2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(七)

保分大题规范专练（三）1．（2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0．6 1。

2 2。

7 1。

5 2。

8 1。

8 2。

2 2。

3 3.2 3。

5 2．5 2.6 1.2 2。

7 1。

5 2。

9 3.0 3.1 2。

3 2。

4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1。

7 1。

9 0。

8 0.9 2.4 1。

2 2。

6 1.3 1。

41．6 0。

5 1。

8 0.6 2.1 1。

1 2.5 1.2 2。

7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？2．(2013·安徽高考)设数列｛a n｝满足a1＝2，a2＋a4＝8,且对任意n∈N*,函数f（x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′错误!＝0.(1)求数列{a n｝的通项公式;(2）若b n＝2错误!,求数列｛b n｝的前n项和S n。

3．(2013·惠州调研）如图所示,在棱长为2的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，E，F分别为DD1,DB的中点．（1）求证:EF∥平面ABC1D1；（2)求证：CF⊥B1E；（3)求三棱锥B1。

EFC的体积．4．(2013·陕西检测)已知函数f（x)＝错误!sin错误!cos错误!＋cos2错误!－错误!,△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f（x）的单调递增区间；（2）若f（B＋C)＝1，a＝错误!，b＝1，求角C的大小．5．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图①)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图②)，连结AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证:BC⊥平面AEC；(2）判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由．6．某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入错误!（x2－600）万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．答案保分大题规范专练（三)1．解：（1)设A药观测数据的平均数为错误!,B药观测数据的平均数为错误!。

