2018-2019年度江苏省无锡市天一中学一模考试数学试卷

江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 63. 474.5. 216.50π7. 58.9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)14. (-∞,-1]∪15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,(第15题)所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,所以OG∥DE且OG=DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度为f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)(第18题)因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,S△AOC=××=,S△PBC=×t×--=,则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,由--…-=和--…--=-,两式相除可得,1-=-,即a n-a n-1=1(n≥2),所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以于是或(7分) 当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥--⇒a≥--,令F(x)=--,则F'(x)=--,令F'(x)=0得x=0,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)③当x∈(2,+∞)时,a≤--⇒a≤--,令F'(x)=0,得x=,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=--,则当x变化时,F(x),F'(x)(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a<--存在唯一的整数x0成立.因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a>--存在唯一的整数x0成立.因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得-=λ1-,即---(2分)得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,可得-=λ2-,即---(6分)得2a-3b=9, (8分)解得--即A=--.(10分)22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.(10分)23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,P()=++=,所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+·=;P(ξ=2)=++·=;P(ξ=3)=+=;P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为故E(ξ)=+2×+3×+4×=.答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,),=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=-2x+y=0,n·=x+y-z=0,令x=1,解得n=(1,2,).又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)所以cos<n,m>===, (4分)所以sin<n,m>=.(5分)(第24题)(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以∥n,即==,也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)所以点M的坐标为.(10分)。

无锡市第一中学2018-2019学年度期初试卷高 三 数 学（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．上） 1.已知集合}01{≥-=x x A ，}3,2,1,0{=B ，则=B A ▲ ． 2.已知复数i i z -=-2)2(（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3.一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ．4.已知数列4,,121a a ，是等差数列，数列4,,,1321b b b ，成等比数列，且321,,b b b 均为实数，则=+221b a a ▲ ． 5.运行如图所示的算法语句，则输出的结果为 ▲ ． 6.设0,1a a >≠，函数21()x x f x a++=有最大值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 ▲ ．7.已知直线b x y +=21是曲线x y ln =的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 8.已知32)6sin(=+απ，则=-)232cos(απ ▲ ． 9.已知正四棱锥的底面边长为24，高为3，则此正四棱锥的表面积为 ▲ ．10.函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω，πϕ<）的图象如右图所示，则该函数的解析式为=y ▲ ．11.若函数a x x x f +-=4)(2有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12.已知)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，4ln2)(xx f x +=，记)3(-=n f a n ，则数列}{n a 的前6项的和为 ▲ ．212002Print S I While S I I S S I End While I←←≤←+←⨯13.已知直线1+-=x y 与椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）相交于B A ,两点，且线段AB的中点M 在直线l ：02=-y x 上，椭圆C 的右焦点F 关于直线l 的对称点在圆422=+y x 上，则椭圆C 的方程是 ▲ ．14.设实数x ，y 满足1422=-y x ，则xy x 232-的最小值是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知函数21cos cos sin 3)(2--=x x x x f ，R x ∈． （1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别c b a ,,且3=c ，0)(=C f ，若A C A sin 2)sin(=+，求a 和b 的值．16.（本题满分14分）在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ； （2）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ．A FCBDC B 111E1 1 1 A已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完．每吨的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤<-=.15,9570110800,150,31112)(2x x x x x x R （1）求该企业年总利润y (万元)关于年产量x (吨)的函数关系式：（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大?18.（本题满分16分）如图，椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点)231(，P ，其左、右焦点分别为21,F F ，离心率21=e ，N M ,是椭圆右准线l 上的两个动点，且021=⋅F F ． （1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值．已知xe a x xf 2ln )(-++=（其中0>a ，e 是自然对数的底数）． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若不等式a x f ≥)(对于0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．20.（本题满分16分）已知数列}{n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列}{n a 前n 项和为n S ，且满足43a S =，4532a a a +=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n a 前k 2项和k S 2；（3）在数列}{n a 中,是否存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，请说明理由．无锡市第一中学2018-2019学年度期初试卷高 三 数 学（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．上） 1.}3,2,1{；2.5；3.65；4.25；5.7；6.)2,1(；7.12ln -；8.91-；9.34832+；10.)62sin(2π+x ；11.)4,0(；12.43ln 8+；13.14822=+y x ；14.246+； 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知函数21cos cos sin 3)(2--=x x x x f ，R x ∈． （1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别c b a ,,且3=c ，0)(=C f ，若A C A sin 2)sin(=+，求a 和b 的值．解：（1）1)62sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=πx x x x f ，0)(max =x f ，最小正周期为π；（2）由0)(=C f 得，3π=C ，由A C A s i n 2)s i n (=+知，a b 2=，又3=c ，在A B C∆中用余弦定理，解得3=a ，32=b ．16.（本题满分14分）在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （3）求证：B 1F ⊥平面ADF ； （4）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ．A FC B 111E1 1 1（1）证明：∵AB = AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ．在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． ∵BC B 1B = B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1． ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ．在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F = CD = a ，B 1C 1 = CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌ Rt △FC 1B 1．∴∠CFD = ∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． ∵AD FD = D ，∴B 1F ⊥平面AFD ． （2）∵B 1F ⊥平面AFD ，∴1113B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△=11132AD DF B F ⨯⨯⨯⨯=（3）连EF ，EC ，设EC AF M =，连DM ，2AE CF a ==，∴四边形AEFC 为矩形，M ∴为EC 中点． D 为BC 中点，//MD BE ∴．MD ⊂平面ADF ，．BE ⊄平面ADF ，//BE ∴平面ADF 17.（本题满分14分）已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完．每吨的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤<-=.15,9570110800,150,31112)(2x x x x x x R （1）求该企业年总利润y (万元)关于年产量x (吨)的函数关系式：（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大? 解：（1）由题意=+-=)12200()(x x xR y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-≤<--15).12110800(1030150,200311003x x x x x x （2）当150≤<x 时，200311003--=x x y ，2100x y -=')10,0(∈x 时，]15,10(,0∈>'x y 时0<'y ，∴函数在(0，10)递增，在(10，15)递减，∴当且仅当10=x 时，y 有最大值31400；当15>x 时，)12110800(1030x x y ++-==++x x 1211080070812)1(12110800212)1(12110800=-+⋅+≥+++x x x x ， 3227081030)12110800(1030=-≤++-=∴x x y ，当且仅当)1(12110800+=+x x ，即29=x 时，y 取最大值322．31400322<，∴当且仅当10=x 时，y 有最大值31400．故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大利润为31400万元．18.