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点到直线的距离公式的十三种证明方法哎呀，说起点到直线的距离公式，这可是数学里的老朋友了。
记得高中那会儿，每次考试都少不了它的身影。
不过，你可别小看了这个公式，它可是有十三种不同的证明方法呢！今天，我就来给你好好聊聊这些方法，保证让你大开眼界。
方法一：几何法首先，我们得从最直观的几何法说起。
想象一下，你有一个点P和一个直线L。
你只需要从点P向直线L作一条垂线，这条垂线的长度就是点P到直线L的距离。
这个方法简单直观，但是计算起来可能有点麻烦。
方法二：向量法接下来是向量法。
这个方法用到了向量的概念，通过计算向量的数量积来求解。
具体来说，就是找到一个向量，它从点P指向直线L上的任意一点，然后计算这个向量与直线L的法向量的点积，最后除以法向量的长度。
这个方法计算起来比较简洁，但是需要一定的向量知识。
方法三：坐标法坐标法是我最常用的方法。
你只需要知道点P的坐标和直线L的方程，然后代入公式，就可以直接求出距离。
这个方法简单快捷，但是需要一定的代数基础。
方法四：解析几何法解析几何法是坐标法的升级版。
它不仅需要知道点P的坐标和直线L的方程，还需要知道直线L的斜率。
通过计算斜率和点P的坐标，可以求出点P到直线L的距离。
这个方法计算起来比较复杂，但是可以解决一些坐标法解决不了的问题。
方法五：三角法三角法是通过三角函数来求解点P到直线L的距离。
你需要知道点P的坐标和直线L的倾斜角，然后利用三角函数求出距离。
这个方法需要一定的三角知识，但是可以解决一些复杂的几何问题。
方法六：微积分法微积分法是通过求导数来求解点P到直线L的距离。
你需要知道点P的坐标和直线L的方程，然后对直线L的方程求导，最后利用导数求出距离。
这个方法需要一定的微积分知识，但是可以解决一些复杂的数学问题。
方法七：复数法复数法是通过复数来求解点P到直线L的距离。
你需要知道点P的坐标和直线L的方程，然后利用复数的性质求出距离。
这个方法需要一定的复数知识，但是可以解决一些复数几何问题。
点到直线距离公式的八种推导方法注：由于特殊形式的直线方程求距离比较简单，因此中，直线的方程为，A ，B 均不为0。
设斜率为，点P 的坐标为(x 0，y 0)，点P 到l 的距离为d 。
推导一（面积法）：如上图所示，设R(x R ,y 0)，S(x 0,y s )，由R ，S 在直线l 上，得到：，0:=++C by Ax l l k .0A 0A 00=++=++C By x C By x s R A A 001C By x x ++=-AA PS 0020C By x y y ++=-=By x AB B A PS PR ++⋅+=+002222A所以从三角形面积公式知：从而有：推导二（三角函数斜率法）：推导三（求点法）：d -联立，推导四（造圆切线法）：0A =++C By x如上图所示，以点P 为圆心，作圆与直线l 相切，则此圆的方程为：， 联立直线方程消去y 得：由相切的条件知：，即：推导五（函数极值法）：22020)(d y y x x =-+-）（0A =++C By x 0=∆如上图所示，该问题可以转化为求直线l 上一动点Q ，使得PQ 的距离最短，当然我们已经知道d 是最短的，这样，问题就变为了一个二元函数的条件极值问题，函数为：，d 就是函数，条件就是，求最小值，由于距离始终大于0，我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题，我们采用拉格朗日乘数法。
令所以， 解得：。
推导六（对称求点法）：0A =++CBy x如上图所示，设是关于直线l 的对称点，于是有： 解得：所以：推导七（求高法）：于是三角形ROS 的面积为：， ）（y x '',P ）（00,P y x所以：，所以：。
推导八（相似三角形法）：如图所示，由直线分线段比公式（三横先生：定比分点公式及定理）可得：，而，所以。
十二种方法推导点到直线的距离公式要推导点到直线的距离公式，我们可以使用几何、向量和三角学的一些基本原理和定理。
下面是一种常见的推导方法：1.假设我们有一个点P(x1,y1)和一条直线L，直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A，B和C是常数。
2.从点P到直线L的距离可以通过连接点P和直线L上的一点Q(x,y)来计算。
3.通过类似几何的方式，我们可以将向量OP表示为点O(0,0)到点P(x1,y1)的向量，即OP=<x1,y1>。
4.同样地，我们可以将向量OQ表示为点O(0,0)到点Q(x,y)的向量，即OQ=<x,y>。
5.因为点Q在直线L上，所以我们可以用直线L的一般方程来表示点Q，即Ax+By+C=0。
由于Q(x,y)属于直线L，所以代入方程后等式成立。
6.因此，我们可以得出以下等式：Ax+By+C=0。
