椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程课件

y M
F1 O F2 x
由椭圆的定义得 因为 移项，再平方
两边再平方，得 整理得
它表示焦点在x轴上的椭圆. 它表示焦点在y轴上的椭圆.
yM
F1 o F2 x
y
F2 M
ox
F1
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点
.求它的标准方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
由椭圆的定义知
所以 又因为 ,所以
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为: 又∵焦点的坐标为
F(0，±c)
每个人都有潜在的能量，只是很容易： 被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消 磨.
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中， 随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭 圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭 圆呢？
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
因为点P（x0,y0）在圆
OD
x
①
把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得
从例2你能发
现椭圆与圆之
即
间的关系吗？
所以点M的轨迹是一个椭圆.

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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。

则: MF1 + MF2 =2a 即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2

∴ 设它的标准方程为 ∵ 2a=10， 2c=8
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
∴ a=5， c=4
b 2 a 2 c2 5 2 4 2 9
∴ 所求的椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是（0,－2）,（0,2）,
并且椭圆经过点
3 2
,5 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
〔2〕椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
〔3〕由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
〔4〕椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，那么焦 点在
4.根据所学知识完成下表
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
1，则a＝
5 ，b＝
3；
2. x2 y2 1，则a＝ 6 ，b＝ 4 ；
42 62
3. x2 y2 1，则a＝ 3 ，b＝ 2 ；
94
4. x2 y2 1，则a＝ 7 ，b＝ 3 ．
37
2.判定以下椭圆的焦点在什么轴上，写出 焦点坐标
x2 y2 1
25 16
x2 y2 1 144 169
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？ 怎样推导出方程的？
在平面内，到定点的距离等于定长
的点的轨迹。
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
y
P(x, y)
•
r
OPr x2 y2 r