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坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。
这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。
接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。
一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
坐标系的原点是两个坐标轴的交点。
在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。
坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。
对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。
反之，斜截式方程可转化为隐式方程。
坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。
3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。
相似性质可以用来求解坐标变换等问题。
2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。
参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。
在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。
二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义广东高考考试大纲说明的具体要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（一）基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4．极坐标与直角坐标的互化：5。
圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ. 7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
高中数学选修—坐标系与参数方程知识点总结文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)rρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高考数学中的坐标系与几何知识点坐标系与几何是高考数学中的重要组成部分，主要考查考生对坐标系的理解与应用，以及平面几何、空间几何的基本知识。
以下是该知识点的主要内容：一、坐标系1. 直角坐标系直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴（横轴和纵轴）所围成的平面区域。
在直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（横坐标，纵坐标）来表示。
2. 参数方程参数方程是另一种描述曲线的方法，它将曲线上的点与一个参数（通常为角度或弧长）联系起来。
参数方程通常分为两种：极坐标方程和参数方程。
3. 极坐标系极坐标系是由原点、半径和角度三个参数来描述一个点的位置。
在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r是点与原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
4. 空间坐标系空间坐标系是由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴）所围成的空间区域。
在空间坐标系中，每个点都可以用三个有序实数（x坐标，y坐标，z坐标）来表示。
二、平面几何1. 点、线、面点、线、面是平面几何最基本的概念。
点是没有长度、宽度、高度的实体；线是由无数个点连成的，有方向但没有宽度的实体；面是由无数个线连成的，有长度和宽度的实体。
2. 直线方程直线方程是描述直线位置关系的一组式子。
在平面直角坐标系中，直线方程通常分为两种：点斜式和一般式。
3. 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的。
圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
4. 三角形三角形是由三个顶点、三条边和三个内角组成的。
三角形的性质包括：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和为180度。
三、空间几何1. 点、线、面与平面几何类似，空间几何中的点、线、面也有类似的概念。
在空间几何中，点是没有长度、宽度、高度的实体；线是由无数个点连成的，有方向但没有宽度的实体；面是由无数个线连成的，有长度和宽度的实体。
2. 空间直线方程空间直线方程是描述空间直线位置关系的一组式子。
坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P （x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P （x,y ）对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2。
极坐标系的概念（1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴;再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
注：(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;（ii ）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2）极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ; 以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地，不作特殊说明时，我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为（0， θ）（θ∈R ）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3。
