【提分专家】2012届高三数学2月预测卷一 理 新课标
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新课标提分专家2012届高考2月预测卷一数学理本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 1、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为A 、周期函数，最小正周期为3πB 、周期函数，最小正周期为32πC 、周期函数，最小正周期为6πD 、非周期函数2.动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ22n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O为准线l 对应的焦点），则λ的取值为A 、λ∈RB 、λ=1C 、λ＞1D 、0＜λ＜13.已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A 、]0,(-∞B 、]1,0[C 、)1,(-∞D 、),0[+∞4、定义集合运算：A ⊙B=｛xy Z Z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0，1｝，B={sin ,cos }αα，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A 、1B 、0C 、1-D 、ααcos sin +5、如果复数i bi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b 等于 A 、2 B 、32 C 、32-D 、26、若数列｛an ｝满足a1=5,an+1=n n a a 212++2na (n ∈N+),则其｛an ｝的前10项和为A 、50B 、100C 、150D 、2007.四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 A 、30种 B 、33种 C 、36种 D 、39种8、如图，直三棱柱ABB1-DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC 上有一动点P ，则ΔAPC1周长的最小值为A 、5+21B 、5-21C 、4+21D 、4-219、已知函数f(x)=1+-x ，设n a =nn x x f 2)(-，若1-≤x1＜0＜x2＜x3，则A 、a2＜a3＜a4B 、a1＜a2＜a3C 、a1＜a3＜a2D 、a3＜a2＜a110、函数y=1-x x的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A 、42B 、22C 、4D 、8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.[来源:学§科§网] 11、已知（x x31x -）n 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于 ，系数最大的项是第 项。
12、若不等式1-loga)10(xa -＜0有解，则实数a 的范围是 . 13、∞→n lim｛n[(1+n 1)21-]｝= .14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .15、若Rt ΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高为h ，则222111b a h+=，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，记M=21PO ,N=222111PC PB PA++,那么M 、N 的大小关系是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分12分）已知函数f(x)= x xcos 3cos +2sin2x（1）求函数f(x)的最大值及此时x 的值； （2）求函数f(x)的单调递减区间。
17、（本题满分12分）四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a ＜1）这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。
（1）求概率p(ξ)[来源:学|科|网Z|X|X|K]（2）求在概率p(ξ)，p （ξ=2）为最大时，a 的取值范围。
（3）求ξ的数学期望。
18、（本题满分12分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图②） （1）求证AP ∥平面EFG ；（2）求二面角G-EF-D 的大小；（3）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明。
19、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P （x,y ），M （92-x ，0），若实数λ使向量A 1，λOM ，A 2满足λ2²（OM ）2=A 1²A 2。
（1）求点P 的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；[来源:学§科§网Z §X §X §K]（2）当λ=33时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x=-9上找一点C ，使ΔA1BC 为正三角形（请说明理由）。
20、（本题满分13分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a ≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+421）（1+431）…（1+41n ）＜e （n ∈N*，n ≥2,其中无理数e=2.71828…）21、（本题满分14分）已知函数()x f 与函数()()01>-=a x a y 的图像关于直线x y =对称．（1）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域； （2）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n >．数列{}n b 中，21=b ，n n b b b S ++=21．点(),3,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；（3）在（2）的条件下，过点n P作倾斜角为4π的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为()131+n b () ,3,2,1=n ，求数列{}n a 的通项公式．[来源:]参考答案： 一、选择题1、作出f(x)的图象，当0≤x ＜6π时，f(x)=2tan3x,当6π＜x ≤3π时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为3π，故选A 。
2、D 由双曲线定义及点P （m,n ）到原点的距离为22n m +可得：e=2222n m n m ++λ=λ1＞1, ∴0＜λ＜1，故选D 。
（也可直接用解析法推导）3、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a ＜1，故选C 。
4、当χ=-1，1，y ∈B ，所得元素之和为0，放A ⊙B 所有元素之和为0 选B5、i bi 212+-5)4()22(ib b +--由题意知2-2b=4+b ∴b=-32 选C6、由an+1=n n a a 221++2na 得a 21+n -2anan+1+a 2n =0 ∴an+1= an即｛an ｝为常数列 S10=10a1=50 ∴选A7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。
点A 所在的每个面中含A 的4点组合有C 35个，点A 在三个面内，共有3C 35；点A 在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C 35+3=33个，选B 。
8、在直三棱柱ABB1=DCC1中，AC1=2112422=++将△DCC1展开与矩形ABCD 在同一平面内，AP+PC1最小，此时 AP+PC1为53422=+，∴周长最小值为5+21，故选A 。
9、画出函数f(x)=-1+x 的图象，则an=nn x x f 2)(-表示曲线上动点（xn 、f(xn)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a2＜a3＜0＜a1 故选A10、D 由于y=1-x x =11-x +1，所以，双曲线y=1-x x 与双曲线y=x 1的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=x 1的一条对称轴y=x 和它的交点为（2，2），（-2，-2），于是实半轴长为22，由对称性知虚半轴长为22，从而焦距为8。
二、填空题11、Tr+1=rnC (x x )n-r(-31x )r,由题意知：-1n C +2n C =27⇒n=9∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。
[来源:学科网]12、当a ＞1时，不等式化为10-ax ＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-ax ＜a ⇒10-a ＜ax ＜10不等式恒有解 故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10）13、∞→n lim[n(21n +n 1)]=∞→n lim (n 1+2)=214、P=1-101010310⨯⨯A =25715、如图，连CO 交AB 于D 点，∵PC ⊥面APB ，PO ⊥底ABC ∴AB ⊥面PDC ，即AB ⊥PD ，∵ΔCPD 为Rt Δ故由已知得： 21PO =21PD +21PC21PD =21PA +21PB ，故M=N三、解答题16、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx ，则x xcos 3cos =4cos2x-3=2cos2x-1∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x=22sin(2x+4π)-1 ……………………4分在2x+4π=2k π+2π时，f(x)取得最大值22-1即在x=k π+8π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值22-1 ……………………6分 （2）∵f(x)=22sin(2x+4π)-1要使f(x)递减，x 满足2k π+2π≤2x+4π≤2k π+23π即k π+8π≤x ≤k π+85π(k ∈Z)又∵cosx ≠0，即x ≠k π+2π(k ∈Z) ……………………10分于是[k π+8π，k π+2π ，（k π+2π，k π+85π 均为减区间 …………12分17、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。
∴p(ξ=0)= 02C (1-21)202C (1-a)2=41(1-a)2p(ξ=1)= 12C 21(1-21)02C (1-a)2+02C (1-21)2²12C a(1-a)= 21(1-a)p(ξ=2)= 22C (21)202C (1-a)2+12C 21(1-21)12C a(1-a)+ 02C (1-21)2²22Ca2=41(1+2a-2 a2)p(ξ=3)= 22C (21)212C a(1-a)+ 12C 21(1-21)22C a2=2a[来源:]p(ξ=4)= 22C (21)222C a2=41a2 ……………………………………5分(2) ∵0＜a ＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)则p(ξ=2)- p(ξ=1)= 41(1+2a-2 a2)- 21a-=－41422+-a a ≥0 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-2222222222012014222a a a a a22222≤≤-a ，即a ∈[22,222-] ……………………9分（3）由（1）知ξ的数学期望为E ξ=0³41（1-a ）2+1³21(1-a)+2³41(1+2a-2a2)+3³2a+4³42a =2a+1 (12)） ]分18、解：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°， …………………8分 故二面角G-EF-D 的大小为45°。
