届高三文科数学平面向量专题复习

知识点总结4 平面向量一．平面向量向量的线性运算向量运算加法减法数乘几何表示首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量(1)|λa |＝|λ||a |，(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n m+nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+nAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 二．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.三．平面向量的数量积 1.向量a 与b⃗ 的夹角 已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向； 当θ＝180°时，a 与b⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b⃗ =14[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角， 则cosθ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1∙√x 2+y 27.向量的投影向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a⃗ ∙b ⃗|b ⃗ |． 向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗|b⃗ |∙b ⃗|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a⃗ |a ⃗ |=√x 2+y2y)=(√x 2+y2√x 2+y 2),与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2y)=√x 2+y 2√x 2+y 2).2.三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 五．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBCPACPABSPA SPB SPC ++=.2.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOCCOAAOBS SSx y z =已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。

第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ结论 符号表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b | cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤（x 21＋y 21）（x 22＋y 22）1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.2.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，4)，则(a －b )·a ＝( ) A.－14 B.－4C.4D.14答案 B解析 由题意得a －b ＝(－1，－3)， 则(a －b )·a ＝－1－3＝－4.3.已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A.－3B.－2C.2D.3答案 C解析 因为BC→＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2. 4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C解析 由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12. 设向量a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3.5.已知AB→＝(－1，2)，点C (2，0)，D (3，－1)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________；向量CD →在AB →方向上的投影为________.答案 －322 －355解析 因为CD →＝(1，－1)，向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD→|＝－322，同理CD→在AB →方向上的投影为AB →·CD →|AB→|＝－355.6.(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 由题意得c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1).又a ⊥c ，所以a·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.考点一 向量数量积的基本概念及运算1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A.2 B.－1C.－6D.－18答案 D解析 由题意知cos 〈a ，b 〉＝sin 17π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3＝－sin π3＝－32，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.2.若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172答案 D解析 由题意得(2k －1)×1－4×k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析 法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)， ∴P 为BC 的中点.以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，P (2，1)， ∴|PD→|＝（2－0）2＋（1－2）2＝ 5.易得PB→＝(0，－1)，PD →＝(－2，1)， ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD 中，由AP→＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD→|＝12＋22＝ 5.PB →·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD →＝－PB →2＋0＝－1. 感悟提升 解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解. (2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 考点二 向量数量积的性质及应用 角度1 夹角与垂直例1 (1)已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4 D.π2(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A.a ＋2b B.2a ＋b C.a －2bD.2a －b答案 (1)C (2)D解析 (1)设向量a 和b 的夹角为θ，因为a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，所以b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝（1，1）·（2，0）2×4＋0＝22.又0≤θ≤π，所以θ＝π4.(2)易知a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，则b ·(a ＋2b )＝52≠0，b ·(2a ＋b )＝2≠0， b ·(a －2b )＝a ·b －2b 2＝－32≠0，b ·(2a －b )＝0. 因此b ⊥(2a －b ). 角度2 平面向量的模例2 (1)(2022·南昌模拟)设x ，y ∈R ，a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，c ＝(－2，2)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|2a ＋3b －c |＝( ) A.234B.26C.12D.210(2)已知a ，b 是单位向量且a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________.答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1，1). 因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2， 则b ＝(2，－2)，所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝234.(2)法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝ 2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟提升 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解.没有坐标时可用公式cos θ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.训练1 (1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与b 垂直，则λ＝()A.