解析几何(辅优)专题四(1)圆1

解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。

二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。

2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。

3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。

4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。

5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。

三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。

五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。

专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。

高考数学复习阶段安排计划7篇高考数学复习阶段安排计划【篇1】一、目的：在学校高三毕业班教学备考的指导下，根据学科的特点与历年的高考说明及高考中数学的地位，使数学复习有一个依据顺序，协调班级之间的教学复习工作,使与教师充分发挥各自特长、特点、优点，出色完成高三数学复习的教学任务，让学生得到应有的数学知识，在知识的海洋中遨游，达到理想的彼岸。

二、指导思想：针对高三学生现有的真实水平及实际情况，以课本内容为基础，新课程标准及高考说明为依据，选择适合的复习资料，运用恰当的途径，熟读、细读高考说明，准确把握高考的信息、动向，规范复习，夯实基础，充分发挥本学科的科任教师的特长、特点，协调与其他学科间的横向关系，让各位老师都舒畅、乐意、轻松、出色的完成高三数学复习教学任务。

三、复习安排：1、第一轮（9月初至明年3月中旬）基础复习（课本为主，蓝本资料为辅助）。

夯实基础，让学生弄清楚所学知识的基本结构，基本技能，重视知识结构的先后顺序及掌握基础知识的方法并赋以应用。

具体课时安排：知识内容课时数1、集合与常用逻辑用语62、平面向量83、不等式的性质与解法包括基本不等式和简单的线性规划。

104、函数的概念及性质105、幂函数、指数函数、对数函数66、导数及其应用67、函数与方程，函数的综合应用48、等差数列与等比数列49、递推数列与数学归纳法410、三角函数811、三角恒等变换412、解三角形413、平面解析几何初步1014、圆锥曲线方程1015、立体几何初步1216、空间中向量与立体几何617、计数原理与概率1018、随机变量及其分布619、算法初步、统计、统计案例1220、推理与证明及复数8第二轮：（明年3月下旬到4月下旬）专题复习（视情况有机选择）。

教师以方法、技巧为主线；主要研究数学思想方法，不断提高学生分析问题、解决问题的能力，强调通性通法，系统全面地复习，灵活运用通法，培养学生的思维能力和思想方法，注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。

一、教案基本信息教案名称：《解析几何》课程教案课时安排：共24 课时，每课时45 分钟教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 让学生掌握解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学内容：第一章：解析几何概述1.1 解析几何的定义与发展历程1.2 坐标系与坐标轴1.3 点、直线、圆的方程第二章：直线方程2.1 直线方程的定义与分类2.2 直线方程的斜率与截距2.3 直线方程的应用第三章：圆的方程3.1 圆的方程定义与性质3.2 圆的标准方程与一般方程3.3 圆的方程应用第四章：曲线与方程4.1 曲线与方程的概念4.2 常见曲线的方程4.3 曲线与方程的应用第五章：解析几何中的问题解决策略5.1 解析几何问题的类型与解法5.2 图形分析与变换5.3 解析几何在实际问题中的应用二、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、方法和技巧。

2. 运用案例分析法，结合具体实例分析，让学生深入理解解析几何的应用。

3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。

4. 利用数形结合法，引导学生通过图形来直观理解解析几何问题。

三、教学评价1. 平时作业：检查学生对基本概念、方法和技巧的掌握程度。

2. 课堂练习：评估学生在课堂上解决问题、分析问题的能力。

3. 课程报告：考察学生对实际问题应用解析几何知识的能力。

4. 期末考试：全面测试学生对本课程的掌握情况。

四、教学资源1. 教材：选用权威、实用的解析几何教材。

2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。

3. 习题库：提供丰富、多样的习题，便于学生课后练习。

4. 参考资料：推荐学生阅读相关书籍、论文，拓展知识面。

五、教学进度安排第1-4 课时：解析几何概述第5-8 课时：直线方程第9-12 课时：圆的方程第13-16 课时：曲线与方程第17-20 课时：解析几何中的问题解决策略第21-24 课时：复习与总结六、教学策略及建议6.1 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，既注重基础知识的学习，又提供一定的拓展内容。

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的， 一方面是回顾已学过的数学知识， 进一步巩固基础知识， 另一方面， 随着学生学习能力的不断提高， 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复， 而是有对所学知识进一步理解的需求， 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等， 所以高三数学复习既要“温故” ， 更要“知新” ， 既能引起学生的兴趣， 启发学生的思维, 又能促使学生不断提出问题, 有新的发现和创造, 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程"内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容， 也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题， 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用， 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用, 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位,这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头" ．所以研究解析几何的解题思路,方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中,在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - ,若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点. （1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）求OA OB +最小值； (3)求M MA B ⋅最小值．解：方法一:∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,12k k A -- )12,0(+k B ， （1）∴422122)12(2≥++=+=k k k k S , ∴当1)22=k （时,即412=k ,即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为221+=x y 。

解析几何第4讲 圆【知识点归纳】1. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆的切线的几何性质，圆的切割线定理，圆内接直角三角形，圆的弦的性质 2. 圆的方程：（1）圆心为()a b ，，半径为r 的圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=。

（2）圆的一般方程是220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）。

（3）圆心为()a b ，，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）。

3. 点与圆的位置关系已知点00()P x y ，与圆M ：222()()x a y b r -+-=（0r >），设点P 与圆心M 的距离为d ，那么点P 与圆M 的位置关系为：（1）当d r >时，点P 在圆外；（2）当d r =时，点P 在圆上；（3）当d r <时，点P 在圆内。

