名师金版教程高三数学文科一轮复习3.5限时规范特训(含答案详析)

04限时规范特训A 级 基础达标1．已知圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcos α－4ρsin α－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆的一般方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为3x －4y －9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋(－4)2＝95<2，所以直线与圆相交．明显直线不过原点(0,0)，故选D.答案：D2．[2022·台州质检]假如曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－22，0)B ．(0,22)C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(1,22)解析：将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为一般方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，依据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.答案：C3．[2022·朝阳区模拟]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin(θ＋π4)，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．很多个解析：直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)化成一般方程得x －y ＋4＝0.曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)化为一般方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8， ∴圆心C (2,2)到直线l 的距离d ＝|2－2＋4|2＝22＝r ，∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B. 答案：B4．[2022·福建模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为( )A ．[5，5]B ．[－5，5]C ．[－5，－5]D ．[－5，5]解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D.答案：D5．[2022·西安质检]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与曲线C 2的交点个数为________．解析：由题意得，C 1：x 2＋(y －1)2＝1，C 2：x －y ＋1＝0，由于圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上，故曲线C 1与曲线C 2有2个交点．答案：26．[2022·咸阳模考]若直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：将直线的极坐标方程和圆的参数方程分别化为直角坐标方程和一般方程得x ＋y －6＝0，x 2＋y 2＝1，则圆心(0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离h ＝62＝32，由圆的几何性质知圆C 上的点到直线l 的距离d 的最大值为32＋1.答案：32＋17．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋15t y ＝a ＋25t(t 为参数)，若直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点且|PQ |＝455，则a 的值为________．解析：由参数方程得直线的一般方程为2x －y ＋a －2＝0，|PQ |＝455，r ＝1，得圆心到直线距离d ＝15＝|a |5，∴a ＝±1. 答案：±18．[2022·唐山调研]设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________． 解析：由|PM 0|＝2知(22t )2＋(22t )2＝2，解得t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入其次个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.答案：1或－19．[2022·邵阳模拟]直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.答案：110．[2022·天津模拟]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2. (1)写出曲线C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． 解：(1)由ρcos(θ－π4)＝22，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ得C 的一般方程为x 23＋y 2＝1.(2)在曲线C ：x23＋y 2＝1上任取一点P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝|2sin (θ＋π3)－4|2≤3 2.∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为3 2.11．[2022·镇江模拟]已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.试推断曲线C 1，C 2是否相交，若相交，恳求出公共弦长，若不相交，请说明理由．解：由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θy ＝10sin θ(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10，∴曲线C 1的一般方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ， 即(x －1)2＋(y －3)2＝10，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210， ∴两圆相交．设相交弦长为d ，∵两圆半径相等， ∴公共弦垂直平分线段C 1C 2， ∴(d 2)2＋(322)2＝(10)2， ∴d ＝22，∴公共弦长为22.12．在直角坐标系xOy 中，已知点P (0，3)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝15sin φ(φ为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos (θ－π6).(1)推断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)直线l ：2ρcos(θ－π6)＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3， ∴直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3， ∴点P (0，3)在直线l 上．(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－12ty ＝3＋32t(t 为参数)，曲线C 的一般方程为x 25＋y 215＝1.将直线l 的参数方程代入曲线C 的一般方程， 得3(－12t )2＋(3＋32t )2＝15， ∴t 2＋2t －8＝0，Δ＝36>0， 设方程的两根为t 1，t 2，则|P A |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝|－8|＝8.B 级 知能提升1．[2022·南昌模拟]已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝________.解析：抛物线的一般方程为y 2＝8x ，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y －2＝0.圆ρ＝r 的圆心是坐标原点、半径为r ，直线x －y －2＝0与该圆相切，则r ＝|0－0－2|2＝ 2.答案： 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析：曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)化为一般方程：x 22＋y2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0，由于直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×(12＋k 2)＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)．答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)3．在直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋ty ＝1＋t (t 为参数)交曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长度及点M (－1,1)到A ，B 两点的距离之积； (2)若点P (x ，y )在曲线上，求x2y －4的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ′y ＝1＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线的直角坐标方程x 2＋2y 2＝4，得(－1＋22t ′)2＋2(1＋22t ′)2＝4，化简得3t ′2＋22t ′－2＝0，解得t ′1＝－2，t ′2＝23. 由参数t ′的几何意义，得|AB |＝|t ′1－t ′2|＝|－2－23|＝423，|MA |·|MB |＝|t ′1t ′2|＝23.(2)将⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)代入x 2y －4中，得到2cos θ2sin θ－4＝cos θsin θ－2，点(cos θ，sin θ)和点(0,2)之间的斜率的倒数就是所求的值，由直线与圆的位置关系，得cos θsin θ－2的取值范围为[－33，33]．。

