高三文科数学小题分层练7_中档小题保分练(3)

解答题分层综合练（三) 中档解答题规范练（3）(建议用时：40分钟)1．（2019·苏州期末）已知函数f（x)＝A sin（ωx＋φ）错误!的周期为π,且图象上有一个最低点为M错误!.(1）求f(x)的解析式；（2）求函数y＝f（x)＋f错误!的最大值及对应x的值．2。

(2019·江苏信息卷）在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD且E，F分别是AB，BD的中点．求证:(1)直线EF∥平面ACD；（2)平面EFC⊥平面BCD。

3。

（2019·泰州模拟）某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m，这种薄板须沿其对角线对叠后使用．如图所示，四边形ABCD(AB＞AD)为长方形薄板,沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．（1)设AB＝x,用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽？4．(2019·盐城调研)已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的左顶点为A（－2，0)，且过点（1，e)(e为椭圆的离心率）；过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆的方程；(2)求证:直线MN恒过x轴上的一个定点．解答题分层综合练(三）1．解: (1) 由错误!＝π,得ω＝2。

由最低点为M 错误!得A ＝3。

且2×2π3＋φ＝错误!＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜错误!， 所以φ＝错误!.所以f （x ）＝3sin 错误!.（2) y ＝f （x ）＋f 错误!＝3sin 错误!＋3sin 错误!＝3sin 错误!＋3cos 错误!＝3错误!sin 错误!，所以y max ＝3错误!。

此时2x ＋错误!＝2k π＋错误!，x ＝k π＋错误!，k ∈Z .2．证明：(1)因为 E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线,所以EF ∥AD ，因为EF ⊄平面ACD ,AD ⊂平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2）因为 AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以 EF ⊥BD .因为CB ＝CD , F 是BD 的中点,所以CF ⊥BD 。

高三文科数学中档题训练（3)1、已知函数.2cos 2)cos (sin )(22-++=x x x x f（1)求函数)(x f 的最小正周期T ；（2）当]43,4[ππ∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值。

2、某中学对其网络服务器开放的4个外网络端口的安全进行监控,以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定。

根据跟踪调查发现，这4个网络端口各自受到黑客入侵的概率为0．1，求：（1）恰有3个网络端口受到黑客入侵的概率是多少?（2）至少有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？3、已知数列11{},{},2,212,1(0).n n n n n n n n a b a a a a b a b +==+=-≠满足（I ）求证数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令1,n n n n C b b S +=为数列{}n C 的前n 项和，求证： 1.n S <高三数学中档题训练（3)答案1、解：（1)1)1cos2(cos sin 21)(2--++=x x x f )42sin(22cos 2sin π+=+=x x x ……………………3分∴函数)(x f 的最小正周期T=π……………………4分(2）∵.434ππ≤≤x ∴474243πππ≤+≤x ……………………6分 ∴22)42sin(1≤+≤-πx ……………………8分 ∴.1)(2≤≤-x f 故)(x f 的最大值为，最小值为－22、解：（1）P C 1433010900036=⨯⨯=...………………6分（2）“至少有2个网络端口被入侵”的对立事件为“没有和有1个网络端口被入侵”，因此P C 24413109010900523=--⨯⨯=(.).(.) (12)分解：（I) .1,1+=∴-=n n n n b a a b又 ()()()11112,1211+++=+∴+=++n n n n n n b b b a a a化简，11++=-n n n n b b b b111,01=-∴≠+n n n b b b ,又111111=-=a b ，nb n b n n 1,1=∴=∴ 11+=∴na n (II ）由题知()11111+-=+=n n n n c n n n c c c s +⋅⋅⋅++=∴21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n =111+-n 〈1。