（本题满分16分）如图，椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点)231(，P ，其左、右焦点分别为21,F F ，离心率21=e ，N M ,是椭圆右准线l 上的两个动点，且021=⋅F F ． （3）求椭圆的方程； （4）求MN 的最小值；解：（1）由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===+，22222,2,1491c b a c a b a 解得42=a ，32=b ，所求椭圆方程为13422=+y x ； （2）由（1）知)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设点),4(1y M ，),4(2y N ，则),5(11y M F =，),3(22y N F =，∴0152121=+=⋅y y N F M F ，即1521-=y y ， 1522212121=≥+=-=y y y y y y MN （当且仅当1521==y y 时取等号），∴MN 的最小值为152． 19.（本题满分16分）已知xe a x xf 2ln )(-++=（其中0>a ，e 是自然对数的底数）． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若不等式a x f ≥)(对于0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2=a 时，x e x x f +=ln )(，所以221)('x ex x e x x f -=-=， 由0)('<x f 得，),0(e x ∈，所以函数)(x f 的减区间为),0(e ，增区间为)(∞+，e ． （2）由题意a xe a x xf ≥-++=2ln )(对于0>x 恒成立， 02ln ≥--++ax e a x x 等价于对于0>x 恒成立，设ax e a x x x g --++=2ln )(，则由01ln )('=-+=a x x g 得，1-=a e x ， 列表知1111min 22)1()()(------+=--++-==a a a a e e a ae e a e a eg x g ，令12)(---+=x ee x x t ，则由01)('1=-=-x ex t 得，1=x ，所以)(x t 在)1,0(单调递增，在),1(+∞上单调递减，)(x t 在1=x 时取得极小值． 所以，当)1,0(∈a ，)(x g 的最小值01)2(12)0()(>--=--=>ee e e e t a t ； 当),1[+∞∈a ，)(x g 的最小值)2(02)(1t e e a a t a =≥--+=-，得]2,1[∈a ；综上，]2,0(∈a 20.（本题满分16分）已知数列}{n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列}{n a 前n 项和为n S ，且满足43a S =，4532a a a +=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n a 前k 2项和k S 2；（3）在数列}{n a 中,是否存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由题意知q d 2)1(21=+++，且q d d 22211+=+++，解得2=d ，3=q ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-==-,2,32,12,12k n k n n a nn *N k ∈； （2）k k k k k k S 3131)31(22)121(22+-=--+⋅-+=； （3）假设存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列，若k m a a 2=，则由122++=+m m m a a a 得，)12(232321+=⨯+⨯-k kk ，即12341+=⨯-k k ，左边为偶数，右边为奇数，不符合题意，舍去； 若12-=k m a a ，则由122++=+m m m a a a 并化简得，13-=k k ， 令13)(-=k k k f ，则0321)()1(<-=-+kk k f k f ， 所以 >>)2()1(f f ，而1)1(=f ，此时1=k ，1=m ， 综上，仅存在连续三项321,,a a a 符合题意．。

2018无锡市一模数学试题含答案(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试数 学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，m}，若A∪B＝B ，则实数m ＝________．2. 若复数a ＋3i1－2i(a∈R，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________．3. 某高中共有学生2 800人，其中高一年级有960人，高三年级有900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为________．4. 已知a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：ax －by ＋3＝0，则直线l 1⊥l 2的概率为________．5. 根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为________．6. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB⊥BC，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y≤4，2x －y≤c，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为________．8. 若函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象重合，则φ＝________．9. 已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________．10. 过圆x 2＋y 2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．11. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 216＋y212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________．12. 在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠A ＝π3，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD内一点，若|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，则AM →·AN →＝________．13. 已知函数f(x)＝错误!g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a∈R，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是______________．14. 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF. (1) 求证：AC⊥平面BDE ； (2) 求证：AC∥平面BEF.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝34，C ＝2A.(1) 求cos B 的值；(2) 若ac ＝24，求△ABC 的周长．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，∠CAB ＝π3，AB ⊥BD ，BC ︵是以A 为圆心，1km 为半径的圆弧形小路．该市拟修建一条从点C 通往海岸的观光专线CP ︵PQ ，其中P 为BC ︵上异于点B ，C 的一点，PQ 与AB 平行，设∠PAB＝θ.(1) 证明：观光专线CP ︵PQ 的总长度随θ的增大而减小；(2) 已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP ︵的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低？请说明理由．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3) 求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．已知数列{a n }满足⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值； (3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝e x(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.(1) 求过点(2，0)且和函数y＝f(x)的图象相切的直线方程；(2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<g(x0)，求实数a的取值范围．2018届高三年级第一次模拟考试(八)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34ab ，若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，求矩阵A.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m (t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．22. (本小题满分10分)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为34，B，C两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．23. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.(1) 求二面角PCDA的正弦值；(2) 试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 32. 63. 474. 1125. 216. 50π7. 58. π6 9. 1 024 10. 19 11.8 12. 613. (－2，0) 14. (－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞15. 解析：(1) 因为DE⊥平面ABCD ，所以DE⊥AC. (2分)因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD＝D ，(5分) 所以AC⊥平面BDE.(6分)(2) 设AC∩BD＝O ，取BE 的中点G ，连结FG ，OG ， 所以OG∥12DE 且OG ＝12DE.(8分)因为AF∥DE，DE ＝2AF ，所以AF∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO. (10分) 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以AO∥平面BEF ，即AC∥平面BEF. (14分)16. 解析：(1) 因为cos A ＝34，所以cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1＝18. (3分)在△ABC 中，因为cos A ＝34，所以sin A ＝74.(4分)因为cos C ＝18，所以sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝378，(5分) 所以cos B ＝－cos (A ＋B)＝sin A sin B －cos A cos B ＝916. (7分)(2) 根据正弦定理asin A ＝c sin C ， 所以a c ＝23.又ac ＝24，所以a ＝4，c ＝6.(10分)b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，b ＝5. 所以△ABC 的周长为15. (14分)17. 解析：(1) 由题意，∠CAP ＝π3－θ，所以CP ︵＝π3－θ，又PQ ＝AB －AP cos θ＝1－cos θ，所以观光专线的总长度f (θ)＝π3－θ＋1－cos θ＝－θ－cos θ＋π3＋1，0<θ<π3.(3分)因为当0<θ<π3时，f ′(θ)＝－1＋sin θ<0，(5分)所以f(θ)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，即观光专线CP ︵PQ 的总长度随θ的增大而减小．(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0)，则总成本g(θ)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋2－2cos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ－2cos θ＋π3＋2，0<θ<π3，(8分)g ′(θ)＝a(－1＋2sin θ)．(9分) 令g′(θ)＝0，得sin θ＝12.因为0<θ<π3，所以θ＝π6.(10分)当0<θ<π6时，g ′(θ)<0， 当π6<θ<π3时，g ′(θ)>0，(12分) 所以当θ＝π6时，g (θ)最小．(13分)故当θ＝π6时，观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低. (14分)18. 