第四节 三角函数有理式与某些无理根式的不定积分

第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。

第八章 不定积分3 有理函数可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：R(x)=)(Q )P(x x =n1-m 1m 0n1-n 1n 0βx βx βαx αx α+⋯+++⋯++, 其中n,m 为非负整数，α0,α1,…αn 与β0,β1,…βn 都是常数，且α0β0≠0. 若m>n ，则称它为真分式；若m ≤n ，则称它为假分式.注：1、假分式可化为整式与真分式的和；2、真分式可表示为若干个部分分式之和(称为部分分式分解)；3、分解部分分式的一般步骤：第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1) Q(x)=(x-a 1)1λ…(x-a s )sλ(x 2+p 1+q 1)1μ…(x 2+p t +q t )tμ，其中λi ,μj (i=1,2,…,s ；j=1,2,…,t)均为自然数，而且∑=s1i iλ+2∑=t1j j μ=m ；p j 2-4q j <0, j=1,2,…,t.第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式。

对于每个形如(x-a)k 的因式，它所对应的部分分式是：a -x A 1+22a)-(x A +…+k k a)-(x A ；对于每个形如(x 2+px+q)k 的因式，它所对应的部分分式是：q px x C x B 211++++2222q)px (x C x B ++++…+k2kk q)px (x C x B +++.第三步：确定待定系数。

将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，分子与原分子P(x)恒等。

根据同幂项系数相等，可得一组关于待定系数的线性方程，方程组的解就是需要确定的系数。

例1：对R(x)=8-x 4x 2x 5x x 10-x 9x 4x 2x 2345234+--+++-作部分分式分解.解：Q(x)=x 5+x 4-5x 3-2x 2+4x-8=(x-2)(x+2)2(x 2-x+1)， R(x)=2-x A 0+2x A 1++222)(x A ++1x x C Bx 2+-+，两边乘以Q(x)得：2x 4-x 3+4x 2+9x-10 ≡A 0(x+2)2(x 2-x+1)+A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+A 2(x-2)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2. 根据等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-10.=8C -2A -4A -4A ，9=4C -8B -3A +4A ，4=2C +4B -3A -3A -A ，-1=C +2B +A +A -3A ，2=B +A +A 2102121021010 解得：A 0=1, A 1=2, A 2=-1, B=-1, C=1. ∴对R(x)作部分分式分解的结果为：R(x)=2-x 1+2x 2+-22)(x 1+-1x x 1-x 2+-.注：对以上待定系数法有时可运用简便方法，如将x=2代入恒等式得： 32-8+16+18-10≡A 0·(2+2)2(4-2+1)，∴A 0=1，将x=-2代入恒等式得： 32+8+16-18-10≡A 2(-2-2)(4+2+1)，∴A 2=-1，于是化简恒等式得： x 4-3x 3+12+16≡A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2，分别令x=0,1,-1可得：⎪⎩⎪⎨⎧+ 8.=C +B -3A 2，=3C 3B +A 4，=2C +A 111 解得：A 1=2, B=-1, C=1.小结：求有理真分式的不定积分可归为以下两种形式的不定积分：(1)∫k a)-(x dx =⎪⎩⎪⎨⎧>+=+ 1.k ；C a)-k)(x -(111，k C ；|a -x |ln 1-k (2)∫k 2q)px (x M Lx +++dx=∫k 22)r (t N Lt ++dt=L ∫k 22)r (t t +dt+N ∫k22)r (t dt+，其中 t=x+2p ，r 2=q-4p 2，N=M-4p L.当k=1时，原式=L ∫22r t t +dt+N ∫22rt dt +=2L ln(t 2+r 2)+ r N arctan r t +C. 当k ≥2时，∫k 22)r (t t +dt =1-k 22)r (t )k 1(21+-+C. I k =∫k 22)r (t dt +=2r 1∫k 22222)r (t t -)r (t ++dt=2r 1I k-1-2r 1∫k 222)r (t t +dt=2r 1I k-1+)1k (2r 12-∫td ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1-k 22)r (t 1=2r 1I k-1+)1k (2r 12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1-k 1-k 22I )r (t t=1-k 21-k 222I )1k (2r 3-2k )r (t )1k (2r t -++-.