弦定理可求得2AB =，利用两角和的正弦公式可求得sin BAC ∠，可分别求得ABC S ，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积．选②：利用余弦定理求出AB =，利用面积公式可求得ABC S ，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积．【小问1详解】解：cos 3B =．2D B ∠=∠，21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，1AD = ，3CD =，∴由余弦定理得22212cos 196(123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC >，∴=AC 【小问2详解】解：若选①：3BCA π∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB B =∠，cos 3B =．sin 3B ∴=，由（1）知AC =23=2AB =，13sin sin()sin cos cos sin 32326BAC B ACB B ACB B ACB +∠=∠+∠=∠+∠=⨯+⨯=，11369sin 22264ABC S AB AC BAC +∴=⨯⋅∠=⨯ ，1cos 3D =-，sin 3D ∴==，故11sin 13223ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴花卉种植区域总面积为44+=．若选②：=BC ABC中，由余弦定理得2cos 3B ==，解得AB =AB =（舍去），cos 3B =．sin 3B ∴=，11sin 223ABC S AB BC B ∴=⨯⋅=⨯= 1cos 3D =-，sin D ∴==，故11sin 13223ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴花卉种植区域总面积为=22.在ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，且2AO OC =，R 为BO 和CP 的交点，设,AB a AC b ==.（1）试用,a b表示AR ；（2）若H 在边BC 上，且RH BC ⊥，设||2||1,a b θ== ，为,a b 的夹角，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CH CB的取值范围.【答案】（1）1142AR a b =+；（2）19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】21【分析】（1）由点共线可得PR PC λ= ，BR BO μ= ，结合线性运算可得12AR a b λλ-=+ ，()213AR a b μμ=-+ ，由平面向量基本定理得方程组解出,λμ，即可求解；（2）由（1）及题设可得1124RC b a =- ，()()CH kCB k AB AC k a b ==-=-，再由RH BC ⊥可得cos θ关于k 的表达式，结合2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求出k 的范围，即可求解.【小问1详解】由,,P R C 三点共线可得，存在实数λ使PR PC λ= ，即()AR AP AC AP λ-=- ，整理得()112AR AP AC a b λλλλ-=-+=+ ；又由,,B R O 三点共线可得，存在实数μ使BR BO μ= ，即()AR AB AO AB μ-=- ，整理得()()2113AR AB AO a b μμμμ=-+=-+ ；由平面向量基本定理得11223λμμλ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12λ=，则1142AR a b =+ ；【小问2详解】由（1）知：12PR PC = ，则()111111222224RC PC AC AP AC AB b a ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，由,CH CB共线，设,0CH kCB k => ，则()()CH kCB k AB AC k a b ==-=- ，又RH BC ⊥，有()()()()11024R R b H BC RC CH BC C CH AC B a ka k A b b a ⋅-⎛⎫-+⎝=+⋅=-+⋅-⋅= ⎪=⎭ ，又||2||1a b == ，，则335(2)024k k a b -++-⋅= ，即3352(2024k k θ-++-=，可得352cos 342k k θ-=-，由2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，即3511232242k k --≤≤-，解得19428k ≤≤，故||||CH CB 的取值范围为19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是( )A．a＞2 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1?2＜a＜3故答案为：（2，3）．故选C．【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．2. （3分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）若=x y，则x﹣y的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，﹣1） D．（﹣，﹣1）参考答案：B考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：∵==﹣m=﹣m（﹣）=m+（1﹣m），∵=，点O在线段DC上（与点C，D不重合），∴m∈（0，），∵=x y，∴x=m，y=1﹣m，∴x﹣y=m﹣（1﹣m）=﹣1+2m，∴x﹣y∈（﹣1，﹣）故选：B点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A． B．C． D．2参考答案：C略4. 设，则下列关系式中一定成立的是（）A B C D参考答案：D略5. 若0＜a＜1，则不等式>0的解集是A．(a，) B．(，a)C．(－∞，)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+ ∞)参考答案：C6. ，则( )A． B．C．D．参考答案：B7. 已知直线∥平面，，那么过点且平行于的直线( )A.只有一条，不在平面内B.