《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：规范练4 Word版含解析

大题规范每天练（第一周）星期一 (三角与数列) 2022年____月____日1．三角学问(命题意图：考查三角函数式的恒等变换，三角函数的图象变换以及三角函数在闭区间上的值域等．)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由于A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． 2．数列学问(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等．)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜32.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1，∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1n （2n －2）＝12·1n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＜32－12n ＜32.。

[题型专练] 不定项选择1.在肯定条件下，取肯定量X 和Y 在恒容密闭容器中发生反应：a X(g)＋b Y(g) c M(g)＋d N(g) ΔH ＝Q kJ·mol －1，达到平衡时，M 的浓度与温度和容器容积的关系如图所示，下列推断正确的是( ) A ．a ＋b >c ＋d B ．Q <0C ．E 点X 的转化率>F 点X 的转化率D ．E 点的平衡常数<F 点的平衡常数解析 容器容积不变的状况下，随着温度的上升，M 的平衡浓度渐渐增大，说明平衡正向移动，正反应为吸热反应，故Q >0，B 项错误。

在同温度下，比较两条曲线上某两个点，比如就比较两个曲线的起点，可知当容器容积缩小到原来的三分之一时，M的平衡浓度没有增大到原来的三倍(0.6 mol·L －1)，而是0.5 mol·L－1，说明平衡逆向移动了，故a ＋b <c ＋d ，A 项错误。

由E 点到F 点，温度上升、压强减小，这两个转变条件均有利于平衡正向移动，故E 点X 的转化率<F 点X 的转化率，C 项错误。

对于吸热反应，温度越高，平衡常数越大，所以F 点的平衡常数确定大于E 点的平衡常数，D 项正确。

答案 D2．在体积为1 L 的恒容密闭容器中进行反应：2NO(g)＋2CO(g) N 2(g)＋2CO 2(g) ΔH ，反应过程中测定的部分数据见下表(表中t 1＜t 2)：反应时间/minn (NO)/moln (CO)/moln (N 2)/moln (CO 2)/mol0 2 1 0 0 t 1 － － － 0.4 t 2－0.6－－下列说法正确的是( )A ．0～t 1 min 内，v (N 2)＝0.2t 1 mol·L －1·min －1B ．若向平衡体系中充入少量O 2，平衡不移动C ．若上升温度时，NO 的转化率减小，则该反应的ΔH ＜0D ．保持其他条件不变，向平衡体系中再充入0.6 mol CO 和0.6 mol N 2，平衡向正反应方向移动解析 A 项，0～t 1 min 内，v (CO 2)＝0.4t 1mol·L －1·min －1，则v (N 2)＝0.2t 1mol·L －1·min －1，正确；B 项，O 2易与NO 发生反应，使NO 浓度减小，平衡向左移动，错误；C 项，上升温度，NO 的转化率减小，平衡向左移动，则正反应放热，正确；D 项，由表中数据得，t 1 min 时NO 、CO 、N 2的物质的量分别为1.6 mol 、0.6 mol 、0.2 mol ，而t 2 min 时，CO 的物质的量不变，说明在t 1 min 时反应已达平衡，则K ＝0.2×0.421.62×0.62，再充入0.6 mol CO 和0.6 mol N 2，Q c ＝0.8×0.421.62×1.22＝K ，平衡不移动，错误。

“4道”保分题专练卷(二)1．已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 解：(1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2. 2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则P (A )＝2A 33A 55＝2×3！5！＝110. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110. (2)由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝A 22A 44A 55＝2！×4！5！＝25，P (X ＝1)＝3A 22A 33A 55＝3×2！×3！5！＝310，P (X ＝2)＝2A 22A 33A 55＝2×2！×3！5！＝15，P (X ＝3)＝A 22A 33A 55＝2！×3！5！＝110.所以随机变量X 的分布列为： 从而有E (X )＝0×25＋1×310＋2×15＋3×110＝1，所以随机变量X 的数学期望为1.3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线．(1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．解：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1.又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .∴EF ⊥A 1C .(2)建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设C 1D ＝t (t ＞0)，则B (1,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,2＋t )，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)． ∴11A B ＝(1,0,0)，1AC ＝(0,2，－2)．设平面CA 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11A B ＝0，n ·1AC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1， ∴n ＝(0,1,1)． 同理可求得平面DAB 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2. 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626， 得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n . (1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝log 2n a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2c n c n ＋2的前n 项和为T n ，求满足T n ＜2521(n ∈N *)的n 的最大值． 解：(1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12. 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. ∵b n ＝2n a n ，∴b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . (2)∵c n ＝log 2n a n＝log 22n ＝n ， ∴2c n c n ＋2＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2. 由T n ＜2521，得1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜2521， 即1n ＋1＋1n ＋2＞1342. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2(n ∈N *)， 则f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2单调递减， ∵f (4)＝1130，f (5)＝1342， ∴n 的最大值为4.。