7.为了求得点Q，我们可以解这个等式组，即解联立方程组：Ax +By + C = 0和y = mx + n，其中m是直线的斜率，n是直线在y轴上的截距。
8.将y = mx + n代入Ax + By + C = 0，可以得到Ax + B(mx + n) + C = 0。
9.将等式进一步化简得到(A+Bm)x+(Bn+C)=0。
10.由于点Q在直线L上，所以该等式要成立。
根据向量的性质，即两个向量相等当且仅当它们的相应分量相等，我们可以得出以下等式组：(A+Bm)x=-(Bn+C)11.由于x≠0，我们可以除以x，得到(A+Bm)/x=-(Bn+C)/x。
12.记d为点P到直线L的距离，根据点到直线的定义，点P到直线L的距离是点P到其在直线L上的垂直距离。
13.根据三角形的性质，我们可以得到sinθ = d/，OP，其中θ是向量OP与向量OQ之间的夹角。
14.因为OP = <x1, y1>和OQ = <x, y>，所以可以得出，OP， =sqrt(x1^2 + y1^2)，OQ， = sqrt(x^2 + y^2)。
点到直线的距离公式的七种推导方法已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()B y y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B ----++ 2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴= 二、 函数法证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：222200222222220000220000220000()[()()]()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是d =三、不等式法证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
点到直线的距离公式推导要推导点到直线的距离公式，我们首先需要了解直线的一般方程形式，即Ax+By+C=0。
假设点P(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的一点，我们的目标是求点P到直线的距离。
为了便于推导，我们先假设直线过原点O(0,0)，且坐标轴上的点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别在x轴和y轴上。
以下是12种不同的推导方法，每种方法都给出了点到直线的距离公式：方法1：两点式公式基于点P(x0,y0)，我们可以找到直线上的两点，我们将其中一个点记为A(x1,y1)。
使用两点间的距离公式，我们可以得到点P到直线AB的距离。
方法2：距离公式我们可以通过求点P到直线上的任意一点的距离以及直线上的任意一点到原点的距离来计算点P到直线的距离。
方法3：向量法我们可以使用向量的内积求取点P到直线的距离。
方法4：投影法我们可以通过将点P在直线上的垂直投影点记为M，然后计算点P和M之间的距离来求取点P到直线的距离。
方法5：余弦定理基于点P和直线上的两点A、B，我们可以使用余弦定理来推导点P到直线AB上的距离。
方法6：面积我们可以使用点P和直线上的两点A、B构成的三角形的面积，再除以底边AB的长度来计算点P到直线的距离。
方法7：公式法基于直线的一般方程形式Ax + By + C = 0，我们可以使用公式d = ，Ax0 + By0 + C， / sqrt(A^2 + B^2)计算点P到直线的距离。
方法8：类似直角三角形法我们可以使用点P和直线上的两点A、B所构成的直角三角形的性质，通过求取三角形的面积和底边AB的长度来计算点P到直线的距离。
方法9：导数法我们可以使用导数的概念，通过求取直线Ax+By+C=0的斜率，再求取点P到直线的垂线的斜率，从而计算点P到直线的距离。
方法10：垂线长度法基于点P和直线上的两点A、B，我们可以通过计算点P到直线AB的垂线的长度来求取点P到直线的距离。
方法11：正交投影法我们可以通过将点P的坐标表示为向量形式，再用点P表示的向量减去直线方向向量与点P所在直线上的向量之间的投影向量，然后计算投影向量的长度，来计算点P到直线的距离。
点到直线距离公式的十种推导方法一、点到直线距离公式的介绍与基础证法点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。
而在这一公式的证明层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。
点到直线距离公式表述：设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距离为：在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。