只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D.有无数条，不一定都在内参考答案：B8. 已知数列为等差数列，且，则（▲）A．11 B．12 C．17 D．20参考答案：A略9. （5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交参考答案：D考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．[来源:学,科,网]解答：解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选 D．点评：本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．10. 不等式的解集为（）A．或B．C．或D．参考答案：B结合二次函数的图象解不等式得，∴不等式的解集为．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等差数列，前九项和=18，则=_________．参考答案：2略12. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．参考答案：2【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题．13. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有a m3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为h m （如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则a=___；h= _____．参考答案：【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．14. （5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．参考答案：④考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．15. 求函数取最大值时自变量的取值集合_______________________.参考答案：16. 若函数，则= ．参考答案：略17. ．设，若时均有，则_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

9．若关于 x 的不等式 1＋ k10．若数列{a n }满足 a 11＝ ， － ＝5(n ∈N *)，则 a 1＝ ．5211．已知正数 a ，b 满足 ＋ ＝2，则 a ＋b 的最小值是．① － ，a ＞b ＞0, m ＞0；tan A tan B c 2B C b c 高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分．满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在 答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角 α 的终边经过点 P (1，－2)，则 sin2α＝ ．4．在△ABC 中，若 AC ＝ 3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则 BC ＝ ． 5．在△ABC 中，若 sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则 cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝2，S 3＝12，则 a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足 a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则 a 5＋a 7＝ ． 8．若关于 x 的不等式 ax 2＋x ＋b ＞0 的解集是(－1，2)，则 a ＋b ＝ ． x －1≤0 的解集是[－2，1)，则 k ＝．1 1 1 a n+1 a n 1 2a b12．下列四个数中，正数的个数是 ．b ＋m ba ＋m a②( n ＋3＋ n )－( n ＋2＋ n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R；④ x 2＋3 －2，x ∈R.x 2＋2tan C tan C a 2＋b 213．在斜三角形 ABC 中，角 A ， ， 所对的边分别为 a ， ， ，若 ＋ ＝1，则＝ ．14．若数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ，则 a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分 14 分)设 f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R)． (1)当 t ＝3 时，求不等式 f (x )＞0 的解集；(2)已知 f (x )≥0 对一切实数 x 成立，求 t 的值．16．(本题满分 14 分)设函数 f (x )＝2cos 2 x ＋2 3sin x cos x (x ∈R)．(2)在 0＜x ≤ 的条件下，求 f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ .如图，扇形 AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角 AOB 的大小等于 ，半径 OA ＝200m ，设正项数列{a n }满足：a 1＝ ，a n ＋1＝ ， n∈N *.2(1)求函数 f (x )的最小正周期；π317．(本题满分 14 分)12(1)求角 A 的大小；(2)当 a ＝5，b ＝4 时，求△ABC 的面积．18．(本题满分 16 分)已知{a n }是等差数列，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列，a 3＋a 4＝12． (1)求 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设 b n ＝10－a n ，数列{b n }的前 n 项和为 S n ，若 b 1≠b 2，则 n 为何值时，S n 最大？S n 最大 值是多少？19．(本题满分 16 分)π3点 M 在半径 OA 上，点 N 在 AB 弧上，且 MN ∥OB ，求观光道路 OM 与 MN 长度之和的最大值．AMNOB20．