4. 直线与圆的位置关系：已知，圆M ：222()()x a y b r -+-=，直线l ：0Ax By C ++=。

圆心()M a b ，到直线l 的距离为：22||Aa Bb C d A B++=+。

（1）当d r >时，直线l 与圆M 相离；（2）当d r =时，直线l 与圆M 相切； （3）当d r <时，直线l 与圆M 相交； 5. 圆与圆的位置关系圆1C ：222111()()x x y y r -+-=（10r >）；圆2C ：222222()()x x y y r -+-=（20r >）， 设圆1C 与圆2C 的圆心之间距离为d ，那么圆1C 、2C 的位置关系为：若21r r d +>，则两圆相离；若12d r r =+，则两圆相切；若2121||r r d r r +<<-，则两圆相交；若||21r r d -=，则两圆相内切；若||21r r d -<，则两圆内含。

高三第一学期数学教学方案〔共6篇〕第1篇：高三第一学期数学教学方案一、指导思想高三数学教学要以《全日制普通高级中学教科书》以学生的开展为本，全面复习并落实根底知识、根本技能、根本数学思想和方法，为学生进一步学习打下坚实的基础。

要坚持以人为本, 强化质量的意识，务实标准求创新，科学合作求开展。

二、教学建议1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，把握高考新动向，有的放矢，进步复习课的效率。

及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，进步我们的复习质量。

注意20xx年高考的导向：注重才能考察，能阅读、理解对问题进展陈述的材料; 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、消费、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述;能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进展独立的考虑与探究，使问题得到解决。

高考试题无论是小题还是大题，都从不同的角度，不同的层次表达出这种才能的要求和对教学的导向。

这就要求我们在日常教学的每一个环节都要有目的地关注学生才能培养，真正进步学生的数学素养。

2、充分调动学生学习积极性，增强学生学习的自信心。

尊重学生的身心开展规律，做好高三复习的发动工作，调动学生学习积极性，因材施教,帮助学生树立学习的自信性。

3、注重学法指导，进步学生学习效率。

老师要针对学生的详细情况，进展复习的学法指导，使学生养成良好的学习习惯，进步复习的效率，让学生养成反思的习惯;养成学生擅长结合图形直观思维的习惯;养成学生表述标准，按照解答题的必要步骤和书写格式答题的习惯等。