小题分层练(五) 中档小题保分练(3)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图23所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )图23A ．4B ．3C ．2D ．1B [由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B.]2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35 C ．－3D ．3A [由条件可得sin α＝2cos α，则tan α＝sin αcos α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝35，故选A.] 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝cb x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63B [由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.]4．设随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >8－m )＝( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．与σ的值有关C [∵随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)， ∴正态曲线的对称轴是x ＝4，∵P (X >m )＝0.3，且m 与8－m 关于x ＝4对称， 由正态曲线的对称性，得P (X >m )＝P (X <8－m )＝0.3， 故P (X >8－m )＝1－0.3＝0.7.]5．(2018·福州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形B [∵2b cosC －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ．又B ＝2C ，∴2tan C1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．] 6．设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为233，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程是( )A.y 23－x 2＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 212－y 24＝1A [根据题意，抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，又由双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则有m ＜0而n ＞0，且c ＝2.双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为233，则有e ＝c a ＝2n ＝233，解得n ＝3，又由c 2＝n ＋(－m )＝4，得m＝－1.故双曲线的方程为y 23－x 2＝1.]7．如图24，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图24A.1727B.59C.1027D.13C [由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)． 故所求比值为V 1V 2＝20π54π＝1027.]8．(2018·石家庄市一模)已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在 [－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1B [∵f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴(－2b )＋(1＋b )＝0，即－b ＋1＝0，b ＝1.则函数的定义域为[－2,2]，∵函数在[－2,0]上为增函数，f (x －1)≤f (2x )，故|x －1|≥|2x |，两边同时平方解得－1≤x ≤13，故选B.] 9．已知函数f (x )＝2sin x sin(x ＋3φ)是奇函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数g (x )＝cos(2x －φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于轴x ＝－5π12对称C ．可由函数f (x )的图象向右平移π6个单位得到 D ．可由函数f (x )的图象向左平移π3个单位得到B [∵y ＝2sin x sin(x ＋3φ)是奇函数，y ＝sin x 是奇函数，∴y ＝sin(x ＋3φ)是偶函数．∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴3φ＝π2，φ＝π6，则函数g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2x－π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，可得g (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故A 项不正确，B 项正确．根据函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，故把函数f (x )的图象向左平移π6个单位，可得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 的图象，故C 、D 项均不正确．故选B.]10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( )A.34 B ．1 C.43D.32A [依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项，13为公差的等差数列，则1a n＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.]11.如图25，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )图25A B C DC [当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.] 12．设函数f (x )＝32x 2－2ax (a ＞0)的图象与g (x )＝a 2ln x ＋b 的图象有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为( )A.12e 2B.12e 2 C.1eD ．－32e 2A [f ′(x )＝3x －2a ，g ′(x )＝a 2x ，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有公共点且在公共点处的切线方程相同，所以3x －2a ＝a 2x ，故3x 2－2ax －a 2＝0在(0，＋∞)上有解，又a ＞0，所以x ＝a ，即切点的横坐标为a ，所以a 2ln a ＋b ＝－a 22，所以b ＝－a 2ln a －a 22(a ＞0)，b ′＝－2a (ln a ＋1)，由b ′＝0得a ＝1e ，所以0＜a＜1e 时，b ′＞0，a ＞1e 时，b ′＜0，所以当a ＝1e 时，b 取得最大值且最大值为12e 2，故选A.] 二、填空题13．一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________．35 [设“第1次摸出红球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB ，所求事件为B |A .P (A )＝C 14C 16＝23，P (AB )＝C 14C 13C 16C 15＝25，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35.] 14．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.332 [作出单位圆的内接正六边形， 如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.] 15．设方程1x ＋1＝|lg x |的两个根为x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围为________． (0,1) [分别作出函数y ＝1x ＋1和y ＝|lg x |的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2， 则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.]16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]。

高考数学中档小题押题训练（三）姓名：____________班级：____________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）①四棱锥11B BED F 的体积恒为定值；②四边形1BED F 是平行四边形；③当截面四边形1BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 至少有两个；④直线1D E 与直线DC 交于点P ，直线1D F 与直线DA 交于点Q ，则P 、B 、Q 三点共线.其中真命题是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④6．贾宪是我国北宋著名的数学家，其创制的数字图式（如右图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》所引用.n 维空间中的几何元素与之有巧妙的联系，使我们从现实空间进入了虚拟空间.例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点，1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域：…如下表所示.利用贾宪三角，从1维到9维最简几何图形中，所有1维线段数的和为（）元素维度几何体维度0123n =1（线段）21n =2（三角形）331n =3（四面体）4641……………………A ．120B ．165C ．2157．函数()sin()||π0,0,2f x A x b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）图象对应的函数为()g x ，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减分，第二空3分.）15．设某车间的A 类零件的厚度L （单位：mm ）服从正态分布(1618)0.3P L <<=．若从A 类零件中随机选取100的方差为______．16．已知函数2()2g x xπ=+，则函数()g x 图像的对称中心为()2cos sin2g x x x =+在区间[2,]ππ-上的实根之和为参考答案：5．C【分析】利用割补法判断四棱锥BED F是平行四边形；四边形1满足条件的点E个数；利用两平面有且仅有线.【详解】①四棱锥11B BED F -的体积等于三棱锥11E BB D -的体积与三棱锥11F BB D -的体积之和,又长方体1111ABCD A B C D -中，11////CC AA 平面11BB D ，则点,E F 到平面11BB D 的距离为定值，则四棱锥11B BED F -的体积恒为定值.判断正确；②由平面1BED 与棱1AA 交于点F ，可得平面1BED F ⋂平面11AA B B BF =，平面1BED F ⋂平面111CC D D D E =，又平面11//AA B B 平面11CC D D ，则1//BF D E ；又平面1BED F ⋂平面11BCC B BE =，平面1BED F ⋂平面111ADD A D F =，又平面11//BCC B 平面11ADD A ，则1//BE D F ，又1//BF D E ，四边形1BED F 是平行四边形.判断正确；③由②可得，截面四边形1BED F 是平行四边形.当1BE ED +的值最小时，四边形1BED F 的周长取得最小值.将侧面11BB C C 与侧面11CC D D 展开在同一平面，当且仅当E 为直线1BD 与1CC 交点时1BE ED +的值最小，则当截面四边形1BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 仅有1个.判断错误；④直线1D E 与直线DC 交于点P ，直线1D F 与直线DA 交于点Q ，则P 、B 、Q 三点均为平面1BED F 与平面ABCD 的公共点，。

