高中数学北师大版选修22复习第二章 导数的概念与导数的几何意义PPT课件

(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5

=
4������,
得k=f'(x0)=4x0.
根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.
故所求切点为 P(2,1),a=2x02 − ������0 = 7.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
f'(x0)=
lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
[2(������+������)2-������]-(2������2-������) ������
=
lim (4������
Δ ������ →0
+
2������)
y=
1 2
������
+
2,
则������(1) + ������′(1) =
.
解析:由导数的几何意义得
f'(1)=
1 2
,
由点M
在切线上得
f(1)=
1 2
×
1
+
2
=
5 2
,
所以f(1)+f'(1)=3.
答案:3
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D 典例透析 IANLI TOUXI
A.f'(x0)=2
B.f'(x0)=-2
C.f'(x0)=1
D.f'(x0)不确定
答案:A
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点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )

−

函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.


∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，

(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
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导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0) Δy fx1－fx0 变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ Δx x1－x0 fx0＋Δx－fx0 . Δx
菜 单
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(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题． 2．过程与方法 通过对瞬时变化率的研究，体会“逼近”的含义，经过 思考、讨论、探究，抽象概括出导数的定义；并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广，经历建 立导数概念的过程，体会由特殊到一般及认识事物的规律， 并感受其中蕴含的逼近思想；

1 －2＋Δx
＝－12，
∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－
12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
x1－x0 ＝
Δx
，当x1趋于x0，即Δx趋于0
时，如果平均变化率趋于一个 固定的值 ，那么这个值就是
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x0点的导数．
2．记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 fx1－fx0
f′(x0)表示，记作 fx0＋Δx－fx0
[一点通] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)·(x－x0)．
4．已知f(x)＝x2，曲线y＝f(x)在点(3,9)处的切线的斜率 为________． 解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为kPQ＝3＋ΔΔxx2－9＝6＋Δx. 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
又∵f′(1)＝6，∴2a＋2＝6，∴a＝2.
3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx， ΔΔxy＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx， ∴Δlixm→0 ΔΔxy＝Δlixm→0 1＋1＋1Δx＝2， 从而f′(1)＝2.

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无

马 的需门脚吗的前锋这助的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

【解析】
在点P处的切线方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),
即y=(2x1+2)x-x21
①
曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线斜率
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2
解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 ,
∴所求直线的斜率为-3.
3
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1) 即3x+y+2=0. 答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
列条件.
x2
（1）平行于直线y=x+1.
(2)垂直于直线2x-16y+1=0.
(3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即
-
8
x
3 0
=1,
∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1).
(2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1,
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（ ）
（A）6
（B）18

的平均变化率：
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)

北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
13
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
___ .
2
11
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.

������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE

T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.

ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
= lim
Δy
导.学. 固. 思
问题3
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在
Δy Δx
= lim x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= Δlim x →0 Δ x Δ x →0
f( x 0 +Δ x )-f(x 0 )
.
相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
【解析】由已知得: lim lim
f( x 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ h →0
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) h
f (x 0 +h )-f (x 0 ) h
h →0
.
=2,
当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
= ������������������

0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
典例剖析：
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
Δ→0
若′ 0 = ，则 lim
A.−2
B.2
)
D.–
C.
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
解析：∵′ 0 = lim
= ，
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
1 − 0
1 −0
1 →0
′ 0 = lim
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
2.求导数的一般步骤：
①求函数的改变量Δ = 0 + Δ − 0 ；
Δ
②求平均变化率
Δ
=
0 +Δ − 0
Δ
③取极限，得导数′ 0 =
；
Δ
lim ．
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)<0
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
1.导数的概念：设函数 = ，当自变量从0 变到1 时，函数值y从 0 变到
Δ
Δ
1 ，函数值y关于x的平均变化率为
=
1 − 0
1 −0
=
0 +Δ − 0
Δ
当1 趋于0 ，即Δ趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函

答案:B
=1,所以切线的
4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标
为
.
解析:设点 P(x0,202 +4x0),
f(x0 +x)-f(x0 )
则 f'(x0)= lim
x
Δ→0
2
2(Δ) +40 ·Δ+4Δ
=
=4x0+4.
Δ
x→0
由题意知4x0+4=16,解得x0=3,
2
B.3
2
C.-3
1
D.-3
1 2
3
3.已知曲线 y=f(x)= x -2 上一点 P(1,- ),则曲线在点 P 处的切线的倾斜角为
2
2
(
).
A.30° B.45° C.135°
D.165°
f(1 + x)-f(1)
lim
解析:曲线y在点P处的切线的斜率k=f'(1) = Δ→0
x
倾斜角为45°.
4
解:(1)设P0(x0,y0)是满足条件的点,则曲线在点P0处的切线的斜率
2
(0 +Δ) -20
f(x0 +x)-f(x0 )
k0= lim
=
=2x0.
x
Δ
Δ→0
x→0
因为切线与直线y=4x-5平行,
所以2x0=4,即x0=2.
当x0=2时,y0=4,即点P0的坐标为(2,4).
即y=2x-1,y=10x-25.
随堂练习
1
1
1.曲线 y=- 在点 ,-2 处的切线方程是(

2
A.y=x-2

1
3 1
3
(2+x)
×2
3
3
x
1
22 Δ+2(Δ)2 +3(Δ)3
Δ→0
=
Δ
1
= lim [4+2Δx+3(Δx)2]=4,
Δ→0
1
∴曲线 y=3x3 在点 P 处切线的斜率为 4.
1
8
(2)由曲线 y=3x3 的切线过点 P 2, 3 ,斜率为
8
y- =4(x-2),即 12x-3y-16=0.
易错分析求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求
过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此
分析因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的
距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B
作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.
-18-
§2 导数的概念及其几何意义
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
思维辨析
解:由 f(x)=√,得 f(4)=2,∴A(4,2).
两条切线与 x 轴围成的三角形如图所示,所以
3
所求三角形的面积为 .
4
1
S=2×1×
1
2- 2
=
3
,即
4
-23-
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思维辨析
求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异
【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程.