专题四解析几何综合题型分析及解题策略

解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。

这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。

② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。

解析几何综合题解题思路案例分析1 判别式----解题时时显神功2 2案例1 已知双曲线C •丄 -1，直线I过点A .2,0，斜率为k,当0 k 1时,2 2双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为..2，试求k的值及此时点B的坐标。

分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段•从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略•分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为42”，相当于化归的方程有唯一解•据此设计出如下解题思路:简解：设点M(x,i2 x)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线I的距离为:kx v'2 x2<2k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2x kx ，从而有关于x 的于是方程点评：上述解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整体思维的 优越性.2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2 已知椭圆C: X 22y28和点P ( 4，1)，过P 作直线交椭圆于 A B 两点，APAQ在线段AB 上取点Q 使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。

其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将x, y 与k 联系起来？ 一方面利用点 Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件:kx 2 x 22k , 2(k 21)2.2 x 2(；2(k 2 1) ,2k kx)2,.2(k 21).2k kx 022 2k 1 x2k ,2(k 21) — 2.2k x . 2(k1)、2k 2 0,2.2(k 1)、2k kx0.由0 k 1可知:2方程 k 2 1 x 2 2k . 2(k 2 1) •、2kx .2(k 21) ...2k 2 0的二根同正故.2(k 21) .. 2kkx 0恒成立， 于是 等价于2k 2 1 x2 i2k .21) .2k x - 2(k 21) 2k 2 0.25 kxkx 、、2 x 22k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式 0,就可解得 kAP PBAQ QB来转化•由A 、B P 、Q 四点共线，不难得到4(X A X B ) 2X A X B8 (X A X B )，要建立X与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，禾U用韦达定理即可关于x, y 的方程（不含k ），则可由y k （x 4） 1解得k —_1，直接代入x f k 即 x 4 可得到轨迹方程。

解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。

2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。

选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。

3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。

可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。

4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。

可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。

5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。

可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。

6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。

最后，回答问题，给出相应的解释和结论。

在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。

同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。

根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。

解析几何综合题的解题思路分析发表时间：2012-10-26T10:39:07.763Z 来源：《教育学文摘》2012年12月总第69期供稿作者：邹文彦[导读] 由于解析几何这类试题的涉及面比较广，综合性强，而且解题的方法多种多样，对考察学生的综合能力有很好的效果，所以几何问题已经成为近几年高考试题中的主要内容。

邹文彦江西省赣州市赣县中学南校区341100摘要：由于解析几何这类试题的涉及面比较广，综合性强，而且解题的方法多种多样，对考察学生的综合能力有很好的效果，所以几何问题已经成为近几年高考试题中的主要内容。

也正是因为解析几何具备的诸多特点，所以使学生在解题的过程中不知道从何下手，不能克服解题过程中的运算难关。

本文通过对解析几何综合题的解题思路尽心分析，为学生提供了一定的参考依据。

关键词：解析几何综合题解题思路近几年来，解析几何在高考中出现的频率越来越高，对解析几何综合题的解题思路也成为学生们面临的一个难题。

由于这类习题所涉及的知识点比较多，因此，在解决这一类问题的时候，学生就要学会通观全局，从局部入手。

也就是说，学生要在掌握通性通法的同时，从整体上去把握，认真审题，找到正确的解题方法。

一、判别式解题思路分析二、“点差法”解题思路分析点差法也是解析几何中经常使用的解题方法之一。

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

这种方法在求曲线方程与求直线斜率等习题上有较广泛的应用。

三、结束语目前，解析几何综合题在高考中出现的频率已经越来越高，为了能让学生在考试的过程中准确高效地将问题解决，在日常生活中，培养学生对解题思路的整体把握是非常重要的。

教师要在授课的过程中，将解析几何综合题的解题思路分析详细地让学生掌握，从而使学生对解析几何综合题的解题思路有充分的掌握。

解析几何是数学中的一个分支，主要研究几何形状的数学表达和特征。

解析几何综合题需要运用多种几何知识和方法进行解题。

解题思路：
题目阅读：仔细阅读题目，弄清题目意思，明确问题
数据分析：分析题目给出的数据，确定所需要的几何知识和方法
方法选择：根据题目数据和问题，选择合适的几何方法进行解题
解题过程：根据选定的方法进行解题，记录解题过程
结果检验：验证解题结果是否正确
案例分析：
例如，有一道题目是：已知圆心坐标为(1,2)，半径为3，求圆的标准方程。

题目阅读：已知圆心坐标和半径，求圆的标准方程
数据分析：圆心坐标(1,2)，半径3
方法选择：圆的标准方程
解题过程：根据圆的标准方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，可得(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
结果检验：圆的标准方程是(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9。

高考数学热点深度解读专题四解析几何高考中解析几何试题一般共有2-3题(一到两个小题和一个解答题)，共计25分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化内容与要求1．能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了；2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法；4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法；5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势:1.注意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多都属中、低档题,以选择、填空题的形式出现,每年必考2.考查直线与二次曲线的普通方程,属低档题,对称问题常以选择题、填空题出现3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现,有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹,与向量结合,与求最值结合,属中档题分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.【考点透视】一.直线和圆的方程1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3.了解二元一次不等式表示平面区域.4.了解线性规划的意义,并会简单的应用.5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法.6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.二.圆锥曲线方程1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.了解圆锥曲线的初步应用.【例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1.(2006年安徽卷)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为() A.B.C.D.考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2.(2007年四川卷文)已知抛物线y-x23上存在关于直线xy=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于A.3B.4C.3D.4考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出.故选C。

《解析几何》高考试题的特点及复习策略《解析几何》是高中数学教学的重要内容，也是历年高考考查的重点内容之一，这部分内容共有19个知识点，它充分体现了解析几何在数与形相互转化的数学思想，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。

近几年来，高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。

而有关圆锥曲线的试题占解析几何总分值的三分之二，约占全卷总分的13%，这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，同时也有一定的综合性和灵活性，一般是以圆锥曲线中有关的知识和方法为主线，结合解析几何中其它部分的知识、平面几何及平面向量、函数与方程、不等式、数列、三角函数等有关知识和方法的综合问题.一、高考内容及要求：（摘自2004年《高考考试说明》）直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程一般式、两条直线平行与垂直的条件、两条直线的交角、点到直线的距离、用二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题、曲线与方程的概念、由已知条件列出曲线方程、圆的标准方程和一般方程、圆的参数方程。

考试要求：（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；（3）了解二元一次不等式表示平面区域；（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用；（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法；（6）掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。

圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质、椭圆的参数方程、双曲线及其标准方程、双曲线的简单几何性质、抛物线及其标准方程、抛物线的简单几何性质。

考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；（4）了解圆锥曲线的初步应用。