《金版新学案》高三数学一轮复习 第五章 第3课时 等比数列及其前n 项和线下作业 文 新人教A 版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( )A ．3B ．1C ．0D ．－1解析： 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.答案： B2．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( ) A.14 B.12C.18D ．1 解析： 由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1.∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14. 答案： A3．在等比数列{a n }中，“a 2＞a 4”是“a 6＞a 8”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a 2＞a 4，得a 2＞a 2q 2，所以0＜q 2＜1，由a 6＞a 8得a 6＞a 6q 2，所以0＜q 2＜1，因此“a 2＞a 4”是“a 6＞a 8”的充要条件．答案： C4．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±64解析： 由根与系数的关系知：a 1·a 99＝16，∴a 250＝a 1·a 99＝16，又∵a n ＞0，∴a 50＝4.∴a 20·a 50·a 80＝(a 20·a 80)·a 50＝a 250·a 50＝a 350＝64.答案： B5．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6等于( )A ．240B ．±240C ．480D ．±480解析： ∵{a n }为等比数列，∴数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．∴a 5＋a 6＝120230＝480. 答案： C6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析： a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．答案： C二、填空题7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1a 5＝16，则S 5＝________.解析： 因为a 1a 5＝a 23＝16，故a 3＝4，由a 2＝2得a 1＝1，q ＝2，故S 5＝1×1－251－2＝31. 答案： 318．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1 n 为正奇数2n －1 n 为正偶数.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析： S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案： 3779．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 7＝4，数列{b n }是等比数列，已知b 2＝a 3，b 3＝1a 2，则满足b n ＜1a 80的最小自然数n 是________．解析： ∵{a n }为等差数列，a 1＝1，a 7＝4,6d ＝3，d ＝12. ∴a n ＝n ＋12，{b n }为等比数列，b 2＝2，b 3＝23，q ＝13. ∴b n ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，b n ＜1a 80＝281， ∴81＜26×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即3n －2＞81＝34. ∴n ＞6，从而可得n min ＝7.答案： 7三、解答题10．已知在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)证明：设b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1＋3－2a n －3＝2(a n ＋1－a n )＝2b n ，由题设知：a 2＝1，b 1＝2，则{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列．(2)由(1)知：b n ＝2n ，即a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋22＋21＝2n －2，得a n ＝2n －3(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝13＋2log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的最大值.【解析方法代码108001064】解析： (1)∵a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以2为公比的等比数列．∵a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2＋a 4＝2a 3＋4，∴2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由(1)及b n ＝13＋2log 12a n ，得b n ＝13－2n ，令13－2n ≥0，则n ≤6.5，∴当1≤n ≤6时，b n ＞0，当n ≥7时，b n ＜0， ∴当n ＝6时，S n 有最大值，S 6＝36.12．已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列．(1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.【解析方法代码108001065】 解析： (1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n2，∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1， ∴b n ＋1b n ＝n ＋2a n ＋1－n ＋1＋2n ＋1a n －n＋2 ＝12n ＋1a n ＋n2－n ＋1＋2n ＋1a n －n ＋2＝12n ＋1a n －n2＋1n ＋1a n －n ＋2＝12.∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)得b n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴a n ＝－1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n －2n ＋1.。