重复计算直至归为计算I 1. 最后换元为x ，就得到最终的结果.例2：求∫2222)2x -(x 1x ++dx. 解：2222)2x -(x 1x ++=2222)2x -(x 1)-x 2(2)x 2(x +++-=22x -x 12++222)2x -(x 1-x 2+∫22x -x dx2+=∫11)-(x 1)-d(x 2+dx=arctan(x-1)+C.∫222)2x -(x 1-x 2+dx=∫2222)2x -(x 2)2x -d(x +++∫221)]1)-[(x 1)-d(x +=-222)2x -(x 1++∫22)1t (dt +. ∫22)1t (dt +=1)2(t t 2++21∫1t dt 2+=1)2(t t 2++21arctant+C=2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C. ∴原式= arctan(x-1)-222)2x -(x 1++2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C=2)2x -2(x 3-x 2++23arctan(x-1)+C.二、三角函数有理式的不定积分：由u(x),v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x),v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.∵sinx=2x tan 12x2tan2+=2t12t +, cosx=2x tan 12xtan -122+=22t 1t -1+, (t=tan 2x )； ∴∫R(sinx,cosx)dx=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)d(2arctant)=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)2t12+d(t). 例3：求∫cosx )sinx (1sinx1++dx.解：∫cosx )sinx (1sinx 1++dx=∫22222t 12)t1t -1(1t 12t t 12t 1+⋅+++++dt =21∫(t+2+t 1)dt=4t 2+t+21ln|t|+C=41tan 22x + tan 2x +21ln|tan 2x|+C.例4：求∫xcos b x sin a dx2222+(ab ≠0).解：∫x cos b x sin a dx 2222+=∫2222b x tan a x sec +dx=∫222b x tan a dtanx +=∫222b t a dt+=ab 1∫1b at bat d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab 1arctan b at +C=ab 1arctan batanx +C.三、某些无理根式的不定积分： 1、∫R(x,nd cx b ax ++)dx 型不定积分(ad-bc ≠0)，只需令t=n dcx bax ++，化为有理函数的不定积分. 例5：求∫2x 2x x1-+dx. 解：令t=2x 2x -+，则x=1t 22t 22-+，原式=∫22t 1)t(t 22+-d 1t 22t 22-+=∫2222221)2)(t (2t 2)]2t(2t -1)1)[4t(t t(t -++--dt=-2∫1)1)(t (t 2t 222-+dt=-2∫(1t 12++1t 12-)dt=-2arctant-∫(1t 1--1t 1+)dt=ln 1t 1t -+-2arctant +C =ln12x 2x 12x 2x --++-+-2arctan 2x 2x -++C=ln 2x 2x 2x 2x --+-++-2arctan2x 2x -++C =ln 44x 2x 22-+-2arctan 2x 2x -++C=ln|2x+24x 2-|-2arctan 2x 2x -++C.例6：求∫2xx 2x)(1dx-++.解：∫2x x 2x)(1dx-++=∫)x 1)(x 2(x)(1dx+-+=∫x2x1x)(112-++dx. 令t=x 2x 1-+，则x=1t 1-2t 22+，dx=22221)(t 1)-2t(2t -1)4t(t ++dt=221)(t t 6+dt. 1+x=1+1t 1-2t 22+=1t 3t 22+，2x )(11+=422t 91)(t +.原式=∫224221)(t t6t 91)t(t +⋅+dt=32∫t -2dt=-t 32+C=x 1x 232+--+C.2、∫R(x,c bx ax 2++)dx 型不定积分(a>0时b 2-4ac ≠0, a<0时b 2-4ac>0)，由于ax 2+bx+c=a[(x+a 2b )2+22a 4b -4ac ]，若记u=x+a 2b , k 2=22a4b -4ac ，则此二次三项式必属于以下三种情形之一：|a|(u 2±k 2)，|a|(k 2-u 2). 因此上述无理根式的不定积分可化为以下三种类型之一：∫R(u,22k u ±)du ，∫R(u,22u k -)du.分别令u=ktant, u=ksect, u=ksint ，则都化为三角有理式的不定积分.例7：求I=∫3x 2x x dx 2--.