解析：(1) 因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，(1分) 所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为63， 所以b 1＋12＝63， 所以b ＝1，a ＝2，(3分)所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设P(2，t)，t>0，直线PA 的方程为y ＝t22(x ＋2)，(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22（x ＋2），整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0，解得x C ＝42－2t 24＋t 2，则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，(7分) 因为三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC 的面积等于三角形BPC 的面积，S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t2，S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t 4＋t2，解得t ＝ 2.(9分) 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0. (10分)(3) 因为B(2，0)，P(2，t)，C(42－2t 24＋t 2，4t4＋t 2)，所以BP 的垂直平分线为y ＝t2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2t t 2＋4， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为(t 2＋82（t 2＋4），t2)，(12分) 则过B ，C ，P 三点的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2＋82（t 2＋4）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝t 42（t 2＋4）2＋t 24，(14分) 即所求圆方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0.(16分) 19. 解析：(1) 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，所以当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2，(1分)当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎪⎫1－1a n＝1a n 和⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎪⎫1－1an －1＝1a n －1，两式相除可得1－1a n ＝a n －1a n，即a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，a n ＝n ＋1. (4分)(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182， 于是⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6.(7分) 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝6，（q ＋3）q 2＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝9， 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解， 所以p ＝5，q ＝9.(10分)(3) 假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)， 则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1，平方并化简得(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分) 则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(4分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)， 综上所述，k ＝3或14. (16分)20. 解析：(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x(3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)， 所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过(2，0)， 所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)，化闻得3x 20－8x 0＝0， 解得x 0＝0或x 0＝83. (3分)当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2，(4分)当x 0＝83时，切线方程为y ＝9e 错误!x －18e 错误!. (5分)(2) 由题意，对任意x∈R 有e x(3x －2)≥a (x －2)恒成立，①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x（3x －2）x －2⇒a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2，令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x （3x 2－8x ）（x －2）2，令F ′(x )＝0得x ＝0，F (x )max ＝F (0)＝1，故此时≥1.(7分)②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R.(8分)③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x（3x －2）x －2⇒a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2，令F ′(x )＝0⇒x ＝83，F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 错误!，故此时a ≤9e 错误!.综上1≤a ≤9e 错误!.(10分) (3) 因为f (x )<g (x )，即e x(3x －2)<a (x －2)，由(2)知a ∈(－∞，1)∪错误!， 令F (x )＝e x（3x －2）x －2，则(12分)当x ∈(－∞，2)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)， 等价于a <e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－1e ，所以当a <53e时，至少有两个整数成立，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1. (14分)当x ∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)， 等价于a >e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 错误!；最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，所以当a ≤7e 3时，没有整数成立，所有a ∈(7e 3，5e 4].综上：a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1∪(7e 3，5e 4]. (16分)21. 解析：由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2可得， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，即⎩⎪⎨⎪⎧3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，(2分) 得a ＝2b ＝10，由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，即⎩⎪⎨⎪⎧6－12＝2λ2，2a －3b ＝－3λ2，(6分) 得2a －3b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－11，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－12－11，(10分) 22. 解析：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，(3分) 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m ，消去t ，得3x －y ＋m ＝0，(6分)由直线l 与圆C 相交，所以|m －2|2<2，即－2<m<6.(10分)23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝964.∴ P(A)＝1－P(A)＝5564.(3分)答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564.(2) 由题意，ζ的可能值为0，1，2，3，4，P (ζ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝164；P (ζ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34·⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18；P (ζ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝132；P (ζ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝38；P (ζ＝4)＝⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫12＝964.(8分)E (ζ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.答：ζ的数学期望为52.(10分)24. 解析：(1)因为PE⊥底面ABCD ，过点E 作ES∥BC，则ES⊥AB， 以E 为坐标原点，EB 方向为x 轴的正半轴，ES 方向为y 轴的正半轴，EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，3)，CD →＝(－2，1，0)，PC →＝(1，1，－3)．(2分) 设平面PCD 的一个法向量为n(x ，y ，z )， 则n·CD →＝－2x ＋y ＝0，n·PC →＝x ＋y －3z ＝0，解得n ＝(1，2，3)， 因为平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，(3分) 所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝31＋4＋3＝64，(4分)所以sin 〈n ，m 〉＝104.(5分) (2) 设点M 的坐标为(x 1，y 1，z 1)． 因为EM ⊥平面PCD ，所以EM →∥n ，即x 11＝y 12＝z 13，即y 1＝2x 1，z 1＝3x 1，(6分)因为PM →＝(x 1，y 1，z 1－3)，PD →＝(－1，2，－3)，PC →＝(1，1，－3)， 所以PM →＝λPC →＋μPD →＝(λ－μ，λ＋2μ，－3λ－3μ)， 所以x 1＝λ－μ，y 1＝λ＋2μ＝2x 1＝2(λ－μ)，即λ＝3μ，(8分)z 1－3＝－3λ－3μ，λ＝12，所以μ＝16，(9分)所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56，33.(10分)。

江苏省无锡市天一实验学校初三一模试卷2019.3第I 卷（客观题共50 分）一、单项选择(本大题共14分，每小题1分）1.---Mum, have you seen my mobile phone?---______ you bought last week? I am sorry I haven't seen_______.A.One,itB.One, oneC.The one, itD.The one, one2.Because he was living alone, his mother seemed to have a lot __________.A. to worryB.to be worry aboutC. to worry aboutD.to be worried3.Not only Mr and Mrs Green but also their daughter_________ abroad twice.A. have goneB. have beenC. Has goneD.has been4.---Can you share with us the reason why your team could win the final?---Nothing special.You just need to ______new challenges and never give up.A.take inB. take onC. take offD.take over5.He is a kind and patient teacher. It's quite______ him to get so angry.ual ofual forC.unusual ofD.unusual for6.The programme Running Man has been hot on screen recently _____ some pop stars bring the audience a lot of fun.A.untilB.becauseC.thoughD.unless7.Could you please tell me________________________?A.what she had done to the newspaperB.how we can call the ladyC.what is wrong with the little boyD.Which gate I should go8.The girl is often seen ______ in the art room.A.practice drawingB.practised drawingC.to practice drawingD.practice to draw9.