第二章不等式考点测试3不等式及其性质高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是() A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B答案 B解析由题意，得B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.故选B.2．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是()A．ad>bc B．a－c>b－dC．ac>bd D．a＋c>b＋d答案 D解析因为a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性，得a＋c＞b＋d.故选D.3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m答案 D解析 解法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2，分别代入各选项检验，可知D 正确．解法二：m ＋n <0⇒m <－n ，n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．故选D.4．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值的变化而变化 答案 C解析 y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以y 1>y 2.故选C.5．已知c 3a <c 3b <0，则下列不等式中错误的是( ) A ．|b |>|a | B ．ac >bc C ．a －bc >0 D ．ln a b >0答案 D解析 c 3a <c 3b <0，当c <0时，1a >1b >0，即b >a >0，∴|b |>|a |，ac >bc ，a －b c >0，此时0<a b <1，∴ln ab <0.同理，当c >0时，D 错误．故选D.6．已知a ，b ，c 均为正实数，若c a ＋b <a b ＋c <ba ＋c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a 答案 A解析 因为a ，b ，c 均为正实数，由c a ＋b <ab ＋c ，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，因为a ＋b ＋c >0，所以c －a <0，所以c <a .同理，由a b ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b .7．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ．[9，18] B ．(15，30) C ．[9，30] D ．(9，30) 答案 D解析 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.8．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4 C ．mn ≤4且p ＋q ≥4 D ．m ＋n ≤4且pq ≤4 答案 A解析 结合定义及m ⊗n ≥2，可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎨⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2，可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎨⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.9．(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a 2＞cb 2 D ．若a ＞b 且1a ＞1b ，则ab ＜0 答案 BCD解析 对于A ，当c ＝0时，不等式不成立，故是假命题；对于B ，⎩⎨⎧a ＜b ，a ＜0⇒a 2＞ab ，⎩⎨⎧a ＜b ，b ＜0⇒ab ＞b 2，∴a 2＞ab ＞b 2，故是真命题；对于C ，a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2＞0⇒0＜1a 2＜1b 2，∵c ＜0，∴c a 2＞c b 2，故是真命题；对于D ，1a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －aab ＞0，∵a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＜0，故是真命题．故选BCD.10．(多选)若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定不成立的是( ) A ．b a ＞b ＋1a ＋1B ．a ＋1a ＞b ＋1b C ．a ＋1b ＞b ＋1a D ．2a ＋b a ＋2b ＞a b答案 AD解析 a ＞b ＞0，则b a －b ＋1a ＋1＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1）＝b －a a （a ＋1）＜0，故b a ＞b ＋1a ＋1一定不成立；a ＋1a －b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ab ，当ab ＞1时，a ＋1a －b －1b ＞0，故a ＋1a ＞b ＋1b 可能成立；a ＋1b －b －1a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ＞0，故a ＋1b ＞b ＋1a 恒成立；2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2b （a ＋2b ）＜0，故2a ＋b a ＋2b ＞a b 一定不成立．故选AD.11．(多选)“存在正整数n ，使不等式(n ＋3)lg a ＞(n ＋5)lg a a (0＜a ＜1)成立”的充分条件是( )A ．0＜a ＜23B ．23＜a ＜1 C ．13＜a ＜56 D ．23＜a ＜56 答案 BD解析 由(n ＋3)lg a ＞(n ＋5)lg a a (0＜a ＜1)，得(n ＋3)lg a ＞a (n ＋5)lg a (0＜a＜1)，∵0＜a ＜1，∴lg a ＜0，∴(n ＋3)＜a (n ＋5)，即a ＞n ＋3n ＋5＝1－2n ＋5，若存在正整数n ，使a ＞1－2n ＋5成立，需a ＞⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋5min ，当n ＝1时，1－2n ＋5取最小值23，∴a ＞23，又a ＜1，∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23＜a ＜1，易知选项B ，D 是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23＜a ＜1的子集．故选BD.12．已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.二、高考小题13．(2020·浙江高考)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0在x ≥0上恒成立，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0 答案 C解析 因为ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0，设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －2a －b )，则f (x )的零点为x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝2a ＋b .当a ＞0时，x 2＜x 3，x 1＞0，要使f (x )≥0，必有2a ＋b ＝a ，且b ＜0，即b ＝－a ，且b ＜0，所以b ＜0；当a ＜0时，x 2＞x 3，x 1＜0，要使f (x )≥0，必有b ＜0.综上可得b ＜0.故选C.14．(2019·全国Ⅱ卷)若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 解法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．解法二：由a >b ，得a －b >0，但a －b >1不一定成立，则ln (a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立；因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立；因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立；因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.15．(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b ＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab <1，又a >0，b <0，∴ab <0，∴ab <a ＋b <0.故选B.16．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A 答案 D解析若(2，1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D.17．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a 答案 B解析 解法一(特殊值法)：令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D.故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，且ab ＝1，∴a ＞1，0＜b ＜1，∴0＜b2a ＜1，log 2(a ＋b )＞log 22ab ＝1，∵2a +1b＞a ＋1b ＞a ＋b ＞0，∴a ＋1b ＞log 2(a ＋b )，∴a ＋1b ＞log 2(a＋b )＞b2a .故选B.18．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A ．1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，∴当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；令x ＝1，0<y <1，则x >y >0，而ln x ＋ln y ＝ln y <0，故D 错误．三、模拟小题19．(2022·东北育才学校高三第一次模拟考试)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A. 1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c | D ．a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析对于A，若a>0>b，则1a>1b，故A错误；对于B，取a＝1，b＝－2，则a2<b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误；对于D，因为c2＋1≥1，所以1c2＋1>0，又a>b，所以ac2＋1>bc2＋1，故D正确．故选D.20．(2021·湖南省衡阳市第一中学高三月考)已知实数a，b，c满足a<b<c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab<ac B．ac<bcC．a2<b2<c2D．ab2<cb2答案 B解析a＋b＋c＝0且a<b<c，则a<0，c>0，所以ac<bc.故选B.21．(2021·福州中学期中)已知0<a<1b，且M＝11＋a－b1＋b，N＝a1＋a－11＋b，则M，N的大小关系是()A．M>N B．M<NC．M＝N D．不能确定答案 A解析由于0<a<1b ，所以0<ab<1，即1－ab>0.所以M－N＝11＋a－b1＋b－a1＋a＋11＋b ＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝（1－a）（1＋b）＋（1＋a）（1－b）（1＋a）（1＋b）＝2（1－ab）（1＋a）（1＋b）>0，所以M>N.故选A.22．(2021·广东湛江高三模拟)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则ca的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0，2) C．(1，3) D．