－2B.2C.－1D.1(2)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案(1)C(2)1解析(1)∵a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.(2)法一由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.法二 如图，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，又e 1，e 2是单位向量，所以|AB →|＝|AD →|＝1，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，连接AC ，BD ，所以AC →＝e 1＋e 2，DB →＝e1－e 2，因为|e 1＋e 2|＝3，即|AC →|＝3，所以∠ABC ＝120°，则∠DAB ＝60°，所以|DB →|＝1，即|e 1－e 2|＝1.考点三 平面向量的综合应用 角度1 平面向量与平面几何例3 (1)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形D.等腰直角三角形(2)已知A ，B 是半径为2的⊙O 上的两个点，OA →·OB →＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足|OA→＋OB →－OC →|＝1，则向量OC →的模的取值范围是________. 答案 (1)A (2)[6－1，6＋1]解析 (1)因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，所以CB →·(AB →＋AC →)＝0，即CB →⊥(AB →＋AC→)，所以△ABC 的中线和底边垂直，所以△ABC 是等腰三角形. (2)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，A (2，0).由OA →·OB→＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，得∠AOB ＝π3，于是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62，设C (x ，y )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1.问题转化求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1上一点到原点距离的取值范围. 原点到圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫322，62的距离为6，又圆的半径为1，所以|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].角度2 平面向量与解三角形例4 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ， sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C . 又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12. 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB→－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟提升 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算. (2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面直角坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.训练2 (1)在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，P 是线段AD 上一动点，则AP →·CP →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C.[－1，0]D.[－1，1](2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC→，则AB AC的值是________.答案 (1)B (2) 3解析 (1)画出图形如图所示，分别以DC ，DA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，故A (0，3)，C (1，0). 设P (0，t )(t ∈[0，3])，则AP →·CP →＝(0，t －3)·(－1，t )＝t 2－3t . 根据二次函数的性质可知，当t ＝0或t ＝3时，AP →·CP →取得最大值0，当t ＝32时，AP →·CP →取得最小值，为⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＝－34，故AP →·CP →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.故选B.(2)法一 如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点.又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC→－AE →＝AC →－13AB →， 所以6AO →·EC→＝32(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB → ＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC ＝ 3.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E (1，0)，C (a ，b )， 则B (3，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎬⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝b a －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC→，∴(3，0)·(a ，b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )， 即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝3，∴AB AC ＝33＝ 3.极化恒等式一、极化恒等式1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC |2－|BD |2). 3.极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14BC →2.二、极化恒等式的应用 1.求数量积例1 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b 等于( ) A.1B.2C.3D.5答案 A解析 ∵a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1，∴a·b ＝1. 2.求最值例2 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB→的最大值是________.答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON .则OC →·OB→＝OM →2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号， 所以OC →·OB →的最大值为2. 3.求模长例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1B.2C. 2D.22答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， D 为线段AB 的中点，显然OD →＝a ＋b 2，|DC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12，上式表明，DC →是 有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此，|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2. 4.求数量积最值(或取值范围)例4 (2022·郑州调考)已知等边△ABC 内接于圆O ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆O 上一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最大值是( ) A. 2B.1C. 3D.2答案 D解析 设D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，易知|DM→|＝34， 则P A →·(PB →＋PC →)＝2 P A →·PD → ＝2×14[(P A →＋PD →)2－(P A →－PD →)2] ＝12[(2PM →)2－(2DM→)2] ＝2(PM→2－DM →2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →2－916， 当点P 在AD 的延长线与圆的交点处时，|PM →|max＝54，所以P A →·(PB →＋PC→)≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2516－916＝2.故选D.1.在等腰三角形ABC 中，点D 是底边AB 的中点，若AB →＝(1，2)，CD →＝(2，t )，则|CD→|＝( )A. 5B.5C.2 5D.20答案 A解析 由题意知AB →⊥CD →，∴1×2＋2t ＝0，∴t ＝－1，∴|CD→|＝22＋（－1）2＝ 5.2.