材料力学第4章弯曲内力

FS (x)
ql 2
qx,
M (x) qlx qx2 22
FA
q
FB
剪力图为倾斜直线。 A
B
x = 0处, FS = ql/2 x = l处, FS = -ql/2
x l
弯矩图为二次抛物线。 ql FS
2
x = 0处, M = 0, x = l 处, M = 0
令 dM (x) ql qx 0
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Fs2
图（c）
qL
B
Fs2 q x2 a qL
M2
x2
Fs2
图（c）
M2
1 2 q( x2
a)2
qLx2
口诀:剪力左上右下为正；弯矩左顺右 逆为正。
[练习] 计算1-1、2-2截面的剪力和弯矩。
20kN
20kN m
1
2 10 kN m
A
C
D
B
1 RA 0.5m
x
x q＝q(x) dx
当坐标x有一增量dx时, 右 边截面上的剪力和弯矩应 分别为FS(x)+dFS(x)和 M(x)+dM(x)。
dx
FS(x)
FS(x)+dFS(x)
C
M(x)
M(x)+dM(x)
微段上的这些内力都取正值, 且 q(x) 设微段内无集中力和集中力偶。
由微段的平衡方程∑Fy=0和∑MC=0, 得
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲的概念及实例
4.1 弯曲的概念及实例
受力特征: 外力是作用线垂直于杆轴线的 平衡力系或作用于包含杆轴的纵向平面内 的一对大小相等、方向相反的力偶 。
变形特征: 梁变形前轴线为直线，变形后 成为曲线。
纵向对称面: 包含梁横截面的对称轴及梁 轴线的平面称为纵向对称面
F2
FS ( x)
Me l
(0 x l)
FA
(1)
A
a Me
b
FB B
C
由(1)式可见, 整个梁的
l
剪力图是一条平行于x
轴的直线。梁的任一横 截面上的剪力为
FS
Me/l
x
FS
Me l
由此绘出梁的剪力图
M (x) Me x (0 x a) (2)
l M (x) Me (l x)
(a x l)
FS FS (x)
M M (x)
这两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程。
取一平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置, 以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩, 画 出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形 叫做梁的剪力图和弯矩图。
绘图时将正值的剪力画在x轴的上侧；正 值的弯矩则画在梁的受压侧, 也就是画 在x轴的上侧。
在FS＝0的截面
dFS(x) q(x) dx
dM (x) dx
FS (x)
剪力图：
没有载荷水平线，均布载荷斜直线，小q向上 左斜上，小q向下左斜下，力偶载荷无影响， 集中载荷有突变。
弯矩图：
没有载荷斜直线，大Q为正左斜上，大Q为负 左斜下，均布载荷抛物线，“小雨向下”撑雨 伞，“火苗向上”对锅底，雨伞锅底是极值， 大Q为零为顶点，集中载荷有尖点，力偶载荷 有突变。
1m
1m
2 0.5m
RB
1m
解: RA 50kN RB 10kN
1 1 : Fs1 20 RA 10 0.5 25kN
RB 10 1.5 25kN
M1 20 1.5 RA 0.5 10 0.5 0.25 6.25kN m
RB 1.5 10 1.5 0.75 20 6.25kN m
dx 2
M
ql x
ql 2
2
8
得驻点： x l
x
2
l/2
弯矩的极值： Mmax
Mx l 2
ql 2 8
FA
q
梁在跨度中点截面
FB
上的弯矩值为最大
A
B
M max
Mx l 2
ql 2 8
x l
ql FS
但在此截面上FS = 0 2
ql x
两支座内侧横截面上
ql 2
2
剪力绝对值为最大
M
8
FS max
ql 2
梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段 的边界截面, 或FS = 0 的截面处。
4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
梁上作用有任意分
布载荷，其集度
y
O
q = q(x)
x q＝q(x)
规定：q(x)向上为正 。
将x轴的坐标原点取在梁的左端。
从梁中取出长为dx的微段, 并放大。
y