(0，3) 答案 B解析由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，∴c a 的取值范围为(0，2).23．(多选)(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)若a >b >1>c >0，则有( )A ．log c a >log c bB ．a c >b cC ．a (b ＋c )>b (a ＋c )D ．a b <bc答案 BC解析 因为y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，所以log c a <log c b ，故A 错误；因为y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增，所以a c >b c ，故B 正确；因为a (b ＋c )－b (a ＋c )＝(a －b )c >0，所以a (b ＋c )>b (a ＋c )，故C 正确；因为a b －b c ＝ac －b2bc ，且ac －b 2无法确定正负，故D 错误．故选BC.24．(多选)(2021·山东省五莲县第一中学高三模拟)已知a ＞b ＞2，则( ) A ．b 2＜3b －a B ．a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2 C ．ab ＞a ＋b D ．12＋2ab ＞1a ＋1b答案 BCD解析 a ＞b ＞2，比如a ＝8，b ＝3，9＞1，故A 不成立；a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )＞0，故B 成立；由ab －a －b ＝a (b －1)－b ＝(b －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b b －1＝(b －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1＞0，故C 成立；12＋2ab －1a －1b ＝（a －2）（b －2）2ab>0，故D 成立．故选BCD.25．(多选)(2021·海口模拟)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题成立的是()A．若ab≠0且a＜b，则1a＞1bB．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则b＋1a＋1＞baD．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2答案BC解析对于A，取a＝－2，b＝1，则1a ＞1b不成立；对于B，若0＜a＜1，则a3－a＝a(a2－1)＜0，∴a3＜a成立；对于C，若a＞b＞0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b＞0，∴a(b＋1)－b(a＋1)＞0，∴b＋1a＋1＞ba成立；对于D，若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，而b可能为0，因此cb2＜ab2不成立．故选BC.26．(多选)(2022·江苏南通海安高三上学期期初学业质量监测)已知a，b为正数，且a－b＝1，则()A．a2＋b2＞1 B．a3－b3＜1C．2a＋2b＞1 D．2log2a－log2b<2答案AC解析因为a，b为正数，且a－b＝1，则a＝b＋1，所以b>0，a>1，ab>0，所以b2>0，a2>1，所以a2＋b2＞1，故A正确；对于B，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab ＋b2)＝a2＋ab＋b2>1，故B错误；对于C，2a>2，2b>1，所以2a＋2b>3，即2a ＋2b>1，故C正确；对于D，2log2a－log2b＝log2a2b，当a＝2，b＝1时，2log2a －log2b＝2，故D错误．故选AC.27．(2022·福建漳州模拟)已知f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围为________．答案[5，10]解析 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .则⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)，又1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·郑州一中高三月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12，记f (x )>－1的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a 的大小．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12，由f (x )>－1， 得⎩⎨⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}．(2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a ＝（a －1）（a 2＋1）a，当0<a <1时，（a －1）（a 2＋1）a<0，所以a2－a＋1<1a；当a＝1时，（a－1）（a2＋1）a＝0，所以a2－a＋1＝1a；当1<a<2时，（a－1）（a2＋1）a>0，所以a2－a＋1>1a.综上所述，当0<a<1时，a2－a＋1<1a；当a＝1时，a2－a＋1＝1a；当1<a<2时，a2－a＋1>1a.2．(2021·海南中学模拟)(1)已知－3<a<b<1，－2<c<－1，求证：－16<(a－b)c2<0；(2)已知a≠b，试比较a4－b4与4a3(a－b)的大小.解(1)证明：因为－3<a<b<1，所以－1<－b<3，－4<a－b<4，又a<b，所以a－b<0，所以－4<a－b<0，所以0<b－a<4，又－2<c<－1，所以1<c2<4，所以0<(b－a)c2<16，所以－16<(a－b)c2<0.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]，因为2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，且a≠b，所以(a－b)2>0，2a2＋(a＋b)2>0，所以－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]<0，故a 4－b 4<4a 3(a －b ).考点测试4 基本不等式高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲 研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．若0<a <12，则a (1－2a )的最大值是( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1 答案 A解析 由0<a <12，得1－2a >0，则a (1－2a )＝12·2a (1－2a )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋（1－2a ）22＝18，当且仅当a ＝14时取等号．故选A.2．已知m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n 的最小值为( ) A ．4 B ．2 2 C ．92 D ．16 答案 C解析 由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4mn≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C.3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0B ．12C ．1D ．32答案 A解析 由于x >0，则y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A.4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b恒成立，则n 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．20 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1b ≥n 2a ＋b ⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥n ，(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2ba ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1b ≥n 2a ＋b恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A.5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2 答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x ＋4y ＝23x ＋22y ≥223x ·22y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.故选A.6．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y ，2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为a ＝(1，x －1)，b ＝(y ，2)，a ⊥b ，所以a ·b ＝y ＋2(x －1)＝0，即2x ＋y ＝2．又因为x >0，y >0，所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当x ＝12，y ＝1时等号成立，即22xy ≤2，所以xy ≤12，所以当且仅当x ＝12，y ＝1时，xy 取到最大值，最大值为12.故选B.7．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝ab ≥21ab ，∴ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．综上，a 2＋b 2的最小值为4.故选C.8．已知函数f (x )＝cos πx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．92 B ．9 C ．18 D ．36 答案 A解析 函数f (x )＝cos πx (0<x <2)的图象的对称轴为直线x ＝1.因为a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )×12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92.故选A.9．(多选)设x ∈(0，＋∞)，y ∈(0，＋∞)，S ＝x ＋y ，P ＝xy ，以下四个命题中正确的是( )A ．若P ＝1，则S 有最小值2B ．若S ＋P ＝3，则P 有最大值1C ．若S ＝2P ，则S 有最小值4D ．若S ＋P ＝3，则S 有最大值2 答案 AB解析 对于A ，若xy ＝1，则S ＝x ＋y ≥2xy ＝2(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，故A 正确；对于B ，若x ＋y ＋xy ＝3，则3＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，解得0<xy ≤1(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，故B 正确；对于C ，若x ＋y ＝2xy ，则x ＋y ＝2xy ≤（x ＋y ）22，可得x ＋y ≥2(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，故C 错误；对于D ，若x ＋y ＋xy ＝3，则3＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋（x ＋y ）24，解得x ＋y ≥2(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，故D 错误．10．(多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x (x ＞0)的最小值是2 B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2 C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2 D ．