4、高度重视根底知识、根本技能和根本方法的复习。

要重视根底知识、根本技能和根本方法的落实，守住底线，这是复习的根本要求。

为此老师要理解学生，准确定位。

精选、精编例题、习题，强调根底性、典型性，注意参考教材内容和考试说明的范围和要求，做到不偏、不漏、不怪，进展有针对性的训练。

第46讲解析几何中的四点共圆问题一、单选题1．(2020·全国全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点，点P 为双曲线右支上一点，直线PF 1交y 轴于点Q ，且点O ，Q ，P ，F 2四点共圆(其中O 为坐标原点)，若射线F 2Q是∠PF 2F 1的角平分线，则双曲线的离心率为()A ．2+1B ．3+1C ．2D ．52【答案】B 【分析】由O ，Q ，P ，F 2四点共圆得到∠QPF 2=∠QOF 2=π2，结合射线F 2Q 是∠PF 2F 1的角平分线以及双曲线的性质求得∠PF 1F 2=∠QF 2F 1=∠PF 2Q =π6，由此求得PF 1 ,PF 2 ，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率.【详解】因为点O ，Q ，P ，F 2四点共圆，所以∠QPF 2=∠QOF 2=π2．因为射线F 2Q 是∠PF 2F 1的角平分线，所以∠PF 2Q =∠QF 2F 1，由双曲线的对称性知∠PF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 1F 2=∠QF 2F 1=∠PF 2Q =π6，F 1F 2 =2c ，因此PF 2 =c ，PF 1 =3c ，从而2a =PF 1 -PF 2 =3c -c ，因此离心率e =ca=23-1=3+1.故选：B2．(2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上下顶点分别为A ,B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若O ,F ,P ,A 四点共圆，则该椭圆的离心率为()A ．2-12B ．3-12C ．5-12D ．5-22【答案】C 【分析】由O ,F ,P ,A 四点共圆，可得AC ⊥BF ，即k AC ⋅k BF =-1，列等式即可求解.【详解】如图，A 0,b ，B 0,-b ，C a ,0 ，F c ,0 ，因为O ,F ,P ,A 四点共圆，∠AOC =π2,所以∠APF =π2，所以AC ⊥BF ，即k AC ⋅k BF =-1，b -00-a ⋅0--b c -0=-1，整理可得b 2=ac ，所以a 2-c 2=ac ，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，因为0<e <1，所以e =5-12.故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.二、多选题3．(2021·山东菏泽·二模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y24=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有()A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可得|PF 1|=4，|PF 2|=2，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据Rt △F 1PF 2∽Rt △QOF 2可判断C 、D .【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：|PF 1|=4，|PF 2|=2对于A ：易知I 在y 轴上，由对称性可得∠GF 1I =∠EF 1I =∠IF 2Q ，则∠F 1IF 2=90°，可知F 1，F 2，P ，I 四点共于以F 1F 2为直径的圆上；A 正确对于B ：r =|PF 1|+|PQ |-|F 1Q |2=|PF 1|+|PQ |-|F 2Q |2=|PF 1|-|PF 2|2=a =1，正确对于C ：Rt △F 1PF 2∽Rt △QOF 2⇒|F 1P ||QO |=|PF 2||OF 2|⇒|QO |=25=2|OI |，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD4．(2021·江苏海安·模拟预测)已知双曲线x 24-y 25=1，P x 0,y 0 为双曲线上一点，过P 点的切线为l ，双曲线的左右焦点F 1，F 2到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则()A ．d 1d 2=5B ．直线l 与双曲线渐近线的交点为M ，N ，则M ，N ，F 1，F 2四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为y 24-x 25=1D ．过F 2的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB 【分析】对于A 中，求得切线l 的方程5x 0x -4y 0y =20，结合点到直线的距离公式，可判定A 正确对于B 中，联立方程组，分别求得M ,N 坐标，结合斜率公式，可判定B 正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C 错误；结合实轴长和通经，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线x 24-y 25=1的焦点坐标为F 1-3,0 ，F 23,0 ，对于A 中，由双曲线的性质，可得切线l 的方程为x 0x4-y 0y 5=1，即5x 0x -4y 0y =20，则d 1d 2=-15x 0-205x 02+4y 02⋅15x 0-2025x 20+16y 20=259x 20-16 25x 20+16y 20=259x 20-16 25x 20+5x 20-20 ⋅4=5，所以A 正确对于B 中，联立方程组5x 0x -4y 0y =20y =52x，可得M 455x 0-2y 0,105x 0-2y 0，又由5x 0x -4y 0y =20y =-52x，可得N 455x 0+2y 0,-105x 0+2y 0，k MF 1=105x 0-2y 0455x 0-2y 0+3=1045+35x 0-6y 0，k MF 2=105x 0-2y 0455x 0-2y 0-3=1045-35x 0+6y 0，tan ∠F 1MF 2=1045-35x 0+6y 0-1045+35x 0-6y 01+10045+35x 0-6y 0 45-35x 0+6y 0=605x 0-2y 0 180-35x 0-6y 0 2，k NF 1=-105x 0+2y 0455x 0+2y 0+3=-1045+35x 0+6y 0，k NF 2=-105x 0+2y 0455x 0+2y 0-3=-1045-35x 0-6y 0则tan ∠F 1NF 2=-1045+35x 0+6y 0+1045-35x 0-6y 01+10045 2-35x 0+6y 02=605x 0+2y 0 180-35x 0+6y 0 2tan ∠F 1MF 2+tan ∠F 1NF 2=605x 0-2y 0 180-35x 0+6y 0 2 +605x 0+2y 0 180-35x 0-6y 0 180-35x 0-6y 0 2 180-35x 0+6y 0 2=605x 0-2y 0 180-95x 0+2y 0 2 +5x 0+2y 0 180-95x 0-2y 0 2 =5405x 0-2y 0 20-5x 0+2y 0 2 +5x 0+2y 0 20-5x 0-2y 0 2=540205x 0-40y 0-5x 20-4y 20 5x 0+2y 0 +205x 0+40y 0-5x 20-4y 20 5x 0-2y 0 =540405x 0-205x 0+2y 0-205x 0-2y 0 =0，∴tan ∠F 1MF 2+tan ∠F 2NF 2=0，∠F 1MF 2+∠F 2NF 2=180°，∴M ，N ，F 1，F 2四点共圆，B 正确.对于C中，双曲线x24-y25=1的共轭双曲线为y25-x24=1，所以C错误对于D中，由双曲线x24-y25=1，可得a=2,b=5，则c=a2+b2=3，可得2a=4<5，且通经长2b2a=5，所以过F2的弦长为5的直线有3条，所以D错误.故选：AB.【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点M455x0-2y0,105x0-2y0，N455x0+2y0,-105x0+2y0，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.三、双空题5．(2021·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x上不同的三点A(1,2)，B x1,y1，C x2,y2，满足AB⊥BC，y1y2≠0，且O，A，B，C四点共圆，则直线BC的方程是___________；四边形OABC的面积为___________．【答案】y=-2x+2490【分析】结合AB⊥BC，O,A,B,C四点共圆，由k OA⋅k OC=-1求得y2，进而求得C的坐标，由k AB⋅k BC=-1求得y1，进而求得B点坐标.由B,C的坐标求得直线BC的方程.求得OA,OC,AB,BC，由此求得四边形OABC的面积.【详解】依题意有∠AOC=∠ABC=π2，则k OA⋅k OC=2y2x2=2y2y224=8y2=-1，得y2=-8,x2=y224=16，又有k AB=y1-2x1-1=4y1+2，k BC=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4y1-8，所以4y1+2⋅4y1-8=-1，解得y1=6或y1=0(舍)，x1=y214=9.