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伯努利方程

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伯努利方程三种形式公式

伯努利方程三种形式公式

伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。

这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。

等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。

等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。

这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。

第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。

这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。

这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。

第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。

这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。

这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。

选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。

无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。

化工原理伯努利方程

化工原理伯努利方程

化工原理伯努利方程伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。

它是根据能量守恒定律得到的，并且适用于连续、稳定、摩擦小的流体流动。

伯努利方程的表达式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体在其中一点的高度。

在伯努利方程中，P + 1/2ρv^2项代表了流体的动能或者压力能，ρgh项代表了流体的势能。

考虑一个水流通过管道的情况。

假设水流在管道的其中一点1的速度为v1，压力为P1，高度为h1；在另一点2的速度为v2，压力为P2，高度为h2、根据伯努利方程，我们可以得到以下等式：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2可以看出，这个方程说明了当流体流动时，速度越大，压力越小；而当速度较小时，压力较大。

这是因为伯努利方程通过流体的动能和流体的势能之间的转换关系，描述了流体在流动过程中的能量变化。

伯努利方程在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在气象学中，它用于解释风的形成和气候变化等现象。

在流体力学中，它用于计算液体的流速和压力分布等问题，如管道流动、喷嘴流动等。

伯努利方程也有一些限制和假设。

首先，它假设流体是理想流体，即没有黏性和湍流的影响。

其次，它假设流体是连续、稳定的，没有明显的扰动和压力波动。

此外，在应用伯努利方程时，需要注意选择起始点和终止点，并确保考虑到所有影响因素，如摩擦损失、管道的形状等。

总之，伯努利方程是流体力学中的一条重要定律，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。

它在实际应用中具有广泛的用途和重要性，但也需要考虑到一些假设和限制。

伯努利方程

伯努利方程

伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。

该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。

伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。

该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。

伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。

在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。

对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。

当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。

②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。

在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。

③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。

当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。

例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。

由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。

这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。

伯努利方程的应用十分广泛。

例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。

在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。

总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。

伯努利方程的公式

伯努利方程的公式

伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。

伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。

伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。

伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。

他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。

伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。

努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。

8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。

一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。

[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。

伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。

1。

伯努利方程公式

伯努利方程公式

伯努利方程公式介绍在物理学和工程学中，伯努利方程是描述流体在不同位置之间的速度、静压力和动压力之间关系的基本方程。

它是基于质量守恒和能量守恒的原理推导出来的。

伯努利方程广泛应用于流体力学、飞行器设计、液压系统等领域。

公式伯努利方程的数学表达式如下所示：P + (1/2)ρv^2 + ρgh = constant其中：•P 表示流体在某一点的静压力（单位为帕斯卡）；•ρ 表示流体的密度（单位为千克/立方米）；•v 表示流体在某一点的速度（单位为米/秒）；•g 表示重力加速度（单位为米/秒^2）；•h 表示流体在某一点的高度（单位为米）。

解释伯努利方程可以解释为流体在不同位置之间能量的转化。

方程的左边分别表示流体在某一点的静压力、动压力和重力势能的总和，而右边表示这些能量在流体运动过程中保持不变。

在没有外力作用的情况下，伯努利方程说明了流体在不同位置之间速度、压力和高度之间的相互关系。

应用伯努利方程在实际应用中具有广泛的意义。

下面是一些常见的应用场景：管道流动在管道流动中，伯努利方程可以用来计算流体在不同位置之间的压力变化情况。

通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来推算出管道中的流速、管道的截面积等重要参数。

飞行器设计在飞行器设计中，伯努利方程可以帮助工程师计算飞机的升力和阻力。

通过将飞机的速度、空气密度和升力系数代入伯努利方程，可以确定飞机的升力和阻力大小，从而优化飞行器的设计。

液压系统在液压系统中，伯努利方程可以用来推算液体在管道中的压力变化。

通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来优化液压系统的性能，例如提高液压系统的效率和减少压力损失。