设向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(2，1)，且(a －λb )⊥c ，则λ等于( ) A.3 B.2C.－2D.－3答案 A解析 由题意得a －λb ＝(1＋λ，1－3λ). 又∵(a －λb )⊥c ，c ＝(2，1)，∴(a －λb )·c ＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0， ∴λ＝3.3.(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE→＝( )A.11B.10C.－10D.－11答案 D解析 以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图.则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE →＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.4.a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.－45B.－35C.35D.45答案 B解析 设b ＝(x ，y )， 则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y ) ＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝0，4－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝2－85×25＝－35，故选B.5.已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|等于( ) A.1 B. 3C.1或 3D.2答案 C解析 设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ，因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝（λ＋cos θ）2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时，|e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，得cos θ＝±12，故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或 3.6.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(2b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A. 2 B.2C. 5D.52答案 C解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，且(a －c )·(2b －c )＝2a ·b －c ·(a ＋2b )＋c 2＝0，∴c 2＝c ·(a ＋2b )， ∴|c |2＝|c |·|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉， ∴|c |＝|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉＝5cos 〈c ，a ＋2b 〉.∵cos 〈c ，a ＋2b 〉∈[－1，1]， ∴|c |的最大值是 5.7.(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________. 答案 3 2解析 由|a －b |＝5得(a －b )2＝25， 即a 2－2a ·b ＋b 2＝25， 结合|a |＝3，a ·b ＝1， 得32－2×1＋|b |2＝25， 所以|b |2＝18，|b |＝3 2.8.(2021·广东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (3，1)在以原点O 为圆心的圆上.已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P ，延长AP 至点B ，使得∠AOB ＝90°，则BP →·OA→＝________，|BP →＋OA →|＝________.答案 2 2 3解析 由题意可得圆O 的半径r ＝（3）2＋12＝2，所以P (0，2)，则直线AP 的方程为y －2＝2－10－3(x －0)，即y ＝－33x ＋2.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2，则OA→＝(3，1)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2.由∠AOB ＝90°，可得OA →·OB →＝0，所以3x －33x ＋2＝233x ＋2＝0，解得x ＝－3， 所以B (－3，3)， 所以BP→＝(3，－1)， 所以BP →·OA→＝3×3＋(－1)×1＝2， |BP→＋OA →|＝|(3，－1)＋(3，1)|＝|(23，0)|＝2 3. 9.(2022·太原模拟)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________. 答案 3解析 以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1. ∴C (2，0)，D (1，a ).则MC→＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC→＋MD →＝(3，a －2b ). 因此|MC→＋MD →|＝9＋（a －2b ）2，∴当且仅当a ＝2b 时，|MC→＋MD →|取得最小值3.10.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0，于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C ＝2A ，cos A ＝34. (1)求cos C ，cos B 的值； (2)若BA →·BC→＝272，求边AC 的长. 解 (1)cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，所以sin C ＝378，sin A ＝74，所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝74×378－34×18＝916.(2)因为BA →·BC→＝272，所以ac cos B ＝272，即ac ＝24①.又a sin A ＝csin C ，C ＝2A ，所以c ＝2a cos A ＝32a ②. 由①②解得a ＝4，c ＝6， 所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝16＋36－2×4×6×916＝25，所以b ＝5，即边AC 的长为5.12.△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则BA →在BC→方向上的投影等于( ) A.－32B.32C.32D.3答案 C解析 △ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，所以点O 在BC 上且O 为BC 的中点，如图，所以BC 是△ABC 外接圆的直径.故∠BAC ＝90°.因为|CO→|＝|AO →|＝|AC →|， 所以△OAC 是等边三角形，所以∠ACB ＝60°，所以∠ABC ＝30°.在Rt △ABC 中，|AB →|＝|BC →|sin 60°＝ 3.所以BA→在BC →方向上的投影为 |BA →|·cos ∠ABC ＝|BA →|·cos 30°＝3×32＝32，故选C.13.(2022·安徽五校联盟质检)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足OA→＋OB →＋OC →＝0，又AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.32B.3C.1D.2答案 C解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，可得AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝12|AB →||AC →|＝23， 所以|AB→||AC →|＝43， 所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3.又OA→＋OB →＋OC →＝0， 所以O 为△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝1.14.已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________.答案 2829解析 因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34.因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝[（e 1＋e 2）·（3e 1＋e 2）]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2 ＝（4＋4e 1·e 2）2（2＋2e 1·e 2）（10＋6e 1·e 2）＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t， 又y ＝4＋4t5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增， 所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos2θ的最小值为2829.。