这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。
我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。
法一：垂线段法①首先解出直线 AB 的方程;②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。
法二：向量法①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；③利用模长公式即可求解。
二、其余方法展示接下来采用的额外七种方法，分别从面积、设而不求、函数、几何等视角加以展开，每一种方法都可以提炼出不同的核心思路。
等面积的方法和法一十足相似，主要是计算量都偏大，但都比较容易想到；当我们看到高的时候，最能直接想到的或许就是面积了。
法三：等面积法①由点 P 向两坐标轴分别作平行线交直线 L 于点 R、S；②分别利用两点间距离公式得到 PR、PS 的距离；③利用等面积方法求出三角形 PRS 的高，即点到直线的距离下面的方法应该说是解析几何味道十分浓重的，考虑到圆锥曲线中常用的设而不求想法，我们巧妙地构造对称点来解决这个问题。
点到直线距离的公式点到直线距离的公式是指在直角坐标系中确定一点P(x,y)到直线y=ax+b的距离d的计算公式。
这里我们先简单介绍一下点到直线距离的求解方法。
首先，我们需要知道直线与坐标轴之间的关系。
在直角坐标系中，如果一条直线的斜率为a，截距为b，则该直线的方程可以表示为y=ax+b。
接着，我们可以利用线段AB的中垂线BC与直线的交点C来求解点P到直线距离。
由于线段BC是AB的中垂线，所以BC与直线的交点C必位于直线上。
也就是说，点C的坐标可以通过AB的中点M(xm,ym)与斜率为a的直线的交点来求得。
我们可以根据斜率公式求出直线的斜率，然后根据中点的坐标求出该直线的截距。
这样我们就能够求得直线上与BC相交的点C的坐标了。
接着，我们就可以利用向量CA和CB的叉积计算出点P与直线的距离了。
设向量CA为(a1,b1)，向量CB为(a2,b2)，则向量CA和CB的叉积为(a1b2-a2b1)。
由于点P与直线的距离等于向量CA和向量CB的叉积的模值除以向量CB的模值，所以点P到直线的距离可以表示为：d = |a1x + b1y + c| / √(a1² + b1²)其中，a1、b1、c分别是直线的一般式表示中的系数，即ax+by+c=0。
在直线方程为y=ax+b时，a1就是a，b1就是-1，c就是-b。
所以上述公式可以化简为：d = |ax - y + b| / √(a² + 1)有了这个公式，我们就可以很方便地求解点P到直线的距离了。
下面，我们来看一下求点到直线距离的具体例题。
例1：求点P(2,3)到直线y=2x-1的距离。
解：首先，我们可以根据斜率公式求出直线的斜率为2，截距为-1。
然后，根据题目要求，设点C(xc,yc)为线段AB的中点，则AB的中垂线BC的斜率为-1/2，因此BC的方程为y=-1/2x+yc。
将直线y=2x-1与BC的方程y=-1/2x+yc联立，可得：2x-1 = -1/2x + yc2.5x = 1+ycx = 2/5 + yc/2.5因此，直线上与BC相交的点C的坐标为：C(2/5+yc/2.5,2/5+2.5yc/2.5)那么，向量CA和向量CB的坐标分别为：CA(2-2/5-yc/2.5,3-2.5(2/5+yc/2.5))CB(2/5+yc/2.5,2/5-2.5yc/2.5)将它们代入向量叉积公式(a1b2-a2b1)，可得：|CA×CB| = |-6/5 - 5yc/2.5| = 2/√5向量CB的模值为√[(2/5)^2 + (2.5)^2] = √(29)/5 因此，点P到直线的距离为：d = |2(2)-3+1| / √(2² + 1²) = 3/√5。
点到直线距离公式高中数学在高中数学中，我们学习了许多与直线相关的概念和定理。
其中一个重要的内容就是点到直线的距离公式。
这个公式可以帮助我们计算任意一点到一条直线的最短距离。
假设我们有一个点P(x1, y1)和一条直线Ax + By + C = 0。
我们想要计算点P到这条直线的距离。
首先，我们可以通过直线的一般式方程将直线的方程转化为斜截式方程，即y = mx + d。
这里m是直线的斜率，d是直线与y轴的截距。
我们可以通过对直线的一般式方程进行变换得到这个斜截式方程。
接下来，我们需要找到直线上的一个点Q(x2, y2)。
我们可以任意选择这个点，但最好选择一个已知坐标的点，这样计算会更加方便。
然后，我们可以使用点到直线的距离公式来计算点P到直线的距离。
这个公式是：距离 = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax1 + By1 + C|表示点P带入直线方程后的结果的绝对值。
这个公式的推导可以通过向量的方法来进行，但在高中数学中我们主要关注其应用。
