第四节 三角函数有理式与某些无理根式的不定积分

n
∫ R ( x,
n
ax + b dx 或：∫ R x,
)
n
ax + b dx, 可作变换： cx + d
ax + b ax + b = t 或： =t ; cx + d
n
2、形如
∫ R ( x,
n1
ax + b， ， ax + b dx 或：∫ R x, ⋯
nk
)
n1
ax + b ,⋯ , cx + d
nk
ax + b dx, cx + d
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可作变换：n ax + b = t 或：n 例1 求 ∫ x − 23 x −1 dx. 4 x
1 12
ax + b = t , 其中：n = [ n1 , n2 , ⋯ , nk ] ; cx + d
解： 令 t = 12 x , ⇒ x = t , dx = 12t 11 dt , t > 0. 4 15 24 13 4 9 t 6 − 2t 4 − 1 11 14 12 8 原式 = ∫ .12t dt = ∫ 12 ( t − 2t − t )dt = t − t − t + C 3 5 13 3 t 5 13 3 4 4 24 12 4 4 = x − x − x + C. 5 13 3
二、三角函数有理式的不定积分 1、 u ( x )、 v ( x )的 有 理 式 由 u ( x )、 v ( x ) 及 常 数 经 过 有 限 次 的 四 则 运 算 所 得 到 的 函 数 称 为 关 于 u ( x )、 v ( x )的 有 理 式 ， 并 用 R u(x)、 v(x))表 示 。 （
2、三角函数有理式用 R sin x , cos x )表示; （ 3、 ∫ R sin x , cos x ) dx 的求法： （ x 2t 1 − t2 1）、万能置换法：令 tg = t , 则 sin x = , cos x = , 2 2 2 1+ t 1+ t 2t 1 − t 2 2 2 dx = dt , ⇒ ∫ R sin x , cos x ) dx = R （ , . dt . 2 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t 从而可用有理函数的积分法求出其积分。
+
（作三角函数变换去根号）
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（2）、第二欧拉变换法：若 c ≥ 0, 令： ax 2 + bx + c = xt − c
(或 = xt + c ) ;
(3)、第三欧拉变换法：若 ax2 + bx + c = 0 有两个不同的实根λ 与 µ， 则
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令： ax 2 + bx + c = a ( x − λ )( x − µ ) = t ( x − λ ) , ( 或 = t ( x − µ ) ) 。 注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些 特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。 ax 2 + bx + c 以下三种情况之一： 1）、形如：∫ dx , 先对 ax 2 + bx + c 配方，最后还原成
∫
dX X 2 ± A2
或：∫
dX
2)、形如：∫ 出其积分。
A2 − X 2 ( mx + n ) dx , 利用凑微分法和配方后作代换后即可求 ax 2 + bx + c
。 （其中 A是常数）
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3）、形如：∫ ax 2 + bx + c dx, 对ax 2 + bx + c配方最终还原成：
∫
X 2 ± A2 dX
sin α .cos β =
1 [sin(α + β ) + 2
1 cos α .cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β )]. 求出其积分。 2 c、对于
∫ sin x
m
cos x dx, 当m、n中有一奇数时，可拆开它，然后用
n
凑微分法求其积分； 1 当m、n均为偶数时，可利用倍角公式：sin x cos x = sin 2 x; 2 2 2 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 反复使用即可求出其积分。 sin x = ; cos x = 2 2
或： A2 − X 2 dX 三种情况之一。 A是常数） （ ∫ ax 2 + bx + c dx，先凑微分，再利用已知
4）、形如
∫ ( mx + n )
dx
的积分公式。 1 5）、形如：∫ , ( n ∈ N , 且 n ≤ 3), 则令 x = , 再利 n 2 2 t x x ±a 用凑微分法或由已知公式；当 n > 3 时，则一般用第二换元法
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3、形如
∫ R x,
(
ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ax 2 + bx + c ≥ 0, 在一般的
)
情况下采用欧拉变换法： （）第一欧拉变换法：若a > 0, 令： ax 2 + bx + c = t − ax ( 或： 1 = t + ax
)
例2 求 I= ∫
dx x x2 -2x-3 (t 2 − 2t − 3) x2 -2x-3 = − 2(t − 1)
2
2
2
1 − cos 2 x , 2
1 + cos 2 x 来计算. 2
b、对于
∫ sin mx.cos nx.dx、∫ sin mx.sin nx.dx、∫ cos mx.cos nx.dx、(m ≠ n)
可用三角函数的积化和差公式：
2
sin α .sin β = cos(α − β )，
1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] , 2
∫ R (sin x,
cos x )dx 才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述 2）的各种特殊情形的，才考虑用万 能置换法。
4
三、某些无理（根式）函数的不定积分 一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函 数的不定积分的求法： 1、形如
1
在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可 以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下， 一般不采用此方法。（见下面介绍）
2)、特殊情形的求法： （）、三角恒等变换法 1 a、对于 cos x =
2
∫ sin mx dx 、∫ cos mx dx，可利用倍角公式 : sin x =
3Hale Waihona Puke 拆项与反复使用倍角公式1 n −1 d、对于 ∫ sin x dx、 ∫ cosx dx, I n = ∫ tgx dx = tgx − I n − 2 n −1 (可用分部积分法 + 递推公式求出）
m m n
(2)、若 R (sin x , − cos x ) = − R (sin x , cos x ), 即 R (sin x , cos x ) 关于 cos x是奇函数，则令：sin x = t ; 若 R ( − sin x , cos x ) = − R (sin x , cos x ) ，则令：cos x = t ; R ( − sin x , − cos x ) = R (sin x , cos x ), 则令：tgx = t 或 ctgx = t .在何种情况下，
解： a = 1 > 0, 采用第一欧拉变换法，令 x2 -2x-3 = x − t , 则可解出： 因 t2 + 3 t 2 − 2t − 3 x= , dx = dt , 2 2(t − 1) 2(t − 1)
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于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分： I = = −
∫
t 2 − 2t − 3 2( t − 1) 2 ( t − 1) 2 . . dt = − ∫ 2 dt 2 2 2 t + 3 − ( t − 2 t − 3 ) 2( t − 1) t +3 2 3 arctan t 3 +c = 2 3 arctan x2 − 2x − 3 − x 3 + c.