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一、解析几何题型分析：
1. 直线问题：主要考察直线的性质及其特征，如平行、垂直、中心弦定理等。
2. 圆形问题：主要考察圆形的性质及其特征，如圆心角定理、外切内接定理等。
3. 正多面体问题：主要考察正多面体的性质及其特征，如三角形内心定理、四面体最大最小化原理等。
4. 三角形问题：主要考察三角形的性质及其特征，如勾股定理、海伦-泰勒斯定理等。
5. 几何评价法问题: 主要是透过几何图型来评价各部分之间的大小或者数量上的差异,例如由于不同图彩之间存在一些明显差异,所以能够根据这些差异来作出正确判断或者作出正确估测。
二、解法收拾:
1. 第一步应该是将所有信息数字化,即将所有信息由文字表述方式数字化;
2. 第二步应该是根据所数字化后的信息来选用适合的几何方法;
3. 第三步应该是根据前两部中所使用方法来进行相应的代数或者几何运算;
4. 最后一步应该是核对并汇总前三部中所得到的信息,然后作出最合适书写样子上呈上。
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
解析几何综合题解题思路案例分析1 判别式----解题时时显神功2 2案例1 已知双曲线C •丄 -1，直线I过点A .2,0，斜率为k,当0 k 1时,2 2双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为..2，试求k的值及此时点B的坐标。
分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段•从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略•分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为42”，相当于化归的方程有唯一解•据此设计出如下解题思路:简解：设点M(x,i2 x)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线I的距离为:kx v'2 x2<2k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2x kx ，从而有关于x 的于是方程点评：上述解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整体思维的 优越性.2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2 已知椭圆C: X 22y28和点P ( 4，1)，过P 作直线交椭圆于 A B 两点，APAQ在线段AB 上取点Q 使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。
其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将x, y 与k 联系起来？ 一方面利用点 Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件:kx 2 x 22k , 2(k 21)2.2 x 2(；2(k 2 1) ,2k kx)2,.2(k 21).2k kx 022 2k 1 x2k ,2(k 21) — 2.2k x . 2(k1)、2k 2 0,2.2(k 1)、2k kx0.由0 k 1可知:2方程 k 2 1 x 2 2k . 2(k 2 1) •、2kx .2(k 21) ...2k 2 0的二根同正故.2(k 21) .. 2kkx 0恒成立， 于是 等价于2k 2 1 x2 i2k .21) .2k x - 2(k 21) 2k 2 0.25 kxkx 、、2 x 22k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式 0,就可解得 kAP PBAQ QB来转化•由A 、B P 、Q 四点共线，不难得到4(X A X B ) 2X A X B8 (X A X B )，要建立X与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，禾U用韦达定理即可关于x, y 的方程（不含k ），则可由y k （x 4） 1解得k —_1，直接代入x f k 即 x 4 可得到轨迹方程。
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
解析几何是数学中的一个分支，主要研究几何形状的数学表达和特征。
解析几何综合题需要运用多种几何知识和方法进行解题。
解题思路：
题目阅读：仔细阅读题目，弄清题目意思，明确问题
数据分析：分析题目给出的数据，确定所需要的几何知识和方法
方法选择：根据题目数据和问题，选择合适的几何方法进行解题
解题过程：根据选定的方法进行解题，记录解题过程
结果检验：验证解题结果是否正确
案例分析：
例如，有一道题目是：已知圆心坐标为(1,2)，半径为3，求圆的标准方程。
题目阅读：已知圆心坐标和半径，求圆的标准方程
数据分析：圆心坐标(1,2)，半径3
方法选择：圆的标准方程
解题过程：根据圆的标准方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，可得(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
结果检验：圆的标准方程是(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9。
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
高中数学解析几何题解策略解析几何是高中数学中的一大重点，也是学生们普遍认为比较难的部分。
在解析几何题目中，我们需要运用坐标系、向量、直线和曲线等概念来进行分析和解答。
本文将介绍一些解析几何题目的解题策略，帮助高中学生更好地应对这一考点。
一、直线方程的求解在解析几何中，直线是最基本的图形之一，因此直线方程的求解是解析几何题目中的常见考点。
对于一般形式的直线方程ax + by + c = 0，我们可以通过以下几种方法求解：1. 通过斜率和截距求解：如果直线已知斜率k和截距b，我们可以直接写出直线方程为y = kx + b。
如果直线已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过斜率公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)和截距公式b = y - kx来求解。
2. 通过两点式求解：如果直线已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过两点式公式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)来求解。
3. 通过点斜式求解：如果直线已知斜率k和一个点A(x1, y1)，我们可以通过点斜式公式(y - y1) = k(x - x1)来求解。
二、直线与曲线的求交点在解析几何中，直线与曲线的交点是另一个常见的考点。
求解直线与曲线的交点可以通过以下几种方法：1. 代入法求解：将直线方程代入曲线方程，得到一个关于x的方程，然后解方程求解x的值，再代入直线方程求解y的值。
2. 消元法求解：将直线方程和曲线方程联立，通过消元法求解x和y的值。
3. 向量法求解：将直线方程和曲线方程转化为向量形式，通过向量的运算求解交点坐标。
三、平移、旋转和缩放在解析几何中，平移、旋转和缩放是解题时常用的策略。
通过平移、旋转和缩放可以改变图形的位置、方向和大小，从而简化题目的分析和解答。
1. 平移：通过将图形沿着x轴或y轴方向平移，我们可以改变图形的位置，从而使题目的分析更加简单。