---Do you know what time your uncle _______Hangzhou tomorrow?--- At 2:00 p.m. I will meet him when he ______ at the airport.A.gets to,arrivesB.will get to,will arriveC.will get to,arrivesD.gets to,will arrive10.---I really can't belive such a learned man has made such a silly mistake.--- Don't you know ________ sense is worth more than knowledge?A.generalualC.specialmon11.--- I went to visit your parents at 8:00 p.m. Yesterday, but nobody was in.--- Oh, ___of us were enjoying a wonderful concert at that moment.A.allB.noneC.bothD.neither12.---Your father's never late for work, ______ he?--- _______.But he gets up late on weekends.A.has; Yes,he has.B.is;No; he isn't.C.has;No,he hasn't.D.is; Yes,he is.13.Although these kinds of trainers are new models, they______ well.A.don't sellB.aren't soldC.won't be soldD.were not selling14.---Jack, I'd like to have your ideas about my written report.----___________.But I have one suggestion.A.That's a good ideaB.You are modestC.It looks fine to meD.You should check it first.二、完型填空（本大题共10分，每小题1分）"I'm too old and it's too late," which played over and over in my mind.I was sad after ending my marriage and my law career at the same time. My dream was to be a writer, but I 15my ability to succeed as one. Had I wasted years going 16 the wrong goals?I was at a low point 17 the voice on the radio began 18 the story of Grandma Moses. Ann Mary Moses left home at thirteen, bore ten children and worked hard to raise the five who 19 . Struggling to make a living on poor farms, she managed to 20 a bit of beauty for herself by embroidering (绣花) on cloth.At seventy-eight, her fingers weren't suitable to embroider .Rather than give in to aging, she went out to an empty room and began to 21 . For the first two years, these paintings were either given away or sold for a little money. But at the age of seventy-nine, she was "discovered" by the art world-and the rest is 22 . She went on to produce more than two thousand paintings, 23 her book illustrations (插图) for It was the Night before Christmas were completed in her one-hundredth year!As I listened to the radio, my mood changed. If Grandma Moses could begin a new career and succeed after eighty, my life still had 24 after thirty. Before the program ended, I rushed to my computer to work on the novel I'd nearly given up.It was came out eight months later. ( )15 .A.believed B.expected C. proved D.douted( )16 .A.by B.after C.against D.over( )17 .A.unless B.because C.when D.while( )18 .A.telling B.reminding C.saying D.playing( )19 .A.succeeded B.left C.survived D.grew( )20 .A.notice B.offer C.give D.provide( )21 .A.paint B.write C.think D.change( )22 .A.story B.future C.history D.fact( )23.A.but B.and C.so D.therefor( )24 .A.ability B.hope e D.dream三、阅读理解（本大题共26分，每小题2分）AHave you ever had an embarrassing (尴尬的) experience? Last week we asked readers to tell us about embarrassing experience. We received thousands of letters ! Here is a selection.Tony : My most embarrassing experience happened when I had just left university. I had just started teaching in a Liverpool secondary school. One morning my alarm clock didn't ring.I woke up at half past eight and school began at nine. I quickly washed, dressed, jumped into my car and rushed to school. When I arrived, the students had already gone into class. I didn't go to the office, but went straight into class. After two or three minutes the students began laughing, and I couldn't understand why! Suddenly I looked down and understood. I had put on one black shoe and one brown shoe !Henry : The most embarrassing experience I've ever had, happened two years ago. After seeing a film,my wife and I had lunch in our favourite restaurant in town. Then we decided to take a walk along the street. The street was very busy and we started holding hands. Suddenly my wife saw a dress that she liked in a shop window, and stopped. I started looking at some watches in the next window. After a minute or two I reached for my wife's hand. There was a loudscream, and a woman slapped my face. I hadn't taken my wife's hand. I'd taken the hand of a complete stranger !James:My wife and I had decided to buy a new house, and I'd made an appointment to see our bank manager. I'd never met him before. I went into town in my car and I was lucky enough to find a parking space outside the bank. I'd just started reversing (倒车) into the space when another car made its way into it. I was irritated! I opened my window and shouted at the man in the car. He ignored me and walked away. It took me twenty minutes to find another place.As soon as I had parked the car,I rushed back to the bank. I was ten minutes late for my appointment. I went to the manager's office,knocked and walked in. The manager was sitting behind his desk. He was the man who had taken my parking space!25. Tony arrived at school late that morning because ______.A. he couldn't find his shoesB. his alarm clock didn't ringC. he washed and dressed slowlyD. his car went wrong on the way26.Henry and his wife held hands ______.A. at the cinemaB. in the shopC. at the restaurantD. along the street27. James went into town to ______.A. put money in the bankB. look for a jobC. meet the bank managerD. buy a new carBFor a long time, humans have used technology (科技) to study the world around us, and Mars is the latest place we’re using machines to explore. Besides the earth, the “red planet” is seen, as the one place in our solar system most likely to have life.Early last month, the first American robot, Spirit, landed on Mars without any problem. Opportunity, the second robot, landed on the planet more than a week ago. Scientists are very excited about these machines’safe landing on Mars. It means that now we have an excellent chance to look for water and other signs of life. So far, the robots have found some stones that could show Mars was once a wet and warm planet.But the trips made by Spirit and Opportunity were dangerous. Mars is often called the “death planet”, because in the past its environment has been unfriendly to the robot explorers. Before Spirit and Opportunity, nearly forty spaceships had been sent to Mars since the 1960s. Two-thirds of them failed. The first spaceship, Korabl, sent in 1962 by Russia was among them. It broke apart (分裂) near the earth.28. For a long time humans think ________.A. they can surely find life on MarsB. there may be life on MarsC. it’s too late for them to explore Mars nowD. Mars is the only planet that has life on it29. The two robots ________.A. have