平面向量专题复习一题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1.设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP += ，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=2.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF = _________4、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.5、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____ 2; 题型二： 平面向量基本定理1、在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = _________2、 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为______.123、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=23 ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = ______________ 4455a b - 题型三: 平面向量的坐标表示与运算1、已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 值为________2、已知向量(1sin )a θ= ，，(13cos )b θ= ，，则a b - 的最大值为_______ 3、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______24、已知向量(1,0)a = ，()11b = ，，则 （Ⅰ）与2a b + 同向的单位向量的坐标表示为____________；31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）向量3b a - 与向量a 夹角的余弦值为____________。

1高三文科数学平面向量复习讲义一:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，且0b ≠，则1212//0a b x y y x ⇔-=。

1．（1）已知向量(2,3),(,6),a b x ==，且//a b ，则x=_______。

（2）已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+r r r r r ，2v a b =-rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值。

练习1：设31(,sin ),(cos ,)23a b αα==,且有//a b r r ,则锐角=α 。

练习2: 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，回答下列问题：（1）求c 23-+ （2）求满足a mb nc =+的实数m,n ； （3）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ；（4）若满足()()b acd +-//，且||d c -=练习3: (1) 向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？2(2) 已知(1,0),(2,1)a b == ,（1）求|3|a b +； （2）当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行， 平行时它们是同向还是反向？.二:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⊥⇔+2：在△ABC 中，∠C ＝90°，(,1),(2,3),AB k AC ==，则k 的值是（ ）A 5B -5C 32D 32-练习：已知向量(3,4),(2,1)a b ==-r r，如果向量a xb +r r 与b r 垂直，则x 的值为 （ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25-三：若(,)a x y =则222||a x y =+，或||a =3：(1)已知向量(2,2),(5,),a b k =-=，若||a b +不超过5，则k 的取值范围是__________。

数学讲义之平面向量【主干内容】1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ．2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．3．平面向量的坐标运算： 若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R，则：＋＝ －＝ λ＝4. 向量的数量积的几何意义： |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)． ·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．5．向量数量积的运算律：a ·b ＝ ； (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )；(a ＋b )·c ＝总结： 在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。

其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。

大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。

【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算〖例1=，则b a =； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件； ③若==,，则c a =； ④b a ==且a ∥b ； ⑤若∥，∥，则∥。

其中，正确命题的序号是____________〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0B ． BE →C ．.AD → D ．CF →〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？【小结】：1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算〖例1〗设＝(ksin θ, 1)，b ＝(2－cos θ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量,均为单位向量，它们的夹角为︒45，实数x 、y 满足1||=+y x ，则y 的取值范围是 ．〖例3〗已知向量＝(cos2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求cos(α－β)的值．〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.〖例5〗在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．【小结】：1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 题型三：平面向量的数量积〖例1〗已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a⊥b，求θ；(2) 求|a ＋b |的最大值．〖例2〗（2011全国） 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.〖例3〗（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________． 【小结】：1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意·b 与ab 的区别．·b ＝0≠＞＝，或b ＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。