故可知B(9,6)，C(16,-8)，则有直线BC的方程为y-6=-8-616-9x-9，即y=-2x+24；易知OA=5，OC=85，AB=45，BC=75，所以S四边形OABC=12(OA×OC+AB×BC)=90．故答案为：y=-2x+24；90四、填空题6．(2021·广西·模拟预测(理))过F a 2+b 2,0 作与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A 、B 两点，若OAFB 四点共圆(为坐标原点)，则双曲线的离心率为______．【答案】2【分析】联立OA 直线、与FA 直线，求出A 点的坐标，联立OB 直线、与FB 直线，求出B 点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，再结合OA ⋅OB 的数量积为0，即可求解．【详解】解：由题意可得F c ,0 ，∵直线OA 、OB 都平行于渐近线，∴可设直线OA 的方程为y =b a x ，直线OB 的方程为y =-bax ，∴过点F 平行与OA 的直线FB 的方程为y =ba x -c ，过点F 平行与OB 的直线FA 的方程为y =-bax -c ，分别联立方程y =b a x y =-b a x -c ，y =-b a xy =b ax -c，解得A c 2,bc 2a ，B c 2,-bc2a ，即线段AB 与OF 互相垂直平分，则四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，∴OA ⊥AF ，则OA ⋅AF =c 24-b 2⋅c 24a 2=0即a =b ，∵c 2=a 2+b 2=2a 2，c =2a ，∴双曲线的离心率e =c a =2aa=2，故答案为：2．7．(2021·浙江·高二单元测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x +2y =4与x 轴交于A 点，直线m :kx +y -1=0与y 轴及直线l 分别交于B 点，C 点，且A ，B ，C ，O 四点共圆，则此圆的标准方程是__________.【答案】(x -2)2+y -122=174【分析】由题意得AB 为直径，且直线l 与m 垂直故k =-2，得B (0,1)所以圆心与半径可求，则圆方程易得.【详解】由题意A ，B ，C ，O 四点共圆且OA ⊥OB ，所以CB ⊥CA ，则直线l 与m 垂直故k =-2，又B (0,1)，A 4,0此圆的圆心为2,12 ，半径为r =12AB =172，所以圆的标准方程为(x -2)2+y -12 2=174.故答案为：(x -2)2+y -12 2=174五、解答题8．(2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b > 的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点E 1,32在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 的方程为x =4，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为S 1，△QSO 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)①证明见解析，②916,1.【分析】(1)设椭圆的左焦点为F，利用2a =EF+EF 求解即可；(2)①设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，直线AB 的斜率为k ，由点差法可得直线MO 的斜率为-34k，然后根据斜率可证明PR ⊥OQ 、QS ⊥OP ，即可得证；②由①可知：△QRF ~△QSO ，所以S 1S 2=RF 2SO2，然后可算出RF 2=k 21+k 2，SO 2=16k 29+16k 2，然后S 1S 2=RF 2SO2=9+16k 2161+k 2 =11616-71+k 2 ，即可求得答案.(1)设椭圆的左焦点为F，由题意可知F-1,0 ，F 1,0 根据定义，可求得2a =EF+EF =4，∴a =2，∴b =3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1(2)①设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，直线AB 的斜率为k ，则有x 214+y 213=1x 224+y 223=1，作差得：x 21-x 224+y 21-y 223=0两边同除x 1-x 2，可得：x 04+y 03⋅k =0，即k ⋅y 0x 0=-34，所以直线MO 的斜率为-34k ，MO 的方程为y =-34kx 所以P 4,-3k ，所以直线PF 的斜率为-1k ，因为k ⋅-1k=-1，所以PR ⊥OQ由OQ ⎳AB 可求得Q 4,4k ，所以直线QF 的斜率为4k3，因为-34k ⋅4k3=-1，所以QS ⊥OP 综上，O ，S ，F ，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径.②由①可知：△QRF ~△QSO ，所以S 1S 2=RF 2SO 2，由于直线PF 的方程为x +ky -1=0，直线OP 的方程为3x +4y =0，由垂径定理可知，RF 2=4⋅12 2-12-1 1+k 2 2=k 21+k 2，SO 2=4⋅12 2-329+16k 2 2=16k 29+16k 2，又因为k ≠0，所以S 1S 2=RF 2SO2=9+16k 2161+k 2 =11616-71+k 2 ∈916,1 ，综上，S 1S 2的取值范围为916,1 .9．(2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考)已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】(1)存在；(2)证明见解析.【分析】(1)利用点差法求解；(2)利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1，∴a 2=1，b 2=2．设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x 21-y 212=1，x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2，即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2，∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0，则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3，直线CD 的方程为x +y -3=0，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，CD 的中点为Q x 0,y 0 ，x 23-y 232=1，x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2，则-1⋅y 0x 0=2，则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0，解得Q -3,6 ，x -y +1=02x 2-y 2=2 ，解得A -1,0 ，B 3,4 ，x +y -3=02x 2-y 2=2，整理得x 2+6x -11=0，则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11 则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．10．(2021·福建福州·模拟预测)已知斜率为k 的直线交椭圆3x 2+y 2=λ(λ>0)于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点N 1,y 0 是线段AB 的中点．(1)若y 0=3，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；(2)不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求y 0的取值范围．【答案】(1)y =-x +4，λ>12；(2)-3,3 ；【分析】(1)当y 0=3时，写出直线AB 方程，联立韦达定理，根据点N 1,y 0 的横坐标求出直线AB 的斜率，进而写出直线方程，根据判别式求出λ的取值范围；(2)若A ，B ，C ，D 四点共圆，则有CD22=d 2+AB22成立，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出来，因为不管λ怎么变化，式子恒成立，所以可以求得k 2=1，进而求得y 0的取值范围.【详解】(1)因为直线AB 过点N 1,3 ，所以直线AB 方程为：y =k (x -1)+3，联立椭圆方程3x 2+y 2=λ(λ>0)得到：(3+k 2)x 2+2k (3-k )x +(3-k )2-λ=0，设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ,由韦达定理可知：x 1+x 2=2k (k -3)3+k 2=2，解得k =-1，所以直线AB 方程为：y =-1×(x -1)+3即y =-x +4，将k =-1代入方程(3+k 2)x 2+2k (3-k )x +(3-k )2-λ=0，得到4x 2-8x +16-λ=0，则Δ=-8 2-4×4×(16-λ)>0，解得λ>12，所以λ的取值范围为λ>12.