极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ（0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y ： cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ：222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ，半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π，半径为r 的圆=2sin (0)r ρθθπ≤<圆心为(),r π，半径为r 的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2）(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π，与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同。
选修4-4数学坐标系与参数方程数学中的坐标系和参数方程是两个重要的概念。
下面是关于选修课程 "数学坐标系与参数方程" 的一些可能内容和学习目标：
1. 坐标系的基本概念：学习不同类型的坐标系，如笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系等，了解它们的定义、特点和相互转换关系。
2. 坐标系中的点和图形：研究平面和空间中的点在不同坐标系下的表示方法，以及如何使用坐标系来描述和绘制各种图形，如直线、曲线、圆、椭圆等。
3. 参数方程的引入：介绍参数方程的概念和作用，了解参数方程与常规方程的区别，以及参数方程在表示曲线和图形上的应用。
4. 参数方程的性质和分析：研究参数方程的性质，如曲线的方向、对称性、切线和法线等，学习如何通过参数方程求解曲线的长度、曲率、弧长等相关问题。
5. 参数方程的图形与应用：探索不同类型的曲线的参数方程，如直线、抛物线、椭圆、双曲线等，了解它们的特点、图像以及在几何、物理等领域的应用。
6. 坐标系和参数方程的综合应用：综合运用坐标系和参数方程的知识，解决具体问题，如运动学问题、物体轨迹分析、工程设计等。
通过学习 "数学坐标系与参数方程" 这门选修课程，你可以深入了解坐标系的概念和应用，以及参数方程在曲线表示和分析中的重要
性。
这将为你在数学和相关领域的学习和研究提供坚实的基础，并为你探索更高级的数学课程打下良好的基础。
解析几何基本概念解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中各种几何对象的性质及其相互关系。
在解析几何中，有一些基本概念是非常重要的，掌握了这些基本概念，我们才能更好地理解和运用解析几何的方法。
本文将对解析几何的几个基本概念进行详细解析，包括坐标系、直线、平面和曲线等。
一、坐标系在解析几何中，坐标系是非常关键的一个概念。
它是一个由两条相互垂直的坐标轴所确定的直角坐标系统。
一般来说，我们常用的是二维坐标系，由两条垂直的直线所确定，分别称为横坐标轴和纵坐标轴。
而在三维空间中，我们需要用到三维坐标系，它由三条相互垂直的直线所确定，依次称为x轴、y轴和z轴。
二、直线直线是解析几何中最基本的对象之一。
一条直线可以由一个点和一个方向来确定。
在解析几何中，我们可以通过斜率来描述直线的方向。
斜率是直线上两个不同点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
当两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)时，直线的斜率可以表示为：k = (y2 -y1)/(x2 - x1)。
同时，直线的方程也是直线研究中非常重要的内容。
三、平面平面是解析几何中的另一个基本概念，它是由无数条直线组成的一个二维空间。
平面可以用一个点和两个不共线的向量来确定。
与直线类似，平面也有方程的表示形式。
例如，对于一个平面上的一般点(x, y, z)，如果平面上的一个特殊点A(x0, y0, z0)和平面上的两个不共线的向量a和b决定了该平面，那么这个平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0。
四、曲线除了直线和平面，解析几何中还有一个重要的概念就是曲线。
曲线是指在坐标系中由一系列点组成的线段。
曲线可以用函数关系、参数方程或者直角坐标方程进行表示。
例如，对于一个函数关系来说，曲线可以用y = f(x)的形式来表示。
而对于一个参数方程，曲线可以用x = F(t)和y = G(t)的形式来表示，其中t是一个参数。
直角坐标方程则是将x和y表达为关于某一变量的方程。
坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换X = X ：.y」y e O o的作用F，点P(x,y) 对应到点P（x,y）,称「为一般地，不作特殊说明时，我们认为亍_ 0^可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,二）（二€ R）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定T • 0,0・：：V ::：2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2.极坐标系的概念MR召）坐标（）表示；同时，极坐标（「门）表示的点也是唯一确定的（1）极坐标系如图所示，在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. ⑵极坐标：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角一xOM叫做点M的极角，3.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：1/（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x, y）, 极坐标是（匚二）（T - 0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表记为二.有序数对（几旳叫做点M的极坐标，记作M （几“.点M 直角坐标（x, y）极坐标（P,日）互化公式[x = Pcos日y = Psi n日P2=x2+y2 tan& = 丫（x 式0）x在一般情况下,由tan二确定角时,可根据点M所在的象限最小正角•过极点，倾斜角为:-的直线过点（a,0）,与极轴垂直的直线曲线4.常见曲线的极坐标方程图形极坐标方程过点（a,二），圆心在极点，半径为r的圆轴平行的直线P = r（0 兰。
高中数学坐标系与参数方程高中数学是学生学习数学的重要阶段之一，坐标系和参数方程是其中的两个重要内容。
坐标系是一种描述位置的方法，它是由两个互相垂直的直线组成的。
在坐标系中，我们用一对有序数对（x，y）来表示平面上的一个点，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
坐标系的中心点为（0，0），称为原点。
通过坐标系，我们可以简单地描述平面上的各种几何图形，如线段、直线、圆等。
在坐标系中，我们可以通过一些基本操作来得到新的图形。
其中包括平移、旋转、反射等操作。
平移是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，旋转是指将图形绕着某个点旋转一定的角度，反射是指将图形绕着某个直线对称。
通过这些操作，我们可以得到各种复杂的几何图形，从而更好地理解几何学的基本概念。
参数方程是一种用参数表示函数的方法，它将函数的自变量和因变量都表示为参数的形式。