解法一：令u=x-1=2sec θ, t=tan 2θ, 则t=1x 3-x +. I=∫41)-(x x 1)-d(x 2-=∫4u )1(u du 2-+=∫1θsec )1(2sec θdsec θ2-+=∫)1θ(2secθtan tan θanθs+d θ=∫12sec θsec θ+d θ=∫cos θ21+d θ=∫222t 1t -12t 12+++dt=2∫3t 12+dt=32∫13t 12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t=32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3t +C=32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33x 3-x +C. 解法二：令3x 2x 2--=x-t, 则x=)1t (23t 2-+, dx=22)1t (23-t 2t --dt. I=∫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+--t )1t (23t )1t (23t )1t (23-t 2t 2222dt=-2∫3t 12+dt=-32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t +C =32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3x 3x 2x 2+C.注：一般地，二次三项式ax 2+bx+c 中若a>0，则可令c bx ax 2++=a x ±t ；若c>0，也可令c bx ax 2++=xt ±a ，这类变换称为欧拉变换.习题求下列不定积分：(1)∫1-x x 3dx ；(2)∫127x -x 2-x 2+dx ；(3)∫3x 1dx +；(4)∫4x1dx+；(5)∫221)1)(x -(x dx +； (6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx ；(7)∫x cos 35dx -；(8)∫xsin 2dx 2+；(9)∫x tan 1dx+； (10)∫22x x 1x -+dx ；(11)∫xx dx 2+；(12)∫x1x-1x 12+dx. 解：(1)∫1-x x 3dx=∫1-x 11x 3+-dx=∫(x 2+x+1)dx+∫1-x 1dx=3x 3+2x 2+x+ln|x-1|+C.(2)127x -x 2-x 2+=4)-3)(x -(x 2-x ≡3-x A +4-x B ；∴x-2≡A(x-4)+B(x-3).当x=3时，解得A=-1；当x=4时，解得B=2.∴原式=∫4-x 2dx-∫3-x 1dx=2ln|x-4|-ln|x-3|+C=ln 3-x 4)-(x 2+C.(3)3x11+=1)x 1)(x (x 12+-+≡1x A ++1x -x C Bx 2++;∴A(x 2-x+1)+(Bx+C)(x+1)≡1. 当x=-1时，解得A=31；由A+B=0，得B=-31；由A+C=1，得C=32. ∴原式=31∫1x 1+dx-31∫1x -x 2-x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 3-1-2x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 1)x -d(x 22+++21∫1x -x 12+dx=61ln 1x -x 1)+(x 22++21∫4321-x 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛dx =61ln 1x -x 1)+(x 22++31∫121-x 3221-x 32d 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=61ln 1x -x 1)+(x 22++31arctan 31-x 2+C. (4)∫4x 1dx +=21∫422x 11x -1x +++dx=21∫42x 11x ++dx -21∫42x 11x +-dx=21∫222x 1x x 11++dx-21∫222x 1x x 11+-dx=21∫2x 1x x 1x d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--21∫2x 1x x 1x d 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =42arctan x 21-x 2-82∫)2x 1(x x 1x d ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++82∫)2x 1(x x 1x d -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42arctan x 21-x 2-82ln 1x 2x 1x 2x 22+-+++C. (5)由221)1)(x -(x 1+≡1-x A +1x C Bx 2+++221)(x EDx ++得：A(x 2+1)2+(Bx+C)(x-1)(x 2+1)+(Dx+E)(x-1)≡1. 