这个公式非常有用，可以应用于许多实际问题，例如计算两条直线的距离、求解点到直线的最短距离等等。
拓展：除了点到直线的距离公式，我们还可以计算点到点、点到平面、线到线等之间的距离。
这些距离的计算方法有些类似，但也有一些不同之处。
例如，点到点的距离可以通过两点间的距离公式来计算。
这个公式是：距离 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。
而点到平面的距离可以通过点到平面的垂直距离公式来计算。
这个公式是：距离 = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)其中，(x, y)表示点的坐标，而Ax + By + C = 0表示平面的方程。
另外，线到线的距离可以通过平行线的距离公式来计算。
这个公式是：距离 = |C1 - C2| / √(A^2 + B^2)其中，Ax + By + C1 = 0和Ax + By + C2 = 0分别表示两条平行线的方程。
求点到平面的距离常用方法1、 定义法：过点找到平面的垂线，从而求出距离。
2、 转移法：分为平行转移和按比例转移两种方法。
3、 等体积法：利用三棱锥的体积不变，换底求高。
4、 利用角度，构造三角形，利用边长或者角度问题，结合三角函数，求其距离。
其中包括：二面角，斜线与平面所成角，三垂线方法。
例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A ′D ′= A ′A,∴点A ′在 平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心,连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接 AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形 的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点，在等边三角形AB ′D ′中，AE=a 223⋅，AH=ａ３ＡＥ＝３２6在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝aAH 33A A'22=- 即A ′到平面AB ′D ′的距离为a 33（法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。
于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。
求解略。
（法3）求A ′到平面AB ′D ′的距离可通过体积D'B'A'---A D'-AB'-A'-V V =来求。
即aa a a a h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯2131222331 a a h 33336=⨯=Ｄ′ ＡＢＣＤＡ′ Ｂ′Ｃ′Ｅ Ｈ例2．如图PA ⊥正方形ABCD 所在的平面,且PA=AB=4, E 、F 分别是AB 、PC 的中点，求B 点到平面DEF 的距离。
分析：延长DE 交CB 的延长线于M ，由于E 是AB 的中点， ∴BE=21DC ，∴B 是MC 的中点，即C 到平面DEF 的距离是B 到平面DEF 的距离的2倍.取PD 的中点G ,GF ∥＝21DC ∴GF ∥＝AE, ∴四边形AEFG 是平行四边形而PA=AD=4, ∴AG ⊥PD ，由题设可知DC ⊥AG ，∴AG ⊥面PCD 而EF ∥AG ∴EF ⊥面PCD 即面EFD ⊥面PCD过C 作CH ⊥FD 于H,则CH 即为C 到平面EFD 的距离,∵PA=AD=4 CD=4 ∴PD=24, CF=DF=32,CH=364 即B 点到平面的距离为362例3．已知，如图正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面GEF 的距离。
分析：连接EG 、EF 、EF 、BD 、AC ，AC 与EF 、BD 分别交与H 、O ， 易证BD ∥面GEF ，即点B 到面GEF 的距离等于直线BD 到面GEF 的距离， 可证面GCH ⊥面GEF ，在面GCH 中过点O 作OK ⊥GH ，垂足为K ， 由面面垂直的性质可知：OK ⊥面GEF ，即OK 为BD 到面GEF 的距离， 也就是点B 到面GEF 的距离。
在正方形ABCD 中，边长为4，CG=2， ∴AC=24 HO=2，HC=23 在直角三角形HCG 中 HG=2222=+CG HC OK=11112=⋅HG GC HO 即为点B 到面GEF 的距离。
