3章2伯努利方程
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第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
大学物理教程第3章答案张文杰等主编中国农业大学出版社
思考题3.1 什么是连续性方程？答：假设以闭合外表内既无源，又无负源，那么根据质量守恒，进入该闭合外表的净流量等于闭合外表内物质的增加率，应用在稳定流动的流管中，我们得到连续性方程：ρ1A1v1=ρ2A2v2。
其中，ρ为密度,假设它在截面积 A处是均匀的； v为经过截面积A处的平均速度〔v与A垂直〕。
假设流体又是不可压缩的，连续性方程简化为A1v1=A2v2。
3.2 什么是伯努利方程？答：流体是稳定的，非黏性的，不可压缩的，伯努利方程给出同一流线任两点处的压强p，流速v，高度y满足p1+12ρv1²+ρgy1= p2+12ρv2²+ρgy2注意伯努利方程中每一项都是取的单位面积的内的量值。
方程指出：压力沿流线所作的功等于动能和势能的改变〔都指单位面积〕。
3.3 在定常流动中，流体是否可能加速运动？答：定常流动是指宏观上流体在空间某位置的流速保持不变，对某个流体质点而言，它在空间各点速度可能不同，也就是说，它可能是加速运动。
3.4 从水龙头徐徐流出的水流，下落时逐渐变细，为什么？答：据连续性原理知，，流速大处截面积小，所以下落时水的流速逐渐增大，面积逐渐减少变细。
3.5 两船平行前进时，假设靠的较近，极易碰撞，为什么？答：两船平行前进时，两条流线方向相同，，如果靠的较近，两船之间的流速将大于两船外侧的流速，这样两船都将受到一个指向对方的一个压力的作用，极易造成两船碰撞，稍有晃动，流线重合，船体就会相撞。
3.6 两条流线不能相交，为什么？答：如果两条流线相交，那么焦点处就会出现两个速度，这个结论是错误的，所以两条流线不能相交。
3.7 层流和湍流各有什么特点？引入雷诺数有哪些意义？答：流线是相互平行的流动称层流。
流体微团作复杂的无规那么的运动称为湍流。
无量纲的量雷诺数是层流向湍流过渡的一种标志。
以临界雷诺数为准，小于它为层流，大于它为湍流。
习题3.1 假设被测容器A内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银压强计。
第3章2 流体动力学基础-伯努利方程的应用
4
30
2
4
V2 A2 V1 A1
V12 p 1 0.198 H 2 1 1.5 2.72 4.22m水柱 2g V12 5.26m水柱 2g
列断面0-0和真空室断面1-1的能量方程
p0
V12 H1 H 2 2g p1
V12 H1 H 2 2.72 5.26 1.5 1.04m 2g 上述计算中没有考虑管道中的能量损失，而实际上若要用 射流泵产生上述真空，水箱应？ p1
p1
p真
0.2 13.6 2.72m水柱
出水口通大气，水池液面通大气，p2=p0=0。 对断面1-1、2-2列能量方程：
p1
V12 p2 V22 H2 2g 2g
A d 50 V22 V12 1 V12 1 V12 0.198V12 A2 d 2 75
27
A 2 p A pC V A 1 2 g AC
2 A
因为AA>AC，上式左端为正值，即PC<PA，而AC越小则PC值越 低。当PC比大气压还要低时，若在C处把管子开一小孔，管内 液体并不会漏出来，而外面的空气却反而会被大气压压进管子。 若在小孔上接一根管子，其下端浸在液箱中，则管内液面在大 气压的作用下会上升。 当
现取水流进入喷嘴前的A断面和水流流出喷嘴时的C断面列能 量方程（暂时不考虑能量损失）
pA
2 VA pC VC2 2g 2g
移项
p A pC
VC2 VA2 2g
p A pC
VA2 AA 1 2 g AC
30
2
4
V2 A2 V1 A1
V12 p 1 0.198 H 2 1 1.5 2.72 4.22m水柱 2g V12 5.26m水柱 2g
列断面0-0和真空室断面1-1的能量方程
p0
V12 H1 H 2 2g p1
V12 H1 H 2 2.72 5.26 1.5 1.04m 2g 上述计算中没有考虑管道中的能量损失，而实际上若要用 射流泵产生上述真空，水箱应？ p1
p1
p真
0.2 13.6 2.72m水柱
出水口通大气，水池液面通大气，p2=p0=0。 对断面1-1、2-2列能量方程：