星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域))(本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a＝cos C cos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域. 解 (1)由2b －c a ＝cos C cos A ，利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6 ＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. ∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2]. 2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的最值问题) (本小题满分15分)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70且a 1，a 2，a 6成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值.解 (1)设公差为d ，则有⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6， 即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10，（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋5d ）⇒⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎨⎧a 1＝10，d ＝0(舍)， ∴a n ＝3n －2.(2)S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，∴b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23， 当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时取“＝”号，数列{b n }的最小项是第4项，b 4＝23.。

第2讲 数列求和及数列的综合应用(建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2022·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )． A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析 利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案 C2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625解析 a n ＝1 n ＋n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(nn ＋1)]＝n ＋1－1＝24，故n ＝624.故选C.答案 C3．(2021·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则 ( )．A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.答案 B4．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n } 的前n 项和S n ＝ ( )． A.n 24＋7n4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，解得d ＝12，故S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n4. 答案 A5．(2021·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是 ( )．A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立． 答案 C6．S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则使T n 取最小值的n 值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 设等比数列的公比为q ，故由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故T nT n －1＝a n ＝120×2n －1，易得当n ≤5时，T nT n －1<1，即T n <T n －1；当n ≥6时，T n >T n －1，据此数列单。

突破练(二)1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC→＝9，求a 的值．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12得 2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )， 即A ＝k π或A ＝π3＋k π，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3.又由于b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c . ∵AB →·AC→＝bc cos A ＝12bc ＝9， ∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1.∴a ＝3 2.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若PD ∥平面EAC ，并且二面角B －AE －C 的大小为45°，求PD ∶AD 的值． (1)证明 由于PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，故AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面EAC . 所以平面EAC ⊥平面PBD .(2)解 连接OE ，由于PD ∥平面EAC ，所以PD ∥OE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以点O 为坐标原点，射线OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz .设OB ＝m ，OE ＝h ，则OA ＝3m ，A ()3m ，0，0，B (0，m,0)，E (0,0，h )，AB→＝(－3m ，m,0)，BE →＝(0，－m ，h )，向量n 1＝(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量，设平面ABE 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )则n 2·AB →＝0，且n 2·BE →＝0， 即－3mx ＋my ＝0且－my ＋hz ＝0. 取x ＝1，则y ＝3，z ＝3m h ， 则n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，3m h ，。

星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)(本小题满分15分)已知函数f (x )＝(3－a )x －2＋a －2ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，求a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3－a －2x ＝（3－a ）x －2x. 当a ≥3时，有f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(1，3)上单调递减；当a ＜3时，令f ′(x )＝0，得x ＝23－a，若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，则 23－a ≤1或23－a≥3，解得a ≤1或73≤a ＜3； 综上，a 的取值范围是(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，＋∞. (2)因为当x →0时，g (x )→＋∞，所以g (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g (x )＞0恒成立， 即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立， 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2＜0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2＞0， 从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数， 所以l (x )＜l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a ＞2－2ln x x －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.。

第2讲空间中的平行与垂直(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理．答案 A2．(2022·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，由于直线与平面垂直时，它垂直于平面内任始终线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错；法二如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．答案 B3．(2021·丽水模拟)已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再依据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.答案 A4．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中确定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β解析依据定理、性质、结论逐个推断．由于α⊥β，m⊂α⇒可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．答案 B5．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②由于m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n 两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③由于m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线确定垂直，正确．故选B.答案 B6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线冲突，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.答案 D7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上，故选A.答案 A二、填空题8．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出全部真命题的序号)．解析由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a ⊂α，a⊥l，但不愿定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.答案①②9．(2021·金华调研)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出全部符合要求的图形序号)．。