PBCDA EGFHCGD E FHO例4.如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F .(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. .解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ,又EF =a∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =221a又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ，若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件.例 5. 已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，32=AC ，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C 。
求顶点C 与侧面A 1ABB 1的距离。
分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC 的垂线A 1D ，找到了底面的垂线A 1D ，就可根据三垂线定理，作出侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的平面角A 1DE ，求出二面角A 1-AB-C 的平面角大小，就可依据公式θsin ⋅=m d 找到点D 到平面A 1ABB 1的距离d ，进而根据D 为AC 中点，也就不难求出点C 到侧面A 1ABB 1的距离。
解：如上图，在侧面A 1ACC 1内，作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，因为AA 1=A 1C ，所以D 为AC 的中点。
又因为AA 1⊥A 1C ，32=AC ，A 1D=AD=3。
因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，其交线为AC ，所以A 1D ⊥面ABC 。
过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB （三垂线定理），所以∠A 1ED 为侧面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角。
由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ，又D 是AC 的中点，BC=2，所以DE=1，3tan 11==∠DEDA ED A ，故∠A 1ED=60°。
于是由公式θs i n ⋅=m d 知，点D 到侧面A 1ABB 1的距离2323160sin DE d =⨯=︒⋅=。
又点D 为AC 的中点，故而点C 到侧面A 1ABB 1的距离为点D 到侧面A 1ABB 1距离的2倍，于是知点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3。
例6. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。
第1问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。
第2问要求解二面角A-PB-C 的大小，只需求出点C 到二面角A-PB-C 棱PB 的距离及点C 到半平面APB 的距离即可。
解：（1）如上图，取AD 的中点E ，连结PE 。
由题意，PE ⊥AD ，即3==PE m 。
又二面角P-AD-O 与二面角P-AD-B 互补，所以二面角P-AD-O 的大小为60°，即︒=60θ。
于是由公式θsin ⋅=m d 知：点P 到平面ABCD 的距离为2360sin 3sin =︒⋅=⋅=θm PO 。
（2）设所求二面角A-PB-C 的大小为α，点C 到平面PAB 的距离为d 。
连接BE ，则BE ⊥AD （三垂线定理），AD ⊥平面PEB ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ，BC ⊥PB ，即点C 到二面角棱PB 的距离为2，即m=2。
又因为PE=BE=3，∠PEB=120°，所以在ΔPEB 中，由余弦定理可求得PB=3。
取PB 的中点F ，连结AF ，因为PA=AB=2，则AF ⊥PB ，2321==PB BF ，所以27BF AB AF 22=-=，即74321=⋅=∆AF PB S PAB 。
又易求得3=∆ABC S ，点P 到平面ABC 的距离：23=PO 。
根据等体积法PAB C ABCP V V --=，有PAB ABC S d S PO ∆∆⋅⋅=⋅⋅3131，即743323⨯=⨯d ，所以7212=d ，代入公式721m d sin ,sin m d ==θθ⋅=。
又由于面PBC ⊥面PEB ，所以所求二面角A-PB-C 为钝二面角，所以md arcsin -=πθ。