p1
V12 p2 V22 H2 2g 2g
A d 50 V22 V12 1 V12 1 V12 0.198V12 A2 d 2 75
27
A 2 p A pC V A 1 2 g AC
2 A
因为AA>AC，上式左端为正值，即PC<PA，而AC越小则PC值越 低。当PC比大气压还要低时，若在C处把管子开一小孔，管内 液体并不会漏出来，而外面的空气却反而会被大气压压进管子。 若在小孔上接一根管子，其下端浸在液箱中，则管内液面在大 气压的作用下会上升。 当
现取水流进入喷嘴前的A断面和水流流出喷嘴时的C断面列能 量方程（暂时不考虑能量损失）
pA
2 VA pC VC2 2g 2g
移项
p A pC
VC2 VA2 2g
p A pC
VA2 AA 1 2 g AC
流体力学基本伯努力方程
动能:Eu=mu2/2=Vρu2 /2 总能量: Vρgz+ pV+ Vρu2 /2 =C1
两边同除以Vρg，
动能-压力能：测速计 势能-动能：倒水，虹吸 动能-势能：喷泉
z+ p/ρg+ u2/2g=C
16
3.实际液体的伯努力方程1
z1
p1
g
u12 2g
(3-19)
z2
p2
g
u22 2g
s s s t
这就是理想液体的运动微分方程，也称液流的欧拉方程
13
2.理想液体的伯努力方程1
要在图3-10所示的一段微流 束上，寻找它各处的能量关 系 ， 将 式 (3-10) 的 两 边 各 乘 上ds，并从流线s上的截面1 积分到截面2，即
2
1
g
z s
1
p s
5. 如 图 所 示 ， 液 压 泵 输 出 的 流 量
A1
qp=0.5L/s，全部进入液压缸，液压 缸 大 腔 截 面 积 A1=2000mm2 ， 小 腔 截 面 积 A1=1000mm2 ， 进 、 回 油 管 直径d=10mm。求活塞的运动速度，
进、回油管中油液的流速。
qp
A2
v
d
21
当容器没有惯性加速度，即当液 体仅受重力作用时，则
j cos gz / s 质量力为 dsdAgz / s
这一微元体积的惯性力为
ma dAds du dAds u ds u dAds u u u
dt
s dt t
Q1
q A udA
在过流截面上各点的流速是不相等的。
流体力学第三章 (2)
（2）
即：圆管中水流处在紊流状态。 （2）
要保持层流，最大流速是0.03m/s。
问题：
1、怎样判别粘性流体的两种流态——层流和紊流？ 2、为何不能直接用临界流速作为判别流态（层 流和紊流）的标准？ 3、为什么用下临界雷诺数，而不用上临界雷诺数 作为层流与紊流的判别准则？
作业 P113
3
§4.3 不可压缩流体恒定圆管层流
粘性流体流动的两种流态
一、雷诺实验
1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通 过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
动画
二、两种流态的运动特征
1.层流 层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点 不相互混杂，流体作有序的成层流动。 特点： （1）有序性。水流呈层状流动，各层的质点互不 混掺，质点作有序的直线运动。 （2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律。 （3）能量损失与流速的一次方成正比。 （4）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。
层流： 紊流：
三、层流、紊流的判别标准——临界雷诺数
临界雷诺数
Re c vc d
上临界雷诺数：层流→紊流时的临界雷诺数，它易受 外界干扰，数值不稳定。 下临界雷诺数：紊流→层流时的临界雷诺数，是流态 的判别标准，它只取决于水流边界的形状，即水流的 过水断面形状。
雷诺通过实验知：下临界雷诺数为一定值，而上临
3水力过渡区壁面管水力过渡区壁面管transitionregiontransitionregionwallwall介于水力光滑管区与水力粗糙管区之间的区域的介于水力光滑管区与水力粗糙管区之间的区域的紊流阻力受粘性和紊动同时作用这个区域称为过紊流阻力受粘性和紊动同时作用这个区域称为过三紊流核心区的流速分布三紊流核心区的流速分布流体切应力主要为紊流附加切应力流体切应力主要为紊流附加切应力圆管均匀流过流断面上切应力呈直线分布圆管均匀流过流断面上切应力呈直线分布根据实验管流混合长经验公式为根据实验管流混合长经验公式为11223311对数规律分布对数规律分布将223344代入代入11积分得到积分得到紊流速度分布式紊流速度分布式卡门常数卡门常数k04k04说明
