波动方程推导过程(课堂PPT)

2
1
( t2
t1
)
t
T
2
T是波在时间上的 周期性的标志20
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t时刻的波形方程
y(
x
)
A cos[ (
t
x u
)0]
y
u t t t
t+t时刻的波形方程
O
x
y(
x
)
A cos[ (
t
t
x u
)
0]
x x
t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离
y Acos[(t
x u
)
0
]
或
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
y
Acos[ 2 t
2x
)0
]
y
A cos[
2
(
ut
x
)
0
]
Acos[
k(
ut
x
)0]ຫໍສະໝຸດ k 2 波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
数目。
16
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 t
y
2
y
A cos[ (
t
x u
)
0
]
求t 的二阶导数
2y t 2
A
2
cos[ (t
x u
)
0
]
求x的二阶导数
2y x 2
2
A u2
cos[ (t
x u
)
0
]
1 u2

0 ]
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，
已知A的振动方程为
yA 3cos(4，写t)出分别以
A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
解：已知u=20m/s，ω=4π，
T 2 0.5s
A点

yA 3cos(4 t)
（1）O点振动方程
yO

0.1cos(200
t

3 2

以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
) (
t

x) 400

3 2

]
（2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为
原点的波动方程；
解：(2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
yP

0.1cos[200 (t
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：

(t2
t1)

2
T
t
时间周期性
时间周期性
y
t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
位移差与位相差
t1)

2
T
t
Δt T 2T 3T 4T 5T … Δφ 2π 4π 6π 8π 10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3
2、波动方程物理意义_行波
例题
x ut
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经Δt ，传播到x+Δx 处；即 t 时刻x 处 振动状态与t +Δt 时刻x+Δx 处振动状态完全相同。

x u
)+j
t = t 1+Δ t y´= A cos ω ( t 1+Δ t
x u
)+j
y
..
y y´ 1
O x ut
t
x´
令 y1=y´ 得：x ´= x +uΔ t 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了
uΔt的距离。
三、波动方程的一般形式
y = A cos ω ( t
x u
)+j
质点的振动速度：
可以证明对于无吸收的各向同性的均 匀介质，在三维空间传播的一切波动过程
都满足下列方程：
ξ2
ξ2
ξ2
1 ξ2
x 2 + y 2 + z 2 = u2 t 2
ξ 质点的位移
谢谢观看！
二、波动方程的物理意义
1. x =x 1 (常数)
y = A cos ω ( t
x1 u
)+j
y
o
t
表示 x1 处质点的振动方程
2. t = t 1 (常数) y
o
x
y = A cos ω ( Fra bibliotek 1x u
)+j
表示在 t 1 时刻的波形
3. t 与 x 都发生变化
t = t1
y1 = A cos ω ( t 1
平面简谐波的波动方程为:
y = A cos ω ( t
x u
)+j
y
=
A cos
2π
(
t T
x
l
)+j
波动方程的 另外几种形式：
y = A cos 2π (n t

04 机械波的应用
机械波在声学中的应用
声波传播
机械波在声学中用于描述声波的传播规律，包括声音的传播速度 、衰减和反射等。
声音合成与处理
通过控制机械波的波形和频率，可以实现声音的合成与处理，如音 频信号的调制、滤波和混响等。
声呐技术
利用机械波在介质中的传播特性，声呐技术可用于探测水下目标、 测量水深和流速等。
和计算效率。
开展跨学科的研究合作，将机 械波波动方程与流体力学、电 磁学等领域进行交叉融合，以 拓展其应用领域和研究范围。
加强机械波波动方程在各领域 的应用研究，探索其在新能源 、新材料、生物医学等领域的
应用前景。
注重人才培养和学术交流，加 强国内外学术合作与交流，推 动机械波波动方程领域的不断 发展。
通过研究机械波波动方程，可以深入理解波动现象的内在规律和机制，为 工程技术和科学研究提供重要的理论支撑。
机械波波动方程在声学、地震学、波动成像等领域有着广泛的应用，对于 这些领域的发展起着至关重要的作用。
机械波波动方程未来的研究方向和展望
深入研究机械波波动方程的求 解方法和数值模拟技术，以提 高对复杂波动现象的模拟精度
程
波动方程是通过将牛顿第二定律 应用于波的传播过程而建立的。 它描述了波在传播过程中，各点 的位移如何随时间变化。
波的传播过程
波在传播过程中，各点的振动状 态会以波的形式传播出去。这种 传播过程可以用波动方程来描述 。
波的叠加过程
当两个或多个波相遇时，它们会 相互叠加，产生干涉、衍射等现 象。这些现象也可以通过波动方 程来描述。
THANKS
波动方程的物理量
波动方程中的物理量
在波动方程中，通常包含位移、速度、加 速度、时间等物理量。这些物理量描述了 波在空间和时间中的传播和变化。

