数学竞赛定积分

全国高校生竞赛历年试题名师精讲〔非数学类〕〔2021——2021〕第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、 解答以下各题〔每题6分共24分，要求写出重要步骤〕(lim 1sin nn →∞+.解 因为()sin sin 2n π==……〔2分〕；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦exp ⎛= ⎝0sin xdx x+∞⎰不是肯定收敛的 解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………〔2分〕因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………〔2分〕 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法nn a∞=∑发散。

……………………………………〔2分〕()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………〔1分〕 故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………〔2分〕将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………〔2分〕又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为微小值。

国际数学竞赛知识点总结一、基本概念1.1 数论1.1.1 整数整数是自然数与其相反数的集合，包括正整数、负整数和零。

1.1.2 素数素数是大于1且只能被1和它自身整除的整数，例如2、3、5、7等。

1.1.3 质数质数与素数的定义相同，只是在数学上使用的术语不同。

1.1.4 最大公约数和最小公倍数两个或多个整数中共有的最大正整数称为这几个整数的最大公约数，最小公倍数则是两个或多个整数的公倍数中最小的一个。

1.1.5 同余当两个整数除以一个正整数得到相同的余数时，这两个整数就被称为同余。

1.2 代数1.2.1 一元二次方程一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

1.2.2 平方差公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。

1.2.3 因式分解将一个多项式表示成几个乘积的形式，称为因式分解。

1.2.4 多项式多项式是由常数与自变量幂次方之和构成的代数式。

1.2.5 方程解的个数一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的个数取决于b^2 - 4ac的正负性。

1.3 几何1.3.1 圆圆是由平面上距离一个确定点距离相等的所有点的集合。

1.3.2 直角三角形直角三角形是以直角为一边构成的三角形，满足勾股定理。

1.3.3 正多边形正多边形是所有边和角都相等的多边形。

1.3.4 相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。

1.3.5 三角函数三角函数是在直角三角形中定义的，正弦、余弦、正切等都是三角函数。

1.4 概率1.4.1 独立事件如果事件A和事件B的发生不会相互影响，则这两个事件是独立事件。

1.4.2 条件概率事件B在A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记作P(B|A)。

1.4.3 排列组合排列和组合是离散数学中的重要概念，用于描述不重复选择的情况。

1.4.4 期望期望是一种统计量，用来描述随机变量的平均值。

全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=拟定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试拟定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

知识点列表(1) 基于夹逼定理的求和式极限的计算方法(2) 基于定积分定义的求和式极限的计算方法(3) 求和式极限的级数法(4) 多元复合函数求导的一般思路与方法(5) 多元复合函数链式法则的具体使用方法(6) 多元复合函数复合结构变量关系图的绘制方法(7) 求空间立体体积的定积分方法(8) 求空间立体体积的二重积分方法(9) 求空间立体区域的三重积分方法(10) 二重积分计算的换元法(11) 二重积分计算的极坐标方法(12) 二重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算(13) 三重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算(14) 定积分的绝对值不等式(15) 二重积分的绝对值不等式(16) 定积分基本公式及其逆运算(17) 狄利克雷收敛定理与傅里叶级数的和函数(18) 函数的傅里叶级数的不确定性(19) 曲面的切平面计算方法(20) 定积分的换元法(21) 反常积分的计算方法(22) 概率积分及其应用(23) 用二重积分计算定积分的方法(24) 空间图形构建方程的一般思路与步骤(25) 圆锥面的几种几何特征(26) 向量夹角的计算(27) 点之间的距离计算(28) 向量的数量积(29) 向量的模的计算(30) 直线的点向式方程(31) 平面的点法式方程(32) 两种曲面方程法向量的计算公式(33) 空间曲线的一般式方程(34) 空间曲线的参数式方程(35) 空间曲线一般式方程的不唯一性。

(36) 证明函数无穷次可导的方法(37) 高阶导数的线性运算法则(38) 函数项级数收敛域计算的一般思路与步骤(39) 幂级数收敛区间、收敛半径和收敛域的计算步骤(40) 基于已有幂级数和函数求幂级数未知和函数的方法(41) 基于求解微分方程初值问题的幂级数和函数计算方法(42) 幂级数收敛域内和函数的连续性(43) 幂级数的线性运算、逐项可导、逐项可积的性质(44) 常值级数收敛性的判定方法(45) 常值级数收敛判定的比值审敛法与根值方法(46) 利用函数的连续性求极限(47) 利用等价无穷小求极限(48) 函数极限的加减运算法则(49) 证明问题的反证法(50) 闭区间上连续函数的介值定理与零点定理(51) 积分计算的保号性与保序性(52) 二重积分的绝对值不等式。