在参数方程中，我们将自变量和因变量分别表示为x和y的函数，在参数t的取值范围内进行变化。
例如，一个简单的参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，其中t的取值范围为0到2π。
这个参数方程表示了一个单位圆的轨迹。
通过参数方程，我们可以更好地理解函数的性质，以及函数图形的特点。
在坐标系和参数方程中，我们可以进行一些有趣的应用。
例如，在坐标系中，我们可以绘制出各种几何图形的图像，从而更好地理解几何学的基本概念。
在参数方程中，我们可以绘制出各种函数的图像，从而更好地理解函数的性质。
此外，坐标系和参数方程还可以应用于物理、工程、计算机科学等领域，具有广泛的应用价值。
坐标系和参数方程是高中数学中的重要内容，它们可以帮助学生更好地理解数学的基本概念，具有广泛的应用价值。
希望学生们能够认真学习和掌握这些知识，为今后的学习和生活打下坚实的数学基础。
高三数学 坐标系与参数方程（ 1）认识坐标系的作用，认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况。
（ 2）认识坐标系的基本观点，会在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，能进行极坐标和直角坐标的互化。
（ 3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。
（ 4）认识参数方程，认识参数的意义。
（ 5）能选择适合的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
1. 极坐标系MOθx①极坐标是用 “距离 ”与“角度 ”来刻画平面上点的地点的坐标形式。
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向组成极坐标系的四因素，缺一不行。
规定：当点 M 在极点时，它的极坐标 0, 能够取随意值。
② 平面直角坐标与极坐标的差别： 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（ x ，y ）是一一对应的，但是在极坐标系中，固然一个有序实数对 ( , ) 只好与一个点 P 对应，但一个点 P 却能够与无数多个有序实数对对应 ( , ) ， 极坐标系中的点与有序实数对极坐标 ( , ) 不是一一对应的。
③ 极坐标系中，点 M ( ,) 的极坐标一致表达式 ( ,2k), k Z 。
④ 假如规定 0,02 ，那么除极点外， 平面内的点可用独一的极坐标 ( , ) 表示，同时， 极坐标 ( , ) 表示的点也是独一确立的。
2.极坐标与直角坐标的互化： （ 1）互化的前提：① 极点与直角坐标的原点重合；极轴与 x 轴的正方向重合； ③ 两种坐标系中取同样的长度单位。
xcos2x 2y 2（ 2）互化公式，tany, x 0ysinx2是常用的方法 .注：极坐标方程化为直角坐标方程 ,方程两边同乘 ,使之出现1． 已知点的极坐标分别为 A(3,) ， B(2, 2 3 ) ，求它们的直角坐标。
)， C(, )，D( 4,4322答案：A （3 2,3 2) B( 1, 3)C(3,0) D (0, 4)2225 2、已知点的直角坐标分别为A(3, 3), B(0,), C ( 2, 2 3) ，求它们的极坐标。
高考数学专题--坐标系与参数方程高考考点：1、直角坐标与极坐标方程的互化2、普通方程与参数方程的互化3、坐标系与参数方程的综合考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x tC y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）217178-. 【解析】（1）由122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x . 所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17178)1(4|1142|22=-++-⨯-=d ， 所以||PQ 的最小值为217178-. ☆技巧点拨☆1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 考点2 利用参数几何意义解题调研1 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】（1）24y x =；（2）143.【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，1274t t =-， ∴()()222121212321341347143AB t t t t t t =-+-=⨯+-=⨯+=.☆技巧点拨☆若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).考点3 利用ρθ,的几何意义解题调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()222cos24sin 20ρθρθρ+=>.（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为π=4θ,曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）22-.【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为()2221x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=. 由222cos24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=,把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组2222222cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩, 因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得2222101a ρρρ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩,消去ρ得222a =-. 强化训练：1．若椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程为221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()40±，，故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 A ．ρ=sin θ B ．ρ=2sin θ C ．ρ=cos θD ．ρ=2cos θ【答案】D3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆C 是以极坐标系中的点7π2,6⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3为半径的圆，直线l 的参数方程为12322x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求MON △的面积. 