500 Hz
0.02 s 0.4 m
精品课件
15
2. x = 2 m 处
0.05 cos ( 5×2 – 100 t ) 0.05 cos ( 100 t –10 ) 初相为–10
3. x1 = 0.2 m 处的振动相位比原点处的振动相 位落后
x2 = 0.35 m 处的振动相位比原点处的振动相 位落后
解：1.
0.05 cos ( 5 x – 100 t ) 0.05 cos 100 ( t – x )
20
cosa = cosa
正向波
精品课件
14
波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
与
y
Acos(t
x u
)
比较得 0.05 m
100
20 m ·s -1
0. 02 8
精品课件
18
（2）p点处x = 0.2m,代入上述波动方程
y0.c 0o 4 0s .[ 4t0. 2 -]
0. 02 8
0.0c4o0s.[4t]
2
方法二 设波动方程为
y
Acos(t
x u
)
A=0.04m
u=0.08m/s
2 0.4
T
？
把x=0代入上述波动方程 y Acost
31 02co4sπ[t3π] 5
精品课件
9
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
点 D 的相位落后于点 A
D
A
-
x u
4t - 4 9
20
yD31 0 2co4sπt[-5 9]
31 02co4sπ[t]

33
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第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直接规定所研究的物理量 在边界上的数值
u f
u(x, y, z, t) (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
其中 f (x0 , y0 , z0 , t) 为已知函数。
34
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F (t )集中地
作用于
x 点， 这就成了弦的折点。在点 0
x0
斜率
u
的左极限
x
ux (x0 0, t) 不同于右极限
u ux (x0 0, t) ，因而 xx 不存在,
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utt a2 u xx 0 在这一点无意义.如果,将 l 分成 x x0 ， x x0 两段分别考虑，
第24页/共118页
对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大；弦的质料越密，波速越小。
上式 utt a2uxx f 中,外力 f
消失，即
f 0
则得弦的自由横振动方程：
utt a2uxx
25
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注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。不仅弦振动，一维波动 方程，如弹性杆的横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管道 中小振动的传播，理想传输线的电报方程等均可用上述波动方程描述。 故称为一类方程，即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）可描述 一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推 导。
持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张 力沿线的切线方向。
9
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由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自 己的邻段，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传播现象 叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。跟张力相比，弦 的质量完全可以略去。

4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
(3) 弹性绳上的横波 (4) 流体中的声波
u T
T— 绳的初始张力, — 绳的线密度
0
a
波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式
y Acos( t 2 x )
a
2) 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。
y Acos( t 2 x )
0
a
波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 3) 当x、t 变化时，
波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻
二．描述波的物理量
1. 周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
▪ 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。
y Acos( t 2 x )
a
y
u→
A
t
o -A
λ
x
t＋Δt
▪ 不同时刻对应有不同的波形曲线
§2.4 波动方程
y Acos( t 2 x )
a
1. 波动方程的运动学推导
将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数

A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
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9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
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2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
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5
2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
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又 • u • uS 0



2

代入纳维方程 ( )( • u ) u f u




uS f uS

2 2
VS uS f uS
2

vs

结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向
(4)
(5)
式u j , ji (ui , jj u j ,ij ) f i ui即为位移在弹性体
内传播时所满足的方程 .称为纳维 ( Navier)方程.
纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中
的弹性波最基本方程。
指标表示的纳维方程 ( )u j , ji ui , jj f i ui
§6.1 线性弹性动力学的基本方程
1.
基本方程
➢
➢
运动微分方程 ji , j
几何方程
1
eij (ui , j u j ,i )
2
2 ui
f i 2
t
u1
e11
x1
u2
e22
x2
u
e33 3
x3
1 u1 u2
e12 (

)
2 x2 x1
v p t
上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。

转动矢量表示的横波方程



2
( )( • u ) u f u两边取旋度

2




(


u
)
( )( ( • u )) 2 ( u ) ( f )

32200u0041004ms第十五章机械波002001cos2000005yxt001cos200025yxt0440xx第十五章机械波一平面简谐波以速度沿直线传播波线上点a的简谐运动方程5m9m8m第十五章机械波5m9m第十五章机械波3写出传播方向上点c点d的简谐运动方程5m9m的相位比点a超前第十五章机械波4分别求出bccd两点间的相位差10225m9m练习十一第十五章机械波三波的能量能流密度1波动是能量的传播当机械波在媒质中传播时媒质中各质点均在其平衡位置附近振动因而具有振动动能
第五章 机械波
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
波动
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两
类 机械波的传播需
波 的
有传播振动的介质;
不 同
电磁波的传播可
之 不需介质.
处
两 类
能量传播
波 反射
的 共
折射
同 干涉
特 征
衍射
15 – 8 多普勒效应
特征：具有交替出现的密部和疏部.
15 – 8 多普勒效应
三 波长、波的周期和频率、
x
-A

波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
15 – 8 多普勒效应
§ 5—2平面简谐波
第十五章 机械波
一、波动方程的建立：
波函数： 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.