2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ）
第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记
1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r
.
（3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r
，方向任意.
（5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加减法
①共起点的向量的加法：平行四边形法则
②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点.
如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量
④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r
是平面内两个不共线的
向量，a r
为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得
1122a e e λλ=+u r u u r r
，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2. 平面向量的坐标运算??
①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r
r ；
()()1111,,a x y x y λλλλ==r
，
②(),B A B A AB x x y y =--u u u r
，AB =
u u u r
③(),a x y =r ，则a =r
3. 平面向量的数量积
①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ⋅=r r r r （θ为向量a r
与b r 的夹角，[]0,θπ∈）
； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ⋅=+r
r ；
③22a a a a =⋅=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr
（θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角⇔0a b ⋅r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角⇔0a b ⋅r r p ，且a r
与b r 不
反向；
θ为直角⇔0a b ⋅=r r （θ为向量a r
与b r 的夹角）.
4.向量的平行：
① a r ∥b r a b λ⇔=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r
∥b r 1221x y x y ⇔=
5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r
r r
第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.
考点1：平面向量的有关概念 例1．给出下列命题：
①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相反或者相同；②ABC ∆中，必有
0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC =u u u r u u u r
④若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a 、b 之一方向相同．
其中正确的命题为________． ②③
变式训练： 1.给出下列命题：
①向量AB u u u r 与向量BA u u u r 的长度相等，方向相反；②0AB BA +=u u u r u u u r r ；③a r
与b r 平行，则a r
与b r 的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB u u u r
与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线.其中不正确的个
数是（ ）
A .2
B .3
C .4
D .5
2.已知下列命题：①若k R ∈，且0kb =r r ，则00k ==r r
或b ；②若0,=00a b a b ==r r r r r r
g 则或；③若不平行的两个非零向量a b r r ，，满足=a b r r ，则
(
)()
+-0a b a b =r r r r ；④若a r r 与b 平行，则a a b =r r r r g b ，其中真命题的个数是（ ）
A .0
B .1
C .2
D .3
3.给出下列命题：①若=a b r r
，则=a r r b ；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若=,a c =r r r r
b b ，则a
c =r r ；④a=r r b 的充要条件是=a b r r 且a r ∥r b ；⑤a r ∥r b ，r
b ∥
c r ，则a r ∥c r .其
中正确命题的序号是（ ）
A .②③
B .①②
C .③④
D .④⑤
考点2：平面向量的线性运算
例2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是______．
①AB →=DC → ②AD →＋AB →＝AC → ③AB →－AD →＝BD → ④AD →＋CB →＝0
例3.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →，在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC
与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.
解 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12
(OB →＋OC →)，
即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；
DC →＝OC →－OD →＝OC →－23
OB →