小题分层练七中档小题保分练3 建议用时：40分钟一、选择题1．已知函数f＝为R上的单调函数，则实数a的取值范围是A．2,3]B．2，＋∞C．－∞，3D．2,32．2022·湖南益阳高三调研将函数f＝cos2＋θ的图象向右平移个单位后得到函数g的图象，若g的图象关于直线＝对称，则θ＝C．－D－3．阅读如图39所示的程序图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是图39A．n＝6B．n＜6C．n≤6D．n≤84．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积单位：cm3为A．256＋14πB．256＋16πC．256－29πD．256－22π6．2022·菏泽一模已知在等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝2a ＋1，a5＝3a＋2，若S n＝a1＋a2＋…＋a n，且S＝66，则的值为设函数f在R上可导，其导函数为f′，且函数y＝1－f′的图象如图40所示，则下列结论中一定成立的是图40A．函数f有极大值f2和极小值f1B．函数f有极大值f－2和极小值f1C．函数f有极大值f2和极小值f－2D．函数f有极大值f－2和极小值f28．2022·兰州一模已知圆C：2＋y2＝16，直线l：y＝，则圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率是9．2022·山东济南高三一模已知双曲线C：－＝1的两条渐近线是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1距离是3，则点M到渐近线l2距离是山西孝义高三一模有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是丁112022·芜湖一模如图51，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体A­OEF中，下列结论中错误．．的是A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2C．四面体A­OEF的外接球表面积为6πD．异面直线OH和AE所成角为60°12．2022·河南商丘高三二模定义在R上的函数f满足：f′＋f＞1，f0＝5，f′是f的导函数，则不等式e f－1＞4其中e 为自然对数的底数的解集为A．0，＋∞B．－∞，0∪3，＋∞C．－∞，0∪1，＋∞D．3，＋∞二、填空题13．已知f＝使f≥－1成立的的取值范围是________．14．2022·马鞍山二模在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＋3cos A＝1，b＝5，△ABC的面积S＝5，则△ABC的周长为________．15．2022·维吾尔自治区高三二模在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分．其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．16．2022·重庆高三二模边长为2的等边△ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥O­ABC的体积为________．习题答案1答案：A解析：[若f在R上单调递增，则有，解得2<a≤3；若f在R上单调递减，则有，无解，综上实数a的取值范围是2,3]，故选A]2答案：A解析：[由题意知，g＝cos＝cos2－＋θ，令2－＋θ＝π，即函数g的对称轴为＝－＋，又|θ|＜，当＝0时，有－＝，解得θ＝，故选A]3答案：C解析：[S＝0，n＝2，判断是，S＝，n＝4，判断是，S＝＋＝，n＝6，判断是，S＝＋＋＝，n＝8，判断否，输出S，故填n≤6] 4答案：B解析：[画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点1，y1为双曲线C 上一点，则－＝1，即4－9y＝36，点M到两条渐近线距离之积为＝·＝＝为常数，所以当点M到渐近线l1距离是3，则M点到渐近线l2距离是÷3＝，选A]10答案：C解析：[若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件．而如果丙猜对，其他老师都不会对．]11答案：D解析：[因为AO⊥OE，AO⊥OF，所以AO⊥平面EOF；直线AH与平面EOF所成角为∠AHO，所以tan∠AHO＝＝＝2四面体A­OEF的外接球直径为以OA，OE，OF为长宽高的长方体对角线长，即2R＝＝，所以外接球表面积为4πR2＝6π取AF中点M图略，则异面直线OH和AE所成角为∠OHM，所以cos∠OHM＝≠，所以D错误．]12答案：A解析：[设g＝e f－1，∴g′＝e f－1＋e f′＝e f＋f′－1，∵f＋f′＞1，∴g′＞0，∴函数g在R上单调递增．∵f0＝5，∴g0＝4，∵e f－1＞4，∴g＞g0，∴＞0]13答案：[－4,2]解析：[由题意知或解得－4≤≤0或0＜≤2，故所求的取值范围是[－4,2]．]14答案：9＋解析：[∵cos2A＋3cos A＝1，∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝或cos A＝－2舍去，∴sin A＝，又∵S＝5，b＝5，∴bc sin A＝×5×c×＝5，∴c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－2×5×4×＝21，即a＝，∴△ABC的周长为5＋4＋＝9＋]15答案：甲解析：[如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立；如果乙说的是真话，则甲、丙、丁都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成立；如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立；所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、丙都是假话，可推得甲得了满分，故考满分的同学是甲．]16答案：解析：[设球半径为R，则4πR2＝，解得R2＝设△ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r，则r＝×＝故球心到△ABC所在平面的距离为d＝＝＝，即为三棱锥O­ABC的高，所以V O­ABC＝dS△ABC＝××＝]。