专题四：解析几何综合题型分析及解题策略【命题趋向】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，如08年08年江西理7文7题(5分)是基础题，考查与向量的交汇、08年天津文7题(5分)是基础题，考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题(12（1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程；（2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等；（3）圆锥曲线的定义及标准方程；（4）与圆锥曲线有关的轨迹问题；（5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.【典例分析】题型一直线与圆的位置关系此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.【例1】若直线3x＋4y＋m＝0=0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_____________.【分析】利用点到直线的距离来解决.【解】圆心为(1,－2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得与r）求出相关基本量值，进而求取相关的问题.题型三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解.【例3】(2009届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为23．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M （0，b ），求b 的取值范围．【分析】 第(1)小题利用直接法求解；第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去y ，然后利用判别式及韦达定理求解；第(Ⅲ)小题须利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b 关于斜率k 的表达式，结合第(Ⅱ)小题k 的范围求解.【解】 (Ⅰ)设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，9B )＋【点评】 本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决.特别地：(1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；(2)求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.题型四 圆锥曲线与三角函数的交汇此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数，或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等，解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答.【例4】 (08年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝15，则方程x 2tan α－y 2cot α＝－1表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆【分析】 首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体化圆锥曲线方程，再根据方程进行判断.【解】 由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1，且0＜α＜π，解得sin α＝45，cos α＝－35，因此x 2tan α－y 2cot α＝－1就是4x 23－3y 24＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，故选A. 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.题型五 圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等.【例5】 (2009届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为A(－1，0)、B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①→GA ＋→GB ＋→GC ＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝|→MC|：③→GM ∥→AB .(Ⅰ)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(3，0)的直线l 与(Ⅱ)中轨迹交于E ，F 两点，求→PE ·→PF 的取值范围.【分析】 由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C 、G 、M 三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(Ⅰ)小题就可求解.第(Ⅱ)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k 的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立→PE ·→PF 关于k 的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果.【解】 （Ⅰ）设C(x ，y)，G(x 0，y 0)，M(x M ，y M )，∵|→MA|＝|→MB|，∴M 点在线段AB 的中垂线上.由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴x M ＝0，又∵→GM ∥→AB ，∴y M ＝y 0， 又→GA ＋→GB ＋→GC ＝→0，∴(－1－x 0,y 0)＋(1－x 0,－y 0)＋(x －x 0,x －y 0)＝(0,0)，∴x 0＝x 3，y 0＝y 3，y M ＝y 3，∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y 3－0)2＝(0－x)2＋(y 3－y)2，∴x 2＋y 23＝1(y≠0)，∴顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 23＝1(y≠0).（Ⅱ）设直线l 方程为：y ＝k(x －3)，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，y ＝k(x －3)－关n 1n n 1n (0，c n )，一条渐近线方程为y ＝2x ，其中{a n }是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{c n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{nc n3}的前n 项和S n .【分析】 将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立c n 与a n 、a n -1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列{a n }为等比数列，由此可求得a n 的表达式，进而求得{c n }的通项公式，由此解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用第(Ⅰ)的结果确定数列{nc n3}的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解.【解】 (Ⅰ)∵双曲线方程y 2a n －x2a n -1＝1的焦点为(0，c n )，∴c n ＝a n ＋a n -1，又∵一条渐近线方程为y ＝2x ，即a na n -1＝2，∴a na n -1＝2，又a 1＝4， ∴a n ＝4·2n -1＝2n+1，即c n ＝2n+1＋2n＝3·2n.(Ⅱ)∵nc n 3＝n·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①）．y 29） 4．设A(x 1，y 1)，B(4，95)，C(x 2，y 2)是右焦点为F 的椭圆x 25＋y 9＝1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x 1＋x 2＝8”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既非充分也非必要5．直线l ：y ＝k(x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量→v ＝（ ）A ．（2，－2）B ．（1，1）C ．（－3，2）D ．（1，12）6．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为（ ）A ．33B ．32C ．22D ．637．椭圆2a 2＋2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点。
