2007年高考第一轮复习数学：5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

第 1 页 共 2 页§5.1 向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积涟西中学高三数学集体备课 执稿人:朱跃武2006-12-13[复习要求]1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。

2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

[双基回顾] 1、基本概念（1）向量的概念：既有 又有 的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意:不能说向量就是有向线段，为什么？。

（2）向量的表示方法：①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

（3）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是 ； （4）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 )； （5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （6）平行向量（也叫共线向量）：方向 的非零向量a 、b 叫做平行向量， 记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；④三点A B C 、、共线⇔ 共线；（7）相反向量： 的向量叫做相反向量。

关于高三数学向量的知识点一、向量的概念及表示法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。

向量通常用字母加上一个箭头来表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。

二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量加法满足平行四边形法则，即从向量的起点开始，将两个向量的有向线段首尾相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

2. 向量的减法：向量减法可以转化为向量加法，即A - B = A + (-B)，其中-A表示与向量A大小相等、方向相反的向量。

三、向量的数量积（点积）与向量积（叉积）1. 数量积：设向量A和向量B的夹角为θ，数量积的定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和向量B的模长。

数量积具有交换律和分配律。

2. 向量积：两个非零向量A和B的向量积定义为向量C，其方向垂直于向量A和向量B所构成的平面，大小等于以向量A和向量B构成的平行四边形的面积。

四、向量的共线与平行1. 共线：如果两个向量的方向相同或相反，则它们共线，即存在一个非零实数k，使得A = kB。

2. 平行：如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行的。

向量A与向量B平行记作A ∥ B。

五、向量的线性运算1. 数乘：将向量A的大小乘以常数k，得到新向量kA，其方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

2. 线性组合：设k1, k2, ..., kn为常数，向量A1, A2, ..., An为向量，将每个向量与对应的系数相乘并相加得到新向量C，即C = k1A1 + k2A2 + ... + knAn。

六、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量可以用有序实数对(x, y)表示，即向量A = (x, y)。

其中x称为向量A在x轴上的分量，y称为向量A在y轴上的分量。

七、向量的模长及单位向量1. 模长：向量A的模长定义为|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为A的坐标表示。

数学高考向量知识点总结一、向量的概念与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的物理量，是指在空间中的矢量。

2. 向量的表示：向量通常用加粗的小写字母（例如a）或者以字母上方加→（例如→a）表示。

二、向量的运算1. 向量的加法：如果a和b是两个向量，那么它们的和记作a+b，它的几何意义是以a和b的起点为端点的对角线的方向和长度。

2. 向量的数乘：数k与向量a相乘的结果是一个新向量，记为ka。

当k>0时，ka的方向与a的方向相同；当k<0时，ka的方向与a的方向相反。

3. 向量的线性组合：设k1，k2，…，kn是任意n个数，a1，a2，…，an是任意n个向量，那么向量C=k1a1+k2a2+…+knan称为向量a1，a2，…，an的线性组合。

三、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设a和b是两个向量，那么它们的数量积记作a·b，它的数值等于|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。

2. 向量的数量积性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘结合：(ka)·b=k(a·b)（4）模长的平方：|a|^2=a·a（5）向量夹角余弦的大小：a·b=|a||b|cosθ3. 向量的正交性：如果a·b=0，则称向量a和b正交，也就是说，两个向量的夹角为90°。

四、向量的叉乘1. 向量的叉乘定义：设a和b是两个向量，那么它们的叉乘记作a×b，它的结果是一个新的向量，其模长等于|a||b|sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手定则。

2. 向量的叉乘性质：（1）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（2）数乘结合：(ka)×b=k(a×b)（3）零向量叉乘：a×0=0×a=0（4）相等向量叉乘：a×a=0（5）模长的平方：|a×b|^2=|a|^2|b|^2-(a·b)^2（6）向量的三角函数关系：a×b=|a||b|sinθn五、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：设A(x1,y1,z1)是平面上的一点，n=[A,B,C]是平面的法向量，那么平面的向量方程可以表示为r·n=d，其中r=[x,y,z]是平面上任意一点的位置向量。

高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。

本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。

一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。

向量通常用字母加箭头表示，如→AB。

1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。

1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。

二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。

单位向量是模为1的向量，记作→e。

2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。

两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。

2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。

2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。

三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。

高考数学向量知识点数学是高考必考科目之一，而数学中的向量是一个重要的概念。

下面将介绍高考数学中与向量相关的知识点，帮助同学们更好地备考。

1. 向量的定义与表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，通常用字母加上一个→符号表示。

如向量AB用→AB表示。

2. 向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以相同的比例延长或缩短，最后连接延长后的两个终点，新向量的起点为原两个向量的起点，终点为延长后的终点。