中档大题保分练(1) (推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝32sin 2x－12(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移π6个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝7，f(C)＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cos A，cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B)，求m·n的取值范围．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x(2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．3．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．4．已知n∈N*，数列{d n}满足d n＝3＋(－1)n2，数列{a n}满足a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{b n}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b m n＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．1.解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B ) ＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3.(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC . (2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF . 由BC 在平面SBC 内， 得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4.解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d2n .＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.中档大题保分练(2)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .1.解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2.解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ， 则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3.(1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC . (3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4.解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220， 即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．即b n ＝2n . (2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋…＋2n －12n12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n＋32n .中档大题保分练(3)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围．2． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .3． 某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y ≥96，z ≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．4． 如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E ，F分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27. (1)求证：EF ∥平面PDC ；(2)若∠CDP ＝90°，求证：BE ⊥DP ； (3)若∠CDP ＝120°，求该多面体的体积．1.解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，于是sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理知：3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2x ＋sin x cos x －2 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－32， ∴f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B ＋π8－π4－32 ＝22sin 2B －32. 由π6<B <π2得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32， 即f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32. 2. 解 (1)∵a n ＝3n －1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列， 设等差数列{b n }的公差为d ，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)·3n ，②①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ， ∴T n ＝n ·3n .3.解 (1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个． 所以，所求概率为P (A )＝49.4.(1)证明 取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点， 所以FO ∥BC ，且FO ＝12BC .又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点， 所以ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ， 所以EF ∥平面PDC .(2)解 若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ， 又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP .(3)解 连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等， 所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2， 所以三棱锥P －ADC 的体积V P －ADC ＝V A －CDP ＝13×12×2×4×sin 120°×3＝23，所以该五面体的体积为4 3.。