总结伯努利方程是描述流体运动中速度、压力和高度之间关系的重要公式。

它通过质量守恒和能量守恒的原理，揭示了流体在不同位置之间能量的转化和平衡。

伯努利方程在物理学和工程学中具有广泛的应用，是研究流体力学和优化系统设计的基础工具。

通过深入理解和应用伯努利方程，可以对流体运动和力学系统进行准确的分析和预测。

伯努利方程

伯努利方程

• • • •
参考链接：/view/94269.htm?fr=ala0_1
还有一个相近回答：这个方程并非是描述液体的运动，而应该是描述理想气体的绝热定常流动的，比如它 可以近似地描述火箭或者喷气式发动机中的气流（你可以参考第26届全国中学生物理竞赛复赛中的热学 题）。其中的伽马（像r一样的那个希腊字母，我打不出来，用r来替代）是气体的比热容比，即气体的定 压摩尔热容与定体摩尔热容之比，对理想气体来说是个常数。这个公式中，左边v是气体流动的速度，p是 气体的压强，p下面的希腊字母代表气体的密度。右边的p0\pho0是指速度为0的地方气体的压强和密度。 这个公式的推导和流体的伯努利方程思想相同，只是要考虑到此时气体是可压缩的，结合理想气体的状态 方程即可推导出。
• •
编辑本段]p+ρgh+(1/2)*ρv^2=C 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度。 上式各项分别表示单位体 积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。 但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2 ＝常量(p0)，各项分别称为静压 、动压和总压。显然 ，流动中速度增大，压强就减小；速度减小， 压强就 增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强 大，上翼面速度高而压强小 ，因而合力向上。 据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托 管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式 中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流 动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。 图为验证伯努利方程的空气动力实验。 补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1） p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 （2） 均为伯努利方程 其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静 压强。 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。 由伯努利方程可以看出，流速高处压力低， 流速低处压力高。 图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压 力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min（ANR），油杯内油的密度 ρ=800kg/m。问油杯内右面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油？ 解： 由气体状态方程，知进口 空气密度ρ=p1/(RT1）=（0.5+0.1）/（287*300）kg/m=6.97kg/m

流体力学伯努利方程

流体力学伯努利方程

流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。

它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。

下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。

2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。

3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。

方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。

4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。

- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。

- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。

5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。

总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。

它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。

第4章 伯努利方程

第4章 伯努利方程
4.6.1 动量积分方程 根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统上 的合力，即
dK dt
d dt
V
v dV
F
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d
dt
v dV
V
fdV
V
S
p n dS
得控制体的动量积分方程
v
V t
dV
S v vndS
fdV
V
S p n dS
3. 水流对喷嘴的作用力
喷嘴
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
由连续方程得
q(v2 v1) v22 A2 (1 A2 / A1)
由伯努利方程
p1
g
v12 2g
p2
g
v
2 2
2g
,
p2
pa
得
p1
pa
1 2
v22
1
A2 A1
v2
单位重量流体的动能 流速水头
2g
z v2 p 总机械能 2g g
总水头
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
平面流场（忽略重力作用）
v2 ＋ p C
2
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流 速低的点上压强高。
思考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
)
2gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量

流體力學第四章伯努利方程

流體力學第四章伯努利方程

第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。

为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。

五、伯努利方程

五、伯努利方程

(1 n ) P ( x ) dx
dx C ).
求出通解后， 将 u y1 n 代入即得.
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
例3
令 u y1 n
du 1 1 dy 解: 令 u y , dx 2 y dx du 4 2 u x2 u 代入原方程 2 u dx x 2 du 2 x u dx x 2 解得 u
2 dx x
dy du 2u dx dx
x dx x 2 2 2 [ e x dx C ] x ( 2 C ) 2 2 x . C 即 y x4
2
例4
用适当的变量代换解下列微分方程:
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
解: 令 u
du y x dy 则 , dx dx 1 y 1 du y x ( ) 2 2 x x sin ( xy ) sin u dx
1 cos 2u 2
分离变量 sin 2 u du dx 两边积分 sin 2 u du dx
du x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C .
2 2
解: 化简得 y xy xe
y 1 ,u e来自 x2[ xe
x2
e dx C ]
x2
2 x 2 x 所求通解为 yu e ( C ). 2
2
dy n P ( x ) y Q( x ) y 令 u y1 n dx 例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
化简得 2u sin 2u 4 x C , 将 u xy 代回, 所求通解为 2 xy sin( 2 xy ) 4 x C .

