导数的概念课件

右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为

函数值 y：
△
平均变化率：
△
=
( +△)−( )
.
△
注 : x是一个整体符号, 而不是与x相乘.
∆y
∆x
追问 3：函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率如何表示？
∆x→0时，看平均变化率
△
△
=
( +△)−()
的变化情况.
△
y
探究：当 x 无限趋近于 0 时，平均变化率
率上升.
结合图象和导数的意义，函数先降落且降落趋势逐渐平缓，表明温度在逐渐降落，且降落速
率逐渐减小，直至到图象最低点所对应的时刻，它温度在该时刻的瞬时变化率为0；此后每一时
刻温度的瞬时变化率都为正，且每一时刻的瞬时变化率都在增大.
理解导数(瞬时变化率)的意义
例3.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为
在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少.
v'(t0) (t0≥0)反应了汽车
速度在时刻t0附近的变
化情况
课堂小结
1.什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？
2.计算导数的步骤是什么？
3.本节课蕴含了什么思想方法？
通过一种现象（从“平均变化率”到“瞬时变化率”
）
，利用一种运算（极限）
v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
2
2
v(t0 t ) v(t0 )

(
t


t
)

6
(
t


t
)

x
1 1 lim 1 x
x0 x
1
lim (
) 1.
x0 1 x
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要 对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位 : C) 为y f ( x) x2 7 x 15( 0 x 8).计算第2h和第6h,原油 温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大 致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时 间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4， 0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
小结：
1.导数的定义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim lim f (x0 x) f (x0)
y
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f '(x0)
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 y f (x0 x) f (x0) （2）求平均变化率 y
2.求曲线y 2x2 1在点(1， 1)处的切线方程.
3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.
解 : lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x y = x 2+1
lim (1 x)2 1 (11)
x0
x
lim 2x (x)2 2.

∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0

复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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感谢聆听
导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。

C
A.12 B. C.24 D.
【解析】由,得 ，，， ，故选C.
5.［北师选必二P72习题2-5第2（1）题变式］已知二次函数 ，设，若函数的导函数 的图象如图所示，则( )
D
A.， B.， C.， D.，
【解析】依题意，， ，所以.由题图知，即 ,得，令,则,由根与系数的关系知,所以 的另一个零点为，即，所以有， ，故选D．
B
A.5 B. C. D.
【解析】设与直线平行的直线的方程为.设直线与曲线 相切于点，由得，则，解得，则，所以切点为．此时 ,符合题意.点到直线的距离,所以的最小值为 .故选B．
9.［人A选必二P82探究与发现变式］牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为 的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与 轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到,， ,，它们越来越接近 .若，，则用牛顿法得到的的近似值 约为( )
导数的几何意义
贰
教材知识萃取
导数的几何意义函数 在 处的导数 的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即 ③_______.相应地，切线方程为④__________________________.
教材知识萃取
规律总结奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（3）复合函数的导数复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ⑫________，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积.
注意 （1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.
导数的概念及其意义、导数的运算
目录
壹
导数的概念及运算
贰
导数的几何意义

=
= 2.35 Τ
0.5 − 0
ℎ 2 − ℎ 1
=
= −4.9 1 + 2 + 4.8
2 − 1
思考
提示：
48
ℎ−ℎ 049== 0 Τ48
−0
49
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
因此，用平均速度不能准确反应运动员在这一时间段里的运动状
态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
点从x=1到x=2的平均速度为(
A.-4
B.-8 C.6
)
D.-6
答案 D
解析 由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
(2)-(1)
2-1
故选D.
=
-8+1-(-2+1)
=-6.
1
规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步:求时间的改变量x2-x1;
第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);
=6+Δt,故选
3+Δ-3
A.
)
角度2
瞬时速度
【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数
s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
(1+Δ)-(1)
分析计算物体在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)内的平均速度
Δ
s(1+t)-s(1)
y 相乘.
2． 1 ，2 是定义域内不同的两点，因此∆ ≠ 0，
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零

导数在现代数学中的地位与作用
地位
导数是现代数学中非常重要的概念之一，是连接初等数学和高等数学的重要桥梁。
作用
导数在解决实际问题、优化问题、微分方程等领域有着广泛的应用，是研究函数性质、解决数学问题 的重要工具。
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对数函数求导
对于对数函数$ln(x)$，其导数为 $frac{1}{x}$。
三角函数求导
对于三角函数如$sin(x)$和 $cos(x)$，其导数分别为 $cos(x)$和$-sin(x)$。
03
导数在实际问题中的应用
导数在极值问题中的应用
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问 题，通过求导判断函数的单调性
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义表示函数图像在某一点的切线斜率。
详细描述
函数在某一点的导数值等于该点处切线的斜率。当函数在某点可导时，该点的 切线斜率就是该点的导数值。切线斜率决定了切线的倾斜程度，进而影响函数 在该点附近的增减性。
导数与瞬时速度的联系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系，瞬时速度是速度函数的导数。
，进而确定函数的极值点。
单调性分析
导数的正负决定了函数的增减性， 当导数大于0时，函数单调递增； 当导数小于0时，函数单调递减。
极值判断
在极值点处，导数由正变负或由负 变正，通过判断导数的符号变化可 以确定极值点。
导数在切线问题中的应用
切线斜率
导数即为函数在某一点的 切线斜率，通过求导可以 得到切线的斜率。
切线方程
已知切线斜率和一点坐标 ，可以求出切线方程。
曲线的凹凸性
通过求二阶导数可以判断 曲线的凹凸性，二阶导数 大于0时，曲线为凹；二阶 导数小于0时，曲线为凸。

第4页/共32页
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
第10页/共32页
专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．

4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：

4
4

Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx

2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx


2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0

从而 y′|x＝2＝2.
y
y
量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值
，即 x ＝
x
f（x 0＋Δx）－f（x 0）
______________________叫做函数y＝f(x)从x
0到x0＋Δx的平均变
Δx
化率．
2．函数在x＝x0处的导数
y
y
如果当Δx→0时，平均变化率 x 无限趋近于一个确定的值，即 x 有
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至
可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的
切线．
例 1.
已知函数 f(x)＝2x2＋4x，则 f′(3)＝________.
解析：
(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
1
＝3liΔxm→0
Δx
1
＝3li m [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
Δx→0
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。