2－3x －4x 的最大值是2－4 3 答案 AB解析 当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，A 正确；∵x 2≥0，∴x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确；x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，令t ＝x 2＋4，则t ∈[2，＋∞)，∵y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥2＋12＝52，即x 2＋5x 2＋4≥52，C 错误；当x ＜0时，2－3x －4x 无最大值，D错误．故选AB.11．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.12．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则m ＋n ＝________，1m ＋9n 的最小值是________．答案 4 4解析 由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去).由a m a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n (m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时，1m ＋9n 取得最小值4.二、高考小题13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4 B ．y ＝|sin x |＋4|sin x | C ．y ＝2x ＋22－x D ．y ＝ln x ＋4ln x答案 C解析 对于A ，因为y ＝x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3，所以当x ＝－1时，y 取得最小值，且y min ＝3，所以A 不符合题意；对于B ，因为y ＝|sin x |＋4|sin x |≥2|sin x |·4|sin x |＝4，所以y ≥4，当且仅当|sin x |＝4|sin x |，即|sin x |＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sin x |＝2不可能成立，因此可知y >4，所以B 不符合题意；对于C ，因为y ＝2x ＋22－x ≥22x ·22－x ＝4，当且仅当2x ＝22－x ，即x ＝2－x ，x ＝1时取等号，所以y min ＝4，所以C 符合题意；对于D ，当0<x <1时，ln x <0，y ＝ln x ＋4ln x <0，所以D 不符合题意．14．(2021·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cos α均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤sin 2α＋cos 2β2，sin βcos γ≤sin 2β＋cos 2γ2，sin γcos α≤sin 2γ＋cos 2α2.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤32，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＜32，所以这三个值不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sin π6cos π3＝12×12＝14＜12，sin π3cos π4＝32×22＝64＞24＝12，sin π4cos π6＝22×32＝64＞12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a 2＋b 2≤－2ab答案 B解析 显然当a <0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤2ab 不成立，故A 错误；∵(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2＋2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，故B 正确；显然当a <0，b <0时，不等式a ＋b ≥2|ab |不成立，故C 错误；显然当a >0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤－2ab 不成立，故D 错误．故选B.16．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝12，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝log214＝－2，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为(a＋b)2＝1＋2ab≤1＋a＋b＝2，所以a＋b≤2，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故D正确．故选ABD.17．(2021·天津高考)若a>0，b>0，则1a＋ab2＋b的最小值为________．答案2 2解析∵a>0，b>0，∴1a ＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22b·b＝22，当且仅当1a ＝ab2且2b＝b，即a＝b＝2时等号成立，∴1a＋ab2＋b的最小值为2 2.三、模拟小题18．(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a，b满足1 a＋9b＝6，则(a＋1)(b＋9)的最小值是()A．8 B．16 C．32 D．36答案 B解析因为正实数a，b满足1a ＋9b＝6，所以6＝1a＋9b≥29ab，即ab≥1，当且仅当1a ＝9b时，即a＝13，b＝3时取等号．因为1a＋9b＝6，所以b＋9a＝6ab，所以(a＋1)(b＋9)＝9a＋b＋ab＋9＝7ab＋9≥7＋9＝16.故(a＋1)(b＋9)的最小值是16.故选B.19．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a>0，b>0且a＋b＝1，若不等式1a ＋1b>m恒成立，m∈N*，则m的最大值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 A解析 ∵不等式1a ＋1b >m 恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min >m ，又a ＋b ＝1，a >0，b >0∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min＝4，∴m <4，又m ∈N *，∴m ＝3.故选A.20．(2021·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0，y >0，且x ＋4y －xy ＝0，若不等式a ≤x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，7]C ．(－∞，8]D ．(－∞，9] 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋4y －xy ＝0，∴4x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x .∵x y ＋4yx ≥2x y ·4y x ＝4(当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y ＝6时取等号)，∴x ＋y ≥5＋4＝9.又不等式a ≤x ＋y 恒成立，∴a ≤9.21．(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )＝|x －m ＋1|－2，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b )＝m ，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．85 B ．8＋435C ．835 D ．2105答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|－x －m ＋1|－2＝|x －m ＋1|－2，即(－x －m ＋1)2＝(x －m ＋1)2，整理得2(m －1)x ＝－2(m －1)x ，∴m ＝1，∴f (x )＝|x |－2.∴f (a )＋f (2b )＝a －2＋2b －2＝1，即a ＋2b ＝5.∴2a ＋3b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (a＋2b )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4b a ＋3a b ≥15⎝⎛⎭⎪⎫8＋24b a ·3a b ＝8＋435(当且仅当4b a ＝3a b ，即2b ＝3a 时取等号)，∴2a ＋3b 的最小值为8＋435.故选B.22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a ＜v ＜ abB ．v ＝abC ．ab ＜v <a ＋b2 D ．v ＝2aba ＋b答案 AD解析 设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b ，∴v ＝2ss a ＋sb ＝2ab a ＋b .∵b ＞a ＞0，∴v ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ；另一方面，v ＝2ab a ＋b ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b ＝a ＋b 2，v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a ，则a ＜v ＜ab .故选AD.23．(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A ．x 2＋1x 2≥2B ．x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2 C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b 2≥3＋2 2 D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b ≥4 答案 AC解析 对于A ，x 2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A正确；对于B ，x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；对于C ，1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C正确；对于D ，当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋ba ≥4，但当a ＋b ＝1时，不一定有a ＞0，b ＞0，故D 错误．故选AC.24．(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中，最小值为9的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4xB ．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x C ．y ＝lg x ＋4lg x －5D ．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2答案 AB解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＝5＋x 2＋4x 2≥5＋24＝9，当且仅当x 2＝2时，等号成立．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ≥5＋24＝9，当且仅当tan 2x ＝12时，等号成立．当lg x －5小于0时，y ＝lg x ＋4lg x －5无最小值．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2＝4（2x 2＋1）（x 2＋2）（x 2＋1）2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x 2＋1）＋（x 2＋2）22（x 2＋1）2＝9，当且仅当x 2＝1时，等号成立，则y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2的最大值为9.故选AB.25．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x ＋lg y ＝0，则4x ＋9y 的最小值为________．