found out that it is warm and wet on MarsB. were sent to Mars to find some stonesC. were the first two American robots that landed on MarsD. are the only machines that have landed on Mars so far30. The third paragraph mainly tell us ________.A. it’s a very hard and dangerous trip for spaceships to MarsB. two-thirds of the spaceships sent to Mars have failedC. Spirit and Opportunity landed on Mars successfulD. Mars is called the “death planet”CWhy are so many people so afraid to fail? Quite simply because no one tells us how to fail so that failure (失败) becomes an experience that means growth. We forget that failure is part of the human condition and that every person has the right to fail.Most parents work hard at preventing failure or protecting their children from the knowledge that they have failed. One way is to lower standards(标准). When a child finishes making a table, the mother describes it as “perfect” even though it doesn’t stand still. Another way is to blame (责怪) others. If John fails in science, his teacher is unfair or stupid.There’s a problem with the two ways. It makes a child unprepared for life in the real world. The young need to learn that no one can be best at everything, no one can win all the time, and that it’s possible to enjoy a game even when you don’t win. A child who’s not invited to a birthday party, who doesn’t make the honour list on the baseball team, feels terrible, of course. But parents should not offer a quick consolations (安慰), prize or say, “It doesn’t matter.” Because it does. The young should be allowed to experience failure and be helped to come out of it.Failure never gives people pleasure. It hurts both grown-ups and children. But it can be really good to your life when you learn to use it. You must learn to ask “Why did I fail?” Don’t blame anyone else. Ask yourself what you did wrong and how you can improve. If someone else can help, don’t be shy about asking them.31:How do most parents prevent their children from failure?A．They give them some presents.B．They don’t tell them that they have failed.C．They don’t blame others.D．They help them to come out of failure.32:Which of the following can a person learn when he fails?A．It’s impossible to enjoy a game if he misses it.B．He is the worst of all.C．It’s natural not to win a game and no one can win all the time.D．His teammates are not good enough.33. Which would be the best title for the passage?A．Learning from FailureB．Ways of Preventing FailureC．Reasons of FailureD．Getting Pleasure from FailureDIf you’re ever apart from your children, a new study says just talking on the phone will help just as much as a hug(拥抱)．If you’re a parent who spends long hours on the job, you probably feel sorry for spending so much time away from your kids．But the results of a new study show that a mother’s voice alone can be just as comforting to an anxious child as physical contact．In an experiment, researchers from the University of Wisconsin-Madison asked a group of girls between the age of 7 and 12 to solve math problems in front of judges – a stressful(充满压力了)situation for anyone．Before the girls were set to solve math problems, the researchers measured their levels of two hormones(荷尔蒙)：cortisol, which goes up during stressful periods,and oxytocin, the “love” hormone．After they were finished, some of the girls got to meet up with their mothers right away．The mums came in and hugged the girls．Another group of the girls didn’t see their mothers, but received phone calls fr om them, in which their mothers told them how well they’d done．The final group had no contact with their mothers, but watched an animal movie, March of the Penguins instead．Finally, the girls’ hormone levels were measured again．although the movie was interesting, it did noting to ease(缓解)the children’s anxiety – but, surprisingly, both the physical contact and phone calls from their mothers had the same effect on easing the girls’ stress levels．So, no matter how old you are, if you’re feeling stressed about something in your life, a phone call to Mom might be just the key to help you feel better．34.The first two paragraphs suggest that _________．A．a mother’s voice can comfort her anxious kidB．the results of the study can’t be accepted by mothersC． parents are too busy to talk with their kidsD． mothers should spend enough time staying with their kids35.Which of the following is the right order in which the study was carried out?a．The girls’ levels of hormones were measured again．b．The girls solved math problems．c．The girls’ levels of hormones were measured．d．The girls were divided into three groups．A． b-c-d-a B．d-b-c-a C．c-b-d-a D．d-c-b-a36.According to the passage, we can infer that _________．A． it is easy for girls to solve math problemsB． the girls who had watched the movie remained anxiousC． mothers should hug their kids as often as possibleD． older girls have higher cortisol than younger ones．37.What is the author’s attitude towards the study?A． Supportive．B．Doubtful．C．Uncertain．D．Worried．第II卷(主观题共四十分)四、词汇运用（本大题共8分，每小题1分）(A) 根据句意和汉语注释，在答题卡标有题号的横线上，写出单词的正确形式。

天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学（理科）考生注意：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦千净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x ∈N0≤x≤5},CAB={1,3,5},则集合B=A.{2,4}B.{0,2,4}C.{0,1,3}D.{2,3,4}2.已知集合A={x|x 2-4x<0},B={1,2,5,6},则A∩B=A.{1,2,5}B.{5,6}C.{1,2}D.{1}3.已知复数1276-+=i i z ,则复数z 的虚部为 A.58 B.519- C.519 D.i 519- 4.函数3ln )(-+=x x x f 的零点位于区间A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.=+ππππ1225411cos 127sin 45sin in A.21 B.23 C.21- D.23- 6.已知函数a x x f x -+=2)((a>0)的最小值为2,则实数a=A.2B.4C.8D.167.已知a,B 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列说法中正确的是A.若m ⊥a,n ⊥B,m ⊥n,则a ⊥BB.若m ⊥a,a ⊥B,则m ∥BC.若m ∥a,a ⊥B,则m ⊥BD.若a ∥B,m ∥a,n ∥B,则m ∥n8.若⎩⎨⎧<>-=0),(0,32)(x x g x x f x 是奇函数,则f(g(-2)的值为 A.25- B.25 C.-1 D.1 9.下列说法中,正确的是A.命题“若m>n>0,则n m 3131log log >”的逆命题为真命题B.“x x R x cos 6,2>+∈∀”的否定为“0200cos 6,x x R x <+∈∃C.,0R x ∈∃使得02069x x <+成立D.直线03:1=-y x l 与直线02:2=+my x l 垂直的充要条件为32=m 10.已知函数)2cos()(ϕ-=x x f ,将函数f(x)的图象向右平移3π个单位后与函数)32sin()(π-=x x g 的图象重合,则φ的值可以是 A.6π B.4π C.3π D.12π 11.已知函数4215)(--=x x x f ,若a<-2,b>2,则f(a)>f(b)”是“a+b<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知关于x 的方程16cos 26222+=++x x λλλ仅有唯一实数根,则实数λ的值为A.2或-4B.2C.2或4D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 满足2)4(-=f ，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上的最大值为___________________。