当x=1时，解得A=41. ∴41x 4+21x 2+41+Bx 4-Bx 3+Cx 3+Bx 2-Cx 2-Bx+Cx-C+Dx 2-Dx+Ex-E=(41+B)x 4-(B-C)x 3+(21+B-C+D)x 2-(B-C+D-E)x-(C+E-41)≡1. ∴B=-41，C =-41，D=-21，E=-21. 原式=41∫1-x dx -41∫1x 1x 2++dx-21∫221)(x 1x ++dx =41ln|x-1|-81∫1x 1)d(x 22++-41∫1x dx 2+-41∫2221)(x 1)d(x ++-21∫221)(x dx + =81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-21∫221)(x dx +又∫221)(x dx +=∫221)t (tan dtant +=∫cos 2tdt=21∫(cos2t+1)dt=41∫cos2td2t +21∫dt =41sin2t+21t+C=)1t (tan 2tant 2++21arctanx+C=)1x (2x 2++21arctanx+C.∴原式=81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-)1x (4x 2+-41arctanx+C=81ln 1x 1)(x 22+--21arctanx+)1x (4x -12++C.(6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx=41∫222)1x 2(2x )1x 2d(2x ++++-25∫22)1x 2(2x dx ++=-)1x 24(2x 12++-5∫22)]11)[(2x 1)d(2x +++=-)1x 24(2x 12++-45[1x 22x 12x 2++++2arctan(2x+1)]+C =-)1x 22(2x 3x 52+++-25arctan(2x+1)+C.(7)∫x cos 35dx -=∫222t 1)t 3(15t 12+--+dt=21∫1t)2(d2t 2+=21arctan2t+C=21arctan(2tan 2x )+C.(8)方法一：∫x sin 2dx 2+=∫22t 1t 22t 12+++dt=∫1t t dt 2++=32∫13132t 3132t d 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =32arctan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132t +C=32arctan ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132x 2tan +C. 方法二：∫x sin 2dx 2+=∫x tan x sec 2x dx sec 222+=∫2x tan 3dtanx 2+dt=66∫1x tan 23tanx23d2+=66arctan(tanx 23)+C.(9)∫x tan 1dx +=∫x tanx sec x sec x dx sec 222+=∫1tanx x tan x tan dtanx23+++ =21(∫1tanx dtanx +-∫1x tan tanxdtanx 2++∫1x tan dtanx 2+)=21(ln|tanx+1|-21∫1x tan )1x d(tan 22+++x) =21(ln 1x tan |1tanx |2+++x)+C=21(ln|cosx+sinx|+x)+C. (10)I=∫22xx 1x -+dx=-∫22xx 1x x 1-+-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-∫2x x 1-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-∫22xx 12x -x 2-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2xx 1-+-I+21∫2xx 1x -+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-I+23∫2xx 132x -++dx. ∴I=-2x x 12x -++43∫2x x 132x -++dx.又∫2x x 132x -++dx=-21∫2x x 1x 21-+-dx+67∫2x x 1dx -+ =-2x x 1-++67∫251-2x 151-2x d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2x x 1-++67∫arcsin 51-2x +C. ∴原式=-2x x 12x -+-432x x 1-++87∫arcsin 51-2x +C. (11)令t-x=x x 2+，则x=12t t 2+，dx=d 12t t 2+=21)(2t 1)t(t 2++dt. ∫x x dx 2+=∫12t t t 1)(2t 1)t(t 222+-++dt=∫12t 1)d(2t ++=ln|2t+1|+C=ln|2x x 2++2x+1|+C. (12) ∫x 1x -1x 12+dx=-∫1x11-x 1+d x 1=-∫1t 1-t +dt=-∫1t 1-t 2-dt=-∫1t tdt 2-+∫1t dt 2- =-1t 2-+ln|t+1t 2-|+C=-x x 12-+ln x x 112-++C.。