流体力学理论基础
3.2.2 伯努利方程
3.3 流动阻力基本概念
流体旳平衡—流体静力学基础
3.1.1 平衡状态下流体中旳应力特征
1、流体静压力方向必然重叠于受力面旳内法向方向
n
A
c
b
B
P
a
2、平衡流体中任意点旳静压强只能由该点旳坐标位置
决定，而与该压强作用方向无关。
z
c
pn
dz py
px dy O dx b
a
pz
x
PyD g sin J x
PyD ghc AyD gyc sin AyD
gyc sin AyD g sin J x
根据面积二次力矩平行移轴定理
J x Jc yc2 A
yD
yC
JC yC A
常见图形旳几何特征量
常见截面旳惯性矩
y
z h
b
Jc
bh3 12
y
dz
Jc
d4
64
0
0'
p0=p=pa+ρgh0
h0=(p-pa) /ρg =(119.6-100)×103/(1000×9.81)=2.0m
3.1.5 均质流体作用在平面上旳液体总压力
p0
O
C点为平面壁旳形心，
a
hD
hc h dp P
y
yc
D点为总压力P旳作用点 取微元面积dA，设形
bα
yD
dA
心位于液面下列h深处
T
A hE
hc
HP
D
B 60
解：闸门形心
hc 1.5m
总压力
P hc A
98001.5 ( 3 1) sin 60
第3章2 流体动力学基础-稳定流动量方程及应用
4Q 1、V1 = = 1.132m / s 2 π d1 p1 V12 p2 V2 2 + = + γ 2g γ 2g
4Q V2 = = 4.527m / s 2 π d2
2、取两个断面列伯努利方程：
p2 = p1 +
ρ
2
(V12 − V2 2 ) = 1.964 × 105 Pa
3、选取控制体列动量方程： x方向：p1 A1 − Fx = ρ Q (0 − V1 ) y方向：Fy − p2 A2 = ρ Q (V2 − 0)
流体动力学基础
稳定流的动量方程及其应用
3.5 稳定流的动量方程及其应用
前面我们讨论了流体动力学的两个重要 方程——连续性方程和伯努利方程 连续性方程和伯努利方程。应用这 连续性方程和伯努利方程 两个方程可以解决许多实际问题。但是，在 工程中还要计算流体与固体相互作用的力。 动量方程提供了流体与固体相互作用的动力 动量方程 学规律。
x
O
y
【解】：设平板对流体的作用力为R’，取坐标系XOY，以A0、 A1、A2断面间水体为控制体。 (1)求流体对平板的作用力 列x方向动量方程：
R ' = ρ Q (0 − ( −V0 sin θ )) R ' = ρ A0V0 2 sin θ
因为平板光滑，作用力垂直平板，所以流体对平板面作用力 的大小为 ρ A0V0 2 sin θ ，方向与R’相反。
F = ρ AV = 2 ρ Agh = 2 Aγ h
2
3、自由射流对挡板的压力
y
根据动量方程，x轴向为： − Rx = ρ Q1u1 cos α1 + ρ Q2u2 cos α 2 − ρ Q0u0 y轴 向 为 ：
理想流体和实际流体的贝努利方程
v1A1 v2A2 (一维稳定流动, const)
vA
d
4
2
vD
2
R
vD
vA d 2
8R
1.953m / s
管流伯努利方程式及应用
A-D列伯努利方程：
gH
PA
1 2
v
2 APDΒιβλιοθήκη 1 2v2 D
PA=0.8892×105 Pa
静压力平衡方程： gH PA PB PB=0.9873×105 Pa
2g
(管端处，u2=0)
又（见题图） u12 p2* p1 h
2g
u1 2hg
3.6 贝努利方程的应用
例3-3．求钢包出口处的金属液流速 解：将第一个断面选在钢液 断面1
上表面（自由表面），可以利用 z=0及v1≈0使方程简化。
断面2
第二个断面的选取要包含待求量。 列出断面1和断面2处的贝努利方 程，根据式(3.55) :
(3) 选好基准面,基准面原则上可以选在任何位置, 但选择得当,可使解题大大简化,通常选在管轴线的水 平面或自由液面,要注意的是,基准面必须选为水平面.