【答案】（1）见解析;（2）2.4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,0P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且34PA PB =，求l 的普通方程. 【答案】（1）()22625x y ++=;（2）()1y x =±-.【思路点拨】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而可得结果.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．5．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为15cos 25sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB . 【答案】（1）()()12ππ:,:24l l θρθρ=∈=∈R R ；（2）10.AB =【名师点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1x a t t y t=+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-.当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.【思路点拨】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）23+．所以OAB △面积的最大值为23+．【思路点拨】（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
专题四 解析几何、坐标系与参数方程一、选择题：（本题共12小题，每小题5分共60分）1.若双曲线E ：221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF =A . 11B . 9C . 5D 3 解：126PF PF -=，13PF =，∴236PF -=，29PF =2.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A . (1,3)-B .(1-C .(0,3)D .解：因为222213x y m n m n-=+-表示双曲线，所以22()(3)0m n m n +->且22()(3)4m n m n ++-=所以1m =±，且(1)(3)0n n +->，所以13n -＜＜，选A 3.若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为A . 22(2)(2)3x y -+±= B .22(2)(3x y -+=C .22(2)(2)4x y -+±= D .22(2)(4x y -+=解：因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线2x =上，又因为圆与y 轴相切，所以2r =所以圆的方程为22(2)()4x y b -+-=，所以22(12)(0)4b -+-=，所以b =所以圆的方程为22(2)(4x y -+=，选D.4.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A . 250250x y x y ++=+-=或B .2020x y x y ++=或C .250250x y x y -+=--=或D .2020x y x y -=-=或 解：∵所求直线与210x y ++=平行，∴设所求直线为20x y m ++=，又∵直线20x y m ++=与圆225x y +=相切， =5m =±∴∴所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，选A5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点.若1AF B △的周长为C 的方程为A . 22132x y +=B .2213x y += C .221128x y += D .221124x y +=解：因为椭圆的离心率为3，所以3c a =，223a c =∴，又∵1AF B △的周长为∴4a =23a =∴，21c =∴，22b =∴，所以椭圆方程为22132x y +=，选A6.“圆221x y +=与圆22()(4)16x a y -+-=相外切”是“3a =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件解：若两圆外切，则21625a +=，3a =±，反之若3a =则两圆外切，故选B7.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 A .12 B .23 C .34 D .43解：因为点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以22p-=-，4p =∴，28y x = 设切线AB 的方程为(3)2x m y =--， 解方程组2(3)28x m y y x=--⎧⎨=⎩得2824160y my m -++=26496640m m =--=△，即22320m m --=，(21)(2)0m m +-=∴，122m m ==-∴或（舍） 216640y y -+=∴，8y =∴，8x =∴，(8,8)B ∴， (2,0)F ∵，43BF k =∴，选D.8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ）A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 解：因为椭圆的右焦点为(3,0)F ，所以3c =，所以229a b -=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122,2,x x y y +=+=-又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=又因为直线AB 过(3,0)F 和(1,1)-，所以212112AB y y k x x -==-，所以22210a b -=，222a b =所以29b =，218a =，所以E 的方程为221189x y +=，选D.9.已知椭圆1C ：2221()x y m m +=＞1与双曲线2C ：2221()x y n n-=＞0的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A . 121m n e e ＞且＞B .121m n e e ＞且＜C .121m n e e ＜且＞D .121m n e e ＜且＜ 解：因为椭圆与双曲线的焦点重合，所以2211m n -=+，222m n -=∴，m n ∴＞，又因为22122111m e m m -==-，2222111n e n n+==+，2222122222111(1)(1)1m n e e m n m n --=-+=+∴ 又222m n -=∵，221222111e e m n=+∴＞，即m n ＞，121e e ＞，故选A. 10.