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利(Bernoulli)方程
③ 最后化为一阶线性非齐次微分方程。 ④ 根据一阶线性非齐次微分方程的解法求得通解（通解公式） ⑤ 反带。
形如ndypxyqxydx01n称为伯努利方程bernoulli当n01这是线性微分方程当方程不是线性的但是可以通过变量代换可以把它化成线性的
伯努利（Bernoulli）方程
一、 定义：
形如
dy + P( x) y = Q( x) y n dx
（ n ≠ 0、） 1
称为伯努利方程（bernoulli） ，当 n=0、1，这是线性微分 方程，当 n ≠ 0、方程不是线性的，但是可以通过变量代换， 1 可以把它化成线性的。
二、 计算方法： ① 方程两边同时除以 y
n
y−n
dy + P ( x) y1− n = Q ( x) dx
1− n
② 变量代换：令 z = y
则：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz dy = (1 − n) y − n dx dx
由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程， 把 方程两边同时乘以（1-n） ：
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) dx 1− n 然后求出这个方程通解之后，以 y = z 带入方程。

伯努利原理公式

伯努利原理公式

伯努利原理公式伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。

式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。

它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

伯努利方程是丹尼尔•伯努利在 1726 年研究理想液体作稳定流动时提出的。

静压是流体真实存在的压强值，动压也称为速压或速度头，其单位也是Pa。

动压起到调节静压在总压中所占比例的作用：动压越大，静压越小；动压越小，静压越大；动压为零时，即流速为零，静压最大且等于总压值。

因此，伯努利方程式的物理含义也可以说成是流体的压强能和动能之间可以相互转化，但流动的总机械能保持不变。

伯努利方程是流体力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。

答案】一、一般条件下伯努利方程在各项的意义P +1/2ρv2 +ρgh = 常量该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2 、重力势能ρgh 、该点的压强P 之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压,ρgh 和P 相与流速无关,常称为静压.二、单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义ρg =m/u g =mg/u表示单位体积的重力,以ρg 除各项得:p/ρg+v平方/2 g+ h = 常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能. 其中p/ρg表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功,v平方/2 g 表示单位重量流体所具有的动能, h 就是流场中该点的高度.由于v平方/2 g+ p/ρg+ z = 常数,定理中每一项都具有长度的量纲. 所以p/ρg 表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.三、单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义以ρ除各项得:p/ρ+1/2 v平方 + gh = 常量该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p = 0 状态所蕴涵的能量.综上所述：通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能. 由此可以得出:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.。

伯鲁利方程

伯鲁利方程

伯鲁利方程一、伯努利方程的简介与背景伯努利方程（Bernoulli Equation）是一种描述流体在不同位置速度、压力和高度之间关系的数学方程。

它起源于18世纪瑞士科学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的研究，并在流体力学领域具有重要地位。

二、伯努利方程的公式与物理意义伯努利方程的一般形式为：P + 1/2ρv + ρgh = 常数，其中P表示压力，ρ表示流体密度，v表示流体速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。

这个方程描述了流体在流动过程中，压力、速度和高度之间的关系。

方程的物理意义如下：1.在流体中，速度越大，压力越小；速度越小，压力越大。

2.在同一水平面上，流体的高度越高，压力越大；流体的高度越低，压力越小。

3.流体在垂直管道内流动时，管道中心处的压力最小，靠近管道壁的压力较大。

三、伯努利方程在工程与应用领域的应用伯努利方程在许多工程领域和实际应用中具有广泛的应用，例如：1.在水利工程中，通过分析伯努利方程，可以优化水电站、水库等设施的设计，提高水能利用率。

2.在航空航天领域，利用伯努利方程可以分析飞行器周围的流场，优化飞行器造型，提高飞行性能。

3.在汽车工程中，应用伯努利方程可以研究汽车行驶过程中的空气阻力，从而降低油耗，提高行驶效率。

4.在环保领域，通过解析伯努利方程，可以分析污染物在环境中的传播规律，为污染治理提供科学依据。

四、伯努利方程的局限性与改进虽然伯努利方程在许多情况下具有较高的预测准确性，但它也存在一定的局限性：1.伯努利方程适用于理想流体，而在实际应用中，流体往往存在粘性，需要采用更为复杂的方程（如纳维-斯托克斯方程）来描述。

