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导数的概念6.2说课PPT

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导数的概念ppt课件

导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))

导数的概念教学课件

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最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。

导数的概念-课件-导数的概念

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束

导数的概念 课件

导数的概念 课件
A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s钟运动42 m C．物体开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过一秒， 物体运动的路程为42 m
由导数的定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格 按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
解析：
f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝
lim
Δx→0
1＋ΔΔxx2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
同理可得f′(3)＝6.
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移
为Δs，那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义：
一般地，lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
，我们称它为函数y＝
f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
C．当时间为Δt 时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导，则
lim
Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝(
C
)
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42(m/s)， 其实际意义是( D )

导数概念课件

导数概念课件

02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。

高中数学导数的概念课件

高中数学导数的概念课件

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。

导数的概念课件

导数的概念课件

导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。

导数的概念、求导法则 PPT资料共28页

导数的概念、求导法则 PPT资料共28页

a
(arcxs)in 1
1 x2
(lnx) 1
x
(arccx)os 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(acrc ox)t
1
1 x
2
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
例如，(
1
x ) (x 2 )

1
x

1 2
2
1 2x
(C) 0
(x ) x1
(sixn)coxs
(cox)ssixn
(taxn)sec2 x
(cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
(ax ) ax lna
(ex ) e x
(loaxg)x
1 ln
2. 已知
则
k0
3. 设
存在, 且
求
解:
1limf(1(x))f(1)
2x 0
(x)
所以
4. 设
存在, 求极限 lim f(x0h)f(x0h).
h 0
2h
解: 原式 l im f ( x0 ) f ( x0 ) f(x0h)
h 0
2h
l im f ( x0 ) f (x0 h)f ( x0 )
f(x0 )
例如, f(x) x 在 x = 0 处有
例 ： 设 y=xx， 求 f(0).
例 ： 设 f(x)= xarctan1 x 0
x0， 求 f(0) x0
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
若函数在开区间Fra bibliotek内可导, 且