(2)设直线AB 方程y =k (x -1)+y 0，联立椭圆方程3x 2+y 2=λ(λ>0)得到：(3+k 2)x 2+2k (y 0-k )x +(y 0-k )2-λ=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=2k (k -y 0)3+k 2=2，即-ky 0=3，x 1x 2=(y 0-k )2-λ3+k 2，则AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2×2k (k -y 0)3+k 2 2-4(y 0-k )2-λ 3+k 2=1+k 23+k2×2k (k -y 0)2-4(3+k 2)(y 0-k )2-λ=21+k 23+k 2×-3(y 0-k )2+3+k 2 λ=21+k 23+k 2×-3-3k -k 2+3+k 2 λ=21+k 23+k 2×λ-3-9k 2，所以CD =21+-1k 23+-1k2×-3y 0+1k 2+3+-1k 2 λ=21+k 23k 2+1×-12+λ(1+3k 2)，CD 中点P 坐标等于x 3=-1k -1k -y 0 3+-1k2=1+ky 03k 2+1=-23k 2+1，点P 到AB 距离等于d =1+-1k 21--23k 2+1=1+k 2k 2×3(1+k 2)1+3k 2，因为A ，B ，C ，D 四点共圆等价于CD 2 2=d 2+AB 22,即1+k 23k 2+1×-12+λ(1+3k 2)2=1+k 2k 2×3(1+k 2)1+3k 22+1+k 23+k2×λ-3-9k 22整理得1+k 23k 2+1 2×-12+λ(1+3k 2) =1+k 2k 2×9(1+k 2)21+3k 22+1+k 23+k 2×λ-3-9k 2 ，即不管λ怎么变化，都有上式成立，则1+k 23k 2+1=1+k 23+k2，解得k 2=1，代入方程(3+k 2)x 2+2k (y 0-k )x +(y 0-k )2-λ=0，使得Δ=4k 2(y 0-k )2-4(3+k 2)((y 0-k )2-λ)>0，解得λ>12，满足题意所以y 0的取值范围为：-3,3 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．(2021·重庆·高二期末)设动点P 与定点F 3,0 的距离和P 到定直线l :x =433的距离的比是32.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与曲线C 交于C ,D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意列出关系式并整理化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，分别求解MA ⋅MB ,MC ⋅MD ，最后证明两者相等即可.【详解】解：(1)设P (x ,y )，因为动点P 与定点F 3,0 的距离和P 到定直线l :x =433的距离的比是32，所以(x -3)2+y 2x -433=32，整理化简得x 24+y 2=1.所以动点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =12x +m m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由方程组x 24+y 2=1,y =12x +m ,得x 2+2mx +2m 2-2=0，①方程①的判别式为Δ=42-m 2，由Δ>0，即2-m 2>0，解得-2<m <2.由①得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=2m 2-2.所以M 点坐标为-m ,m 2 ，直线OM 方程为y =-12x ，由方程组x 24+y 2=1,y =-12x ,得C -2,22 ，D 2,-22.所以MC ⋅MD =52-m +2 ⋅522+m =542-m 2.又MA ⋅MB =14AB 2=14x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=516x 1+x 2 2-4x 1x 2 =5164m 2-42m 2-2 =542-m 2 .所以MA ⋅MB =MC ⋅MD .所以A ，B ，C ，D 四点共圆.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．(2021·北京·中央民族大学附属中学三模)已知椭圆的两焦点分别为F 1-1,0 、F 21,0 ，椭圆上的动点M 满足MF 1 +MF 2 =2F 1F 2 ，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，O 为坐标原点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线l :x =6与AM 交于点P ，l 与x 轴交于点H ，OP 与BM 的交点为S ，求证：B 、S 、P 、H 四点共圆.【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为12；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义求出a 的值，结合已知条件可得c 的值，进而可求得b 的值，可得出椭圆的方程及其离心率；(2)计算得出k AM ⋅k BM =-34，可设直线AM 的方程为y =k x +2 k ≠0 ，与直线l 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率关系得出OP ⊥BM ，由此可证得结论成立.【详解】(1)由椭圆的定义可得2a =MF 1 +MF 2 =2F 1F 2 =4c =4，∴a =2，则b =a 2-c 2=3，所以，椭圆的方程为x 24+y 23=1，该椭圆的离心率为e =c a =12；(2)设点M x 0,y 0 ，则x 204+y 203=1，则k AM =y 0x 0+2，k BM =y 0x 0-2，所以，k AM ⋅k BM =y 20x 20-4=y 204-43y 20-4=-34，设直线AM 的方程为y =k x +2 k ≠0 ，联立y =k x +2 x =6，可得x =6y =8k ，即点P 6,8k ，k OP =8k 6=4k3，而k BM =-34k AM =-34k，所以，k OP k BM =-1，则∠BSP =90°，易知∠BHP =90°，所以，B 、S 、P 、H 四点共圆.【点睛】关键点点睛：本题考查四点共圆的证明，一般转化为证明四边形的对角互补，本题中注意到13．(2021·上海黄浦·三模)已知直线l :y =x +m 交抛物线C :y 2=4x 于A ､B 两点.(1)设直线l 与x 轴的交点为T ，若AT =2TB，求实数m 的值；(2)若点M ､N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ､B ､M ､N 四点共圆：(3)记F 为抛物线C 的焦点，过抛物线C 上的点P ､Q 作准线的垂线，垂足分别为点U ､V ，若△UVF 的面积是△PQF 的面积的两倍，求线段PQ 中点的轨迹方程.【答案】(1)m =-8；(2)证明见解析；(3)y 2=2x -2 或y 2=2x x ≠0 .【分析】(1)联立直线l :y =x +m 与抛物线C :y 2=4x ，韦达定理得到y 1+y 2=4,y 1y 2=4m ，再利用AT =2TB 化简得到4+y 2=0，从而求出y 1=8，最后带回韦达定理求出实数m 的值；(2)通过证明MA ⋅MB=0得到MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆；(3)根据△UVF 的面积是△PQF 的面积的两倍求得直线PQ 与x 轴的交点为D 0,0 或D 2,0 ，再根据直接法求出线段PQ 中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点.【详解】解：(1)由y =x +m ,y 2=4x ,得y 2-4y +4m =0.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4,y 1y 2=4m .因为直线l 与C 相交，所以Δ=16-16m >0，得m <1.由AT =2TB ，得y 1+2y 2=0，所以4+y 2=0，解得y 2=-4，从而y 1=8，因为y 1y 2=4m ，所以4m =-32，故m =-8.(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为M ,N 两点关于直线y =x +m 对称，则y 4-y 3x 4-x 3=y 4-y 3y 424-y 324=4y 4+y 3=-1，故y 3+y 4=-4.又y 4+y 32=x 4+x 32+m ,于是-2=x 4+x 32+m ，即x 4=-4-2m -x 3.由点N 在抛物线上，有-4-y 3 2=4-4-2m -x 3 .因为y 23=4x 3，所以y 23+4y 3+16+4m =0，于是MA ⋅MB=x 1-x 3 x 2-x 3 +y 1-y 3 y 2-y 3 =y 214-y 234 y 224-y 234+y 1-y 3 y 2-y 3=y 1-y 3 y 2-y 3 16y 1+y 3 y 2+y 3 +16 =y 1-y 3 y 2-y 3 16y 1y 2+y 3y 1+y 2 +y 23+16 =y 1-y 3 y 2-y 3 164m +4y 3+y 23+16 =0因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆.(3)易知F 1,0 .