小题分层练(七) 中档小题保分练(3)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1(x ≥0)(a －2)e x (x ＜0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．(2，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(2,3)2．(2018·湖南益阳高三调研)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝( )A.π6B.π12 C ．－π6 D. －π123．阅读如图39所示的程序图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )图39A ．n ＝6?B ．n ＜6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?4．已知不等式组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB ＝( )A.32B.12 C ．－32 D ．－125.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据(单位：cm)如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积(单位：cm 3)为( )A ．256＋14πB ．256＋16πC ．256－29πD ．256－22π6．(2018·菏泽一模)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k ＝66，则k 的值为( )A. 9B. 11C. 10D. 127．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图40所示，则下列结论中一定成立的是( )图40A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)8．(2018·兰州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝16，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是( )A.34B.23C.12D.139．(2018·山东济南高三一模)已知双曲线C ：x 29－y 24＝1的两条渐近线是l 1，l 2，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线l 1距离是3，则点M 到渐近线l 2距离是( )A.1213B. 1C.3613D. 310．(2018·山西孝义高三一模) 有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11. (2018·芜湖一模)如图51，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A -OEF 中，下列结论中错误．．的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为2 2C ．四面体A -OEF 的外接球表面积为6πD ．异面直线OH 和AE 所成角为60°12．(2018·河南商丘高三二模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＋f (x )＞1，f (0)＝5，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x (f (x )－1)＞4(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞)二、填空题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 14．(2018·马鞍山二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．15．(2018·维吾尔自治区高三二模)在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分．其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．16．(2018·重庆高三二模)边长为2的等边△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在以O为球心的球面上，若球O 的表面积为148π3，则三棱锥O -ABC 的体积为________．习题答案1. 答案：A解析：[若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧ a ＞0a －2＞0a －2≤1，解得2<a ≤3； 若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎨⎧ a ＜0a －2＜0a －2≥1，无解，综上实数a 的取值范围是(2,3]，故选A.]2. 答案：A 解析：[由题意知，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π，即函数g (x )的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6，故选A.]3. 答案：C解析：[S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故填n ≤6.]4. 答案：B解析：[画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6，∴∠APB ＝π3，∴cos ∠APB ＝12.]5. 答案：D解析：[由三视图可知该几何体的体积为8×8×4－π×32×4＋[π×42×2－π×32×2]＝256－22π，故选D.]6. 答案：B解析： [因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a ＋1,3a ＋2，所以2(2a ＋1)＝1＋3a ＋2，解得a ＝1，所以公差d ＝2a ＋1－12＝2a 2＝1，所以S k ＝k ×1＋k (k －1)2×1＝66，解得k ＝11或k ＝－12(舍)，故选B.]7. 答案：D解析：[①当x ＜－2时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，－2)上是增函数．②当－2＜x ＜1时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，即f (x )在(－2,1)上是减函数．③当1＜x ＜2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＞0，∴f ′(x )＜0，即f (x )在(1,2)上是减函数．④当x ＞2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＜0，∴f ′(x )＞0，即f (x )在(2，＋∞)上是增函数．综上：f (－2)为极大值，f (2)为极小值．]8. 答案：B 解析：[如图所示，设直线l 1，l 2与直线y ＝x 之间的距离为d ＝2，弧ACB 和弧EFG 上的点满足题意，且sin ∠DBO ＝OD OB ＝24＝12，∴∠DBO ＝30°，由角度型几何概型计算公式可得圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率：P ＝120°×2360°＝23.]9. 答案：A解析：[双曲线C ：x 29－y 24＝1的两条渐近线方程分别为2x ±3y ＝0，设M (x 1，y 1)为双曲线C 上一点，则x 219－y 214＝1，即4x 21－9y 21＝36，点M 到两条渐近线距离之积为k ＝|2x 1－3y 1|22＋32·|2x 1＋3y 1|22＋32＝|4x 21－9y 21|13＝3613为常数，所以当点M 到渐近线l 1距离是3，则M 点到渐近线l 2距离是3613÷3＝1213，选A.]10. 答案：C解析：[若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件．而如果丙猜对，其他老师都不会对．]11. 答案：D解析：[因为AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，所以AO ⊥平面EOF ；直线AH 与平面EOF 所成角为∠AHO ，所以tan ∠AHO ＝AO OH ＝214×22＝2 2.四面体A -OEF 的外接球直径为以OA ，OE ，OF 为长宽高的长方体对角线长，即 2R ＝22＋12＋12＝6，所以外接球表面积为4πR 2＝6π.取AF 中点M (图略)，则异面直线OH 和AE 所成角为∠OHM ，所以cos ∠OHM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×52×22≠12，所以D 错误．] 12. 答案：A解析：[设g (x )＝e x (f (x )－1)，∴g ′(x )＝e x (f (x )－1)＋e x f ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)，∵f (x )＋f ′(x )＞1，∴g ′(x )＞0，∴函数g (x )在R 上单调递增．∵f (0)＝5，∴g (0)＝4，∵e x (f (x )－1)＞4，∴g (x )＞g (0)，∴x ＞0.]13. 答案：[－4,2]解析：[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]．]14. 答案：9＋21解析：[∵cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴sin A ＝32，又∵S ＝53，b ＝5，∴12bc sin A ＝12×5×c ×32＝53，∴c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，即a＝21，∴△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21.]15. 答案：甲解析：[如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立；如果乙说的是真话，则甲、丙、丁都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成立； 如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立； 所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、丙都是假话，可推得甲得了满分， 故考满分的同学是甲．]16. 答案：333解析：[设球半径为R ，则4πR 2＝148π3，解得R 2＝373.设△ABC 所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则r ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×2＝233. 故球心到△ABC 所在平面的距离为d ＝R 2－r 2＝373－43＝11，即为三棱锥O -ABC 的高，所以V O -ABC ＝13dS △ABC ＝13×11×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22＝333.]。