若∠AF 1F 2＝60 ，且→AF 1·→AF 2＝0，则椭圆的离心率为（ ）A ．3＋1B ．3－1C ．2－ 3D ．4－ 38．如图一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则点P 形成的图形是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆9．如图，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点，且→OQ ＝12(→OP ＋→OF)，|OQ →|＝4，则点P 到该椭圆左准线的距离为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．5210． (理科)设x 1，x 2∈R，a ＞O ，定义运算“*”：x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x≥O，则动点P(x ，x*a)的轨迹方程为（ ）A ．y 2＝4axB ．y 2＝4ax(y≥0) C ．y 2＝－4ax D ．y 2＝－4ax(y≥0)11．设集合A ＝{(x ，y)|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分）是( )A ．B ．C ．D ．12．在平面直线坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆x225＋y 29＝1上，则sinA ＋sinC sinB＝ （ ）A ．45B ．－45C ．54D ．－54二、填空题13．若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点与椭圆x 28＋y24＝1的右焦点重合，则p 的值为_____________.14．若点(1，1)到直线x cosα＋y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是_______. ．椭圆x 2a 2＋y2b2＝l .若∠AF 1F 2＝60︒，且→AF 1·→AF 2＝0，则椭圆的离心率为______．16．设A(1，0)，点C 是曲线y ＝1－x 2(0≤x≤1)上异于A 的点，CD⊥y 轴于D ，∠CAO＝θ(其中O 为原点)，将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝_________. 三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA ·→PB 的取值范围．18．(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C 1，⊙C 2，…，⊙C n 是圆心在抛物线y ＝x2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a 1，a 2，…，a n ，已知a 1＝14，a 1＞a 2＞…＞a n ＞0，⊙C k (k ＝1，2，…n)都与x 轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由a 1，a 2，…，a n 构成的数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ＜14.19．（08年泰兴市3月调研）已知⊙O：x 2＋y 2＝1和定点A(2，1)，由⊙O 外一点P (a ，b)向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a ，b 间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ 长的最小值；(Ⅲ)若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径最小值时⊙P 的方程.y 2＝2px(p ＞0)于B 、C 两点，且|BC |＝210． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D ，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线l 过点P(3，0)，交抛物线于A 、B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.22．椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为52.(Ⅰ)求此时椭圆C 的方程；(Ⅱ)设斜率为k （k≠0）的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．【专题训练】参考答案7．B 【解析】 Θ→AF 1·→AF 2＝0，∴AF 1⊥A 2F,∵∠AF 1F 2＝60︒,∴|F 1F 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＝3|AF 1|，∴2a＝|AF 1|＋|AF 2|，2c ＝|F 1F 2|，e ＝c a ＝|F 1F 2||AF 1|＋|AF 2|＝3－1.8．椭圆 【解析】 |PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半径)＞|OF|，根据椭圆定义知P 形成的图形是以O 、F 为焦点的椭圆.9．D 【解析】 由→OQ ＝12(→OP ＋→OF)，得Q 是PF 的中点.又∵|OQ →|＝4，所以P 点到右焦点F'的距离为8，∴|P F|＝2×5－8＝2，又|PF|d ＝e ＝c a ＝45(d 表示P 到椭圆左准线的距离)，∴d ＝52.三、解答题17．【解析】 (Ⅰ)依题知圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4．(Ⅱ)不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，x 1＜x 2，由x 2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)，设P(x ，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2，→PA·→PB ＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y)＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)， 由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧ x 2＋y 2＜4x 2－y 2＝2，由此得y 2＜1， 2→→＜故当a ＝65时，|PQ|min ＝255，即线段PQ 长的最小值为25 5.(Ⅲ)设⊙P 的半径为R ，OP 设⊙O 有公共点，⊙O 的半径为1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1. 而|OP|＝a 2＋b 2＝a 2＋(－2a ＋3)2＝5(a －65)2＋95，故当a ＝65时，|PQ|min ＝355，此时b ＝－2a ＋3＝35，R min ＝355－1，得半径取最小值⊙P 的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.20．【解析】 (Ⅰ)直线l 方程为y ＝x －2，将其代入y 2＝2px ，并整理，得x 2－2(2＋p)x ＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，设B(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)，∴x 1＋x 2＝4＋2p ，x 1·x 2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴22p 2＋4p ＝210，解得p ＝1，∴抛物线方程y 2＝2x ．|GH |＝|x 1＋32－t|＝12|(x 1－2t)＋3|，所以|DH |2＝|DG |2－|GH |2＝14[(x 1－3)2＋y 12]－14[(x 1－2t)＋3]2＝(t －2)x 1－t 2＋3t ，当t ＝2时，|DH |2＝－4＋6＝2为定值，所以|DE |＝2|DH |＝22为定值，此时l '的方程为x ＝2. 22．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该椭圆中a ＝2b ＝2c ，即椭圆方程可为x 2＋2y 2＝2b 2.设H（x,y）为椭圆上一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b，若0＜y＜3，则y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9，由b2＋6b＋9＝50，得b＝－3±52(舍去)，若b≥3，当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18.由2b2＋18＝50，得b2＝16，故所示椭圆的方程为x232＋y216＝1.。