绝密★启用前天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{x |x ＝t 2－|t |，t ∈U }，则∁U A ＝A ．{－2，－1，1}B ．{－1，1，2}C ．{－2，1，2}D ．{0，1，2}2．若复数z ＝b i 3＋i ＋12(b ∈R )为纯虚数，则共轭复数z －＝ A ．－32i B ．－12i C.12i D.32i 3．区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图．根据图中的信息，下面结论中不正确的是A ．广东人口增量最多，天津增幅最高B ．黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾C ．天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过5%D ．人口增量超过200万的省、自治区或直辖市共有7个4．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2，且a 3＋a 15＝14，则其前17项和S 17＝A ．136B ．119C ．102D ．855．一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为A.π2－1B.π4－34C.π4－12D.π4－146．如图是某几何体的三视图，网格纸上的每个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．4＋2πB ．4＋4πC ．8＋2πD ．8＋4π7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|e x －3|，x ≤0，ln x ，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(0，3)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．[2，3)8．已知|a |＝2，|b |＝7，|3a －b |＝27，若(a －3b )⊥(5a ＋2t b )，则t ＝A ．1 B.4714 C.3586 D.129．某市农技推广中心拟将A ，B ，C ，D ，E 五名技术员派到三个农场去作技术指导，每个农场至少有1名技术指导员，其中A 和B 不能去同一农场，A 和C 必须去同一农场，则该中心拟派方案有A ．240种B ．120种C ．60种D ．30种10．已知在曲线C 1：f (x )＝4e x ＋1(e ＝2.718 28…)上任意一点P (x 1，y 1)处的切线为l 1，在曲线C 2：g (x )＝(m －2)x ＋4x x ＋1(x >0)上总是能找到一点Q (x 2，y 2)，使得曲线C 2在Q 点处的切线l 2与l 1平行或重合，则实数m 的取值范围是A ．[－2，1)B ．[－1，2)C ．(－2，1]D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)11．如图，抛物线x 2＝2py (p >0)的准线l 与坐标轴交于点C ，过点C 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若点B 到直线l 的距离为2tp (t >0)，且BC →＝－tBA →，设直线AB 的斜率为k ，则k 2＝A ．22－2 B.5＋12C. 2D. 5 12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝32，侧面P AC 为正三角形，且顶点P 在底面上的射影落在△ABC 的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为A.105π13B.315π26C.315π13D.630π13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －12≤0，3x －5y ＋15≥0，y ≥－3，则z ＝x ＋6y 的最小值为__________． 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线上一点．若MF 1⊥MF 2，且S △MF 1F 2＝8a 2，则该双曲线的离心率为__________．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1－S n 4a n ＋1－a n ＝12，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项和T 4＝__________.16．已知关于x 的方程cos x sin 2x ＝m 有实数根，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝45°，AC ＝5，CD ＝32，且cos ∠BAD ＝210. (Ⅰ)求cos ∠BAC ；(Ⅱ)若△ABC 的面积为5，求BC .18．(12分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AD ＝4，BC ＝3，DC ＝2，M ，N 分别为AD ，BC 上的点，且满足AM ＝MD ，2BN ＝NC .以MN 所在直线为折痕将四边形AMNB 折起，使A ，B 两点分别到达Q ，P 两点的位置，且满足平面PQMN ⊥平面CDMN .(Ⅰ)求证：ND ⊥QC ；(Ⅱ)求二面角N －PQ －C 的余弦值．19．(12分)PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重．下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采用“绿色出行”的人数与PM2.5值的一组数据：程；(计算结果保留两位小数)(Ⅱ)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预测第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)(Ⅲ)若PM2.5的值在(0，50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中任意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．附：b ^＝错误!＝错误!错误!.20．(12分)已知椭圆C ：x 22＋y 2b2＝1(2>b >0)的右顶点和上顶点分别为A 与B ，原点O 到直线AB 的距离为63. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆C 长轴上一点R 作斜率为22的直线l ，与椭圆C 的两个不同交点为P ，Q (不同于点R )，试问4|PR |·|QR |＋3|OR |2是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x 2＋ax .(Ⅰ)证明：f (x )≥x ＋1；(Ⅱ)对任意x ∈(0，1]，不等式f (x )－g (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若函数H (x )＝2f (x )－g (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝－2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0.(Ⅰ)化直线l 的参数方程为普通方程，化圆C 的极坐标方程为直角坐标方程；(Ⅱ)设A 是直线l 上一点，P ，Q 是圆C 上不同的两点，圆心C 是△APQ 的重心，当△APQ 的面积取最大值时，求点A 的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|ax ＋2|.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －1|≤16的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x ＋1)－f (x －1)>6有解，求实数a 的取值范围．。

无锡市第一中学2018—2019学年第一学期质量检测高三数学（理）参考公式：弧长||l r α=，其中r 为半径的长度，α是弧所对的圆心角的大小．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置．1．已知集合2{}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ． 2．已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 3．为调查某区高中一年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该区高中一年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100] (单位：分钟)上，其频率分布直方图如图所示，则估计该区高中一年级学生中每天用于阅读的时间在内的学生人数为 ▲ ．4． “a b =”是“b a lg lg =”的 ▲ 条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要”中的一个） 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．函数8ln ++-=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．7．如右图，是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．8．已知函数()(),0,1()4,02xg x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩是奇函数，则()()3f g = ▲ ． 9．设函数()f x 在R 上满足(4)()f x f x +=，且在区间(2,2]-上其函数解析式是(),20,1,02,x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a = ▲ ．10．已知定义在R 上的函数22,0,(),0,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()()4f a f a +-<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()21,()22xx f x g x m x x ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，若命题“[][]122,1,0,2x x ∃∈-∃∈使得()()12f x g x ≥成立”为假命题，则实数m 的取值范围为 ▲ ．12．记定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，若存在0[,]x a b ∈，使得()0()()()f b f a f x b a '-=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数3()3f x x x =-在区间[2,2]-上的“中值点”所成的集合为 ▲ ．13．已知函数()()2x x e af x a R e=-∈在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．14．已知函数323,0,(),0,x x t x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩t ∈R ．若函数()(()1)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设集合{}2ln(28),A x y x x x R ==--+∈，集合{}47,1321x B y y x x -+==≤≤-，集合{}1()(4)0,C x ax x x R a=-+≤∈．（1）求A B ；（2）若C ⊆C R A ，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）若0a >,命题:p (0,1],30a x x x∃∈-+≥成立; 命题:q 函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减．（1）若命题p 是真命题，求a 的取值范围； （2）是否存在整数a ，使得p q ∨为真命题；p q ∧为假命题，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()(1)x=--⋅（e为自然对数的底数， 2.71828f x x k ee≈，k∈R）．（1）当0f x的单调区间和极值；x>时，求()（2）若对于任意[1,2]<成立，求k的取值范围．f x xx∈，都有()418．（本小题满分16分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB=米，AD,为直径的半圆1O和半圆2O（半圆在矩形AD=米，以BC80ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE、FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F分别为AD BC上的动点，//,EF AB，且线段EF与线段AB在圆心1O和2O连线的同侧．已知弧线AE、FB部分的修建费用为200元/米，线段EF部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF=米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．已知函数()ln f x x =，函数(),,ng x mx m n R x=+?． （1）当1,1m n ==-时，① 求函数()()()h x f x g x =-在区间[,1]a a +上的最大值；② 已知不等式2()()f x kg x <对任意的(1,)x ??恒成立，求实数k 的范围．（2）已知对任意的*n N ∈，函数()()()F x f x g x =-在区间[1,2]上恒为单调递增函数， 求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分16分） 设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈．（1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ， ① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．。