中档小题(七)1．下列函数中，不满足f (1x)＝－f (x )的是( ) A ．f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1且x ≠0) B ．f (x )＝x ＋1x －1(x ≠1且x ≠0) C ．f (x )＝log 2x (x >0)D ．f (x )＝x 2(x ≠0)2．一个半径为2的球体经切割后，剩余部分的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．12πD ．18π3．已知a ，b 为两条不同直线，α为一平面，则命题“直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 垂直”的否定是( )A ．直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 不垂直B ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直C ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0垂直D ．直线a ⊥平面α，a 与b 垂直，b ⊄α4．(2013·江西省高三上学期七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50 5．已知圆C 的圆心是双曲线x 2－y 23＝1的右焦点，且与双曲线的渐近线相切，则该圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝3C ．(x －2)2＋y 2＝3D ．x 2＋(y －3)2＝26．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)关于函数f (x )＝sin(2x ＋π4)与函数g (x )＝cos(2x －3π4)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z ＝αx＋(1－α)y ，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m <n B ．m ≤nC ．m >nD ．m ≥n8．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2C.2＋1D.2＋29．(2013·洛阳市高三年级统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10 10．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A ．98B ．197C ．390D ．39211．向平面区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0内的概率等于________．12．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．14．(2013·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二))在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．备选题1．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．2 3B ．3 5C ．5 6D ．7 22．(2013·湖北省八校高三第二次联考)定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x ，y ∈R ，O 为坐标系原点)，则有序数对(x ，y )称为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系xOy 中，若∠xOy ＝120°，点C 的斜坐标为(2，3)，则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋9＝0C ．x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋4y ＋xy ＋3＝03．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．4．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案1．【解析】选D.本题可通过依次检验选项是否满足f (－x )＝1f （x ）得到D 选项不满足；也可赋值令x ＝1得f (1)＝0；令x ＝－1得f (－1)＝0，而对于函数f (x )＝x 2，f (±1)＝1，故选D.2．【解析】选B.该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×4×π×22＋π×22＝16π. 3．【解析】选B.该命题的否定是“直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直”．4．【解析】选A.依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150. 5．【解析】选C.由题意可知双曲线的右焦点的坐标为(2，0)，渐近线为3x ±y ＝0，所以r ＝23（3）2＋1＝3，所以圆的方程是(x －2)2＋y 2＝3. 6．【解析】选D.y ＝cos(2x －3π4)＝cos(2x －π4－π2)＝cos[π2－(2x －π4)]＝sin(2x －π4)与y ＝sin(2x ＋π4)的图象关于原点对称． 7．【解析】选B.由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x m m， y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n， z ＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝mx ＋ny m ＋n ＝m m ＋n x ＋n m ＋n y ，则0<α＝m m ＋n ≤12，∴m ≤n .故选B.8．【解析】选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2.∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝22|c |cos θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0.∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1.9．【解析】选B.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0.过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3（x 2＋1）x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83. 10．【解析】选D.将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.11．【解析】如图所示落在阴影部分内的概率为14π. 【答案】14π12．【解析】根据图形可知第3，4，5组的频率成等差数列，故各组抽取的人数也成等差数列，所以从第4组抽取了123＝4人． 【答案】413．【解析】该组合体的轴截面如图，可得球的半径为2，其表面积为4π(2)2＝8π.【答案】8π14．【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1， AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2，1)时，AE →·AF →取最大值92.【答案】92备选题1．【解析】选C.如图，在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12， 所以∠ADC ＝120°，故∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 2．【解析】选C.设圆上任一点P (x ，y )，则CP →＝(x －2)e 1＋(y －3)e 2，|CP →|2＝(x －2)2＋2(x－2)(y －3)e 1·e 2＋(y －3)2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)(－12)＋(y －3)2＝4，故所求方程为x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0.3．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12. 【答案】(0，12)∪(8，＋∞) 4．【解析】设自上而下各节的长度组成等差数列{a n }，则a 1＝10，a n －2＋a n －1＋a n ＝114，a 1a n ＝a 26.设等差数列的公差为d (d ≠0)，则3a 1＋(3n －6)d ＝114，a 21＋(n －1)a 1d ＝a 21＋10a 1d＋25d 2，即10＋(n －2)d ＝38，(n －11)×10＝25d ，即(n －2)d ＝28，(n －11)×2＝5d ，两式相乘得(n －2)·(n －11)＝70，解得n ＝16.【答案】16。

高三文科数学中档题训练（2）1、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= ． （1）求角A 的大小； （2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．2、某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[)100,90、第二组[)110,100…第六组[]150,140. 图（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M; （Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面22⨯列联表（即填写空格处的数据）。

[)140,120 []150,140合计 参加培训 5 8 未参加培训合计43、如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，3tan 2EAB ∠=，试求该简单组合体的体积V ．高三数学中档题训练（2）答案1、解：由已知24cos cos 22A m n A ⋅=- 21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2所以-2cos 解得1cos 2A = 0,3A A ππ<<∴=（Ⅱ）在2222cos ,3ABC a b c bc A a ∆=+-=中，且，2221(3)22b c bc ∴=+-⋅22b c bc =+-。