高三二轮复习专题：平面向量(老师)文科专题平面向量考点整合1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a |a |. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量．(5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a ·b 运算结果不仅与a ，b 的长度有关而且与a 与b 的夹角有关，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．真题感悟1．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5B ．25C ．5D ．10答案C解析因为AC →·BD→＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.2．(2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C. －322D ．－3152答案A3．(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.答案4解析以向量a 和b 的交点为原点建立直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4. 4．(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝1，则AB 的长为______．答案12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE→＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →， ∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →) ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 题型与方法题型一向量的概念及线性运算例1 (1)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4等于( ) A ．3B.13C ．－3D ．－13(2)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB→＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC→＝mOA →＋nOB → (m ，n ∈R)，则m n ＝________.审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示求tan α，再用差角公式求tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4；(2)寻找点C 满足的条件．答案(1)C (2)3解析(1)∵a ∥b ，∴cos α＝－2sin α.∴tan α＝－12，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－12－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－3. (2)方法一|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，不妨假设点C 在AB 上，且∠AOC ＝30°.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0，3)，C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，OC→＝mOA →＋nOB → (m ，n ∈R)，所以存在m ＝34，n ＝14使假设成立，此时m n ＝3. 方法二由条件|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB→＝0，可建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴的直角坐标系，则OA →＝(1,0)，OB→＝(0，3)． 由OC→＝mOA →＋nOB →，得OC →＝(m ，3n )． 又因为∠AOC ＝30°，点C 在∠AOB 内，可得3n m ＝tan30°＝13，n m ＝13，即m n ＝3. 反思归纳向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.变式训练1如图所示，在△ABC 中，点O 是BC的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN → (m ，n >0)，则1m ＋4n 的最小值为( )A ．2B ．4C.92D ．9 答案C解析MO→＝AO →－AM → ＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1m AB →＋12AC →. 同理NO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1n AC →＋12AB →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1m －λ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－λ2＋λn AC →＝0，由于AB →，AC →不共线，根据平面向量基本定理12－1m － λ2＝0且12－λ2＋λn ＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2，故1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋4n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥12(5＋4)＝92. 题型二平面向量的数量积例2 (1)已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.(2)(2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．审题破题 (1)利用公式|a |2＝a ·a 直接计算；(2)利用基向量法，把AM→，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．答案(1)7 (2)[1,4]解析(1)|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2－10a·b ＋b 2＝25×12－10×1×3×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32＝49， 所以|5a －b |＝7.(2)如图所示，设|BM →||BC→|＝|CN →||CD →| ＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD→， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD→＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD→＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD→ ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN→取得最大值4； 当λ＝1时，AM →·AN→取得最小值1. ∴AM →·AN→∈[1,4]． 反思归纳向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算．变式训练2 (1)(2012·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP→＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R.若BQ →·CP→＝－2，则λ＝________.答案23解析由题意知BQ→＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB→， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且AB →·AC→＝0， 故BQ →·CP→＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB→＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________． 答案712解析由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.题型三平面向量与三角函数的综合例3已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．审题破题求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．(1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．注意利用换元法令t ＝sin x ＋cos x 时，要确定t 的取值范围．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果． 解(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x ·cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x＝－22.即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π，∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a·b |a|·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x－α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π3＋2sin2α＝0.∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35. 反思归纳在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 变式训练3 (2013·辽宁)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解(1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin2x －12cos2x ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.小题冲关1．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA→＋AB→＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB→上的投影的长度为( ) A.3B ．3 C ．－3D ．－3 答案A解析由OA →＋AB →＋AC →＝0， 得AB→＋AC →＝AO →.又O 为△ABC 外接圆的圆心，OB ＝OC ， ∴四边形ABOC 为菱形，AO ⊥BC . 由|OA →|＝|AB →|＝2，知△AOC 为等边三角形． 故CA →在CB →上的投影的长度为|CF →|＝2cosπ6＝ 3.2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案B解析CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎪⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.3．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 答案D解析设BC 中点为M ，则PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2 ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立， ∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D. 4．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案3 2解析∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.5．(2013·课标全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案2解析∵c ＝ta ＋(1－t )b ， ∴c ·b ＝ta ·b ＋(1－t )·b 2 ＝t ×1×1×cos60°＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0. ∴t ＝2.6．(2013·浙江)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______． 答案2解析①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(xe 1＋ye 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xye 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy . ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≤2.由①②知|x ||b |的最大值为2.。