规范练二立体几何问题1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD ＝12BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D ′.(1)求证：AC⊥平面ABC′；(2)求证：C′N∥平面ADD′；(3)求二面角A－C′N－C的余弦值．(1)证明∵AD＝12BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，四边形ABCD为等腰梯形，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝12∠DCB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.(2)证明∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.(3)解∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.如图建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，3，0)，C′(0,0，3)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，32，0，∴BC→′＝(－1,0，3)，CC→′＝(0，－3，3)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BC→′＝0，n·C′C→＝0，即⎩⎨⎧－x＋3z＝0，－3y＋3z＝0，取z＝1，则x＝3，y＝1，∴n＝(3，1,1)．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，则O为AN的中点，O⎝⎛⎭⎪⎫14，34，0，∴平面C′AN的法向量OB→＝⎝⎛⎭⎪⎫34，－34，0.∴cos 〈n，OB→〉＝n·OB→|n||OB→|＝55，由图形可知二面角A-C′N-C为钝角，所以二面角A-C′N-C的余弦值为－55.2．如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝12PD.(1)求证：平面PQC⊥平面DCQ；(2)若二面角Q－BP－C的余弦值为－155，求ABAD的值．(1)证明设AD＝1，则DQ＝2，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝ 2.∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵CD⊥DA，DA∩PD ＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.。

专题三 数列第1讲 等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟) 一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝12.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11. 答案 C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于 ( )．A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，∴q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19. 答案 C3．(2021·杭州模拟)在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，则a 6的值是 ( )．A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．±3解析 依题意得，a 4＋a 8＝4，a 4a 8＝3，故a 4>0，a 8>0，因此a 6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a 6＝a 4a 8＝ 3. 答案 A4．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022等于( )． A ．3或－1 B ．9或1 C ．1D ．9解析 依题意，有3a 1＋2a 2＝a 3，即3a 1＋2a 1q ＝a 1q 2，解得q ＝3，q ＝－1(舍去)，a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022＝a 1q 2022＋a 1q 2021a 1q 2010＋a 1q 2011＝q 2＋q 31＋q ＝9. 答案 D5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 014的值等于( )． A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 014 D ．－2 013解析依据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，依据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 014，公差d ＝1，故S 2 0142 014＝－2 014＋(2 014－1)×1＝ －1，所以S 2 014＝－2 014. 答案 C6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝2，a m ＋1＝3，所以d ＝1， 由于S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，由于a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.。

第3讲 立体几何中的向量方法(建议用时：60分钟) 一、选择题1．已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则直线AM( )．A ．与平面ABC 平行B ．是平面ABC 的斜线 C ．是平面ABC 的垂线D ．在平面ABC 内解析 由已知得M ，A ，B ，C 四点共面，所以AM 在平面ABC 内，选D. 答案 D2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( )．A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA → ＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋BC →＋23DA →， 又CD →是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN →·CD →＝23B 1B →＋BC →＋23DA →·CD →＝0，∴MN →⊥CD →，又MN ⊄面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案 B3．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是 ( )．A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析 选项A 正确，由于SD 垂直于底面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥SD ；再由四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ；而BD 与SD 相交，所以，AC ⊥平面SBD ，AC ⊥SB . 选项B 正确，由于AB ∥CD ，而CD ⊂平面SCD ，AB ⊄平面SCD ，所以AB ∥平面SCD . 选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，易知SA 与平面SBD 所成的角就是∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角就是∠CSO ，易知这两个角相等．选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于∠SCD ，而DC 与SA 所成的角是∠SAB ，这两个角不相等． 答案 D4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于 ( )．A.64B.104C.22D.32解析 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O (0,0,0)，B (3，0,0)，A (0，－1，0)，B 1(3，0,2)，则AB 1→＝(3，1,2)，则BO →＝(－3，0,0)为侧面ACC 1A 1的法向量，由sin θ＝|AB 1→·BO →||AB1→||BO →|＝64.答案 A5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为 ( )． A.110 B.25 C.3010D.22解析 法一 由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1，1,2)，N (0,1,2)，∴BM→＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN →＝(0,1,2)．∴cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝－1＋4(－1)2＋(－1)2＋22×02＋12＋22＝36×5＝3010. 法二 如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綉12B 1C 1綉BD ，因此有ND 綉BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010.答案 C6．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB→的值为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．任意实数 解析 AP→可为下列7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→. 其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1； AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直， 这时AP →·AB→＝0； AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°， 这时AP →·AB→＝2×1×cos π4＝1， 最终AC 1→·AB →＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13＝1，故选C. 答案 C7．(2021·浙江卷)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△A ′CD ，。