(4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方 程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同 为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力 学中的处理完全相同。
实际流体经流道流动的贝努利方程 用平均参量表示(推导过程略)，结果为：
z1g
P1
1
v12 2
z2g
P2
2
v22 2
ghW
或
z1
P1
1
v12 2g
z2
P2
2
v22 2g
hW
流体力学例题及思考题-第三章
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程连续性方程——质量守恒*伯努利方程——能量守恒** 重点动量方程——动量守恒** 难点方程的应用第一节研究流体运动的两种方法流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t)y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t)速度： u x =u x （x,y,z,t ）u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
水力学 第3章 流体力学基本方程
V V V V a u v w t x y z
V V V V dV a u v w t x y z dt
加速度的投影值：
u u u u du ax u v w t x y z dt
v v v v dv ay u v w t x y z dt
速度：
x y z u ,v ,w t t t
加速度：
u 2 x ax 2, t t v 2 y ay 2, t t w 2 z az 2 t t
这里：
V ui v j wk
a ax i a y j az k
此方程称为积分形式的连续性方程。
d dM d dt t d vn dA (1) dt A
方程（1）对于任一物理量φ（比如：动量等）亦成立。
d d t d vn dA dt A
式中：φ——流体单位体积的某物理量。
2.渐变流与急变流：
在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐 变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。
七.一元流动、二元流动、三元流动：
若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种 流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数， 这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的 函数，这种流动称为一元流动。
若用粗体字母表示矢量，则：
加速度：
v1 v 0 a lim ( t o ) t
V V V V V1 V0 t x y z t x y z
而：
注意到： 因此：
x lim u, t 0 t
y lim v, t 0 t
z lim w t 0 t
3章2伯努利方程
总流的动量方程与动量矩方程
总流的动量方程: v v (βρVQ) − (βρVQ)
流 出
流 入
v = ∑F
总 的 量 方 : 流 动 矩 程: 程 v v v v v (βρV ×rQ)流出 − (βρV ×rQ)流入 = ∑r × F
对圆管层流，β=4/3， 工程上的管流为紊流，β≈1.02~1.05 ≈1
QQ = Q2 1 p1 V2 p2 V22 ∴z1 + +α1 1 = z2 + +α2 2g 2g ρg ρg
z, p 通常在截面中心取值。
总流伯努利方程应用举例
总流伯努利方程应用
1、文丘里流量计(Venturi Meter) 对截面1和2，总流伯努利方程
p1 V2 p2 V22 z1 + +α1 1 = z2 + +α2 ρg ρg 2g 2g
2
du dV V −0 l + h + gy + =0 dt dt 2
2
u
πd 2
4
=V
πD2
4
D2 dv V2 ∴(h + l 2 ) + gy + =0 d dt 2
V2 dy 忽略 , 且V = , 令ω2 = 2 dt g D2 h +l 2 d
d2 y +ω2 y = 0 2 dt
其解为 y=y0sinωt
伯努利方程
三种形式：
1) 能量形式 2) 压头形式 3) 水头形式
p V2 单位：J/kg gz + + = const ρ 2 ρV 2 = const 单位：Pa ρgz + p + 2 p V2 z+ + = const 单位：mH2O ρg 2g
一阶线性微分方程及伯努利方程
3
例1. 解方程
dy
2y
5
(x 1) 2 .
dx x 1
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
y
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
2
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x) d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
8
例3. 求方程 dy y a ( ln x)y2 的通解. dx x
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
dy y
dy y
将 x 看作 y 的函数，则是形如 x p( y)x q( y)
的线性微分方程
p( y) 1 q( y) y2
y
5
dx 1 x y2 dy y
通解为 4xy y4 C
6
例3. 求方程
dx xy
2 y
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
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截面上，z+p/ρ g=常数,则
A(zpg)dQ(zpg)Q
令u2udAV2VA
A2g
2g
V为截面平均速度
1 (u)3dA称为(动 通能 )量 修正系数 AA V
对圆管层流，α=2， 工程上的管流为紊流，α≈1
(z1p g 11V 2 1 g 2)Q 1(z2p g 22V 22 g 2)Q 2
用于测点速度.