导数的概念PPT教学课件

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坦因两次掠走遗书、文
物一万多件。
•1908年法国人伯希和从
藏经洞中拣选文书中的
精品，掠走约5000件。
•1910年藏经洞中的劫余
写经，大部分运至北京， 交京师图书馆收藏。
斯坦因和王圆箓像
•1911年日本人橘瑞超和吉川小一郎从王道士处，弄走
约600件经卷。
•1914年俄国人奥尔登堡又从敦煌拿走一批经卷写本，
作业布置
• 一、作业：想一想 议一议 • 二、预学指导：第10课 辽、西
夏和北宋并立
检查预习
• 1、宋辽，宋夏和议共同点是（ ） A辽夏向宋称臣 B北宋割地求和 C北宋送给 辽夏“岁币”D互相禁止边境贸易 2、辽夏吸取南下劫掠遭抵抗的教训，进而 推行（ ） A扩军备战 B用严酷刑罚镇压 C破坏被占领 地区经济 D“以汉制待汉人”
x在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量: y= x+x x
算比值, y x x x
1
x
x
x x x
取极限,
y
1
1
lim lim
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
学生展示，教师明确
学习指导（二）
“观者如山”的乐舞 请同学们自由朗读本目内容，先自主
思考以下问题，再与同位之间交流一下。 3分钟后看谁完成的最好。
《秦王破阵乐》的作者是唐朝皇帝 A.唐太宗 B.武则天 C.唐玄宗 D.唐中宗
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9
（2）过程与方法目标 通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具
体到抽象、特殊到一般的思维方法； 领会极限思想和函数思想； 提高学生类比归纳、抽象概括、联系与转化
的思维能力。
10
三、目标分析
情感与价值观目标 （延展层）
过程与方法目标 （提高层）
知识与技能目标 （基本层）
11
（3）情感与价值观目标 通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣
y x
lim
x0
y x
2、导函数及求法
三、导数的几何意义
曲线 y f ( x) 在 x x0处的 切线斜率
四、导数的物理意义 五、导数与连续
可导则连续，而连续不一 定可导。
演 算 区
27
（六）分层作业 深化概念
必做题：1、习题2－1 1.（9）（13）（21） 2.（9）（10） 4.（2）
24
（五）小结整理 形成系统 (5)
导数是什么？
文字语言
函数的瞬时变化率
符号语言 几何语言
求导步骤：
lim
x0
y x
或
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
曲线 y f ( x) 在 x x0 处的切线斜率
y
y x
lim
x0
y x
可导与连续的关系
可导则连续，而连续不一定可导。
说课（基础部）
1
说课过程:
教
学
教
教
学
目
材
情
标
分
分
分
过 程 与 教 学
学 反 馈 与
析
析
析
方 法
反 思
分
析
2
一、教材分析
1. 教学内容（三课时）
可导与连续的关系
物理意 义
导数定义
几何意
求导
义
3
2. 教学重点、难点 重点：导数的定义、几何意义、用定义求导的方法 难点：对导数概念的理解
3. 导数的地位与作用（横向、纵向、专业课）
与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发 学生对数学知识的热爱，形成正确的数学观。
12
四、教学过程和教学方法分析
创设情境 提出问题 (20)
分层作业 深化概念 (5)
类比探究 形成概念 (25)
小结整理 形成系统 (5)
启发探索 发展概念 (35)
练习反馈 巩固概念 (45)
13
（一）创设情境 提出问题 情境1:
6
三、目标分析
情感与价值观目标 （延展层）
过程与方法目标 （提高层）
知识与技能目标 （基本层）
7
（1）知识与技能目标
理解导数的概念、导数与连续的关系 掌握用导数定义求导数的方法 领会导数的几何意义与物理意义
8
三、目标分析
情感与价值观目标 （延展层）
过程与方法目标 （提高层）
知识与技能目标 （基本层）
u(t) t2 2t 3 ，试问：在 t 时刻，电路中
的电流是多少？
19
例4：已知一个运动物体的位移 S( 单位 m) 与时间 t (单位 s) 满足关系 S(t) 2t 2 5t ： (1).求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；(函数在某点处的导数) (2).求物体在 t 时刻的瞬时速度；(导函数) (3).求物体 t 时刻运动的加速度,并判断是什么运 动。(瞬时变化率)
20
引导学生将新、旧知识相融合：
可导：
lim y
x0 x
连续： lim y 0 x0
二者是什么关系？
可导则连续，而连续不一定可导。
21
连续可导函数 (光滑曲线)
f(x)
22
Weiestrass函数 (a = 1/ 2,b = 3)
23
Weiestrass函数（细节）
x (0.10000001,0.10000002)
函数值的
量增 y
平均变化 瞬时变化
率y
t
率： x 0 时的极限
y lim x0 x
瞬时变化率
16
（二）类比迁移 形Байду номын сангаас概念
通过归纳上表中问题的共性，从而揭示问题
的本质。“由特殊到一般”，类比迁移，形成
“导数”的概念——导数即函数在某点处的瞬时 变化率。
求导步骤： y
y x
lim
x0
y x
17
4
二、学情分析
1. 有利条件
(1)知识储备 (2)自身的求知欲
2. 面临挑战
导数的概念是建立在极限的基础之上的，超乎学生的 直观经验，加之又是在运动变化过程中研究问题，抽象度 高。
5
因此，不论在课程内容编排还是教学方法的 选择上，都遵循以“学生为主体，教师为主导，知 识为主线，发散思维为主旨”的“四主”原则。
（三）启发探索 发展概念 (35)
在充分讲解概念的基础之上，组织学生分组讨论以
下几个问题，对导数的概念进行剖析：
1、如何判断一个函数在某点处是否可导？
2、除了
lim
x0
y之外，导数有没有其他的表达形式？
x
3、函数在某点处的导数的几何意义与物理意义是什
么？（提示：仔细推敲引例）
4、什么是导函数？和导数的区别与联系在哪里？
2、已知曲线 C 是函数 f ( x) 2x2 1 的图像：
(1).求点 (1, 3) 处切线的斜率 (2).求函数在 x 2 的导数。
选做题：1、上网查阅有关于微积分产生的时代背景与历
25
板书设计：
1、多媒体 信息量大 具备文字、图像、动画、音频和视频等功能
2、黑板 勾勒本节课程的主要线索、更好的诠释内容 对新接触的数学符号的规范使用进行示范
26
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、导数的概念
1、引例 (1).曲线的切线斜率 (2).瞬时速度
2、定义: ……
二、求导步骤
1、 y
请问:在任意时刻,地球绕太阳公转的运动方 向如何判定?
14
情境2：
此段视频播放的是刘翔在雅典奥运会中110米栏夺冠 的过程，请回答：
1、在此次比赛中刘翔的成绩是多少？
2、刘翔在第5秒末时速度如何计算？
15
引导学生完成下表：
研究 对象
求解问题
求解方法（三个步骤）
运动
具
规律
物体在 t0 时刻 的瞬时速度
（
f ( x) x x0

f (x0 ),在不至于混淆的情况下,导函数简称为导数）
18
（四）练习反馈 巩固概念 (45)
例1：求函数 y x2 在点 x 1 处的导数。
例2：函数
y sin x 在点 ( , 1 ) 处的切线是多少？
62
例3：设在 t 时刻，某电容C 两端的电压满足
体 H(t)
例 题
曲线
曲线在 P( x0 , y0 ) 点处的切线斜
y f (x) 率
路程的变 平均速度
化H
H
t
函数值的 割线斜率
量增 y
y
x
让 t0 求得瞬时
速度
让 x0 求得切线 的斜率
本质
H lim t0 t
y lim x0 x
一
般 函数 函数在 x x 0 情 y f (x) 处的变化率 形