答案 12解析 因为lg x ＋lg y ＝0，所以xy ＝1(x >0，y >0)，所以4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12.等号成立的条件为4x ＝9y ，即x ＝32，y ＝23时取得最小值．26．(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ，y >0，且1x ＋3＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为________．答案 5 解析 x ＋y ＝2[(x ＋3)＋y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3＋1y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋3＋x ＋3y －3≥2⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋3·x ＋3y －3＝5，当且仅当y x ＋3＝x ＋3y ，即x ＝1，y ＝4时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为5.一、高考大题1．(2020·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥ 34.证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2).由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0. (2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0. ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝（b ＋c ）2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc≥2bc ＋2bc bc ＝4.当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.2．(2019·全国Ⅰ卷)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc ＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.二、模拟大题3．(2022·福建龙岩高三检测)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求1x＋1y的最小值；(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由.解(1)因为1x ＋1y＝x＋yxy＝x2＋y2xy≥2xyxy＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y).又x，y∈(0，＋∞)，所以0<x＋y≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4．(2021·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元．(1)求k 的值；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用．解 (1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400×3600400＝3600(元)，每批购入的电视机的总价值为400×2000＝800000(元)，所以保管费为k ·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元， 所以3600＋k ·800000＝43600，解得k ＝0.05. (2)设每批进货x 台，则运费为400×3600x ＝1440000x ，保管费为0.05×2000x ＝100x . 所以支付运费与保管费的和为1440000x＋100x ， 因为1440000x＋100x ≥21440000x ×100x ＝24000，当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元．5.(2021·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且点P 在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10，20].设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k 为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式；(3)如何选取|AM |，才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10，20]， 由x (30－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝225， 可知当x ＝15时，S 取得最大值，为2253， 当x ＝10或20时，S 取得最小值，为2003， ∴2003≤S ≤2253，即S 的取值范围为[2003，2253]. (2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ， 又△ABC 的面积为12×30×303＝4503， ∴草坪造价T 2＝12kS(4503－S ).∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3. (3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立， 此时3x (30－x )＝2163， 解得x ＝12或x ＝18.∴选取|AM |为12米或18米时，能使总造价T 最低．考点测试5 一元二次不等式的解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32B ．{x |x ≤0或x ≥1}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 答案 A解析 不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1，3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.3．不等式5x －102x －3≤0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32≤x ≤2B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2或x <32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32答案 C解析 不等式5x －102x －3≤0等价于(5x －10)(2x －3)≤0，且2x －3≠0，解得32<x ≤2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6，2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．{k |0＜k ≤1}B ．{k |k ＜0或k ＞1}C ．{k |0≤k ≤1}D ．{k |k ＞1} 答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k （k ＋8）≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1. 6．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B ．(－7，24)C ．(－24，7)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B. 7．关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(5，6]B ．(5，6)C ．(2，3]D ．(2，3) 答案 A解析 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5，6].故选A.8．对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1>k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x 2＋2x ＋2>kx 2＋kx ＋k 对x ∈R 恒成立，即(k －3)x 2＋(k －2)x ＋k －2<0恒成立，∵当k ＝3时，x ＋1＜0不恒成立，∴⎩⎨⎧k －3<0，Δ<0，Δ＝(k －2)2－4(k －3)(k －2)＝(k －2)(k －2－4k ＋12)＝(k －2)(10－3k ).由Δ<0，得k <2或k >103.又k <3，∴k <2，∵k 为正整数，∴k ＝1.9．(多选)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5 答案 BC解析 不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3.又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.10．(多选)关于下列四个不等式的说法，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3 D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1 答案 BCD解析 对于A ，由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)·(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，故错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23，故正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，故a ＝3，故正确；对于D ，依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，∴q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故正确．故选BCD.11．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a ).12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.则同时满足①②的x 的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 (2，3) (－∞，9]解析 由①得1<x <3，由②得2<x <4，故同时满足①②的x 的取值范围为2<x <3.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2，3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上大于9，所以实数m 的取值范围为m ≤9.二、高考小题13．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23.14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示). 答案 (－4，1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 三、模拟小题16．(2022·山东枣庄八中月考)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 B解析 令f (x )＝x 2－4x －2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f (x )<f (4)＝－2－a ，若不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2).故选B.17．(2022·北京房山区月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2，即⎩⎨⎧x ≤0，x ＋2≥x 2①或⎩⎨⎧x >0，－x ＋2≥x 2 ②. 解①可得－1≤x ≤0，解②可得0<x ≤1.综上可得，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1].故选A.18．(2021·湖南湘潭高三模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]。