稳取120分保分练(三) 一、选择题1．已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}解析：选D 依据题意，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，而U ＝{－1,0,1}，则A ＝{0,1}，则∁U A ＝{－1}． 2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CD ―→＝c ，则|a ＋b ＋c |＝( ) A ． 1 B. 2 C ．2 2D ．3解析：选A a ＋b ＋c ＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→，∴|a ＋b ＋c |＝|AD ―→|＝1.3．某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是( )A.116 B.14 C.25 D.23解析：选B 基本大事总数n ＝16，这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味包含的基本大事个数m ＝4，∴这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率P ＝m n ＝14.4．若x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －3≥0，2x ＋y －6≤0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．－1D ．3解析：选B 变量x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －3≥0，2x ＋y －6≤0的可行域如图所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，平移直线y ＝12x －12z ，由图象可知当直线y ＝12x －12z 过点A 时，直线y ＝12x －12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y －6＝0，得A (2,2)，代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－4＝－2. ∴目标函数z ＝x －2y 的最小值是－2.5．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.66 B.65 C.64 D.63解析：选C A ＝2B ，即有sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理可得，a ＝2b cos B ，又a ＝62b ，则62b ＝2b cos B ，则有cos B ＝64. 6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n ＜0，则( )A ．a 1＜0,0＜q ＜1B ．a 1＜0，q ＞1C ．a 1＞0,0＜q ＜1D ．a 1＞0，q ＞1解析：选A ∵S n ＜0，∴a 1＜0，又数列{a n }为递增的等比数列，∴a n ＋1＞a n ，且|a n |＞|a n ＋1|，则－a n ＞－a n＋1，即q ＝－a n ＋1－a n∈(0,1)，∴a 1＜0,0＜q ＜1.7．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．8－4π3B ．8－π C．8－2π3D ．8－π3解析：选D 依据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体挖去半个圆锥体所得，如图所示．结合图中数据，计算它的体积为V ＝23－12×13×π×12×2＝8－π3. 8．函数y ＝x 3＋ln(x 2＋1－x )的图象大致为( )解析：选B 函数的定义域是R ，且f (－x )＝(－x )3＋ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )，故函数是奇函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋ln 5－12<0，f (2)＝8＋ln(5－2)＞0，故选B. 9．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出b ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：选B 由题意，a ＝12，b ＝1，i ＝2；a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；a ＝2，b ＝4，i ＝4； a ＝12，b ＝1，i ＝5；…；a ＝12，b ＝1，i ＝2 015；a ＝－1，b ＝－2，i ＝2 016； a ＝2，b ＝4，i ＝2 017；a ＝12，b ＝1，i ＝2 018>2 017，退出循环，输出b ＝1，故选B.10．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的一个对称中心是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0解析：选C f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．再将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，得函数h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，明显函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z)，取k ＝0，得图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0.11．已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的顶点A 1，B 1，C 1在同一球面上，且平面ABC 经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为( )A.32 B. 3 C.332D ．3 3解析：选C ∵此球的表面积为4π，∴此球半径R ＝1，如图，设正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的顶点A 1，B 1，C 1所在球面的小圆的半径为r ，球心到顶点A 1，B 1，C 1所在球面的小圆的距离为d ，则r 2＋d 2＝R 2＝1，∴该三棱柱的侧面积S ＝3×3r ×d ≤33×r 2＋d 22＝33×12＝332，当且仅当r ＝d＝22时等号成立． ∴该三棱柱的侧面积的最大值为332.12．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆：x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则C 的离心率为( )A.33 B.53 C.104D.175解析：选D 如图，取PF 的中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是AB 的中点，∴OH ⊥AB . 设OH ＝d ，则PE ＝2d ，PF ＝2a －2d ，AH ＝a －d3，在Rt △OHA 中，OA 2＝OH 2＋AH 2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，FH ＝45a ，OH ＝a5，OF ＝c ，由OF 2＝OH 2＋FH 2，得c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52，化简得17a 2＝25c 2，ca ＝175.即C 的离心率为175. 二、填空题13．已知复数z ＝1＋3i2＋i ，则|z |＝________.解析：z ＝1＋3i2＋i ＝1＋3i2－i 2＋i2－i ＝5＋5i 5＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.答案： 214．已知α是第一象限角，且sin(π－α)＝35，则tan α＝________.解析：∵α是第一象限角，且sin(π－α)＝sin α＝35，∴cos α＝1－sin 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝34. 答案：3415．过双曲线x 2－y 2＝1焦点的直线垂直于x 轴，交双曲线于A ，B 两点，则|AB |＝_________. 解析：双曲线的方程为x 2－y 2＝1，其焦点坐标为(±2，0)，直线AB 的方程为x ＝2或x ＝－2，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，x ＝±2，解得y ＝±1，则|AB |＝2. 答案：216．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f ′(x )＝ax＋2x ＋a －6.①若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递增，则f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6≥0在(0,3)上恒成立，即a ≥6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，对于函数g (t )＝t ＋4t，t ∈(1,4)，有g (t )∈[4,5)，∴a ≥2；②若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递减，则f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6≤0在(0,3)上恒成立，即a ≤6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，对于函数g (t )＝t ＋4t，t ∈(1,4)，有g (t )∈[4,5)，∴a ≤0.由于函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2) 三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n . (1)求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n b n 的前n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝2，S 5＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋12×5×4d ＝15，解得a 1＝d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，n ∈N *.(2)T n ＝(n ＋5)a n ＝n (n ＋5)，当n ＝1时，b 1＝T 1＝6；n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4，上式对n ＝1也成立．则1a nb n ＝1n2n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n b n 的前n 项和为14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14n ＋1－14n ＋2. 18．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6， 又由于f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 19．某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)A 20 300 B30500户充值200M 流量，资费20元；假如又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M 流量，资费20元/次，依此类推，假如当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．小王过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下：月使用 流量分组[100， 200](200， 300](300， 400](400， 500](500， 600](600， 700]频数 4 11 12 18 4 1依据小王过去50个月的手机月使用流量状况，回答下列问题：(1)若小王订购A 套餐，假设其手机月实际使用流量为x (单位：M,100≤x ≤700)月流量费用y (单位：元)，将y 表示为x 的函数；(2)小王拟从A 套餐或B 套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？并说明理由．解：(1)依题意，当100≤x ≤300时，y ＝20；当300＜x ≤500时，y ＝20＋20＝40；当500＜x ≤700时，y ＝20＋20×2＝60.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20，100≤x ≤300，40，300<x ≤500，60，500<x ≤700.(2)由频数分布表知，小王在过去的50个月中，手机月使用流量x ∈[100,300]的有15个月，x ∈(300,500]的有30个月，x ∈(500,700]的有5个月．若订购A 套餐，月平均费用为：Y 1＝150(20×15＋40×30＋60×5)＝36(元)；若订购B 套餐，月平均费用为：Y 2＝150(30×45＋50×5)＝32(元)．∴Y 1＞Y 2.因此，若以月平均费用作为决策依据，小王应订购B 套餐． 20.在如图所示的多面体中，底面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．(1)求证：AE ∥平面BCF ；(2)若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°，求三棱锥F ­AEC 的体积．解：(1)证明：∵底面ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ， ∵四边形BDEF 是矩形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ， ∵AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF .(2)设AC ∩BD ＝O ，则O 为AC 的中点，连接OE ，OF ，则V F ­AEC ＝V C ­AEF＝2V O ­AEF ＝2V A ­OEF ，在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ，∴BD ＝3，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ， ∵DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，∴AD ⊥平面BDEF ， 故AD 为A 到平面BDEF 的距离，∵DE ＝1，∴S △OEF ＝12S 矩形BDEF ＝12×BD ×DE ＝32，∴V A ­OEF ＝13S △OEF ·AD ＝36，∴三棱锥F ­AEC 的体积V F ­AEC ＝2V A ­OEF ＝33.。