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为 A .45π B .34π C.(6π- D .54π 解：因为A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，所以90AOB ∠=∴以AB 为直径的圆必过原点，所以过原点与240x y +-=相的圆中，最小的直径是原点到直线的距离，所以2r =，245r =min 45S π=，选A11. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =＞上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的倾斜角的最大值为A.B .23 C.2D .1解：设2(2,2)P pt pt ，2PM MF =∵，∴3PF MF = 设00(,)M x y ，则200(2,2)3(,)22p ppt pt x y --=--，201233x p pt =+∴，03y pt =∴22223121233OMptt k t p pt==++∴，当0t ＞时，2221122OM t k t t t ===++∴，选C 12.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是 A . 2 B .3 CD解：设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y ><则12121122122111111()()22222ABO x x y y x y x y x y x y =+--+=-+△S ，221122,y x y x ==∵ 2212211221111()222ABOy y y y y y y y =-+=-△S ，2OA OB ⋅=∵，12122x x y y +=∴2212122y y y y +=∴，122y y =-∴或121y y =（舍），12ABO y y =-△S ∴ 又118AFO y =△S ∵，1211992388ABO AFO y y y y =-=+△△S +S ≥∴ 二、本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a = .解：根据题意1a =，3a =∴. 14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 .解：由题意知(0,0)A ，(1,3)B ，又因为两直线的交点为(,)P x y ，所以由两直线方程消去m 得230x xy y y--++=，2230x y x y +--=∴，即点(,)P x y 在圆22135()()222x y -+-=上，且AB是圆的直径，AB = 2222AB PA PB PA PB =+⋅≥∴10=，5PA PB ⋅≤∴15.设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E . 若2CF AF =，且A C E △的面积为则p的值为 .解：由抛物线的参数方程得22y px =，1(,0)2F p 7(,0)2C p ∵，3CF p =∴，2CF AF =∵32AF p AB ==∴，由ABE EFC △△知2AE EF =，所以()A p，212ACFA SCF y p =⨯⨯=2132ACE ACFS S p ==△，22p =p =∴ 16.已知两点(3,0)M -、(3,0)N ，点P 为坐标平面内一点，且0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为 .解：(3,0)M -∵，(3,0)N ，(,)P x y ，(6,0)MN =，(3,)MP x y =+，(3,)NP x y =-∴6(3)0x -=，212(3)y x x =-<，所以(3,0)M -点抛物线的焦点由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的最小距离就是到准线的最小距离，即2p . 所以动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为3. 三、解答题：本题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点(1,0)P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点， 当AB 中点C 恰好落在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 解：因为射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角所以A 在直线yx =上，B 在直线3y x =-上 设(,)A m m ，,)B n-，则AB 中点为)2m n- 又因为C 在直线12y x =上，2m n-=，2mn =+∴，3m n n +=+∴ 又因为C在AB 上，所以1m m=-∴m mn n=-∴，m n mn +=∴3m n n m n n +∴，3m =∴，(11)m ∴，m =∴AB k ==∴，所以AB的方程为1)y x =- 18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=.（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，2C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 解（1）曲线2C ，3C 的直角坐标方程分别为222x y y +=，22x y +=解方程组22222x y y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以曲线2C ，3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2（2）由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 的极坐标方程为(0)ρααπ=≤＜ 所以A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα12sin 4sin 4sin()23AB πααααα=-=-=-∴ 0απ∵≤＜，sin()13πα-∴≤，04sin()43πα-∴≤≤，AB 的最大值为4 19.已知ABC △的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .（1）若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BH 上的任一点P ，若在以CM ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 解：（1）因为,A B 都在x 上且关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上 所以设圆心为(0,)b ，则2219(2)b b +=+-，3b = 所以H (0,3)所以H 的方程为22(3)10x y +-=，当直线l 垂直x 轴时，3x =，42y =或，所以弦长为2，故直线l 的方程为3x =.