(本题满分 16 分)1 1 1＋a n，则 a n ＋1＞ 2 ｜＋｜a n ＋1－(1)证明：若 a n ＜ 5－1 5－1 2 2；(2)回答下列问题并说明理由：5－1 5－1是否存在正整数 N ，当 n ≥N 时｜a n － 2｜＜0.001 恒成立?1．6 － 2 4 2 5 4 211． (3＋2 2) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋216．(1)f (x )＝2sin (2x ＋ )＋(2)0＜x ≤ 时， ＜2x ＋≤ 5π6 ]是增函数，函数 y ＝sin x 在区间[ ， ]是增函数，在区间[ ， f (x )的值域是[2sin 5π 17．(1)由 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ 得 cos(B ＋C )＝－∴cos A ＝－ ，∵0＜A ＜π，∴A ＝(2) 由 c 2＋42－2×c×4 cos π 高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1 4 1 1 2． 3．－ 4．2 5．－ 6．12 7．80 8．1 9．3 10． 12二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．(1)当 t ＝3 时，不等式 f (x )＞0 与不等式 x 2－4x ＋3＞0 同解，得(x －1)(x －3)＞ 0， ……………………………………….......................3 分不等式 f (x )＞0 的解集是(－∞，1)∪(3．＋ ∞); …….......................6 分(2)不等式 f (x )≥0 对一切实数 x 成立等价于△＝(t ＋1)2－ 4t ≤0，....................... 10 分即(t －1)2≤0， 即 t ＝1． .......................14 分π61， …… .......................6 分所以，函数 f(x)的最小正周期为 π;....................... 8 分π π π3 6 66 ， ….......................10 分π π π 5π6 2 2 π6 ＋1， 2sin 2 ＋1]，即[2，3]． .......................14 分121 2， .......................4 分12π3 ;....................... 7 分3 ＝52及 c ＞0 得 c ＝2＋13，.......................11 分19．连 ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜ ,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝ ，2π sin θ 3 πsin( －θ)∴MN ＝ sin θ， OM ＝ sin( －3 MN ＋OM ＝400 [ sin θ＋sin( －θ)]3 ＝ ( sin θ＋ cos θ－ sin θ)＝ sin( ＋3 3∵0＜θ＜ ，∴ ＜ ＋θ＜ ，∴当 θ＝ 时，sin( ＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是 3＝ 1 π△ABC 的面积 △S ABC 2×4×(2＋ 13)×sin 3 ＝2 3＋39．........................ 14 分18．(1)设{a n }的公差为 d ，∵a 1，a 2，a 5 成等比数列，∴(a 1 ＋ d )2 ＝ a 1 (a 1 ＋ 4d ) ， ∴d ＝ 0 ， 或 d ＝ 2 a 1， .......................4 分当 d ＝0 时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝30， .......................6 分当d ≠0 时 ， ∵a 3 ＋ a 4 ＝ 12 ， ∴a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2， ........................8 分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝ 10 － a n ＝ 10 － (2n － 1) ＝ 11 － 2n ， .......................12 分当 n ≤5 时，b n ＞0， 当 n ≥6 时，b n ＜0， 当 n ＝5 时，S n 最大，S n 最大值是 9＋7＋5＋3＋1＝ 25． .......................16 分π32π3200 MN＝ ＝ sinOM， .......................4 分3400 400 π3 3θ)， .......................8 分π3400 3 1 400 π2 23 θ)， .......................13 分π π π 2π3 3 3 3 π π6 34003m ． .......................16 分20．(1)若 0＜a n ＜ 5－1则 a n ＋1＝ ＞ ＝1＋a n5－1 2，则 0＜1＋a n ＜1＋ 2 2 ｜＋｜a n ＋1－ 1 1 ｜a n －a n －1｜1＋a n 1＋a n －1 (1＋a n ) (1＋a n －1)∵a n ＞0，∴a n ＋1＝ ＜1 ( n ∈N *)，1＋a n －1 2 2 1＋a n －12∴｜a n ＋1－a n ｜＝ ≤ ｜a n －a n －1｜≤( )2｜a n －1－a n －2｜｜ a 2 － a 1 ｜ ＝ 5 6 5 数列{ ×( )n －1}递减， ×( )7－1＜0．001，2 ｜ ＋ ｜ a n ＋ 1 －5－1 2 ， 1 11＋5－12; ....................... 4 分(2)仿(1)可得，若 a n ＞5－1，则 a n ＋1＜5－12， ....................... 6 分则 n ≥2 时｜a n －5－1 5－1 2 2 ｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜ － ｜＝ ，1 1＋a n1 1 1 1 ∴n ≥2 时， a n ＝ ＞ ，又 a 1＝ ，1 ∴n ≥2 时 ， (1 ＋ a n ) (1 ＋ a n － 1) ＝ (1 ＋ ) (1 ＋ a n － 1) ＝ 2 ＋ a n －5≥ ，.................. 8 分｜a n －a n －1｜ 2 2 (1＋a n ) (1＋a n －1) 5 52 1 2 ≤…≤( )n － 1 ×( )n1， .......................12 分1 2 1 26 5 6 5只要 N ≥7，当 n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，－5－15－1即 ｜ a n －2立． .......................16 分｜ ＜ 0 ． 001 成。