省高数竞赛学生报名网址：/mathcpt/第一讲 不定积分例1. 求下列不定积分 （1）⎰+dx e x e x（2）⎰--dx e x x x 22)1(（3）⎰++⋅+dx e x x e x x x x )13()(22 例2.（1）dx e x x xx x ⎰⋅+-)cos 1(cos sin cos sin 2（2）⎰--dx x x x2)ln (ln 1例3. （1）⎰+)2(7x x dx（2）⎰++232)1(x x dx例4.（1）⎰++xx x dx4212（2）⎰+++6321x x x ee e dx例5. （1）dx e xx x⎰++cos 1sin 1 （2）⎰++dx x e x x2)2()1( （3）⎰+dx x e x x22)2( 例6. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=)(x f dx____________ 例7. （1）6532+-+x x x（2）2)1(1-x x（3）)1)(21(12x x ++例8. (1) dx x x x x x x ⎰++--++)22()1(3612332 (2) ⎰+dx x x 91例9.（1）⎰-+dx x x 1003)1(12 （2） ⎰++dx x x x 234811例10. ⎰+++dx x x 3111例11. ⎰++3cos sin 2x x dx例12.（1）⎰x x dx53cos sin（2）⎰+dx x sin 1例13. （1）⎰+dx x xsin 1sin （2）⎰++dx xxx cos 1sin例14. （1）dx x x x ⎰3cos 2cos 4sin （2）⎰xdx x 42cos sin例15. （1）⎰+xdx x x arctan 122（2）⎰dx ee arc xxcot例16. dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-')()()()()(32例17. ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121011)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(第二讲 定积分例1. ],[)(b a C t g ∈，⎰=xa dt t g x f )()(，证明：至少],[b a ∈∃ξ，使)()(ξg ab b f =-. 例2. （1）⎰-aa dx xa x 2422 （2）⎰--2ln 021dx e x（3）⎰---201010cos sin 4cos sin πdx xx xx例3. 估值（1）⎰333arctan xdx x （2）⎰+--13224xx x dx例4. 求导数 （1）由方程1sin 220=+⎰⎰x yt dt tt dt e ，确定y 为x 的函数，求dx dy（2）⎰-=x dt t x f x F 0)()(例5. 设当0>x 时，)(x f 可导，且满足)0()(11)(1>+=⎰x dt t f xx f x，求)(x f例6. )(x f 为连续函数，且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ____________例7. 求极限（1）⎰-+∞→x t xx dt et xe 0222lim（2）xdt t x x ⎰∞→0sin lim例8. 求积分（1）⎰-20)1(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=+0110)(11x e x x f x x ，例9.（1）⎰-10dt x t t ， （2）b a dx x ba <⎰,例10. ⎰--=x a y a y dy e x f 0)2()(，求⎰adx x f 0)(例11. （1）)(x f 在),(∞+-∞上连续，且x ∀，有)()()(y f x f y x f +=+，求⎰-+112)()1(dx x f x（2）⎰--+=4421sin ππdx e xI x例12. （1）⎰++--42)3ln()9ln()9ln(dx x x x（2）dx e e e I xx x⎰+=20cos sin sin π例13. （1） ⎰+=π023c o s 1s i n dx xxx I （2）⎰+40)tan 1ln(πdx x例14. 已知A dx x x =+⎰π02)2(cos ，求⎰+201cos sin πdx x x x例15. )(x f 是连续函数，证明：（1）⎰⎰=20023)(21)(a a dx x xf dx x f x（2）dx x f dx x f ⎰⎰=2020)cos (4)cos (ππ（3）⎰⎰⎰++=+1001)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x（4）设n 为正整数，证：⎰⎰=2020cos 21sin cos ππxdx xdx x n nnn例17. 若)(x f 连续，则⎰⎰⎰-=xxudu u f u x du dt t f 000)()(])([.例18. )(),(x g x f 在],[b a 上连续，证：至少),(b a ∈∃ξ，使得⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(例19. ],[)(b a C x f ∈，证明：⎰⎰-≤b a ba dx x f ab dx x f )()())((22例20. ],[)(b a C x f ∈，且严格单调增，证：⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a )(2)()(.例21. )(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：2)(2)(a b Mdx x f ba -≤⎰例22. 设)(x f 在],[b a 上不恒等于零，且其导数)(x f '连续，且有0)()(==b f a f ，证：],[b a ∈∃ξ，使⎰-≥'b adx x f a b f )()(4)(2ξ例23. 在],0[a 上，0)(>''x f ，证)2()(0aaf dx x f a ≥⎰例24. )(x f '在],0[a 连续，且0)0(=f ，证2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中，)(max 0x f M ax '=≤≤.反常积分 例1. （1）⎰∞++02)1(1dx e x （2）⎰∞+∞-++942x x dx（3）⎰∞++022)1(ln dx x x x （4）⎰-e dx x x 12)(ln 11 例2. ⎰∞++03)1(x x dx定积分应用例1. 求由曲线x x y e x xx y axa 21)(,1lim)(221=-+=+∞→，及1=x 所围图形的面积。