2.2 向量的减法向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。

即两个向量相减，可以转化为一个向量加上另一个向量的相反向量。

2.3 向量的数量积（点乘）向量的数量积是一个标量，记作AB·CD。

计算方法为相乘后再对应分量相加，即AB·CD = |AB| * |CD| * cosθ，其中|AB|表示向量AB的长度，θ表示两个向量的夹角。

2.4 向量的向量积（叉乘）向量的向量积是一个向量，记作AB×CD。

计算方法为用右手定则，首先将AB和CD两向量的起点放在同一点，则向量积的方向垂直于两个向量所在的平面，同时满足右手定则，即右手握住AB，手指弯曲并指向CD，则大拇指的方向就是向量积的方向；向量积的大小为|AB×CD| = |AB| * |CD| * sinθ。

3. 向量的共线与垂直3.1 向量的共线如果两个向量的夹角为0或180度，则称这两个向量共线。

即向量A与向量B共线，表示为A∥B。

3.2 向量的垂直如果两个向量的数量积等于0，则称这两个向量垂直。

即向量A与向量B垂直，表示为A⊥B。

4. 向量在几何问题中的应用4.1 平面向量的表示平面上的点可以用平面上的两个向量表示，一般选取坐标轴上的两个单位向量，分别表示x轴和y轴的方向，然后用这两个向量的线性组合表示平面上的点。

4.2 平面向量的运用平面向量可以用于求解几何问题，如求解线段的中点坐标、判断三角形是否共线等问题。

数学高考总复习向量知识点向量是高考数学中的重要知识点，也是中学数学学科的基础内容之一。

它不仅在几何问题中有重要应用，还广泛运用于物理学、计算机科学等学科领域。

在高考复习中，掌握向量的概念、运算法则以及相关应用是非常关键的。

一、向量的概念向量是有大小和方向的物理量。

在几何上，可以用有向线段来表示一个向量，通常用字母加箭头来表示。

例如，向量a可以记作→a。

其中，→表示该线段有方向。

二、向量的运算法则1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即，对于任意向量a、b和c，有以下运算法则成立：→a+ →b = →b + →a （交换律）(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c) （结合律）2. 向量的数乘一个向量乘以一个实数，称为向量的数乘。

向量数乘的结果是一个新的向量，其大小等于原向量的大小与实数的乘积，其方向与原向量的方向相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。

例如，若有向量→a和数字k，则有：k→a = →a + →a + ... + →a （共有k个→a相加）3. 向量的减法向量的减法是向量的加法的逆运算。

用向量b减去向量a得到的新向量为b-a。

即：→b - →a = →b + (-→a)其中，-→a表示向量a的反向向量。

三、向量的重要性质1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，称它们为平行向量。

平行向量的大小相等或成比例。

2. 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，且它们的起点和终点均在同一直线上，那么称这两个向量为共线向量。

3. 零向量大小为零的向量称为零向量，用0来表示，零向量没有方向。

4. 向量的模向量的模（大小）表示向量的长度。

在平面直角坐标系中，向量→a = (a1, a2)的模记作|→a|。

5. 单位向量模为1的向量称为单位向量。

任何一个非零向量都可以通过除以其模得到一个单位向量。

四、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得(k1→a1 + k2→a2 + ... + kn→an) = →0，其中→a1、→a2、...、→an是n个向量，那么称这n个向量线性相关。

向量高考必考知识点总结一、向量的定义向量是数学中一个非常重要的概念，它是一个有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。

在高等数学中，向量通常表示为一个有序组(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x 轴和y轴上的分量。

向量的大小通常用|a|表示，在坐标系中表示为一个有向线段，其方向由起点指向终点，表示为→a。

二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法定义为两个向量的对应分量相加，即(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)。

在坐标系中，向量的加法就是将两个向量首尾相连的结果，即平行四边形的对角线。

2.向量的数乘向量的数乘定义为一个数与向量的每一个分量相乘，即k*(a1,a2)=(k*a1,k*a2)。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同，但大小有所改变。

3.向量的减法向量的减法定义为两个向量的对应分量相减，即(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2)。

在坐标系中，向量的减法就是将与减去的向量方向相反但大小相同的向量相加。

4.向量的线性组合向量的线性组合指的是通过向量的加法和数乘得到的新向量，即k1*a1+k2*a2+...+kn*an。

线性组合在数学中有很重要的应用，特别在矩阵和线性代数中。

三、向量的数量积1.数量积的定义向量的数量积也称为内积，它表示为a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b 的大小，θ表示a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，即一个大小和方向都不具有的量。

2.数量积的性质（1）对称性：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数量积和数乘的结合：(ka)·b=k(a·b)3.向量的数量积应用数量积在几何中有很多重要的应用，比如求向量的夹角、向量的投影、判断点和线段的位置关系等。

四、向量的几何运算1.向量的模向量的模表示向量的大小，通常表示为|a|。

平 面 向 量阜阳市红旗中学 朱西宣2006年12月3号向量是新课程新增内容，融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识的媒介。

其广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。

利用向量这个工具解题，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。

特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

在解决关于向量问题时，一是善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加强对向量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

一、考纲要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

（2）掌握向量的加法和减法。

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义。

了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式。

二、知识网络三、高考聚焦1．命题趋向阜阳市高三数学中心教研组第三次活动由上表分析可知：(1)这部分内容高考中所占分数一般在10并左右．（2）题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．(3)考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．2、热点剖析：“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主。