设P p 2,2p ,Q q 2,2q ，则U -1,2p ,V -1,2q .设直线PQ 与x 轴的交点为D x 1,0 ，则S △PQF =122p -2q FD = p -q 1-x 1 ,S △UVF =12UV ∥1--1 =2p -q 由题设S △UVF =2S △PQF ，可得1-x 1 =1，所以x 1=0或x 1=2.设线段PQ 的中点为R x ,y ，有当x 1=2时，当PQ 与x 轴不垂直时，由k PQ =k DR 可得2q -p q 2-p2=yx -2x ≠2 ，即2q +p =y x -2x ≠2 .而y =2p +2q 2=p +q ，所以y 2=2x -2 x ≠2 .同理，当x 1=0时，y 2=2x x ≠0 .当PQ 与x 轴垂直时，R 与D 2,0 重合.符合y 2=2x -2 .综上，线段PQ 的中点的轨迹方程y 2=2x -2 或y 2=2x x ≠0 .【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.14．(2021·四川泸州·三模(理))从抛物线y 2=4x 上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．(1)求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；(2)过点M 2,0 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．【答案】(1)曲线P 的方程为y 2=x ，曲线P 是焦点为14,0 的抛物线；(2)存在；圆N 的方程为x -722+y +12 2=132或x -72 2+y -12 2=132．【分析】(1)设抛物线y 2=x 上的任意点为S x 0,y 0 ，垂线段的中点为x ,y ，根据中点坐标公式得出x =x 0y =y 02，代入等式y 20=4x 0化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；(2)设直线l 的方程为x =ty +2，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论.【详解】(1)设抛物线y 2=x 上的任意点为S x 0,y 0 ，垂线段的中点为x ,y ，故x =x 0y =y 02，则x 0=x y 0=2y ，代入y 20=4x 0得2y 2=4x ，得曲线P 的方程为y 2=x ，所以曲线P 是焦点为14,0 的抛物线；(2)若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为x =ty +2，根据题意知t ≠0，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立y 2=x x =ty +2 ，得y 2-ty -2=0，Δ=t 2+8>0，则y 1+y 2=t ，y 1⋅y 2=-2，则AB =1+t 2⋅y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1 t 2+8 ，且线段AB 中点的纵坐标为y 1+y 22=t 2，即x 1+x 22=t ⋅y 1+y 22+2=t 22+2，所以线段AB 中点为M t 22+2,t2，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为x =-1ty +m ，则t 22+2=-1t ×t 2 +m ，故m =t 2+52，联立y 2=xx =-1t y +t 2+52，得2ty 2+2y -t t 2+5 =0，设C x 3,y 3 、D x 4,y 4 ，则y 3+y 4=-1t ，y 3⋅y 4=-12t 2+5 ，故CD =1+1t 2y 3-y 4 =1+1t 2y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+1t 2 1t 2+2t 2+10 ，线段CD 中点为N 12t2+t 2+52,-12t ，假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心，因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则AN =12CD ，在Rt △AMN 中，AN 2=AM 2+MN 2，所以12CD 2=AM 2+MN 2，则141+1t 2 1t 2+2t 2+10 =14t 2+1 t 2+8 +12t2+12 2+t 2+12t 2，故t 4+8t 2-1-8t 2=0，即t 6+8t 4-t 2-8t 2=t 2-1 t 4+9t 2+8 t 2=0，解得t 2=1，即t =±1，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为x -72 2+y +12 2=132或x -72 2+y -12 2=132．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．(2021·四川泸州·三模(文))已知抛物线P ：y 2=2px (p >0)上的点34,a到其焦点的距离为1．(Ⅰ)求p 和a 的值；(Ⅱ)求直线l ：y =x +m 交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】(Ⅰ)p =12，a =±32；(Ⅱ)证明见解析.【分析】(Ⅰ)根据抛物线的定义可得点34,a到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；(Ⅱ)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为y =-x +1-m ，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得；【详解】解：(Ⅰ)y 2=2px 的准线为x =-p2，因为点34,a到其焦点的距离等于该点到准线距离，所以p 2+34=1，故p =12，即y 2=x ，又34,a 在y 2=x 上，所以a =±32；(Ⅱ)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y 2=x x =x +m ，得y 2-y +m =0，则y 1+y 2=1，y 1⋅y 2=m ，且1-4m >0，即m <14，则AB =1+12y 1-y 2 =2-8m ，且线段AB 中点的纵坐标为y 1+y 22=12，则x =12-m ，所以线段AB 中点为M 12-m ,12，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为y =-x +1-m ，联立y 2=x y =-x +1-m ，得y 2+y +m -1=0，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，则y 3+y 4=-1，y 3⋅y 4=m -1故CD =1+112y 3-y 4 =10-8m ，线段CD 中点为N 32-m ,-12 ，因为12CD 2=1410-8m =5-4m2，AN 2=AM 2+MN 2=122-8m 2+2=5-4m 2，所以AN =12CD ，所以点A 在以CD 为直径的圆上，同理点B 在以CD 为直径的圆上，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |=x 1+x 2+p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．(2021·江苏·高二单元测试)已知直线l :y =x +m 交抛物线C :y 2=4x 于A ,B 两点．(1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若AT =2TB ，求实数m 的值；(2)若点M ,N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ,B ,M ,N 四点共圆．【答案】(1)m =-8；(2)证明见解析．【分析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得y 1+y 2,y 1y 2，再由向量的数乘可得y 1+2y 2=0，结合韦达定理可得y 1,y 2,m 值；(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，由对称性得y 4=-4-y 3，x 4=-4-2m -x 3．再由M ,N 在抛物线上，代入变形得y 3与m 的关系，然后计算MA ⋅MB，得MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，得证四点共圆．【详解】解：由y =x +m y 2=4x得y 2-4y +4m =0．设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4,y 1y 2=4m ．因为直线l 与C 相交，所以Δ=16-16m >0,得m <1．(1)由AT =2TB ，得y 1+2y 2=0，所以4+y 2=0，解得y 2=-4,从而y 1=8，因为y 1y 2=4m ,所以4m =-32,解得m =-8．(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为M ,N 两点关于直线y =x +m 对称，则y 4-y 3x 4-x 3=y 4-y 3y 424-y 324=4y 4+y 3=1解得y 4=-4-y 3．又y 4+y 32=x 4+x 32+m于是-4-y 3+y 32=x 4+x 32+m解得x 4=-4-2m -x 3．又点N 在抛物线上，于是(-4-y 3)2=4(-4-2m -x 3)．