高级高三文科数学中档题训练（3）17、在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，AB=5,51=∠ABC COS . （1）若BC=4,求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若D 是边AC 的中点，且27=BD ，求边BC 的长.18、如图,四棱锥P ABCD -中, PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G 为PD 的中点，,DAB DCB ∆≅∆,312EA EB AB PA ====，,连接CE 并延长交AD 于F . (Ⅰ)求证:AD CFG ⊥平面;(Ⅱ)求三棱锥P ACG V -的体积.19、某校的教育教学水平不断提高，该校记录了到十年间每年考入清华大学、北京大学的人数和。

为方便计算，编号为1，编号为2，…，编号为10.数据如下：（Ⅰ）从这10年中的后6年随机抽取两年，求考入清华大学、北京大学的人数和至少有一年多于20人的概率；（Ⅱ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y bx a =+，并计算的估计值和实际值之间的差的绝对值。

1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑， a y bx =-.21、已知函数1()()ln (,)f x a x b x a b R x=--∈，2()g x x =. （1）若1a =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； （2）在（1）的条件下，求证：()()2ln 2;g x f x >-年份（x ）12 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（y ）35 8 11 13 14 17 22 30 31高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．【重点知识梳理】1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．【高频考点突破】考点一 集合的含义【例1】 (1)若集合A ＝{x ∈R|ax2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a2，a ＋b ，0}，则a2 016＋b2 016＝________．【答案】(1)A (2)1【规律方法】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【变式探究】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m2＋m}，若3∈A ，则m 的值为________．【答案】(1)C (2)－32 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__________．(2)设U ＝R ，集合A ＝{x|x2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁UA)∩B ＝∅，则m ＝__________．【答案】(1)(－∞，4](2)1或2【规律方法】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．【变式探究】 (1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A⊆B D．B⊆A(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．【答案】(1)D(2)(4，＋∞)考点三集合的基本运算【例3】 (1)(·四川卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}(2)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【答案】(1)A(2)B【规律方法】(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．【变式探究】 (1)(·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅ B．{2}C ．{5}D ．{2，5}(2)设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{y|y ＜a}，若M∩N≠∅，则实数a 的取值范围一定是( ) A ．[－1，2) B ．(－∞，2] C ．[－1，＋∞) D ．(－1，＋∞)【答案】(1)B (2)D考点四 集合背景下的新定义问题以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m≤x≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x≤n ，且M ，N 都是集合{0|0≤x≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512【答案】C 【真题感悟】1.【高考新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22.【高考重庆，文1】已知集合{1,2,3},B {1,3}A ，则A B =（） (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3} 【答案】C3.【高考浙江，文1】已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 【答案】A4.【高考天津，文1】已知全集{1,2,3,4,5,6}U,集合{2,3,5}A ,集合{1,3,4,6}B ,则集合A UB （）（）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B5.【高考四川，文1】设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) (A){x|－1＜x ＜3} (B){x|－1＜x ＜1} (C){x|1＜x ＜2} (D){x|2＜x ＜3} 【答案】A6.【高考山东，文1】已知集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(），则A B ⋂= ( )（A ）1,3（）（B ）1,4（）（C ）（2,3（）（D ）2,4（））【答案】C7.【高考陕西，文1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞8.【高考安徽，文2】设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =（ ）（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B9.【高考广东，文1】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 【答案】C1．（·北京卷) 若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A∩B ＝( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4} C ．{1，2} D ．{3} 【答案】C2．（·福建卷) 若集合P ＝{x|2≤x<4}，Q ＝{x|x≥3}，则P∩Q 等于( ) A ．{x|3≤x<4} B ．{x|3<x<4} C ．{x|2≤x<3} D ．{x|2≤x≤3} 【答案】A3．（·福建卷) 已知集合{a ，b ，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．【答案】2014．（·广东卷) 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}【答案】B5．（·湖北卷) 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝() A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}【答案】C6．（·湖南卷) 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}【答案】C7．（·重庆卷) 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．【答案】{3，5，13}8．（·江苏卷) 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．【答案】{－1，3}9．（·江西卷) 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁RB)＝() A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)【答案】C10．（·辽宁卷) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}【答案】D11．（·全国卷) 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为() A．2 B．3C．5 D．7【答案】B12．（·新课标全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅ B．{2}C．{0} D．{－2}【答案】B13．（·全国新课标卷Ⅰ）已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝()A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)【答案】B14．（·山东卷) 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)【答案】C15．（·陕西卷) 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)【答案】D16．（·四川卷) 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}【答案】D17．（·天津卷) 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.18．（·浙江卷) 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]【答案】D19.（·福建卷) 若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4 D．16【答案】C20．（·北京卷) 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0} B．{－1，0}C．{0，1} D．{－1，0，1}【答案】B21．（·安徽卷) 已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1，0，1} D．{0，1}【答案】A22．（·天津卷) 已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D23．（·陕西卷) 设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M，则∁RM为()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】B24．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝() A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}【答案】C25．（·辽宁卷) 已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝()A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}【答案】B26．（·江苏卷) 集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】827．（·湖南卷) 已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝________．【答案】{6，8}28．（·湖北卷) 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则B∩(∁UA)＝() A．{2} B．{3，4}C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}【答案】B29．（·广东卷) 设集合S ＝{x|x2＋2x ＝0，x ∈R}，T ＝{x|x2－2x ＝0，x ∈R}，则S∩T ＝( ) A ．{0} B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2} 【答案】A30．（·广东卷) 设集合S ＝{x|x2＋2x ＝0，x ∈R}，T ＝{x|x2－2x ＝0，x ∈R}，则S∩T ＝( ) A ．{0} B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2} 【答案】A31．（·新课标全国卷Ⅰ） 已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝n2，n ∈A}，则A∩B ＝( ) A ．{1，4} B ．{2，3} C ．{9，16} D ．{1，2} 【答案】A32．（·浙江卷) 设集合S ＝{x|x>－2}，T ＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T ＝( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．[－4，1] D ．(－2，1] 【答案】D33．（·重庆卷) 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U(A ∪B)＝( ) A ．{1，3，4} B ．{3，4} C ．{3} D ．{4} 【答案】D【押题专练】1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C2．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)【答案】D3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是() A．0 B．1C．2 D．3【答案】C4．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C5．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x|x3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________.【答案】－26．若集合A ＝{x|x2－9x ＜0，x ∈N*}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪4y ∈N*，y ∈N*，则A∩B 中元素的个数为________．【答案】37．已知集合A ＝{x|4≤2x≤16}，B ＝[a ，b]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]8．已知集合A ＝{－4,2a －1，a2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A∩B)； (2){9}＝A∩B.9．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