江苏省天一中学2018-2019高三第一次诊断性测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设集合{1,2,3,5},{2,3,6}A B ==，则AB =_______．【答案】{}1,2,3,5,6【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合 {}{}1,2,3,5,2,3,6A B ==,所以{}1,2,3,5,6A B ⋃=，故答案为{}1,2,3,5,6.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2. 命题：“ 0,x ∃>使得10x +>”的否定为__________.【答案】0,10x x ∀>+≤【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论， 故命题“ 0,?10x x ∃>+>” 的否定是0,10x x ∀>+≤，故答案为0,10x x ∀>+≤.【点睛】本题主要考查特称命题否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3. 函数y =_________. 【答案】(0,1]【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数y =， 则100x x x -⎧≥⎪⎨⎪≠⎩⇒ (1)00x x x -≥⎧⎨≠⎩解得01x <≤， ∴函数y =(]0,1，故答案为(]0,1. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.4. 曲线sin y x x =-在2x π=处的切线的斜率为_________. 【答案】1【解析】【分析】求出原函数的导函数，可得到曲线sin y x x =-在2x π=处的导数值,根据导数的几何意义可得结果. 【详解】因为曲线sin y x x =-在2x π=处的切线的斜率就是曲线sin y x x =-在2x π=处的导数值，由sin y x x =-得'1cos y x =- , 2'|1cos12x y ππ=∴=-=，即曲线sin y x x =-在2x π=处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5. 若函数()22x x a f x =+是偶函数，则实数a =______． 【答案】1【解析】由函数()22xx a f x =+是偶函数，利用()()11f f -=求得1a =，再验证即可得结果. 【详解】 ()22x x a f x =+是偶函数， ()()11f f ∴-=，即12222a a +=+，解得1a =， 当1a =时，()112222x x x x f x ---=+=+是偶函数，合题意，故答案为1. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由 ()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6. 已知0a >，函数2()()f x x x a =-和2()(1)g x x a x a =-+-+存在相同的极值点，则a =_______.【答案】3【解析】【分析】(1)求出函数()y f x =的导数，可得极值点,通过与()y g x =有相同的极值点，列方程求a 的值.【详解】()()23222f x x x a x ax a x =-=-+，则()()()22'343f x x ax a x a x a =-+=--， 令()'0f x =，得x a =或3a ， 可得()f x 在(),,,3a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增； 可得()f x 在,3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，极大值点为3a ，极小值点为a ， 因为函数()()2f x x x a =-和()()21g x x a x a =-+-+存在相同的极值点， 而()g x 在12a x -=处有极大值， 所以123a a -=，所以 3a =，故答案为3. 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7. 已知函数()()2sin (0)f x x ωϕω=+>.若0,232f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数ω的最小值为______. 【答案】3【解析】【分析】 【详解】由题意得2234233T T Tππππω≤-⇒≤⇒=≥, 实数ω的最小值为3.故答案为：3.8. 已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π224ABC S ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.9. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22【解析】【分析】 【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)2)a f f ->，则122a -<112a -<，解得1322a <<． 10. 已知0<y<x<π，且tanxtany ＝2，sinxsiny ＝13，则x －y ＝________. 【答案】3π 【解析】由题意可得tan x tan y ＝sinxsiny cosxcosy＝2， 解得cos x cos y ＝16， 故cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝16＋13＝12， 又0<y <x <π，所以0<x －y <π，所以x －y ＝3π. 故答案为3π 11. 在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为____．【解析】试题分析：由AC AD AC BD ⋅=⋅得()0AC AD BD ⋅-=，即0AC AB ⋅=，所以AC AB ⊥，于是AC CD ⊥，又22()AC AD AC AC CD AC AC CD AC ⋅=⋅+=+⋅=，即23AC =，所以AC = 考点：1.向量的数量积；12. 已知42ππα≤<，42ππβ≤<，且()22sin sin cos cos sin αβαβαβ=+，则()tan αβ+的最大值为______．【答案】4-【解析】【分析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简()22sin sin cos cos sin αβαβαβ=+可得()2tan tan tan tan αβαβ+=，由此得()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ++==-- ()1tan tan 12tan tan 1αβαβ⎡⎤=--+-⎢⎥-⎣⎦，利用基本不等式可得结果. 【详解】()22sin sin cos cos sin αβαβαβ=+，()tan tan sin sin sin αβαβαβ∴⋅=+cos cos sin sin αβαβ=+，11tan tan tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+=，所以()2tan tan tan tan αβαβ+=，42ππα≤<，42ππβ≤<，tan 1tan 1αβ∴≥≥，，tan tan 1αβ∴≥， ()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ++==--()1tan tan 12tan tan 1αβαβ⎡⎤=--+-⎢⎥-⎣⎦24≤-=-，当且仅当1tan tan 1tan tan 1αβαβ-=-，即tan tan 2αβ=时，取等号， 所以()tan αβ+的最大值为4-.故答案为：-4.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.13. 设0,a e ≠是自然对数的底数，函数2,0(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为______．【答案】(,0)[4,6]-∞⋃【解析】【分析】对a 分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果，即可得结论.【详解】①0a <，0x ≤时，()()'10,x f x ae f x =-<∴在(),0-∞单调递减，且()()00,f a f x =<∴在(),0-∞有一个小于0的零点；0x >时，()f x 在()0,∞+单调递增，()11f =，()f x ∴在()0,∞+有一个小于1的零点，因此满足条件.②0a >（1）01a <≤时，()f x 在(),0-∞单调递减，()()00,f a f x =>∴在(],0-∞上没有零点.又240a a ∆=-<,故()f x 在()0,∞+上也没有零点，因此不满足题意.(2)14a <<时，()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 上单调递减，在1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()1ln 1ln 0,f a f x a ⎛⎫=+>∴ ⎪⎝⎭在(],0-∞上没有零点. 又240a a ∆=-<，故()f x 在()0,∞+上也没有零点，因此不满足题意.(3)4a =时，()()24,0,44,0x e x x f x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在 (],0-∞上没有零点， ()f x 在()0,∞+上只有零点2，满足条件.(4)4a >时，()f x 在(],0-∞上没有零点，在()0,∞+上有两个不相等的零点，且和为a ,故满足题意的范围是46a <≤.综上所述，a 的取值范围为()[],04,6-∞，故答案为()[],04,6-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14. 设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 则a 的取值范围是____．【答案】[2]-【解析】【分析】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤，等价于()[]min 0,1,1f x x ≤∈-，化简()f x 的解析式，判断()f x 的单调性，讨论()f x 的单调区间与区间[]1,1-的关系，求出()f x 在[]1,1-上的最小值，令最小值小于或等于零解出a 即可.【详解】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤， ()[]min 0,1,1f x x ∴≤∈-，当x a ≤时,()()()2221221f x x a a x x a ax a a =--+++=-++, ()f x ∴在(],a -∞上单调递减；当0a x <<时,()()2222212221f x x a x a x ax a a =-+++=--++， ()f x ∴在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0x ≥时，()()22221221f x x a x a ax a a =-+++=-+++， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，(1) 若12a ≤-，即2a ≤-时，()f x 在[]1,1-上单调递增, ()()2min 1430f x f a a ∴=-=++≤,解得31,32a a -≤≤-∴-≤≤-；(2)若102a -<<，即20a -<<时，()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ()2min 21022a a f x f a ⎛⎫∴==++≤ ⎪⎝⎭，解得2222a a --≤≤-+∴-<≤-+综上，a 的取值范围是3,2⎡--⎣，故答案为3,2⎡--⎣.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知sin cos θθ+=，(4πθ∈-，)4π． （1）求θ的值：（2）设函数22()sin sin (),f x x x x R θ=-+∈，求函数()f x 的单调增区间． 【答案】（1）6πθ=-；（2）[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈．【解析】【分析】（1）由1sin cos 2θθ+=两边平方，结合二倍角公式可得sin 2θ=，又结合范围(4πθ∈-，)4π，即可解得θ；（2）由（1）可得22()sin sin ()6f x x x π=--，利用倍角公式，两角差的余弦函数公式以及辅助角公式化简可得1()sin(2)26f x x π=-，令222262k x k πππππ--+，k Z ∈，即可求得函数的单调增区间．【详解】（1）因为1sin cos 2θθ+=，所以222212(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2()22θθθθθθθ+=++=+==，即sin 2θ=，又(4πθ∈-，)4π，所以2(,)22ππθ∈-， 所以23πθ=-，6πθ=-；（2）由（1）可得6πθ=-， 则22()sin sin ()6f x x x π=--，所以11()(1cos 2)[1cos(2)]223f x x x π=---- 1111cos 2cos(2)22223x x π=--+-111cos 2(cos 22)2222x x x =-++12cos24x x =-112cos2)22x x =- 1sin(2)26x π=-， 令222262k x k πππππ--+，k Z ∈， 则63k x k ππππ-+，k Z ∈，所以函数的单调增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈．【点睛】本题主要考查三角函数、倍角公式与半角公式以及两角和与差公式的综合应用，考查了正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想.16. 如图，在ABC 中，已知745AC B D =∠=，，是边AB 上的一点，3AD =，120ADC ∠=，求：（1）CD 的长；（2）ABC 的面积.