微段左边截面上的剪 力 和 弯 矩 分 别 是 FS(x) O 和M(x)。
A
Fs
C
1. 剪力Fs
YA
Fs
构件受弯时，横截面上其作 M C
用线平行于截面的内力。
P B
YB
M P
YB
2. 弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的 内力偶矩。 3.内力的正负规定:
①剪力Fs: 使微段产生顺时针转动的剪力为正； 反之为负。
FS(+)
Fs(+)
Fs(–)
Fs(–)
②弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；使梁 变成上凸形的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯 矩为正弯矩；即使梁上侧受拉的弯矩为负弯矩。
y x
qL A
x1Fs1
图（a） M1
图（b）
Fy qL Fs1 0 Fs1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
2--2截面处截取的分离体如图（c）
qL
1
2q
Fy qL Fs2 q(x2 a) 0
x1
1 a
2 b
Fs2 q x2 a qL y
FB
处左、右两侧横截 A
C
B
面上的弯矩值(图)
l
发生突变, 其突变值
FS
Me/l
等于集中力偶矩的
x
M
数值。此处剪力图 没有变化。
Mea/l x
Meb/l
4.4 剪力图和弯矩图
作剪力图和弯矩图的几条规律
在集中力或集中力偶作用处, 分布荷载开始 或结束处, 及支座截面处为界点将梁分段。分段 写出剪力方程和弯矩方程, 然后绘出剪力图和弯 矩图。
例1: 图示悬臂梁在自由端受集中荷载F作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。
解：将坐标原点取在 F
梁的左端, 写出梁的剪 A x
B
力方程和弯矩方程 ：
l
FS(x) F (0 x l)
FS
M (x) Fx (0 x l)
x
F
FS max F 负值, 全梁
M
M max Fl 负值, B截面
2--2截面处的剪力和弯矩
Fs2 20 50 101.5 RB 100.5 15kN
M2 20 2.5 50 1.5 10 1.5 0.75 20 6.25kN m
(RB 0.5 10 0.5 0.25 6.25kN m)
20kN
1 20kN m 2 10 kN m
A
C
D
qL
➢横截面上的剪力在数 值上等于此截面左侧 (或右侧)梁上外力的代 数和
x 图（a）
B M2
x2
Fs2
图（c）
M B(Fi ) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a )2
0
M2
1 2 q( x2
a)2
qLx2
y qL
➢横截面上的弯矩在数值 上等于此截面左侧(或右 侧)梁段上外力对该截面 形心的力矩的代数和
x
Fl
例2: 图示的简支梁在全梁上受集度为q的均布 荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
解: 求两个支反力
FA
q
FB
FA
FB
ql 2
A x
B
取距左端为x的任意
l
横截面,写出剪力方程 和弯矩方程。
ql FS
2
FS (x)
ql 2
qx
(0 x l)
(1)
ql x
2
M (x) qlx qx2 (0 x l) (2) 22
么载荷？
集中集力中力偶 均布载荷
4.2 受弯杆件的简化
2） 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，主要有 三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不 能求出全部支反力。
3) 工程中常见的静定梁
悬臂梁
简支梁
左端外伸梁
右端外伸梁
两端外伸梁
4) 工程实例
图示车床上的割刀及 刀架。割刀的一端用 螺钉压紧固定于刀架 上, 使割刀压紧部分 对刀架既不能有相对 悬臂移梁动, 也不能有相对 转动, 这种形式的支 座称为固定端支座, 或简称为固定端。
横截面上的内力。
A
l
解：①求支反力
F 0 , X 0 x
mA 0 ,
YB
Pa
lA
XA A
YA
Fy 0 ,
YA
P(l a) l
P B
P B
YB
②求内力——截面法
m
Fy 0 ,
Fs
YA
P(l a) l
XA A
MC 0 , M YA x YA
x
m
剪力 ∴ 弯曲构件内力
弯矩
FS(x) q(x)dx
y
[FS(x) dFS(x)] 0