222,32b c bc bc bc +≥∴≥-， 即3,bc ≤当且仅当3b c b c ==⋅时，取得最大值,又由（Ⅰ）知,,33A B C ππ=∴==故b c ⋅取得最大值时，ABC ∆为等边三角形．2、解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为y x ,，则10005.02⨯+=x y ①10)035.002.0015.0005.0(1⨯+++-=+y x ②由①②解得15.0=x ，10.0=y (2分) 从而得出直方图（如图所示）(4分)5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M (6分)（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为24)05.010.015.0(05.04=++⨯，进而填写列联表如下：[)140,120 []150,140 合计 参加培训5 3 8 未参加培训15 1 16 合计20 4 243、解析：（１）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． …….1分∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C =∴BC ⊥平面ADC ．…………………3分∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC ∴DE ⊥平面ADC …………………5分又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE …………..6分（2）所求简单组合体的体积：E ABC E ADC V V V --=+∵2AB =，1BC =， 3tan 2EB EAB AB ∠== ∴3BE =223AC AB BC -=∴111362E ADC ADC V S DE AC DC DE -∆=⋅=⋅⋅= 111362E ABCABC V S EB AC BC EB -∆=⋅=⋅⋅= ∴该简单几何体的体积1V =……………………..12分。

文科高考数学中档题系列（1）1.已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的概念域（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的概念域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．2. 已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈。

（1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在x 轴上的概率；（3）求点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。

解：（1）集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，∴点M 坐标共有：4416⨯=个，别离是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）.4分（2）点M 不在x 轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点M 不在x 轴上的概率是1123164P ==…………………..8分 （3）点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）故M 正好落在该区域上的概率为2316P =…………………12分 3. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ． 解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC ⊄⊂⊂x x ax x f ln 221)(2-+=0=a )(x f （2）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；解：（1）∵x x ax x f ln 221)(2-+=当a=0时，x x x f ln 2)(-=，则xx f 12)('-= ……………………2分 ∴)(),(',x f x f x 的转变情形如下表ABCDEF…………………………………………………………5分∴当21=x 时，)(x f 的极小值为1+ln2，函数无极大值. ……………………7分 （2）由已知，得，则且0,ln 221)(2>-+=x x x ax x fxx ax x ax x f 1212)('2-+=-+= ………………9分∵函数)(x f 是减函数∴0)('≤x f 对x>0恒成立，即不等式 0122≤-+x ax 对0>x 恒成立……11分由二次函数的性质可得 ⎩⎨⎧≤+=∆<0440a a …………………………13分解得 a a ，即1-≤的取值范围是 ]1,(--∞ ………………14分。

高三数学中档题21．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是2．若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同 的零点，则实数a 的取值范围是 ，3．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么)5(f = ；4．如图所示的算法流程图中第3个输出的数 是 ；5．若a,b ≤恒成立，则m 的最小值是 ．6．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中，有可能成立的个数为7．已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为8．若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的最大值是9．函数)13(log )(222++-=a ax x x f 的定义域为A ，值域为B ； （1）若1∈A ，求a 的范围；（2）若B=R ，求a 的范围；D 1C 1A CBA10．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、A 1C 的中点。

（1）证明：E F ∥平面AA 1D 1D ；（2）当A 1A=AD 时，证明：E F ⊥平面A 1CD 。

11．如图所示，一条直角走廊宽为2米。

现有一转动灵活的 平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。

直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ， DQ ⊥BC 于Q ；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板 面的长l (用θ表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多 少米?AB中档题2答案1．32，2、（-2，2），3、8，4、2，5，6、3，7、2，8、0； 9、（1）a >2或a <1；（2）52≥a 或52-≤a11、（1）DM=θsin 2，DN=θcos 2，MF=θcot ，EN=θtan ，l =EF=DM+DN -MF -EN=θsin 2+θcos 2-θcot -θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （20πθ≤≤）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角θ（20πθ≤≤），平板车的长度不能超过l ，即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =212-t ，l =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1242--t t =)(t f ，此后研究函数)(t f 的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则42+=m t ）或直接求导，以确定函数)(t f 在]2,1[上的单调性；当2=t 时l 取得最小值224-。