【答案】（1）5；（275553+【解析】【分析】（1）在ACD ∆中，7,3AC AD ==,120ADC ∠= ,由余弦定理得2227323cos120CD CD =+-⨯⋅，解得5CD =；（2）在BCD ∆中，由正弦定理得5sin75sin45BD =，解得553BD +=，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠ 2227323cos120CD CD =+-⨯⋅，解得5CD =.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD B =∠，5sin75sin45BD =， 解得553BD +=， 所以11sin sin 22ABC ACD BCD S S S AD CD ADC CD BD BDC ∆∆∆=+=⋅∠+⋅∠ 1155335sin1205sin6022+=⨯⨯+⨯⨯ 75553+=【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()1,0,0,2a b ==,设向量()11cos ,x a b y ka b sin θθ=+-=-+，其中0πθ<<. （1）若4k =，π6θ=，求x y ⋅的值； （2）若//x y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.【答案】（1）443-；（2）43-； 【解析】 试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到k 与θ的关系式，用θ表示出k ，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求1k的最小值； 试题解析：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，()123x =-，，y =(44-，)， 则x y ⋅=()1(4)234443⨯-+-⨯=-． （方法2）依题意，0a b ⋅=，则x y ⋅=()2233142421a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⋅-+=-+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦34214443⎛⎫=-+⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．（2）依题意，()122cos x θ=-，，，因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--， 整理得，()1sin cos 1kθθ=-，令()()sin cos 1f θθθ=-， 则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ=-+-'22cos cos 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-.令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=. 列表： θ2π0?3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2π3 2π π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f θ' - 0 +()f θ↘ 极小值334- ↗故当2π3θ=时，min ()f θ=334-，此时实数k 取最大值439-. 考点：1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3利用导数求函数的最值； 18. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()f x ∴是“局部奇函数”，理由见解析；(2)5[,1]4--；(3)[13,22].- 【解析】 试题分析：（Ⅰ）判断方程()()0f x f x +-=是否有解；（Ⅱ）在方程()()0f x f x +-=有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.试题解析：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解．（Ⅰ）当2()24()f x ax x a a R =+-∈时，方程()()0f x f x +-=即有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． 3分（Ⅱ）当()2x f x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220x x m -++=， 因为()f x 的定义域为[1,1]-，所以方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解． 5分令12[,2]2x t =∈，则12m t t-=+． 设1()g t t t =+，则22211()1t g t t t='-=-， 当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数，． 7分 所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． 9分 （Ⅲ）当12()423x x f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为 2442(22)260x x x x m m --+-++-=．设22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x “局部奇函数”． 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得1313m -≤≤+； 13分2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 2244(28)0,{2,(2)0m m m F ∆=--≥>>解得1322m +<≤． 15分 （说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1322m -≤≤． 16分考点：函数的值域、方程解的存在性的判定.19. 如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上．测得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ，710km ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)PQ OM ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为3266r t km =．若与此同时，一艘游轮以182/km 小时的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行？【答案】（1）92km ；（2）强水波不会波及游轮的航行．【解析】【分析】(1)以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系，直线ON 的方程为3y x =-，()00,2(0)Q x x >， 由点到直线距离公式得()4,2Q 求得直线AQ 的方程为60x y +-=， 可得交点()3,9B -，结合()6,0A 由两点间距离公式可得AB 的长；(2) 设试验产生的强水波圆P ，生成t 小时，游轮在线段AB 上的点C 处，令()22h t r PC =-，求得()()321812362068h t t t t =-+-，102t ≤≤，利用导数证明()0h t <，即r PC <恒成立，从而可得结果. 【详解】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：()6,0A ，直线ON 的方程为3y x =-，()00,2(0)Q x x >，由032710510x +=，及00x >得04x =，()4,2Q ∴ ∴直线AQ 的方程为()6y x =--，即60x y +-=，由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即()3,9B -， ()2236992AB ∴=--+=，即水上旅游线AB 的长为92km ．（2）设试验产生的强水波圆P ，生成t 小时，游轮在线段AB 上的点C 处，则182AC t =，102t ≤≤，()618,18C t t ∴-， 令()22h t r PC =-，则()4,8P ，3266r t =，()()()23222218188h t t t ⎛⎫⎡⎤∴=--+- ⎪⎣⎦⎝⎭()321812362068t t t =-+-，102t ≤≤， ()()21812336220h t t t ∴=⨯-⨯+'()2729185t t =-+ ()()723135t t =--，102t ≤≤， 由()0h t '=得1t =或5t =（舍去）∴ ()()()3223max 116266812033h t h ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤==⨯--+-=-< ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 102t ∴≤≤时，()0h t <，即r PC <恒成立， 亦即强水波不会波及游轮的航行．【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20. 已知函数()()42ln f x x x =+，()245g x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：当1x ≠时，曲线()y f x =恒在曲线()y g x =的下方；（3）当(]0,x k ∈时，不等式()()()()2121k f x x g x +⋅≤+⋅恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）66y x =-；（2）证明见解析；（3）(]0,1.【解析】【分析】（1）求出()24ln 4f x x x=++',求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)要使得当1x ≠时，曲线()y f x =恒在曲线()y g x =的下方，即需证()()()1f x g x x <≠，不妨设()()()F x f x g x =-， 则()()242ln 45F x x x x x =+--+，利用导数证明()F x 取得最大值()10F =即可得结果；(3)由题意可知0,210k x >+>，可得不等式()()()()2121k f x x g x +≤+可转化为()2221ln 45k x x x +≤+-，构造函数()()2221ln 45H x k x x x =+--+，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明()H x 的最大值小于零，从而可得结论.【详解】（1）()24ln 4f x x x=++'，()16f '=， 故切线方程是66y x =-.(2)要使得当1x ≠时，曲线()y f x =恒在曲线()y g x =的下方，即需证()()()1f x g x x <≠，不妨设()()()F x f x g x =-， 则()()242ln 45F x x x x x =+--+， ()422'4ln 244ln 2x F x x x x x x x+∴=+--=+-， 令()()'G x F x =，()()2222142'20x G x x x x--∴=--=≤恒成立，^ ()'F x ∴在()0,∞+单调递减，v又()()'10,0,1F x =∴∈时，()'0F x >；当()1,x ∈+∞时，()F'0x <，()F x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即当1x =时，()F x 取得最大值()10F =，∴当1x ≠时，()()10F x F <=，即()()f x g x <，∴当1x ≠时，曲线()y f x =恒在曲线()y g x =的下方，(3)由题意可知0,210k x >+>，∴不等式()()()()2121k f x x g x +≤+可转化为()2221ln 45k x x x +≤+-，构造函数()()2221ln 45H x k x x x =+--+，()2422442'24k x x k H x x x x+--++∴=--=， 在二次函数22442y x x k =--++中，开口向下，对称轴1x =-，且过定点()0,42k +，解得224420x x k --++=，得11x =-(舍去），21x =-.①当2x k <时，即1k <- (舍去）或1k >，此时当()20,x x ∈时，()'0H x >； ()2,x x k ∈时,()'0H x <；∴当2x x =时，()H x 取得最大值，记为()()212222221ln 45H x k x x x =+--+，由21x =222212k x x +=+，()()22122222222ln 450H x x x x x x ∴=+-++≤， 而()()()()2221222222222'44ln 2444ln x x H x x x x x x x +=++--=+，∴当()20,1x ∈时，()12'0H x <，即()12H x 在()0,1上递减，当()21,x ∈+∞时，()12'0H x >，即()12H x 在()1,+∞上递增，()12H x ∴在21x =处取得最小值()110H =，∴只有21x =符合条件，此时解得1k = ，不合条件，舍去;②当2x k =时，解得1k =，当()0,1x ∈时，()()'0,H x H x >∴在(]0,1x ∈时取得最大值()10H =，即当(]0,1x ∈时，()0H x ≤恒成立，原不等式恒成立；③当2x k >时，解得01k <<，当()0,x k ∈时，()'0H x >，()H x ∴在(]0,x k ∈时取得最大值，记为()()22221ln 45H k k k k k =+--+，由（2)可知()2H k 的图象与()F x 的图象相同，∴当01k <<时，()()2210H k H <=，原不等式恒成立；综上所述，实数k 的取值范围是(]0,1.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。