中档大题标准练三建议用时：60分钟一、解答题1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设b＝2，且2b co B＝a co C ＋c co A1求B的大小；2求△ABC面积的最大值．2．等差数列{a n}中，公差d≠0，S7＝35，且a2，a5，a11成等比数列．1求数列{a n}的通项公式；2假设T n为数列错误!的前n项和，且存在n∈N*，使得T n－λa n＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．3在边长为6 cm的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M，N分别为AB，CF的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合于B，构成一个三棱锥如下图．1在三棱锥上标注出M、N点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；2G是线段AB上一点，且错误!错误!的体积．4．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入方案，收集了近期前期广告投入量单位：万元和收益单位：万元的数据．对这些数据作了初步处理，得到了如图的散点图共21个数据点及一些统计量的值．为了进一步了解广告投入量对收益的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：表中u i＝n i，v i＝错误!，参考数据：错误!≈，错误!≈1根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述与之间的关系？简要说明理由；2根据1的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益关于投入量的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型即更适宜作为收益关于投入量的回归方程？说明理由；附：对于一组数据1，1，2，2，…，n，n，其回归直线错误!错误!错误!错误!为棱CE 的中点．图641求证：直线DM⊥平面CBE；2当四面体D-ABE的体积最大时，求四棱锥E-ABCD的体积．6．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系O中，设直线：错误!t为参数，曲线C1：错误!θ为参数，在以O为极点、正半轴为极轴的极坐标系中：1求C1和的极坐标方程；2设曲线C2：ρ＝4in θ曲线θ＝α错误!，分别与C1、C2交于A、B两点，假设AB 的中点在直线上，求|AB|7[选修4－5：不等式选讲]设函数f＝|－3|－|＋1|，∈R1解不等式f＜－1；2设函数g＝|＋a|－4，且g≤f在∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．习题答案1答案：见解析解析：1由正弦定理错误!＝错误!＝错误!可得，2in B co B＝in A co C＋in C co A＝in B，∵in B＞0，故co B＝错误!，∵0＜B＜π，∴B＝错误!2由b＝2，B＝错误!，由余弦定理可得ac＝a2＋c2－4，由根本不等式可得ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，S△ABC＝错误!ac in B取得最大值错误!×4×错误!＝错误!，故△ABC面积的最大值为错误!2答案：见解析解析：1由题意可得错误!即错误!又∵d≠0，∴a1＝2，d＝1，∴a n＝n＋12∵错误!＝错误!＝错误!－错误!，∴T n＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!，∵∃n∈N*，使得T n－λa n＋1≥0成立，∴∃n∈N*，使得错误!－λn＋2≥0成立，即∃n∈N*，使得λ≤错误!成立，又错误!＝错误!≤错误!＝错误!当且仅当n＝2时取等号，∴λ≤错误!，即实数λ的取值范围是错误!3答案：见解析解析：1因翻折后B，C，D重合，所以MN应是△ABF的一条中位线，如下图．那么MN∥平面AEF证明如下：错误!⇒MN∥平面AEF2存在点G使得AB⊥平面EGF，此时λ＝1，因为错误!⇒AB⊥平面EBF又G是线段AB上一点，且错误!错误!错误!错误!＝错误!＝错误!，∴V E-AFNM＝错误!4答案：见解析解析：1由散点图可以判断员工①提出的模型不适合．因为散点图中与之间不是线性关系．2令v＝错误!，先建立关于v的线性回归方程．由于所以关于v的线性回归方程为错误!错误!错误!错误!错误!错误!N图略所以AN⊥EB，又BC⊥平面AEB，AN⊂平面AEB，所以BC⊥AN，又BC∩BE＝B，所以AN⊥平面BCE，易知MN綊DA，四边形MNAD为平行四边形，所以DM∥AN，所以DM⊥平面BCE2因为AD∥BC，BC⊥底面ABE，所以AD⊥平面ABE设∠EAB＝θ，因为AD＝AB＝AE＝1，那么四面体D-ABE的体积V＝错误!×错误!×AE·AB·in θ·AD＝错误!in θ，当θ＝90°，即AE⊥AB时体积最大，又BC⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以AE⊥BC，因为BC∩AB＝B，所以AE⊥平面ABC，V E-ABCD＝错误!×错误!×1＋2×1×1＝错误!6答案：见解析解析：1消去θ可得C1：－22＋2＝4，即2＋2－4＝0，化为极坐标：ρ＝4co θ，消去t可得：2＋－4＝0，化为极坐标：2ρco θ＋ρin θ－4＝02AB中点的极径为错误!＝2in α＋co α，将2in α＋2co α，α代入2ρco θ＋ρin θ－4＝0中，化简得：3in αco α－in2α＝0，故tan α＝3，故in α＝错误!，co α＝错误!，|AB|＝|ρA－ρB|＝4|in α－co α|＝错误!7答案：见解析解析：1函数f＝|－3|－|＋1|＝错误!故由不等式f＜－1可得，＞3或错误!解得＞错误!2函数g≤f在∈[－2,2]上恒成立，即|＋a|－4≤|－3|－|＋1|在∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f和g的图象，如下图．故当∈[－2,2]时，假设0≤－a≤4，那么函数g的图象在函数f的图象的下方，g≤f在∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．。