中档小题(二)1．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 2．(2013·河北省普通高中教学质量检测)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 3．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝04．(2013·成都市第二次诊断性检测)函数f (x )＝log 2x ＋1x－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·洛阳市统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23 C.43 D ．－436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240 7．(2013·高考湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8．(2013·武汉市调研测试)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元9．(2013·河北省普通高中质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －210．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点(3a 2p ，2b2p)，则该双曲线的离心率是( ) A ．2 B.104C.132D.264 11．(2013·安徽省“江南十校”联考)定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足：对任意的实数x 都有f (x )＝f (|x |)，g (－x )＋g (x )＝0.当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )<0，g ′(x )<0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )>0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 12．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)对于函数f (x )和g (x )，其定义域均为[a ，b ]．若对于任意的x ∈[a ，b ]，总有|1－g (x )f (x )|≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (x )＝x ，x ∈[4,16]的是( )A ．g (x )＝2x ＋6，x ∈[4,16]B ．g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]C ．g (x )＝13(x ＋8)，x ∈[4,16]D ．g (x )＝x 2＋9，x ∈[4,16]13．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0恒成立的概率是________．15．(2013·武昌区联合考试)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．16．(2013·郑州市第一次质量检测)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0y ≥0，当且仅当x ＝y＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．备选题1．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．2．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．中档小题(二)1．【解析】选B.对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a >0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )>0，恒有解，故满足条件．2．【解析】选B.由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.3．【解析】选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.4．【解析】选C.可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x＋1的图象的交点个数，作出函数图象可得到交点有2个．5．【解析】选C.根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43.6．【解析】选D.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240.7．【解析】选B.由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时， m 取得最小值π6.8．【解析】选C.设甲产品，乙产品分别生产x ，y 桶，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋2y ≤120≤2x ＋y ≤12x ，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y ，作图可得当x ＝4，y ＝4时 ，z max ＝2 800.9．【解析】选C.由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列{1a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.10．【解析】选D.由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点(3a 22c ，2b22c)，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2，所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.11．【解析】选A.由题意可知，f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性．12．【解析】选B.由已知|1－g (x )f (x )|≤110解得，910≤g (x )f (x )≤1110，当g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]时，g (x )f (x )＝x ＋65x ＝15(x ＋6x)，令t ＝x ，t ∈[2,4]，则g (x )f (x )∈[265，1110]，满足条件．13．【解析】由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a的取值范围为1<a ≤2.【答案】(1,2] 14．【解析】f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k ∈[－1,1]时满足f (x )≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.【答案】2315．【解析】S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3.【答案】 3 16．【解析】画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z最大，则－23<a <35.【答案】(－23，35)备选题1．【解析】由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】122．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln(a 1－a ×b 1－b )＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14，又0<a <b <1，故0<a <12，故0<－(a －12)2＋14<14.【答案】(0，14)。

中档小题(六)1．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 2．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.83．(2013·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x (π4≤x ≤π2)的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 34．下列函数既是奇函数又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝ln 2－x2＋xD ．f (x )＝12(a x ＋a －x )5．(2013·东北三校联合模拟考试)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．46．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )7．(2013·高考重庆卷)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 8．(2013·高考天津卷)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<09．(2013·荆州市高中毕业班质量检查)已知y ＝f (x )是定义域为(12，＋∞)的可导函数，f (1)＝f (3)＝1，f (x )的导数为f ′(x )，且x ∈(12，2)时，f ′(x )<0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤12f (2x ＋y )≤1所表示的平面区域的面积等于( )A.15B.35 C.12D ．1 10．(2013·假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′11．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 12．(2013·福建省质量检查)设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ，现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 13．(2013·东北三校高三第一次联合模拟考试)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体体积为________．14．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．15．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．16．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．备选题 1．(2013·山西省上学期诊断考试)已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过(0,1)点，则1a ＋1b的最小值是________．2．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．中档小题(六)1．【解析】选D.当a ＝1，b ＝－1时，得命题p 假，由|x －1|－2≥0，得x ≥3或x ≤－1，知命题q 真．2．【解析】选C.由程序框图可知：当a ＝－1.2时， ∵a <0，∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8，a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8. 当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2.3．【解析】选B.依题意，f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x－π3)＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，此时f (x )的最大值是3. 4．【解析】选C.由奇函数和偶函数的定义可知，f (x )＝sin x 是奇函数，f (x )＝－|x ＋1|非奇非偶，f (x )＝ln 2－x 2＋x是奇函数，f (x )＝12(a x ＋a －x )是偶函数，故排除B ，D.由正弦函数的图象可知，f (x )＝sin x 在区间[－1,1]上单调递增，排除A.5．【解析】选A.由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．6．【解析】选C.点P 是单位圆上的动点，设∠AOP ＝α，则α＝l ，当α＝π2时，弦AP 的长度d ＝2>1，由选项的图可知，故选C.7．【解析】选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.8．【解析】选A.∵f ′(x )＝e x ＋1>，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x＋2x >0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0， ∴0<a <1.∵g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，∴1<b <2， ∴f (b )>0，g (a )<0.9．【解析】选D.依题意可知f (x )在(12，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，f (2x ＋y )≤1，而f (1)＝f (3)＝1，则1≤2x ＋y ≤3，从而(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤121≤2x ＋y ≤3，不等式组所表示的平面区域是一个矩形，从而其面积S ＝1.10．【解析】选C.由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136， ∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 11．【解析】选A.直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.12．【解析】选C.取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．13．【解析】由所给的几何体的三视图可知，该几何体为长方体上挖去一个圆柱体的一半，这样由所给的数据可知所求几何体体积为2×4×3－12×π×12×3＝24－3π2.【答案】24－3π214．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】44 15．【解析】由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →，∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12. 【答案】1216．【解析】画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．【答案】6 备选题1．【解析】依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋b )＝3＋(b a ＋2ab)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.【答案】3＋2 2 2．【解析】由题意1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3，所以1≤a 2≤q 3－2，即q 3－2≥1，解得q ≥33，所以q 的最小值是33.【答案】33。