因为y 32=4x 3,所以y 32+4y 3+16+4m =0，于是MA ⋅MB=(x 1-x 3)(x 2-x 3)+(y 1-y 3)(y 2-y 3)=y 124-y 324 y 224-y 324(y 1-y 3)(y 2-y 3)=(y 1-y 3)y 2-y 3 16y 1-y 3 y 2-y 3 +16=(y 1-y 3)y 2-y 3 16y 1y 2+y 3y 1+y 2 +y 32+16=(y 1-y 3)y 2-y 3 164m +4y 3+y 32+16 =0因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ,于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得y 1+y 2,y 1y 2，再利用向量的线性运算求得y 1,y 2关系，从而可求得y 1,y 2,m 值．17．(2021·全国·高三专题练习(理))已知抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．(1)若直线m 的斜率为3，求|AF ||BF |的值；(2)设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程．【答案】(1)|AF ||BF |=3或|AF ||BF |=13；(2)y =±2(x -1)．【分析】(1)由抛物线的定义建立方程即可.(2)设直线m 的方程为x =ty +1，用t 表示M ,N 坐标，再结合条件得到OM ⋅ON=0，建立关于t 的方程即可获解.【详解】(1)设|AF ||BF |=λ，当λ>1时，设|BF |=k >0，则|AF |=λk ，∵直线m 的斜率为3，∴直线m 的倾斜角为60°，由抛物线的定义，有AB ⋅cos60°=AF +BF ⋅cos60°=λk +k ×12=λk -k ，∴λ+12=λ-1，解得：λ=3，若0<λ<1时，同理可得：λ=13，∴|AF ||BF |=3或|AF ||BF |=13．(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0．设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4．由y 21=4x 1,y 22=4x 2，得x 1+x 2=y 214+y 224=y 1+y 2 2-2y 1y 24=(4t )2-2×(-4)4=4t 2+2，所以N 2t 2+1,2t ．因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为-t ，则直线n 的方程为y =-t (x -1)．由x =-1，y =-t (x -1)，解得M (-1,2t )．若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =-1×2t 2+1 +2t ⋅2t =2t 2-1=0，解得t =±22，所以直线m 的方程为y =±2(x -1)．【点睛】(1)有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；(2)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.18．(2020·浙江丽水·高三月考)如图，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF ⊥x 轴时，|MN |=4．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H (不同于A )，直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆．【答案】(1)y 2=4x ；(2)证明见解析.【分析】(1)当AF ⊥x 轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即|MN |=|AB |=2p =4可得答案；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 3,0 ，N x 4,0 ，直线AB :x =my +1与抛物线方程联立y 1+y 2、y 1⋅y 2，y 1和x 1+x 2，圆的方程并令y =0，得x 3+x 4，x 3⋅x 4，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG ⊥AB ，再证明存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB 可得答案.【详解】(1)当AF ⊥x 轴时，Ap 2,p，B p2,-p 故圆的方程为x -p 22+y 2=p 2，即|MN |=|AB |=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 3,0 ，N x 4,0 ，直线AB :x =my +1，联立y 2=4x x =my +1得：y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+1 >0，y 1+y 2=4m ，y 1⋅y 2=-4，所以y 1=4m +4m 2+12=2m +2m 2+1，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2，故圆心2m 2+1,2m ，半径r =12|AB |=12m 2+116m 2+1 1=2m 2+1 ，即圆的方程为x -2m 2-1 2+(y -2m )2=4m 2+1 2，令y =0，则x -2m 2-1 2+4m 2=4m 2+1 2，化简得：x 2-4m 2+2 x -3=0，x 3+x 4=4m 2+2，x 3⋅x 4=-3，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则∠BPH =∠BMH =900，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG ⊥AB ，下证：存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB ，设H x 5,y 5 ，B x 6,y 6 ，直线AM :x -x 1=t 1y -y 1 和直线AN :x -x 1=t 2y -y 1 ，联立y 2=4x x -x 1=t 1y -y 1，得：y 2-4t 1y +4t 1y 1-4x 1=0，所以y 1+y 5=4t 1，y 5=4t 1-y 1，同理y 1+y 6=4t 2，y 6=4t 2-y 1，∴k HG =y 6-y 5x 6-x 5=y 6-y 5y 26-y 254=4y 6+y 5=44t 1+t 2 -2y 1，又∵t 1=x 1-x 3y 1，t 2=x 1-x 4y 1，∴k HG =442x 1-x 3-x 4y 1-2y 1=-y 1x 3+x 4=-m +m 2+12m 2+1，又k AB =1m ，得k HG =-m =-m +m 2+12m 2+1，所以2m 3+m =m +m 2+1，即2m 3=m 2+1，4m 6-m 2-1=0，设f (x )=4x 3-x -1，x ∈(0,+∞)，f(x )=12x 2-1，故f x 在0,36 单调递减，36,+∞ 单调递增，又∵f (0)=-1<0，f 36<0，且f (1)=2>0，故存在唯一x ∈(0,+∞)满足f x =0，即存在唯一m ∈(0,+∞)，满足4m 6-m 2-1=0，综上结论得证．【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB ，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.19．(2020·广西师范大学附属中学高三月考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点分别为A ，B ，离心率为63，P 是C 上异于A ，B 的动点.(1)证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.(2)设|AB |=23，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，定值-13；(2)存在，定点T 113,0 .【分析】(1)由题意知A (-a ,0),B (a ,0)，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则x 20a 2+y 20b2=1，然后利用斜率公式求y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2化简可得结果；(2)由题意先求出椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，设直线AP 的方程为y =k (x +3)，则直线BP 的方程为y =-13k (x -3)，直线方程与椭圆方程联立可求出M (3,3k +3k )，N 3,13k -1k ，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心E t 2,3k +3k +13k-1k 2，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆【详解】(1)由题意知A (-a ,0),B (a ,0)，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则x 20a 2+y 20b2=1，所以直线AP 与BP 的斜率之积y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=b 21-x 20a2x 20-a2=-b2a 2=-a 2-c 2a2=63 2-1=-13，即直线AP ，BP 的斜率之积为定值-13.