2.伯努利方程仅考虑了流体的压力、速度和高度之间的关系，未能反映出流体的湍流现象和其他非线性特征。

为了解决这些局限性，研究者们对伯努利方程进行了改进，如引入湍流模型、采用数值模拟方法等，从而使其在实际应用中具有更高的准确性。

伯努利方程

伯努利方程
其实用一个压力公式就能把它推倒完成。
首先我们来说静压能P=F/S=Mg/S 两边同时乘以一个体积v就可以得到PV=Mgv/S简化一下就可以得到PV=W这也就是体积功因为如果换算成每千克状态还可以简化为PM/ρ=W/M这就是第一项静压能的推倒W=P/ρ
接下来是势能同样的p=F/S=Mg/S和上面的推倒一样两边同时乘以一个体积就可以得到PV=Mgv/S也就是W=Mgz如果换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M和上面一样简化成W/M=Mgz这就是势能的推倒W=gz。
其实就是能量守恒定理但是没必要死记硬背有兴趣的话可以照我说的推倒一下包你想忘都忘不了。
因为伯努利方程就是静压能，动压能，势能和功的变化的总和等于能量的摩擦损失总和的一个推倒公式说的更简单点就是几种形式的功相加到一起。静压能+势能+动压能+功=常数。
即：P/ρ+gz+(1/2)*v^2+W=C之所以伯努利方程式这样表述是因为我们通常运用的是在一千克下的状态推倒的公式即每一项的单位都是焦耳/千克所以在具体运算中要注意单位换算！
当用于泵算扬程时各项同时除以g整理各式得P/ρg+z+(1/2g)*v^2+W/g=C通常我们令He=W/g这也就是泵的扬程!各项单位为米或者焦/牛
当用于风机算压头时各项同时乘以一个ρ得P+(1/2)*ρv^2+ρgz+W*ρ=C通常我们令Ht=W*ρ这也就是我们算风机时用的压头单位是帕。
第三项动能的推倒我想就更简单了W=(1/2)M*v^2和上面两项一样如果要换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M就简化成W/M=(1/2)M*V^2或者泵的能量。
四个能量（W）带进去一相加就是伯努利方程式了。简单吧？

伯努利方程

伯努利方程

p dx (p ) dydz x 2
和
p dx (p ) dydz x 2
所受的质量力：设Ｏ‘点密度为ρ，流体无论受何种质量力作用，设微元六 面体x方向上所受单位质量分力为f,则x方向所受质量力为： Fmx=fxρdxdydz 列x方向的平衡方程∑Fmx=0，则有
p dx p dx (p ) dydz ( p ) dydz f x d x d y d z 0 x 2 x 2
X W x ,Y W y
为某一函数W(x,y,z)的全微分的
,Z
W z
满足上式的坐标函数W(x,y,z)成为质量力的势函数，简称力势函数
有旋流与无旋流：若流体运动时每个流体质点都不存在绕自身轴的旋转运动，即角 转速ω=0，成为无旋流（或称为无涡流，也叫有势流）；反之成为有旋流（或称为 有涡流） ˆ M
质量力的势函数
对于不可压缩流体，密度为常数，将式A对坐标求偏导，并考虑静压强
p p ( x, y , z ) 存在高阶连续偏导，可以得到单位质量力分量之间
存在下述关系：
f x y f y x f y z f z y
f z x f x z
上式是表达式 f x dx f y dy f z dz 必要充分条件，即可以
dx
p
Ｚ
ｄ
Ｍ ｄ’
ｃ
p dx x 2
ＰＭ＝Ｐ（ｘ－ 2 ，ｙ，ｚ dx ＰＮ＝Ｐ（ｘ＋ ，ｙ，ｚ 2
） ） Ｘ
ｃ’ ｄｚ Ｏ’ p dx p ｂ x 2 ａ ｄｘ ａ’ Ｎ ｂ’ ｄｙ ｘ Ｙ ｙ
因为受压面是微小面积，ＰＭ，ＰＮ可作为所在面的平均压强，故ａｂｃｄ 和ａ‘ｂ’ｃ‘ｄ’面上的压力为：

伯努利方程解释

伯努利方程解释

伯努利方程解释伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程之一，可以用来描述在压强不变的情况下，流体在不同位置的流速和液压头之间的关系。

本文将从以下几个方面详细解释伯努利方程：一、伯努利方程的含义和意义伯努利方程是流体动力学的一个基本方程，它描述了静止流体和流动流体在相同高度上的基本行为。

它规定，当不考虑流体内部摩擦力和外部束缚力时，一段流体沿流线运动时，压力、密度和速度之间存在一个定量关系。

简单来说，伯努利方程就是经过一点的总能量（包括压力能、动能、势能等）相等。

二、伯努利方程的数学表示伯努利方程的数学表达式为：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2其中，P1 和 P2 分别为两个不同位置的压力，ρ 为流体密度，v1 和 v2 分别为两个不同位置的流速，g 为重力加速度，h1 和 h2分别为两个不同位置的液压头。