专题五解析几何第1讲直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2021·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()．A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.答案 D2．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线与圆相切，得|a－b＋2|2＝2，即|a－b＋2|＝2，所以由a＝b可推出|a－b＋2|＝2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|a－b＋2|＝2，解得a＝b或a－b＝－4，必要性不成立．答案 A3．(2022·浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是()．A．－2 B．－4 C．－6 D．－8解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝2－a.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r2＝d2＋⎝⎛⎭⎪⎫422得2－a＝2＋4，所以a＝－4.答案 B4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10 6 B．20 6 C．30 6 D．40 6解析配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2r2－12＝46，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12 AC×BD＝20 6.答案 B5．(2021·金华质检)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析由于抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又依据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．。

限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]答案 A2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |，∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝16AC →－16BD → ＝16a －16b ， AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b .答案 C4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝22sin 2x D.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A8.现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，a ＝C 05cos 5θ－C 25cos 3θsin 2θ＋C 45cos θsin 4θ，b ＝C 15cos 4θsin θ－C 35cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( ) A.cos 5θ＋isin 5θ B.cos 5θ－isin 5θ C.sin 5θ＋icos 5θD.sin 5θ－icos 5θ解析 (e i θ＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)a ＋b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2θ－C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5θ) ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)＋C 25cos 3θ(i 2sin 2θ)＋ C 35cos 2θ(i 3sin 3θ)＋C 45cos θ(i 4sin 4θ)＋C 55(i 5sin 5θ) ＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2 10.计算：log 222＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.解析 log 222＝log 22－12＝－12，2log23＋log43＝232log2 3＝2log 2332＝27＝3 3.答案 －123 311.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝23，d ＝－1.答案 23－112.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为3－22.答案 π3－2213.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），f （x ） （x <0），则g (－2)＝________；函数y＝g (x )＋1的零点是________.解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，同理，在△ADC 中，由余弦定理有：x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， －240cos(B ＋D )＝4S 2－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230限时练(二) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45 B.－45C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2 B.－ 2 C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ， 则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2， ∴a 6＝a 4q 2＝2；同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C4.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C5.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9 B.8 C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A.答案 A7.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C8.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e . 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________(用数字作答).解析 设4个公司分别为A 、B 、C 、D ，当甲、乙都在A 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在B 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在C 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在D 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12.∴总数为4A 13A 12＝24种. 答案 2410.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，①a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1×（1－35）1－3＝121.答案 1 12111.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13可得22(cos θ－sin θ)＝－13，则cos θ－sin θ＝－23，两边平方可得1－sin 2θ＝29，sin 2θ＝79.又θ是锐角，cos θ<sin θ，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－429，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝7－4618.答案 79 7－461812.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________.解析 由“正三棱锥的对棱互相垂直”可得SB ⊥AC ，又SB ⊥AM ，AM 和AC 是平面SAC 上的两条相交直线，所以SB ⊥平面SAC ，则SB ⊥SA ，SB ⊥SC .所以正三棱锥S －ABC 的三个侧面都是等腰直角三角形.又AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，故正三棱锥S －ABC 是棱长为2的正方体的一个角，其体积为16SA ·SB ·SC ＝43，其外接球的直径2R ＝23，外接球的表面积为4πR 2＝12π.答案 4312π13.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 中的元素最大值为________；“好集”P 的个数为________.解析 由集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c＝4b ，故满足条件的“好集”P 为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0，b ∈Z )的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503(b ≠0，b ∈Z )，当b ＝503时，“好集”P 中的最大元素4b ＝2 012，且符合条件的b 可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006. 答案 2 012 1 00614.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 315.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( )A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ， －x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a＝4，a ＝2. 答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A6.设函数f (x )＝e x＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2C.322D.2 2解析 f (x )＝e x＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.已知x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r5x ·x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r5x 6－32r .由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________.解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝355.答案 2 535511.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象. 答案π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a 2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n－1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1.答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6. 答案π6或5π615.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，1a n ＋2＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n限时练(四) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632 C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D5.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A.答案 A6.