限时规范专题练(七)振动与波动的综合应用一、选择题(本题共12小题，每小题6分，共72分)1. 在波的传播方向上有A、B两质点，该两质点在振动过程中，相对平衡位置的位移始终相同，该两质点连线中点处的质点为C，则()A. 该两质点间的距离一定等于一个波长B. 该两质点的振动方向总是相同C. 质点C的振动方向一定和A的振动方向相反D. 当质点C处于波谷时，质点A、B一定处于波峰解析：AB间的距离为波长的整数倍，A错误；两质点的振动完全相同，质点C到A、B的距离可能为波长的整数倍，也可能为半波长的奇数倍，因此C、D错误。

答案：B2. [2015·黄冈模拟](多选)如图所示，实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距为3 m的两点P和Q的振动图象，若P点离波源比Q点近，则该波的波长可能为()A. 127m B.1211mC. 34m D.47m解析：由两质点的振动图线可知t＝0时质点P位于波峰，Q位于平衡位置且向下振动，可得PQ间距Δx＝(n＋34)λ(n＝0,1,2，…)，Δx＝3 m，解得AB正确。

答案：AB3. 一列横波沿x轴传播，图甲为t＝0.5 s时的波动图象，图乙为介质中质点P的振动图象。

对该波的传播方向和传播速度说法正确的是( )A. 沿－x方向传播，波速为4.0 m/sB. 沿＋x方向传播，波速为4.0 m/sC. 沿－x方向传播，波速为8.0 m/sD. 沿＋x方向传播，波速为8.0 m/s解析：由图乙知，在t＝0.5 s时P向上振动，再根据图甲，由前一质点带动后一质点运动的规律可得，该波沿＋x方向传播，波速为v＝λT＝41m/s＝4.0 m/s，选B。

答案：B4. [2014·河南开封一模](多选)在某一均匀介质中由波源O发出的简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形如图，其波速为5 m/s，则下列说法正确的是( )A. 此时P、Q两点运动方向相同B. 再经过0.5 s质点N刚好在(－5 m,20 cm)位置C. 能与该波发生干涉的横波的频率一定为3 HzD. 波的频率与波源的振动频率无关解析：应用P、Q两点关于波源O对称，此时P、Q两点运动方向相同，选项A正确；该波波长为2 m，周期为0.4 s，再经过0.5 s质点N 刚好在(－5 m,20 cm)位置，选项B正确；根据波发生干涉的条件，能与该波发生干涉的横波的频率一定为2.5 Hz，选项C错误；波的频率与波源的振动频率相同，选项D错误。

限时·规范·特训限时：45分钟满分：100分一、选择题(本题共12小题，每小题6分，共72分)1. [2014·烟台一中月考](多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占整个从单缝射入的光强的95%以上，假设现在只有一个光子通过单缝，那么该光子()A. 一定落在中央亮纹处B. 一定落在亮纹处C. 可能落在暗纹处D. 落在中央亮纹处的可能性最大解析：对于一个光子，通过单缝后落在何处是不可确定的，但是落在中央亮纹处的概率最大，可达到95%以上；当然也可能落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故选项C、D正确。

答案：CD2. 物理学家做了一个有趣的实验：在双缝干涉实验中，在光屏处放上照相底片，若减弱光波的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝。

实验结果表明，如果曝光时间不太长，底片上只出现一些不规则的点；如果曝光时间足够长，底片上就出现了规则的干涉条纹，对这个实验结果下列认识不正确的是()A. 曝光时间不长时，底片上的条纹看不清楚，故出现不规则的点B. 单个光子的运动没有确定的轨道C. 干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方D. 只有大量光子的行为才能表现出波动性解析：曝光时间不长时，个别光子表现出粒子性，使底片上出现了不规则的点，而曝光时间足够长时，大量光子的行为表现出波动性，底片上出现了规则的干涉条纹，综上所述，选A。

答案：A3. [2014·衡水中学模拟](多选)从光的波粒二象性出发，下列说法正确的是( )A. 光是高速运动的微观粒子，每个光子都具有波粒二象性B. 光的频率越高，光子的能量越大C. 在光的干涉中，暗条纹处是光子不会到达的地方D. 在光的干涉中，亮条纹处是光子到达概率大的地方解析：光不是实物粒子，光具有波粒二象性，个别光子表现出粒子性，A 错；光的频率越高，光子的能量越大，B 正确；在干涉条纹中亮纹是光子到达概率大的地方，暗纹是光子到达概率小的地方，C 错、D 正确。