2019-2020学年无锡一中高一下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设实数x、y满足约束条件{x−y≥0x+y≥0x≤2，则z=x+1y+4的取值范围是______．2.若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是______ ．3.直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=______ ．4.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．5.过点M(3,−4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．6.已知的三个内角所对的边分别为.若△的面积，则的值是。

7.已知直线mx+(3m−4)y+3=0与直线2x+y+3=0互相垂直，则实数m的值是______．8.三棱锥中，两两垂直，且.设是底面内的一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为___________9.下列直线中与直线l：3x+2y−5=0相交的是______ (填上正确的序号)．①y=−32x+5②3x+2y=0③x3+y2=1④x2+y3=1．10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为若，则的值为．11.函数f(x)=cosx(sinx+cosx)(x∈R)的最小正周期是______ ．12. 若在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，若A =60°，b =1，S △ABC =√3，则a+b+c sinA+sinB+sinC =______．13. 若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为 ．14. 在平面直角坐标系xOy 中过定点Q(1,1)的直线l 与曲线C ：y =xx−1交与M ，N 点，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，.(1)求A +B 的值;(2)若，求a 、b 、c 的值．16. 如图，四棱锥S −ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB =BC =2，CD =SD =1．(1)证明：AB//平面SDC(2)证明：SD ⊥平面SAB(3)求A 点到平面SBC 的距离．17.(滚动单独考查)如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．求△ACD的面积．若BC=，求AB的长．18.如图，三棱锥A−BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K.求证：(1)EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；(2)EF//HG．19.绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm？20.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．(1)求cos A；(2)设a=4m2+4m+9(m>0)，求△ABC的面积的最小值．m+1【答案与解析】1.答案：[14,32]解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化的思想方法，属于中档题． 先画出满足约束条件的平面区域，然后分析z =x+1y+4的几何意义，进而给出取值范围．解：实数x 、y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≥0x ≤2的平面区域如图，∵z =x+1y+4的表示区域内点与D(−1,−4)点连线的斜率的倒数，由{x +y =0x =2解得A(2,−2)， 当x =2，y =−2时，斜率最小值，此时z 取得最大值：z =2+1−2+4=32，当x =0，y =0时，斜率取最大值，此时z 取得最小值：z =0+10+4=14，∴z =x+1y+4的取值范围为：[14,32]， 故答案为：[14,32]. 2.答案：116解析：解：在△ABC 中，∵C =30°，a +b =1，∴△ABC 的面积S =12ab ⋅sinC =12ab ⋅sin30°=14ab ≤14×(a+b 2)2=14×(12)2=116.当且仅当a =b =12时取等号，故答案为：116．由条件可得△ABC的面积S=12ab⋅sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．3.答案：−1解析：解：直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，所以k+2k+3=0，解得k=−1．故答案为：−1．直接利用两条直线的垂直的充要条件求解即可．本题考查两条直线垂直充要条件的应用，基本知识的考查．4.答案：解析：sin∠BAC=sin(+∠BAD)=cos∠BAD，∴cos∠BAD=．BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD=(3)2+32−2×3×3×，∴BD2=3，BD=．5.答案：x−y−7=0或4x+3y=0解析：解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和−a(a≠0)，本题主要考查直线的截距式方程，易错点在于学生容易疏忽过原点的情况，是基础题.则直线l的方程为xa −ya=1．∵直线过点A(3,−4)，∴3a +4a=1．解得：a=7．此时直线l的方程为x−y−7=0．当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A(3,−4)，x，此时直线l的方程为y=−43此时直线l的方程为4x+3y=0．∴直线l的方程为：x−y+7=0或4x+3y=0，故答案为x−y−7=0或4x+3y=0．6.答案：4解析：试题分析：得得。