已知向量a 、b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →＝3a ＋2b ，OQ →＝a ＋3b ，则P 、Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3D. 2解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×12＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，∴|PQ →|＝2 3.故选C. 答案 C7.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)10.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.解析 由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12. 答案 24π －1211.函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________.解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，tan φ＝12，所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值为 5. 答案 π512.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3（x ＋1）|，－1<x ≤0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝________，若f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可得f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.当－1<a ≤0时，f (a )＝|log 3(a ＋1)|<1，－1<log 3(a ＋1)<1，解得－23<a <2，所以－23<a ≤0；当0<a <1时，f (a )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2a <1，0<π2a <π4，0<a <12，综上可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－23，12.答案 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12 13.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率k ＝________，r ＝________.解析 两圆的方程相减可得点P 的横坐标为1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，同理可得△CBP 为等边三角形，所以∠OPC ＝60°.又|OP |＝|OC |，所以△OCP 为等边三角形，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案3 214.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 15.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( )A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin5π6＝1，选A. 答案 A4.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0 B. 5 C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C.另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.答案 C5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C.答案 C6.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56 B.25 C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A.答案 A7.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x－x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________(请用数字作答).解析 因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n ＝8，展开式通项为T k ＋1＝C k 8x8－k (－1)k x －k ＝(－1)k C k 8x 8－2k，令8－2k ＝2，得k ＝3；则展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56. 答案 －5610.已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的离心率为5，则b ＝________，又以(2，1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r ＝________. 解析 因为e ＝c a＝c ＝5，所以b ＝c 2－a 2＝（5）2－12＝2；因为以(2，1)为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x －y ＝0相切，所以r ＝|2×2－1|22＋12＝355. 答案 235511.已知等差数列{a n }的公差为－3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n ＝________，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.解析 由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1－6)2＝a 1(a 1－9)，解得a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋15；由－3n ＋15≥0得n ≤5，所以当n ＝4或5时S n 取得最大值，所以(S n )max ＝5×12＋5×42×(－3)＝30. 答案 －3n ＋15 30 12.设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0，cos x ＋b sin x －c ，x <0，则a ＋c 的值为________，不等式f (x )>f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即a cos 0－3sin 0＋c ＝0，所以a ＋c ＝0；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0得－3＋c －b －c ＝0，所以b ＝－3；由f (π)＋f (－π)＝0得－a ＋c －1－c ＝0，所以a ＝－1，所以c ＝1，所以当0≤x ≤π时，由f (x )>f (－x )＝－f (x )得f (x )>0，即－cos x －3sin x ＋1>0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6<12，所以5π6<x ＋π6≤7π6，即2π3<x ≤π.同理可求得－π≤x <0时，－2π3<x <0，所以原不等式f (x )>f (－x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π. 答案 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则y －x 的最大值是________；x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是________.解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝0；当x >2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝x －2（x －2）2＋y2＝11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22，又yx －2表示平面区域内的点与点A (2，0)连线的斜率，由图知，k ∈[0，＋∞)，即y x －2∈[0，＋∞)，所以11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22∈(0，1]，同理可求得当x <2时，－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈[－1，0)，所以x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是[－1，1].答案 0 [－1，1]14.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝19.答案 1915.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x－π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B2.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.答案 D3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝ 5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cosA －sin A ＝5(cosB cosC －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .答案 B5.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C6.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60 D.100解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 22＝60. 答案 C7.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( )A.32 B.233 C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论： ①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . (3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 ②③④10.以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 设双曲线的方程为x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，由题意得双曲线的顶点为(±3，0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝3，c ＝2，所以b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ，离心率为e ＝c a ＝233.答案 y ＝±33x 23311.函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ）（ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ).把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案 2π612.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去14后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12＝11π4.答案π2 11π413.已知x ，y ∈R 且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，kx －y －k －1≤0，当k ＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7，则k 的值为________.解析 当k ＝1时，不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，x －y －2≤0，作出不等式组满足的平面区域如图中△ABC 的面积，易求得A (1，3)，B (1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13，所以S △ABC ＝12×4×43＝83；由目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则点(2，1)在kx －y －k －1＝0上，即2k－1－k －1＝0，解得k ＝2.答案 83214.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.。