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小题分层练(五) 中档小题保分练（1)(建议用时:40分钟）一、选择题1．(2018·太原高二模）已知公比q≠1的等比数列{a n｝的前n项和为S n，a＝1,S3＝3a3，则S5＝( ）1A．1 B．5 C。

错误! D.错误!D[由题意得错误!＝3a1q2,解得q＝－错误!，q＝1（舍）,所以S5＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，选D.]2．设实数a，b，c满足:a＝21－log23,b＝a－错误!，c＝ln a，则a,b，c的大小关系为（）A. c<a<b B．c<b<aC。

a〈c<b D．b〈c〈aA［由题意得a＝21－log23＝2log2错误!＝错误!，b＝错误!－错误!＞错误! 0＝1，c＝ln错误!＜0,所以c＜a＜b。

选A。

］3．(2018·江西新余高三二模)函数y＝错误!的图象大致为（）A B C DB［函数y＝错误!的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，故排除A，∵f(－x)＝错误!＝－f(x），∴排除C，当x＝2时,y＝错误!＞0,故排除D,故选B.］4．已知函数f（x)＝错误!则f（2 019）＝（）A．1 B．0 C．－1 D．log32 B[f（2 019）＝－f(2 017）＝f（2 015)＝…＝－f（1)＝－f（－1）＝－log31＝0，故选B.］5．某几何体的三视图如图34所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）图34A。