高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。

在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。

下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。

一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。

在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。

向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。

向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。

其中，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。

三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。

计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。

其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。

向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。

四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。

共线的向量也叫线性相关向量。

线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。

线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。

五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。

在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。

例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。

六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。

各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥则实数m 的值为（ ）A.1B.32C.2D.3【答案】D【解析】因为(),a mb a -⊥ 所以()0a mb a -= ，即20a m a b -=，所以2cos600a m a b -=，解得3m =，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形 【答案】D 【解析】因为2···()AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC CA CB =++=-+AB AB CA CB =+ ,所以0CA CB = ，即C A C B⊥ ，所以三角形为直角三角形，选D.3【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a bc + 与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c +，所以30++=，解得3k =-，选A.4【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知点(5,6)(1,2),M a M N a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A.5【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -= ，即(2,1)(5,2)0k -= ，所以10+20k -=，即12k =，选D.6【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C7【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，已知4,,,3AP AB OA OB OP OP = 用表示则等于A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333OA AB OA OB OA OA OB =+=+-=-+,选C.8 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数 【答案】D【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选D.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.10 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=,则下列结论中错误的是A ．v u ⊥B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C.11 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若向量a 与不共线，0≠⋅b a ，且()a a c a b a b=-，则向量a 与c 的夹角为（ ）A. 0B.6π C.3π D.2π 【答案】D【解析】因为()a a c a ba b =- ，所以222[()]0a a c a a b a a a b =-=-=，所以a c ⊥ ，即向量夹角为2π，选D.12 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|-的最大值为4，最小值为0.故选D.13 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部【答案】C【解析】由AB PC PB PA =++得PA PC AB PB AP +=-=，即2PC AP PA AP =-= ，所以点P 在线段AC 上，选C.14 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】若()1,a b a a b ==⊥- 且，则向量,a b的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A【解析】因为()a ab ⊥- ，所以()0a ab -= ，即20a ab -= ，即2ab a =，所以向量,a b的夹角为2cos ,2a a b a b a b a b<>====，所以,45a b <>= ，选A. 15 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知(2,)a m = ，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥ ，则||a ＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a == ，故选B ． 16. 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以B AC D E F C D D E E ++=++=,选 D.17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a，1=b ，则=+b aA ．9BC ．3D ． 7 【答案】B【解析】2a =,1cos ,2112a b a b a b =<>=⨯⨯= ,所以22224127a b a b a b +=++=++= ，所以a b += B.18. 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知向量a ),2(x =，b)8,(x =，若a ∥b，则x =A.4-B.4C.4±D.16【答案】C【解析】因为//a b，所以2160x -=，即4x =±，选C.19 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=cA. b a 2321--B. b a 2321+-C. b a 2123-D. b a 2123+- 【答案】D【解析】设c xa yb =+ ，则(1,2)(1,1)(1,1)(,)x y x y x y --=+-=+-，所以12x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3122c a b =-+ ，选D.20 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，则可以证明''''=AOB AOC B OC S S S ∆∆∆=。

5 10 2- - - - BQ 平面向量专题一、选择题例 1. ∆ABC 中， AB 边的高为CD ，若CB = a ， CA = b ， a ⋅ b = 0 ， | a |= 1， | b |= 2 ，则 AD =1 1 （A ） a b332 2（B ） a b3 3 3 3（C ） a b5 54 4 （D ） a b55例 2.设 x ∈ R ，向量 a = (x ,1), b = (1, -2), 且 a ⊥ b ，则| a + b |=（A ） （B ） （C ） 2 例 3.设 a ，b 是两个非零向量。

（D ）10 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥bB.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λaD.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b|a b例 4.设 a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是（）| a | | b | A 、| a |=| b | 且 a // b B 、 a = -bC 、 a // bD 、 a = 2b例 5.设向量 a =（1. cos ）与b =（-1， 2 cos ）垂直，则cos 2等于 （）1 A BC .0 D.-1 2211 例 6.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =(A) —1(B) —(C)(D)122例 7.若向量 AB = (1, 2) ， BC = (3, 4) ，则 AC =A. (4, 6)B. (-4, -6)C. (-2, -2)⋅ D. (2, 2)例 8.对任意两个非零的平面向量和 ， 定义=⋅. 若两个非零的平面向量 a ， b 满足 a 与 b 的夹角∈⎛⎫⎧ n ⎫, ⎪ ，且a b 和b a 都在集合⎨ n ∈ Z ⎬中，则a b =⎝ 4 2 ⎭ 5 3 ⎩ 2⎭ 1A.B.C. 1D.2 22例 9.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a ⊥b 的充要条件 1A.x=-2B.x-1C.x=5D.x=0例 10.在△ABC 中， ∠ A=90°，AB=1，设点 P ，Q 满足 AP =AB ， AQ=(1- ) AC ，∈R 。