非选择题规范练四生物与环境(2022·浙江6月)科研小组在一个森林生态系统中开展了研究工作。

回答下列问题：(1)对某种鼠进行标记重捕，其主要目的是研究该鼠的种群密度。

同时对适量的捕获个体进行年龄鉴定，可绘制该种群的年龄金字塔图形。

(2)在不同季节调查森林群落的组成与季相的变化状况，可以研究该群落的时间结构。

(3)在不考虑死亡和异养生物利用的情况下，采取适宜的方法测算所有植物的干重(g/m2)，此项数值称为生产者的生物量。

观测此项数值在每隔一段时间的重复测算中是否相对稳定，可作为判断该森林群落是否演替到顶级群落阶段的依据之一。

利用前后两次的此项数值以及同期测算的植物呼吸消耗量，计算出该时期的总初级生产量(生产者合成有机物的总量) 。

【解析】(1)标记重捕法是研究种群密度的方法之一，适用于鼠这种活动能力强的动物。

通过对捕获个体进行年龄鉴定，可以绘制种群的年龄金字塔图形。

(2)群落的时间结构是指群落的组成和外貌随时间(昼夜变化、季节变化)而发生有规律的变化，季相就是植物在不同季节表现的外貌。

(3)生产量在某一调查时刻前的积累量就是生物量，故测得所有植物的干重即为生产者的生物量。

群落演替达到平衡状态，生物量不发生增减就可称为顶级群落。

单位时间内的净初级生产量加上植物的呼吸消耗量就是总初级生产量(生产者合成有机物的总量)。

1．一个相对稳定的生态系统具有能量流动、物质循环和信息传递等功能。

如图甲是一个草原生态系统的物质循环和能量流动示意图(a～e代表过程)。

请据图回答下列问题：(1)草原群落中的碳元素进入无机环境的途径是 d (填图甲中字母)，若此草原向森林群落演替，则这一过程中，生产者对CO2的吸收量将大于 (填“大于”“小于”或“等于”)整个生物群落排出的CO2量。

草原周边少量生活垃圾并未对该生态系统产生明显影响，这说明生态系统具有一定的自我调节能力(或生态系统具有抵抗力稳定性) 。

(2)如图乙是对该草原某种生物种群密度调查后绘制的曲线，λ为当年种群数量与一年前种群数量的比值，则bc段种群数量变化趋势为下降 (填“下降”“不变”或“上升”)。

[题型专练]1．反应A(g)＋2B(g)===C(g)的反应过程中能量变化如右图所示。

曲线a表示不使用催化剂时反应的能量变化，曲线b表示使用催化剂时的能量变化．下列相关说法正确的是()A．该反应是吸热反应B．催化剂转变了该反应的焓变C．催化剂降低了该反应的活化能D．该反应的焓变ΔH＝－510 kJ·mol－1解析本题通过能量图像考查反应的热效应及催化剂与焓变的关系．由图像知生成物的能量比反应物的能量小，因此反应是放热反应，A项错；焓变与催化剂使用与否无关，B项错；催化剂可降低反应的活化能，C项正确；反应的ΔH＝－(510－419) kJ·mol－1＝－91 kJ·mol－1，D项错．答案 C2．已知：2H2(g)＋O2(g)===2H2O(g)ΔH1①CH2===CH2(g)＋3O2(g)===2H2O(g)＋2CO2(g)ΔH2②2CH3CH3(g)＋7O2(g)===6H2O(g)＋4CO2(g)ΔH3③CuO(s)＋H2(g)===Cu(s)＋H2O(g)ΔH4④2Cu(s)＋O2(g)===2CuO(s)ΔH5⑤CH2===CH2(g)＋H2(g)===CH3CH3(g)ΔH6⑥下列关于上述反应焓变(ΔH)的推断正确的是()A．ΔH1＜0，ΔH3＞0 B．ΔH2＞0，ΔH4＜0C．ΔH1＝ΔH4＋ΔH5D．2ΔH6＝ΔH1＋2ΔH2－ΔH3解析氢气、有机物燃烧的反应均是放热反应，ΔH1＜0、ΔH2＜0，ΔH3＜0，反应④为吸热反应，ΔH4＞0，A项和B项错误；依据盖斯定律有④×2＋⑤＝①，故ΔH1＝2ΔH4＋ΔH5，C项错误；由盖斯定律可知D 项正确。

答案 D3．已知：NaHCO3在水溶液中水解的热化学方程式为：NaHCO3(aq)＋H2O(l)===H2CO3(aq)＋NaOH(aq)ΔH＝a kJ·mol－1；稀盐酸和稀NaOH的中和热为b kJ·mol－1。