大二数学竞赛知识点汇总数学竞赛作为提高学生数学能力和培养解决问题能力的一种重要途径，在大二阶段已经成为许多学校和学生的重要课外活动之一。

为了帮助大二学生更好地备战数学竞赛，下面将对大二数学竞赛的知识点进行详细汇总。

1. 高等代数1.1 行列式与矩阵行列式的定义及性质、矩阵的定义和运算、行列式与矩阵的关系等。

1.2 线性方程组高斯消元法、矩阵的秩和最简阶梯形、线性相关与线性无关等。

1.3 向量空间向量空间的基本概念、子空间、向量空间的维数、向量组的秩等。

2. 数学分析2.1 极限与连续性数列极限、函数极限、连续函数的性质和判定等。

2.2 导数与微分函数的导数、导数的运算法则、高阶导数、微分的应用等。

2.3 积分与定积分不定积分、定积分的定义和性质、积分中值定理、曲线的弧长等。

3. 概率论与数理统计3.1 随机事件与概率随机事件、概率的定义、基本概率公式、条件概率、独立性等。

3.2 随机变量与概率分布随机变量的定义和分类、离散型随机变量和概率分布、连续型随机变量和概率密度函数等。

3.3 统计与抽样统计指标的计算、抽样分布、参数估计、假设检验等。

4. 几何学4.1 解析几何平面解析几何、空间解析几何、曲线的参数方程等。

4.2 点、直线、平面的位置关系点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面的交线等。

4.3 三角学三角函数、三角恒等式、解三角形等。

以上是大二数学竞赛的主要知识点汇总，希望对即将参与竞赛的同学有所帮助。

在准备竞赛过程中，建议同学们进行系统的知识点复习，并结合大量的练习题进行巩固和提高。

祝愿大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。

定积分试题及答案详解1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：首先，我们需要找到被积函数 \(x^2\) 的原函数。

原函数为\(\frac{1}{3}x^3\)。

接下来，我们计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 =\frac{1}{3}\]所以，定积分的值为 \(\frac{1}{3}\)。

2. 求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

答案：对于被积函数 \(\frac{1}{x}\)，其原函数为 \(\ln|x|\)。

计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]因此，定积分的值为 \(\ln(2)\)。

3. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。

答案：被积函数 \(\sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。

计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]所以，定积分的值为 2。

4. 求定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 3) dx\)。

答案：被积函数 \(2x + 3\) 的原函数为 \(x^2 + 3x\)。

计算定积分：\[\int_{0}^{1} (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_{0}^{1} = (1^2 + 3\cdot 1) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 1 + 3 - 0 = 4\]因此，定积分的值为 4。

1、 导数与偏导数例1.1 设函数()x f 在点x =0处有定义，f ()0=1，且().01s i n )1l n (lim20=-⋅+-→ex x f x x x 证明：函数()x f 在0=x 处可导，并求().0f '例1.2 设函数()()()011>+=x x x f x，证明：存在常数,,B A 使得当0+→x 时，恒有()()22x o Bx Ax e x f +++=， 并求常数.,B A例1.3 设()x f 在()+∞∞-,内二阶可导，且()0≠''x f 。

（1） 证明：对于任何非零实数x ，存在唯一的()()()10<<x x θθ，使得 ()()()().0x x f x f x f θ'+= （2） 求().lim 0x x θ→例1.4 求使不等式βα++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤⎪⎭⎫⎝⎛+n n n e n 1111对所有的自然数n 都成立的最大的数α和最小的数β。

例1.5 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()(),02,0<⎪⎭⎫⎝⎛+>b a f a f b f a f 证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()().ξξf f ='例1.6 （1）设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且()0||>≥''m x f （m 为常数），又()()0==b f a f ，证明：()()28||max a b mx f bx a -≥≤≤。

例1.7 已知函数()x f 在[]1,0上三阶可导，且()()(),00,01,10='=-=f f f 证明：()()1,0,1,0∈∃∈∀ξx ，使()()()ξf x x x x f '''-++-=31122。

例1.8设函数()x f 在[]1,0上二阶可导，且满足()1||≤''x f ，()x f 在区间()1,0内取得最大值41。