沿流线伯努利方程
z0pg0 u20g2 z1pg1 u21g2
静压管和总压管
z0z1,u00,
u1 2gp0 gp1
伯努利方程应用
3、小孔定常出流
对0—0和1—1：
z0pga z1pga 1V 21g2
11,z0z1h V1 2gh 平均速 度
2
gzpV2 const单位：Pa
2
z
p
g
V2 2g
const
单位：mH2O
伯努利方程应用
1、静压管、总压管测速度
p u2 p 1 0
g 2g g
P0=Pa+ρ g(Δh+x)
P1=Pa+ρ g x
u1
2gp0p1
g
2gh
伯努利方程应用
2、 毕 托管 (Pitot Tube) 测流速
z1pg 11V 21 g 2z2pg 22V 22 g 2
V1A1 V2A2 V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1(d)4
(z1
z2
p1p2)
g
D
文丘里流量计
如果用水银压差计测压差则有
p1+ρ g(x+Δh)=p2+ρ g(z2-z1+x)+ρ ’gΔh
p1 gp2z1z2(,/1)h
QA2V2d 42
2g(,/1)h
1(d/D )4
考虑到流体的粘性影响及制造工艺等 因素，流量应乘上一个流量系数μ， 实验方法测定，一般取0.95-0.98。
文丘里效应
文丘里效应简单说就是，当空气从一个比较广大的空间流向比较 狭窄的端口时，在阻挡物的背风面上方端口附近气压相对较低， 产生的吸附作用使空气流动自然加速。这是美国著名建筑设计大 师赖特设计的一个房子，利用文丘里效应来冷却中间的空间。
则烟囱正常排烟时，P P
2
a2
但
P a2P a1agH
22
Z2Z1H
1
1
由 P P 得到
2
a2
P 1 P a 1 (a)g H 1 2 (V 1 2 V 2 2) 称为烟囱的自然抽力，通常为负值。
可见，H越大时，烟囱的自然抽力也越大。
总流伯努利方程的推广（流体对外界作功）
pg zV2 常数单位 Pa：
2
沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒
几何意义： pgzV 22g常数单位 m2 ： H O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
伯努利方程
三种形式：
1) 能量形式 2) 压头形式 3) 水头形式
gz p V2 const 单位：J/kg
即沿流线 z 法 p g常 向数
曲率半径很大时，沿流线的法向，压强服从静压分布公式
缓变流和急变流的概念: 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处 的流动称为缓变流.否则称为急变流.
§3-7 总流的伯努利方程
总流：全部流束的总体
研究总流在截面1—1和2—2的部份，取某一流束，
速度和截面积为u1, dA1和u2，dA2。
uus gzs1ps
(u2/2)(g)z(p/)
s
s s
u2
p
( gz )0
s 2
u2
p
gz c
2
u2 z p c
2g g
伯努利方程
•伯努利方程的物理意义
能量意义： pgzV22 常数单位 J/： kg
沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
其中，N为涡轮机的输出功，[J/kg]
§3-8 非定常的伯努利方程
非定常一元流动的运动方程：
u t u u sfs 1 p s
式 fs 中 g z s
或 u(gzpu2 )0
t s 2
Q1 Q2
z1pg1 1V 21g2 z2pg2 2V 22g2
z, p 通常在截面中心取值。
它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计 算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用
此式。
总流伯努利方程应用举例
总流伯努利方程应用
1、文丘里流量计(Venturi Meter) 对截面1和2，总流伯努利方程
1、风机 (g1 zp 1V 2 1 2) P (g2 zp 2V 2 2 2)
其中，P为风机的静压头，[Pa]
2、水泵
(z1pg 1V 21 g 2)H(z2pg 2V 22 g 2)
其中，H为水泵的扬程，[mH2O]
3、涡轮机 (g1zp 1V 2 12)(g2zp 2V 2 22)N
总流伯努利方程应用
22
2、烟囱排烟原理 对截面1和2，总流伯努利方程
z1pg 11V 21 g 2z2pg 22V 22 g 2
1
1
V1A1 V2A2 V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1(d)4(z1ຫໍສະໝຸດ 2p1p2)g
D
设烟囱周围大气压为 Pa1，Pa2
§3-6 压强沿流线法向的变化
设流线某处的曲率半径为r 。
1 p
ar fr r
u2 arr,
frgco sg r z
u2
p
(gz )
r r
u2
p
(gz )
r r
当 r 时 , r(g z p)0,
伯努利方程
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug 22
不可压缩连续方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2
A 1(z1p g 12 u1 g 2)u1d1A A 2(z2p g 22 ug 2 2)u2d2A
总流的伯努利方程
设两截面处在缓变流中，在1—1和2—2
A(zpg)dQ(zpg)Q
令u2udAV2VA
A2g
2g
V为截面平均速度
1 (u)3dA称为(动 通能 )量 修正系数 AA V
对圆管层流，α=2， 工程上的管流为紊流，α≈1
(z1p g 11V 2 1 g 2)Q 1(z2p g 22V 22 g 2)Q 2
用于测点速度.