三、伯努利方程的应用伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程，具有广泛的应用。

在流体力学中，它可以用来解决一些重要的问题，如管道流动、水泵设计、飞机、汽车、船舶等飞行器的设计等。

在日常生活中，我们也可以通过伯努利方程来解释一些现象，如吹笛子时口中气流变快、汽车风阻造成的能效损失以及高速列车降速等。

四、伯努利方程的限制和局限性尽管伯努利方程有着广泛的应用，但其仍然存在许多限制和局限性。

主要限制包括：流体必须是非粘性的；流体必须是稳定的（无湍流和涡流）；流体必须是不可压缩的；流体不得受到外界的作用力等。

此外，伯努利方程并不能很好地解释所有的复杂流体现象，如湍流、旋转性、粘性等。

总之，伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程之一，它可以用来描述流体在不同位置的流速和液压头之间的关系。

通过对伯努利方程的深入理解和应用，我们可以更好地了解流体力学的基本概念和应用方法。

伯努利方程计算

伯努利方程计算

伯努利方程计算
伯努利方程是应用于流体力学和气体流动的基本方程之一，用于描述沿流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。

伯努利方程可以用以下的数学形式表示：
P + 1/2 ρv² + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
流速，g表示重力加速度，h表示流体的高度。

伯努利方程适用于理想流体在稳定流动时，沿着流动方向，流速变化不大，流线不弯曲，且没有其他外力作用的情况下。

利用伯努利方程可以计算流体在不同位置处的压力和流速。

通过等式中的常数项，可以比较不同位置处的流体状态。

需要注意的是，伯努利方程忽略了一些现实流动的因素，如黏性、湍流和摩擦等，因此只适用于某些特定情况。

在实际应用中，伯努利方程常用于气候学、飞行器设计、水力学、管道流动等领域的计算和分析。

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2
H
pB — 静 压
2
＝ PA - P B U H 动 压 ， N / m
vB
宗燕兵
2g
U
H
20
例题:一毕托管安装在某烟道内, 与毕托管连接的酒精压差计读数 为h=5mm,酒精的相对密度为 d=0.8,若烟气温度400℃时其重 度为γg=5.13N/m3,求测点处烟气 的流速。
第三章 流体动力学基础
§3.1 流体流动的描述、分类
§3.2 §3.3 §3.4 §3.5
§3.6
流体流动的连续性方程 理想流体运动的微分方程 理想流体沿流线的伯努例方程 理想流体沿流线的伯努例方程
粘性流体的运动微分方程
宗燕兵
1
X
1 p
x
1 p

dvx dt
Y Z
y
1 p
2
z
2
)
用 相 同 的 方 法 可 以 得 到 ， 单 位 质 量 流 体 在 y轴 和 z轴 方 向 上 的 粘 性 力 Ty Tz

(
vy
2
x
2
2

vy
2
y
2
2

vy
2
z
2
2
)
vz
(
2
x 宗燕兵

vz y
2

vz z
2
)
27
实际流体的流动
dvx dt

vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
稳定流动
vx t
0
X 1 p vx vx x vy vx y vz vx z
x
两边乘以dx
Xdx
宗燕兵
1 p
x
dx vx
vx x
dx vy
vx y
v
2g
U
H
2 9 .8 1
0 .8 1 0 9 .8 1
3
0 .0 0 5
5 .1 3
1 2 .3 m / s
宗燕兵
21
3.5 粘性流体的运动微分方程
（实际流体运动的微分方程;N-S方程） 基于牛顿第二 定律推导了理 想流体运动的 微分方程—— 欧拉方程
X 1 p
（2）为了确定A点的压强，沿流线1点和A点列出 伯努利方程： 2 2
z1 p1


v1
2g
zA
pA


vA
2g
v1 0 在 A点 和 2点 处 应 用 连 续 性 方 程 由 于 A A A2 , 有 v A v 2， v A A A v 2 A2
因为出口管截面上速度均匀分布，
宗燕兵 22
y

dv y dt


v1
2
2g
z2
p2


v2
2
p
2g
理想流体运动的微分 方程——欧拉方程
1 p dvx dt
实际流体的流动
X
x
1 p

X
增加一个粘性项
1 p
x
1 p
Tx
dvx dt
Y Z
y
1 p

dv y dt dvz dt
Y Z
y
1 p
Ty Tz
dv y dt dvz dt
z
z
T x、 T y 、 T z 是 作 用 在 单 位 质 量 流 体 上 的 粘 性 力 在 x、 y、 z轴 上 的 投 影 。 N/kg
下面来求三个坐标轴上粘性力的投影。
宗燕兵 23
y
牛顿内摩擦定律（又称牛顿粘性定律）： 流体流动时流体的内摩擦力（又称粘性力）
y
1 p
dy d (
vy 2
)
Zdz
z
dz d (
vz 2
2
三式相加，
)
（ v v x v y v z）
2 2 2 2
( X dx Ydy Z dz )
1