考点·考向·考法 综合练(二) 一、选择题 1．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫34，1B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)2．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a3．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)4．(2021·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开头变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米 5．已知a >b >1，0<x <1，以下结论中成立的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1a x>⎝⎛⎭⎫1b x B ．x a >x bC ．log x a >log x bD ．log a x >log b x6．设1<x <2，则ln x x ，⎝⎛⎭⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( )A.⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x x <ln x2x 2B.ln x x <⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x 2x 2 C.⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x 2x 2<ln x xD.ln x 2x 2<⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x x7．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元8．(2021·成都三诊)已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2021·长沙模拟)奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、图2所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于( )图1 图2 A ．14 B ．10 C ．7 D ．310．(2021·济南模拟)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>011．(2021·泰安模拟)已知函数f (x )＝cos πx 2，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2，6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的全部零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．1212．(2021·濮阳模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1（x ≤0），f （x －1）（x >0），若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1]C ．(0，1)D ．(－∞，＋∞) 二、填空题13．(2021· 徐州、连云港、宿迁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________．14．(2021·威海模拟)函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12－32x ＋1的零点个数为________．15．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．16．(2021·雅安二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，且函数g (x )＝f (x )＋x －a 只有一个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 一、选择题1．解析：选A 使函数有意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）>0，解得34<x <1.2．解析：选A 比较b 与c ，考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x，∵0<25<1，∴指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x在R 是减函数，∵35>25， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525，即b <c ，比较a 与c ，考察函数y ＝x 25，∵25>0，∴幂函数y ＝x 25在第一象限是增函数， ∴⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，∴a >c >b .3．解析：选C 由于f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．4．解析：选D s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.故选D.5．解析：选D ∵a >b >1，0<x <1，∴0<1a <1b <1，∴⎝⎛⎭⎫1a x <⎝⎛⎭⎫1b x ，故A 不成立；∵a >b >1，0<x <1，∴x a <x b ，故B 不成立；∵a >b >1，0<x <1，∴log x a <log x b ，故C 不成立；∵a >b >1，0<x <1，∴log a x >log b x ，故D 成立．6．解析：选A ∵1<x <2，∴0<ln x x <1，∴⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x x ，又ln x 2x 2＝2x ·ln x x >ln x x ，∴⎝⎛⎭⎫ln x x 2<ln x x <ln x 2x 2.7．解析：选B 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15－x 辆车．获得的利润为y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30，当x ＝－ 3.062×（－0.15）＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6(万元)．8．解析：选B 设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0<x <1时，h (x )＝－3，作出图象，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x <3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )<ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共两个零点．9．解析：选B 由图得f (g (x ))＝0⇒g (x )＝0或g (x )＝±1，g (x )＝0有3个解，g (x )＝1有2个解，g (x )＝－1有2个解，因此a ＝7，由于－1≤f (x )≤1，则g (f (x ))＝0⇒f (x )＝0，而f (x )＝0有3个解，因此b ＝3，所以a ＋b ＝10.10．解析：选B 方程的根与函数的零点的联系为：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．当x >1时，y ＝11－x 是增函数；y ＝2x 也是增函数．所以f (x )是增函数，由于f (x 0)＝0且x 1<x 0，x 2>x 0，所以f (x 1)<0，f (x 2)>0.11．解析：选D 函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.12．解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1.0＜x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1. 二、填空题13．解析：由于f (－1)＝4－1＝14，故f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2. 答案：－2 14．解析：令f (x )＝0，即⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝32x －1， 则函数h (x )＝|x 2－2x ＋12|和函数g (x )＝32x －1的交点个数即为函数f (x )的零点个数，如上图所示，h (x )与g (x )有两个交点，所以函数f (x )的零点个数为2. 答案：215．解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋bab＝6k2k －23k －3＝108. 答案：108 16．解析：由题意，函数g (x )＝f (x )＋x －a 只有一个零点，即方程 f (x )＝－x ＋a 有且只有一个解，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0的图象如图所示，而当a ＝1时直线y ＝－x ＋1与f (x )有两个交点，故当a >1时直线y ＝－x ＋a 与f (x )有且只有一个交点，a ∈(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)。