沿流线伯努利方程
z0pg0 u20g2 z1pg1 u21g2
静压管和总压管
z0z1,u00,
u1 2gp0 gp1
伯努利方程应用
3、小孔定常出流
对0—0和1—1：
z0pga z1pga 1V 21g2
11,z0z1h V1 2gh 平均速 度
2
gzpV2 const单位：Pa
2
z
p
g
V2 2g
const
单位：mH2O
伯努利方程应用
1、静压管、总压管测速度
p u2 p 1 0
g 2g g
P0=Pa+ρ g(Δh+x)
P1=Pa+ρ g x
u1
2gp0p1
g
2gh
伯努利方程应用
2、 毕 托管 (Pitot Tube) 测流速
z1pg 11V 21 g 2z2pg 22V 22 g 2
V1A1 V2A2 V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1(d)4
(z1
z2
p1p2)
g
D
文丘里流量计
如果用水银压差计测压差则有
p1+ρ g(x+Δh)=p2+ρ g(z2-z1+x)+ρ ’gΔh
p1 gp2z1z2(,/1)h
QA2V2d 42
2g(,/1)h
1(d/D )4
考虑到流体的粘性影响及制造工艺等 因素，流量应乘上一个流量系数μ， 实验方法测定，一般取0.95-0.98。
文丘里效应
文丘里效应简单说就是，当空气从一个比较广大的空间流向比较 狭窄的端口时，在阻挡物的背风面上方端口附近气压相对较低， 产生的吸附作用使空气流动自然加速。这是美国著名建筑设计大 师赖特设计的一个房子，利用文丘里效应来冷却中间的空间。
则烟囱正常排烟时，P P
2
a2
但
P a2P a1agH
22
Z2Z1H
1
1
由 P P 得到
2
a2
P 1 P a 1 (a)g H 1 2 (V 1 2 V 2 2) 称为烟囱的自然抽力，通常为负值。
可见，H越大时，烟囱的自然抽力也越大。
总流伯努利方程的推广（流体对外界作功）
pg zV2 常数单位 Pa：
2
沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒
几何意义： pgzV 22g常数单位 m2 ： H O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
伯努利方程
三种形式：
1) 能量形式 2) 压头形式 3) 水头形式
gz p V2 const 单位：J/kg
即沿流线 z 法 p g常 向数
曲率半径很大时，沿流线的法向，压强服从静压分布公式
缓变流和急变流的概念: 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处 的流动称为缓变流.否则称为急变流.
§3-7 总流的伯努利方程
总流：全部流束的总体
研究总流在截面1—1和2—2的部份，取某一流束，
速度和截面积为u1, dA1和u2，dA2。
uus gzs1ps
(u2/2)(g)z(p/)
s
s s
u2
p
( gz )0
s 2
u2
p
gz c
2
u2 z p c
2g g
伯努利方程
•伯努利方程的物理意义
能量意义： pgzV22 常数单位 J/： kg
沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
其中，N为涡轮机的输出功，[J/kg]
§3-8 非定常的伯努利方程
非定常一元流动的运动方程：
u t u u sfs 1 p s
式 fs 中 g z s
或 u(gzpu2 )0
t s 2
Q1 Q2
z1pg1 1V 21g2 z2pg2 2V 22g2
z, p 通常在截面中心取值。
它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计 算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用
此式。
总流伯努利方程应用举例
总流伯努利方程应用
1、文丘里流量计(Venturi Meter) 对截面1和2，总流伯努利方程
1、风机 (g1 zp 1V 2 1 2) P (g2 zp 2V 2 2 2)
其中，P为风机的静压头，[Pa]
2、水泵
(z1pg 1V 21 g 2)H(z2pg 2V 22 g 2)
其中，H为水泵的扬程，[mH2O]
3、涡轮机 (g1zp 1V 2 12)(g2zp 2V 2 22)N
总流伯努利方程应用
22
2、烟囱排烟原理 对截面1和2，总流伯努利方程
z1pg 11V 21 g 2z2pg 22V 22 g 2
1
1
V1A1 V2A2 V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1(d)4(z1ຫໍສະໝຸດ 2p1p2)g
D
设烟囱周围大气压为 Pa1，Pa2
§3-6 压强沿流线法向的变化
设流线某处的曲率半径为r 。
1 p
ar fr r
u2 arr,
frgco sg r z
u2
p
(gz )
r r
u2
p
(gz )
r r
当 r 时 , r(g z p)0,
伯努利方程
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug 22
不可压缩连续方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2
A 1(z1p g 12 u1 g 2)u1d1A A 2(z2p g 22 ug 2 2)u2d2A
总流的伯努利方程
设两截面处在缓变流中，在1—1和2—2