(
p x
dx
p y
dy
p z
dz) d (
v
2
)
2
稳 定 流 下 ： dp
9810
（小于大气压）
宗燕兵
17
二、伯努利方程的应用——毕托管
用途：测量流场内某点流速的仪器。
依据：沿流线的伯努利方程。 原型: 直角管两端开口，一端面向来流，另一端向上， 管内液面高出水面H。 A端形成一驻点（速度为0），驻点处的压力称为总压力。 B点在A点的上游，与A点位于同一水平流线，不 受侧管影响。
H
pA (H 0 H ) pB H 0
H0 B A
宗燕兵
18
应用伯努利方程于A、B两点：
(z
p
0
pB


vB 2g
2
0
pA


v
2
C)
H
2g

0
H0 B A
pA pB
因为：
vB 2g
2

pA (H 0 H ) pB H 0
vB 2g
理想流体的伯努利 方程
z p
粘性流体的伯努 利方程
x
1 p

dvx dt


v
2
C
2g
z1
p1
Y
应用广泛.但不能解决诸如二维 dvz 1 p 流动、三维流动的问题。 Z z dt 故还需要用粘性流体运动的微 X、Y、Z：单位质量流体所受的质 分方程。 量方程成立的5条件： 1.理想流体； 2.稳定流动； 3.不可压缩流体；
4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。
z
p


v
2
C
2g
流速大的位置压强小，流速小的位置压强大。
宗燕兵
12
宗燕兵
13
1.
飞机升空的原理
宗燕兵
14
例题：如图所示为一虹吸管， 水从一个大容器经虹吸管流入 大气中，若出口截面上流速均 匀分布，试求出口处的流速及 A点处流体的压强。设液面高 度保持不变。
宗燕兵
故 v2 v2 .
16
pA

( z1 z A )
p1


v2
2
2g v2
2
p A ( z1 z A ) p1

1 1 .7
2
2g
5
( 1)9 8 1 0 1 .0 1 1 0 2 .3 1 1 0 N / m
3 2
2 9 .8 1
y
x dx
E
所以，v x 在AC和EG两个面上产生的粘性应力之和为

vx
2
x
2
2
dx
粘性力为：
宗燕兵
vx x
2
dxdydz
25
v x 在AC和EG两个面上产生的粘性力之和为

vx
2
C B
G
x
2
dxdydz
z
vy
F
vz
dz
vx
D
H
dy
同理，在BE和CH二面上产生的粘性应力之和为
2

p2 p1
d( p2
p

) v2

2
v2 v1
d(
v
)
2
有
z1 z
p1

p

2g v
2
z2 C


2g
或

2g
3
理想流体沿流线的伯努利方程
— 流 体 的 重 度 ， N/m ;
C—常数；
1和2——同一流线上的两点
宗燕兵
8


1、写出理想流体沿流线的伯努利方程 2、写出理想流体在Y方向上的欧拉方程 3、试从欧拉方程推导伯努利方程（要求 以微元体在Y方向上的受力为例作详细推 导）
宗燕兵 2
§3.4
理想流体沿流线的伯努利方程
总水头线
b
b'
v2 / 2 g
2
v1 / 2 g
2
c
静水头线
p1 / g
c'
z
C
p


v
2
C
2g
1
p2 / g
z1 z2
2
a
a'
意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流 动中，沿同一流线上，单位重量流体具有的位能、压能 和动能的相互转换和守恒关系。
A x
T A
N
B C
A：流体层接触面的面积，m2。
:内 摩 擦 应 力 或 粘 性 应 力 ， N / m
yx
2

vx y
(由 速 度 梯 度 产 生 , 作 用 于 流 体 接 触 面 上 ， 方 向 在 x 轴 上 。 )
沿x轴方向的粘性力由 v x 在在三个方向上的 速度梯度产生。 宗燕兵
在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不 鲜见，然而，伯努利家族3代人中产生了10 多位数学家、科学家，出类拔萃的至少有3位。
一、公式推导
对于欧拉方程，考虑以下特殊条件： 1.理想流体； 2.稳定流动； 3.不可压缩流体； 4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。