高三文科数学中档题训练（1）1、已知向量,)8(sin ),8cos(2⎪⎭⎫⎝⎛++=ππx x a ,1),8sin(⎪⎭⎫⎝⎛+=πx b 函数()12-⋅=b a x f （1）求函数()x f 的解析式，并写出函数)(x f 图象的对称中心坐标与对称轴方程. （2）求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间；2、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14……第五组[]18,17．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m .求事件“1>-n m ”的概率.3、如图，在三棱锥P-ABC中，⊿PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点.（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF.（2）若∠PAC=∠PBC=90º，证明：AB⊥PC（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC，求三棱锥P-ABC的体积高三数学中档题训练答案（1）1、解:（1）()=-⋅=1x f 1)8(sin 2)8sin()8cos(22-++++πππx x x x x x 2sin 242cos )42sin(=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=ππ ……………3分 令0=y ,即02sin 2=x ,得πk x =2,2πk x =,Z k ∈ ∴对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ，Z k ∈由22sin 2±=x , 22ππ+=∴k x ,42ππ+=k x ,Z k ∈∴对称轴方程是直线42ππ+=k x ，Z k ∈………………………… 6分 （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21 =xx sin 2)sin(2-=- ∴⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间是z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ…………12分 2、解：（1）由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.-----4分（2）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，成绩在[)18,17 的人数为408.050=⨯人， ----6分事件“1>-n m ”表示n m ,分别在[)14,13和[)18,17内各取一个同学的百米测试成绩，所以基本事件总数为27C =21种，事件“1>-n m ”所包含的基本事件个数有1413C C ⋅=12种.∴P （1>-n m ）=742112=-----12分3、解（1）取BC 的中点为F ，则有PB ∥平面DEF. ∵PB ∥EF ，PB ⊄平面DEF ，EF ⊂ 平面DEF ∴PB ∥平面DEF ……………………4分（2）因为P A B ∆是等边三角形，90P A C P B C ∠=∠=︒, 所以R tP B C R tP A C ∆≅∆,可得A C B C =。

高三数学中档题101．若22πβαπ<<<-，则βα-的取只范围是2．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为3．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//;③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的序号为4．已知正方形的边长为2，c AC b BC a AB ===,,+=5．设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值为6．F 1（-1，0）、F 2（1，0）是椭圆的两焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M 、N ，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为 7．在ABC ∆中，ABC b A ∆=︒=∠,1,60的面积为23，则C B A c b a s i n s i n s i n ++++的值为 ．8．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.则双曲线C 的方程为 ； 9．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合. （II ）求函数()f x 在π,0[]上的单调递增区间。

10．已知数列{}n n a 12-的前n 项和n S n 69-=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设)3log 3(2nn a n b -=,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和．11．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。