(2)存在.理由如下：由题意知2a =23，得a =3.因为c a =63，所以c =2，所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.设直线AP 的方程为y =k (x +3)，则直线BP 的方程为y =-13k(x -3).联立y =k (x +3),x =3,可得M (3,3k +3k )，同理可得N 3,13k-1k .假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，因为线段MN 的垂直平分线所在直线的方程为y =3k +3k +13k-1k 2，线段OT 的垂直平分线所在直线的方程为x =t 2，所以圆心E t 2,3k +3k +13k-1k 2.又|OE |=|ME |，所以t 22+3k +3k +13k -1k 22=t 2-32+3k +3k +13k -1k 2-3k -3k2，解得t =113.所以存在定点T 113,0 ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题20．(2020·甘肃·天水市第一中学二模(文))在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，PF =3.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、MN 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】(1)y 2=4x (2)y =±2x -1 【分析】(1)由抛物线的定义可得PF =2+p2，即可求出p ，从而得到抛物线方程；(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =0即可求出参数t ，从而得解；【详解】解：(1)由抛物线定义，得PF =2+p2=3，解得p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.由y 21=4x 1，y 22=4x 2，得x 1+x 2=y 214+y 224=y 1+y 2 2-2y 1y 24=4t 2-2×-4 4=4t 2+2，所以N 2t 2+1,2t .因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为-t ，则直线n 的方程为y =-t x -1 .由x =-1,y =-t x -1 , 解得M -1,2t .若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =-1×2t 2+1 +2t ⋅2t =2t 2-1=0，解得t =±22，所以直线m 的方程为y =±2x -1 .【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21．(2020·江西师大附中三模(理))已知椭圆C :x 24+y 2=1上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．(1)若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标；(2)若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】(1)-1,±32；(2)±112．【分析】(1)由已知可得B -2,0 ，由AM ⎳BO ，且AM =BO ，设M x 0,y 0 ，A x 0+2,y 0 代入椭圆方程解方程即可得解；(2)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA ⊥OB ，设直线AB 的方程为y =kx+m ，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0，化简计算求解即可.【详解】解析：(1)如图所示：因为B -2,0 ，四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ⎳BO ，且AM =BO =2．设点M x 0,y 0 ，则A x 0+2,y 0因为点M 、A 在椭圆C 上，所以x 204+y 20=1x 0+2 24+y 20=1 ，解得x 0=-1y 0=±32，所以M -1,±32 ．(2)因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由y =kx +mx 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM =OA +OB =x 1+x 2,y 1+y 2 ．因为x 1+x 2=-8km1+4k 2，所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =k ⋅-8km 1+4k 2+2m =2m1+4k 2，所以M -8km 1+4k 2,2m1+4k2 ．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得4m 2=4k 2+1．①因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0．因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=m 2-4k 21+4k 2，所以x 1x 2+y 1y 2=4m 2-41+4k 2+m 2-4k 21+4k 2=0，化得5m 2=4k 2+4．②由①②解得k 2=114，m 2=3，此时Δ>0，因此k =±112．所以所求直线AB 的斜率为±112．【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.22．(2020·江苏南京·三模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(-2,0)和1,32,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标；(3)若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)M -1,±32 ；(3)±112【分析】(1)将点-2,0 和1,32 代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM =BO =2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0+2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3)因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2=0求解即可.【详解】(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点-2,0 和1,32 ,所以a =2,1a 2+34b2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)因为B 为左顶点,所以B (-2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM =BO =2.设点M (x 0,y 0),则A (x 0+2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以x 204+y 20=1x 0+2 24+y 20=1 解得x 0=-1y 0=±32所以M -1,±32 . (3)因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y =kx +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由y =kx +m x 24+y 2=1消去y ,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0,则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2.因为平行四边形AMBO ,所以OM =OA +OB=(x 1+x 2,y 1+y 2).因为x 1+x 2=-8km 1+4k 2,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =k ·-8km 1+4k 2+2m =2m1+4k2,所以M -8km 1+4k 2,2m 1+4k2 .。

中考几何专题word讲义——辅助圆问题
类型一：定点定长作圆
类型二：点圆最值
•①直径是例中最长的弦
•②点圆最值：过该点与圆心作一条直线，直线与圆的交点即为所求的点。

类型三：线圆最值
类型四：定弦定角
类型五：定角定高
类型六：最大张角
解决问题的理论依据：同孤所对圆周角相等，圆外角小于圆周角。

类型七：四点共圆
类型八：阿氏圆
解题思路：
一找：找带有系数k的线段PA
二构：在线段OA上取一点C,构造△PCO∽△APO
•①在线段OA上截取OC,使OC=k·r
•②连接PC、OP,证明△PCO∽△APO
三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将k·PA转化为PC:
四求解：使得PB十k·PA=PB十PC,利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长。

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