椭圆的定义及标准方程(一等奖)

椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。

椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。

椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。

在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。

首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。

椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。

其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。

在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。

在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。

在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。

另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。

例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。

椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。

这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。

总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。

通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。

§2.2.1 椭圆及其标准方程凯里实验高级中学范国柱■一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书〃数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容。

在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。

由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。

■二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。

■三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。

椭圆定义及标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，具有许多独特的性质和特点。

在数学和几何学中，椭圆是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的定义及其标准方程，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，让我们来了解一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度之比，即e=c/a，其中c为焦距。

当e小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当e等于1时，椭圆是一个半开曲线，当e大于1时，椭圆是一个开曲线。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程的几何意义，在椭圆上任意一点P(x, y)，到两个焦点的距离之和等于常数2a。

根据勾股定理，我们可以得出x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这一标准方程。

除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的方程形式，如参数方程和极坐标方程。

参数方程可以表示为x = acosθ，y = bsinθ，其中θ为参数，a和b同样为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

极坐标方程可以表示为r = a(1ecosθ)，其中r为极径，θ为极角，e为离心率。

在实际应用中，椭圆有着广泛的应用。

例如，在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形的；在工程学中，椭圆的性质被广泛应用于光学、天线设计等领域；在艺术和建筑中，椭圆的形状被广泛运用于设计中。

因此，掌握椭圆的定义及其标准方程对于理解和应用这一概念都具有重要意义。

总之，椭圆是一个重要的几何图形，具有许多独特的性质和特点。

通过了解椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一概念。

希望本文能够帮助读者对椭圆有一个更清晰的认识，并在相关领域的学习和工作中有所帮助。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。

椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。

椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。

离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。

根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。

首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。

最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。

除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。

例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。

其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。

利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。

另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。

总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。

通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。

对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。

椭圆定义及标准方程椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍椭圆的定义及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。

椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这就是椭圆的基本定义。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

如果椭圆的长轴是x 轴，短轴是y轴，那么标准方程可以简化为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1；如果椭圆的长轴是y轴，短轴是x轴，那么标准方程可以简化为(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1。

通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的中心、长短轴长度以及椭圆的形状。

椭圆是一种非常特殊的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。

在日常生活中，椭圆的形状可以看到在椭圆形的湖泊、操场、椭圆形的建筑物等地方。

在数学上，椭圆也是椭圆积分、椭圆曲线等重要概念的基础。

在物理学中，行星的轨道、原子的轨道等也可以用椭圆来描述。

在工程领域，椭圆的形状也被广泛应用于天线设计、光学器件设计等方面。

总之，椭圆是一个非常重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。

通过学习椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和掌握这一概念，为日后的学习和工作打下坚实的基础。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。

椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。

接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。

除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。

例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。

此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。

这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。

通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。

希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。

2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。

椭圆的定义与标准方程
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点
F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点被称为焦点，常数2a
被称为椭圆的长轴。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与长轴的比值，即
e=c/a，其中c为焦距。

当e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆
变成一个圆。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。

通
过标准方程，我们可以很容易地得到椭圆的中心、长短轴的长度以及椭圆的离心率等重要信息。

在实际问题中，椭圆有着广泛的应用。

比如在天体力学中，行星围绕太阳运动
的轨道就是椭圆；在工程中，椭圆的反射性质被应用在抛物面天线的设计中；在数学建模中，椭圆可以用来描述很多现实世界中的问题，比如椭圆的轨迹可以用来描述地球绕太阳的运动轨迹等。

总之，椭圆作为一种重要的几何图形，具有着丰富的数学性质和广泛的应用价值。

通过本文的介绍，相信读者对椭圆的定义与标准方程有了更清晰的认识，也能够更好地理解椭圆在实际问题中的应用。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读。

1、《椭圆的标准方程的求法》一等奖说课稿我说课的课题是“椭圆及其方程——椭圆的标准方程的求法”，这是人教版高中数学（必修）数学第二册（上）第八章第一节“椭圆及其方程”的第二课时。

下面我从说教材、说教法、说学法、说教学过程等几个环节，向各位评委谈谈我对这节课的理解和教学设计。

㈠说教材在第七章中，学生已学过利用坐标法求简单曲线的方程和利用方程去研究曲线的性质.在本章的学习中，对椭圆、双曲线、抛物线的研究都按照定义、方程、几何性质等几项来讨论，最后再将三者有机的柔和起来，其中椭圆为学习圆锥曲线的重点。

从应用来看，圆锥曲线在生活、科学技术中有着广泛的应用。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，同时考虑到高二学生的认知规律，特制定如下教学目标、教学重点和难点。

⑴教学目标①知识型目标：1.求椭圆的标准方程.2.求符合条件的点的轨迹方程.②能力型目标：1.掌握椭圆标准方程的特征量a、b的确定.方法2.掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用定义法求其标准方程.③德育型目标：学会从具体问题中寻求关系建立数学模型.⑵教学重点、难点求椭圆的标准方程是教学重点；定义法的应用是教学难点。

㈡说教法和学法⑴教学方法为更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中以讨论、探索为核心构建课堂教学，培养学生应用数学的意识，提出有适度有启发的问题，引导学生积极探索、反思，切实改进学生的学习方法。

⑵学法指导①引导学生探索问题，帮助他们排除障碍，形成解题的通性通法。

②使学生通过交流、探索、说过程培养学生分析问题和语言表达能力。

㈢说教学过程本节课我设计了六个环节，具体如下：⑴把握基础知识，突出分类与整合的思想试题1填空1. 椭圆的定义是--------------------------------------------------------------------数学语言是--------------------------------------------------------------------2. 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------3. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------4. 椭圆的三个特征量是--------------------------，它们之间的关系是--------------------------. 通过直接提问，相互补充，完善规范知识的准确性；设计意图：再现基础知识，体会分类与整合。

椭圆定义及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的长轴的两个端点称为椭圆的顶点。

椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心。

椭圆的短轴的长度称为椭圆的短轴长度。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是横轴长的椭圆，另一种是纵轴长的椭圆。

1. 横轴长的椭圆。

设椭圆的中心为原点O(0,0)，长轴与x轴重合，短轴与y轴重合。

设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。

根据勾股定理，可以得到点P(x,y)到两个焦点的距离之和的平方等于点P到两个焦点连线的长度的平方，即(x c)^2 + y^2 + (x+ c)^2 + y^2 = (2a)^2，其中c为椭圆的焦距，满足c^2 = a^2b^2。

整理得到横轴长的椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

2. 纵轴长的椭圆。

设椭圆的中心为原点O(0,0)，长轴与y轴重合，短轴与x轴重合。

同样设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| =2a。

同样根据勾股定理，可以得到点P(x,y)到两个焦点的距离之和的平方等于点P到两个焦点连线的长度的平方，即x^2 + (y c)^2+ x^2 + (y + c)^2 = (2a)^2，其中c为椭圆的焦距，满足c^2 =a^2 b^2。

整理得到纵轴长的椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

椭圆是数学中重要的曲线之一，它具有许多独特的性质和应用。

通过对椭圆的定义及标准方程的了解，我们可以更好地理解椭圆的几何特征和数学性质，为进一步的学习和应用打下基础。