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2(3)y k x -=-，3=，43k =，所以直线l 的方程为42(3)3y x -=-，即4360x y --= 所以直线l 的方程为4360x y --=或3x =（2）因为线直线BH 的方程为330x y +-=，又P 在线段BH 上，所以设(,33)P m m -，01m ≤≤ 设(,)N x y 则33(,)22x m y m N ++-，又因为,M N 都在圆C 上，所以 222222(3)(2)33(3)(2)22x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨++--+-=⎪⎩，222222(3)(2)(6)(13)4x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨+-+--=⎪⎩所以两圆有交点，所以3r r，3r r 因为01m ≤≤，3r r ∴r r ∴C的半径的取值范围是20.（本题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q两点，求四边形MPNQ 的面积的取值范围. 解：（1）∵222150x y x ++-=，22(1)16x y ++=∴(1,0)A -∴,∵4AD AC r ===又∵AC BE ∥，∴DE BE =4EA EB EA ED +=+=∴所以EA EB +是定值4，由椭圆的定义知E 点的轨迹方程是22143x y +=(2)若直线l 与x 轴垂直，则直线PQ 与x 轴重合，此时12MPNQ S = 若直线l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)y k x =-，解方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得222(34)8120k x k x +--=，2122834k x x k +=+∴，212241234k x x k -=+12x x -=∴,所以221212(1)34k MN x k +=-=+ PQ l ⊥∵且过点B ，PQ ∴方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，所以圆心(1,0)A -，又圆的半径为4，PQ ==∴12MPNQPQ MN =⋅====∴S ∵k R ∈，MPNQ =∴S 21.（本小题满分12分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m .经测量，点A 位于点O 的正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=.（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保区的面积最大. 解：（1）如图过A 作OC 的平行线交BC 于点D ，过D 作OC 的垂线，垂足为E ，设BCO θ∠=，AD x =则tan 3θ= 在DEC △中，460tan 3170x θ==-，125x =∴，45EC =，4575cos DC θ==∴ 在ABD △中，ABD θ∠=∵，AB BC ⊥，3cos 12575BD AD θ==⨯=150()BC BD DC m =+=∴，即新桥BC 的长为150m .（2）如图设4OM x =，设BC 与圆M 相切于点N ， 连结MN ，过M 作OC 的平行线交BC 于点F ，过F 作FH OC ⊥，垂足为H在FHC △中，43FH HC =，4FH OM x ==∵ 3HC x =∴，1703MF x =-∴，在MFN △中，4sin (1703)5MN MF x θ==- 因为古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m 80MN AM -∴≥，80MN OM -∴≥4(1703)(604)805x x ---∴≥，4(1703)4805x x --≥ 53524∴≤x ≤，1035∴≤4x ≤，当52m =时，10OM =，max 45(1703)15052MN =-⨯=∴，此时保护区的面积最大.22.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程； （2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与于不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 的直线交于点M .（Ⅰ）求证：点M 在定直线上； （Ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点解：（1）∵抛物线22x y =的焦点为1)2(0,，12b =∴ 又∵∴2234c a =，22314b a -=∴，2a b =∴，1a =∴∴椭圆的方程为2241x y +=.（2）（Ⅰ）设2(2,2),(0)P t t t ＞，则2AB k t =，所以AB 方程为222(2)y t t x t -=-，即222y tx t =-解方程组2222241y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得224(22)1x tx t +-=，即2234(116)321610t x t x t +-+-= 312232116t x x t+=+∴，42212226444116116t t y y t t t -+=-=++∴ 3222162(,)116116t t D t t -++∴，18ODk t =-∴，所以OD 方程为18y x t =- 当2x t =时，14y =-，即1(2,)4M t -，即M 在定直线14y =-上.（Ⅱ）因为1(0,)2F ，2(2,2)P t t ，2(0,2)G t -，1(2,)4M t -，3222162D(,)116116t t t t-++ 231111(2)22222S t t t t =+=+∴，23322221(2)(8)11164(2)(2)24116116t t t t S t t t t ++=+-=++ 323222123222321(2)(116)(28)(116)(28)(116)21(81)(8)(81)(18)(2)(8)4t t t S t t t t t S t t t t t t t t ++++++===++++++∴ 令281m t =+，则212222(1)(21)21112S m m m m S m m m m+-+-===-++∴ 2122111192()24S S m m m =-++=--+∴，即2m =时12S S 取得最大值94此时2281t =+，4t =∴，1()24P ∴ 所以12S S 取得最大值94，并且取得最大值时P点的坐标是1()24.。