限时规范专题练(四)动力学和能量观点的应用一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1. [2015·辽宁沈阳质检]如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上，现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，则水平力对小球所做的功至少为()A. mgRB. 2mgRC. 2.5mgRD. 3mgR解析：设小球恰好能通过最高点C时的速度为v，小球从受力运动到最高点C的过程，由动能定理得，W－2mgR＝12m v2，对小球在C点受力分析得，mg＝m v2R，解得，W＝2.5 mgR，C项正确。

答案：C2. 质量为m的物体从静止以12g的加速度竖直上升h，关于该过程下列说法中正确的是()A. 物体的机械能增加12mghB. 物体的机械能减少32mghC. 重力对物体做功mghD. 物体的动能增加12mgh解析：质量为m的物体从静止以g2的加速度竖直上升h，重力对物体做功－mgh ，所受合外力为12mg ，合外力做功12mgh ，由动能定理知物体的动能增加12mgh ，选项C 错误，D 正确；物体的机械能增加32mgh ，选项A 、B 错误。

答案：D3. [2015·海口模拟]开口向上的半球形曲面的截面如图所示，直径AB 水平。

一小物块在曲面内A 点以某一速率开始下滑，曲面内各处动摩擦因数不同，因摩擦作用物块下滑时速率不变，则下列说法正确的是( )A. 物块运动过程中加速度始终为零B. 物块所受合外力大小不变，方向在变C. 在滑到最低点C 以前，物块所受重力的瞬时功率越来越大D. 在滑到最低点C 以前，物块所受摩擦力大小不变解析：小物块沿半球形曲面做匀速圆周运动，加速度不为零，合外力提供向心力，由F 向＝m v 2R 可知，其大小不变，方向在变，A 错误、B 正确；物块所受摩擦力大小等于物块重力沿切向的分力，故摩擦力逐渐减小，D 错误；设物块速度与竖直方向夹角为θ，则物块重力的瞬时功率P ＝mg v cos θ，P 随θ的增大而减小，C 错误。

课后限时集训(五十七)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A ．12 B.13 C ．34 D.25B [点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种状况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.] 2．(2024·厦门月考)甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23 B [由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种状况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.] 3．(2024·红河州检测)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( )A ．13B ．110C ．310D ．23C [从五张卡片中任取两张的全部可能状况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种状况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，故所求的概率为P ＝310，故选C ．] 4．(2024·抚州一模)小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种，则他们选择相同颜色单车的概率为( )A ．13B ．19C ．23D ．49B [由题意，小亮、小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种，有27种不同的结果，他们选择相同颜色的单车，有3种不同的结果，故他们选择相同颜色单车的概率为327＝19，故选B.] 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A ．110B ．18C ．16D ．15D [从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，方法有15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，所以所求概率等于315＝15.] 二、填空题6．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 16[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.] 7．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从今口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事务发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的全部可能结果有4×4＝16个．其中满意a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事务的概率P ＝416＝14.] 8．(2024·成都月考)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率为________．0．3 [依题意，记题中的被污损数字为x ，若甲的平均成果不超过乙的平均成果，则有(8＋9＋12＋11)－(5＋3＋10＋x ＋15)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率P ＝310＝0.3.] 三、解答题9．移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行实惠，实惠方案如下：选择套餐1的客户可获得实惠200元，选择套餐2的客户可获得实惠500元，选择套餐3的客户可获得实惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得实惠金额不低于300元的概率；(2)若采纳分层抽样的方式从参与活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等实惠金额的概率． [解] (1)设事务A 为“从中任选1人获得实惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56. (2)设事务B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等实惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得实惠200元的有1人，获得实惠500元的有3人，获得实惠300元的有2人，分别记为：a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的全部基本领件如下：a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1c 1，a 1c 2，b 1b 2，b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2，b 2b 3，b 2c 1，b 2c 2，b 3c 1，b 3c 2，c 1c 2共15个．其中使得事务B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2，共4个．则P (B )＝415. 故这2人获得相等实惠金额的概率为415. 10．(2024·西安质检)某校高一年级学生全部参与了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成果，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成果的折线图如图所示．(1)体育成果大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平常的体育活动状况，现从体育成果在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成果在[60,70)的概率．[解] (1)由折线图，知样本中体育成果大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)．所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×3040＝750(人)． (2)设“至少有1人体育成果在[60,70)”为事务M ，记体育成果在[60,70)的数据为A 1，A 2，体育成果在[80,90)的数据为B 1，B 2，B 3，则从这两组数据中随机抽取2个，全部可能的结果有10种，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．而事务M 的结果有7种，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，因此事务M 的概率P (M )＝710. B 组 实力提升1．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A ．13B ．310C ．25D ．34C [全部基本领件有(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(3,3,3)，共10个，其中丙获得“手气王”的基本领件有(2,2,5)，(2,3,4)，(3,2,4)，(3,3,3)，共4个，故所求概率为P ＝410＝25.] 2．(2024·威海月考)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．13C ．14D ．12A [由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种状况．因为m ⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满意条件的有(3,3)，(5,5)共2个．故所求的概率为16.] 3．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满意由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为________．316[∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满意由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事务有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316.]4．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所学字母列举出全部可能的抽取结果；②设M 为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M 发生的概率．[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以，事务M 发生的概率P (M )＝521。