第7讲 函数的图象分层A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·大连模拟)函数y ＝5x与函数y ＝－15x 的图象关于( )．A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 因为y ＝－15x ＝－5－x，所以关于原点对称．答案 C2．(2012·兰州模拟)函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )．解析 由y ＝f (－x )＝lg |x |(－x )＝－f (x )知，函数为奇函数，排除A ，B ；当x ＝1时，y ＝0，排除C ，故选D. 答案 D3．(2012·济南模拟)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是解析 ∵log a 2<0，∴0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)单调性可知A ，D 错误，再由定义域知B 选项正确． 答案 B4．(2022·石家庄名校联考)设函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是 ( )．解析 根据已知函数图象可知，函数f (x )是偶函数，函数g (x )是奇函数，则函数f (x )·g (x )是奇函数，且函数f (x )·g (x )的定义域是{x |x ≠0}，结合选项可知只有选项A 中的图象是可能的． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x8的图象________．解析 g (x )＝log 2x8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象． 答案 向上平移3个单位6．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，将y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求： (1)y ＝g (x )的解析式及其定义域； (2)函数F (x )＝f (x )－g (x )的最大值． 解(1)f (x )＝log 2(x ＋1)――→向左平移1个单位f (x ＋1＋1)＝log 2(x ＋2)――→纵坐标变为原来的2倍横坐标不变g (x )＝2log 2(x ＋2)． ∴g (x )＝2log 2(x ＋2)，定义域为(－2，＋∞)． (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(x ＋1)－2log 2(x ＋2)＝log 2x ＋1(x ＋2)2(x >－1)．令μ＝x ＋1(x ＋2)2＝x ＋1x 2＋4x ＋4＝1(x ＋1)＋1x ＋1＋2， 又因为(x ＋1)＋1(x ＋1)≥2，当且仅当x ＝0时，等号成立，故μ≤14.所以F (x )的最大值为－2.8．(13分)(2022·韶关调研)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．分层B 级 创新能力提升1．(2022·江西六校联考)函数f (x )＝tan x ＋1tan x ，x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2<x <0或0<x <π2的大致图象为( )．解析 当0<x <π2时，tan x >0，此时f (x )≥2，排除B ，D ；－π2<x <0时，tan x <0，∴f (x )≤－2，排除C ，故选A. 答案 A2．(2012·绍兴模拟)函数y ＝esin x(－π≤x ≤π)的大致图象为( )．解析 因－π≤x ≤π，由y ′＝esin xcos x >0，得－π2<x <π2.则函数y ＝e sin x在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，排除A 、B 、C ，故选D.答案 D3.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f xcos x<0的解集为________．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0. 故不等式f xcos x<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2<x <－1或1<x <π2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2<x <－1或1<x <π2 4．(2012·唐山模拟)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“”字，故我们把它称为“函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________.解析 由题易知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0且x ≠1，－1x ＋1，x <0且x ≠－1，在同一坐标系中画出“函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点． 答案 45．(2012·杭州二中月考)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式． (1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7，而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].6．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，+∞)； 函数的减区间为(-∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y =f (x )和y =m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知0<m <1，∴M ={m |0<m <1}．探究提高 (1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． (2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )=g (x )的方程解的个数问题.。

突破练(四)1．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝232sin 2x ＋12cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6.∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由于f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6.∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3，或a 2＝4. ∴a ＝3或a ＝2， ∴b ＝2或b ＝ 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线P A 和CD 所成角等于60°.(1)求证：面PCD ⊥面PBD ；(2)求直线PC 和平面P AD 所成角的正弦值的大小；(3)在棱P A 上是否存在一点E ，使得二面角A －BE －D 的余弦值为66？若存在，指出点E 在棱P A 上的位置，若不存在，说明理由． (1)证明 PB ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥CD ，又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD . ∴CD ⊥平面PBD ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD .(2)解 如图，以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝a ，BP ＝b ，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0，a,0)， D (2,2,0)，P (0,0，b )．∵PD→＝(2,2，－b )，CD →＝(2,2－a,0)，CD ⊥PD ， ∴CD →·PD →＝0，∴4＋4－2a ＝0，a ＝4， 又P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， 异面直线P A 和CD 所成角等于60°， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·CD →|P A →|·|CD →|＝12， 即4b 2＋4·22＝12，解得b ＝2，PC →＝(0,4，－2)，AD →＝(0,2,0)，P A →＝(2,0，－2)． 设平面P AD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：70分钟) 一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是 ( )．A.12B.32 C ．1 D. 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B.答案 B2．(2021·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )．A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1 ①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 D3．(2021·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )．A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7.②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D. 答案 D4．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于 ( )．A ．3B ．4C ．2D ．1解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.由于椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.由于坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3. 答案 A5．(2021·绍兴一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )． A.5＋12 B.2＋1 C.3＋1 D.2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，由于AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又由于c ＝p ，所以c 2a 2－4c 2c 2－a 2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1. 答案 B6．(2022·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为 ( )．A.43B.53C.94 D ．3解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，依据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得ba ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53，故选B.答案 B7．(2021·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( )．A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.答案 A 二、填空题8．(2021·陕西卷)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2. 答案 2 29．(2021·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________. 解析 双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，。