8.几类不等式问题

基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。

它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。

本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。

二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。

三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。

学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。

基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。

许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。

1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。

例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。

2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。

即表示x介于1和2之间，大于1小于2。

3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。

4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。

5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。

6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。

7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。

8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。

专题八 常见重要不等式及不等式的证明学习要求：1.知道不等式的几条基本性质，会利用不等式的性质证明简单的不等式。

2.会求解一元二次不等式，掌握二次函数和二次不等式的联系。

3.会求解绝对值不等式，知道三角不等式的几种表现形式。

4.掌握基本不等式ab b a 2≥+的使用条件及其变形不等式，会用基本不等式解决问题或证明其他不等式。

5.掌握基本不等式ab b a 222≥+的使用条件及其变形不等式，会利用其解决问题或证明其他不等式。

6.掌握证明不等式的重要方法：比较法和放缩法。

7.熟悉几类常见不等式：柯西不等式、排序不等式、伯努利不等式、赫尔德不等式、均值不等式，琴生不等式，会用他们证明一些简单的不等式。

8.掌握几个重要的近似，能够利用简单近似估计数值。

9.能够利用已经学过的知识证明特殊结构的不等式。

参考资料：1.《高中数学知识点学习材料》，p51-p562.《高中数学 必修5》，人民教育出版社3.《高中数学 选修4-5》，人民教育出版社课堂训练：1.设1,22++=+=b a s b a t ，则s 与t 的大小关系为（ ）A.s ≥tB.s >tC.s ≤tD.s <t2.设26372-=-==R Q P ，，，则P ,Q,R 的大小关系为（ ）A.P >Q >RB.P >R >QC.Q >P >RD.Q >R >P3.设a a ab y b a x 42,5222--=+=，若y x >,则实数b a ,满足的条件是4.(1)If 1,1≥≥y x ，show that xy yx xy y x ++≤++111. (2)If c b a ≤≤<1, show that c b a a c b a c b c b a log log log log log log ++≤++.5.已知b a c b a +>>>2,0,0，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.6.Show that),2(121312*********+∈≥-<++++<+-N n n n n n .7.使不等式b a >成立的充要条件是（ ）A.22b a >B.b a 11<C.b a lg lg >D.b a 2121< 8.对于满足2||≤p 的所有实数p ，求使不等式x p px x +>++212恒成立的x 的取值范围.9.对于任意的022sin 2cos ],2,0[2<--+∈m x m x x π恒成立，求实数m 的取值范围.10.设对于任意的,R ∈x 不等式45sin 452cos -+-<+a x x a 恒成立，求实数a 的取值范围。

初中数学知识与不等式组概念1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理(1)不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)+F(x)(3)如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

7.不等式的性质：(1)如果x>y，那么yy；(对称性)(2)如果x>y，y>z；那么x>z；(传递性)(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；(加法则)(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

不等式的类型及解法一、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为已知实数，且a≠0。

解法：1. 将不等式转化为等式，即ax+b=0，求得方程的解x0。

2. 根据a的正负性，将解x0进行分类讨论：- 当a>0时，若x>x0，则ax+b>0；若x<x0，则ax+b<0。

- 当a<0时，若x>x0，则ax+b<0；若x<x0，则ax+b>0。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程，形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，且a≠0。

解法：1. 将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，求得方程的解x1和x2。

2. 根据a的正负性和二次函数的凸凹性，将解x1和x2进行分类讨论：- 当a>0时，若x1<x<x2，则ax^2+bx+c>0；若x<x1或x>x2，则ax^2+bx+c<0。

- 当a<0时，若x<x1或x>x2，则ax^2+bx+c>0；若x1<x<x2，则ax^2+bx+c<0。

三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，其中f(x)和g(x)为已知函数。

解法：1. 对于|f(x)|>g(x)，将不等式拆分为两个不等式：f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)。

2. 分别解出这两个不等式的解集，然后求并集即为原不等式的解集。

四、分式不等式分式不等式是指含有分式的不等式，形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，其中f(x)和g(x)为已知函数。

解法：1. 将分式不等式转化为分子和分母的符号相同的不等式：f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0。

不等式是中学数学的重点内容.常见的不等式有分式不等式、一元二次不等式、一元一次不等式、二元一次不等式、对数不等式、三角不等式、指数不等式等.本文主要探讨一下以下三类不等式问题的解法.一、分式不等式问题分式不等式主要是指分母中含有未知数的不等式.常见的分式不等式有b cx +d >m 、ax +b cx +d>m 、ax +b cx +d<m 、ax +b cx +d +kx +g ex +f <m等.解分式不等式，一般要先判断分母的正负符号；然后根据不等式的性质，将不等式变形为整式不等式；再通过通分、移项、合并同类项、因式分解等方式将不等式化简为几个因式的积；最后运用“穿针引线法”来求得不等式的解.例1.解不等式x +8x 2+2x -3<2．解：移项、通分得-2x 2-3x +14x 2+2x -3<0，原不等式可化为-2x 2-3x +14x 2+2x -3<0，即()2x +7()x -2()x +3()x -1>0，可得æèöøx +72()x +3()x -1()x -2>0．故原不等式的解为x <-72或-3<x <1或x >2．在去掉分式不等式的分母时，通常要将不等式移项（化一边为零的形式）→通分→转化为整式不等式，主要有以下几种情形：(1)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0；(2)f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0；(3)f (x )g (x )≥0⇔ìíîf (x )g (x )≥0,g (x )≠0;(4)f (x )g (x )≤0⇔ìíîf (x )g (x )≤0,g (x )≠0.二、指数不等式问题指数不等式是幂的指数部分含有未知数的不等式，指数不等式与相应的指数函数有联系，通常需利用指数函数的单调性，将不等式化为常规的一次、二次不等式问题来求解.例2.解不等式：(0.2)x 2-2x -1>0.22解：不等式可化为(0.2)x 2-2x -1>0.22，因为在x ∈R 上，y =0.2x 单调递减，所以x 2-2x -1<2，即x 2-2x -3<0，则(x +1)(x -3)<0，解得-1<x <3，所以原不等式的解集为{x |-1<x <3}.将指数不等式转化为整式不等式，需灵活运用函数的单调性.当a >1时，指数函数y =a x单调递增，此时a f (x )>a g (x )与f (x )>g (x )同解；当0<a <1时，指数函数y =a x 单调递减，此时a f (x )>a g (x )与f (x )<g (x )同解.三、对数不等式问题对数不等式是指对数的真数部分含有未知数的不等式.对数不等式与相应的对数函数有联系，一般需利用对数函数的单调性来求解.当a >1时，指数函数y =log a x 单调递增，此时log a f (x )>log a g (x )与f (x )>g (x )>0同解；当0<a <1时，指数函数y =log a x 单调递增减，此时log a f (x )>log a g (x )与0<f (x )<g (x )同解.例3.不等式log 0.5(2x -1)<log 0.5(-x +5)的解集为________．解：因为函数y =log 0.5x 在x ∈R 上为减函数，所以ìíî2x -1>0，-x +5>0，2x -1>-x +5，即ìíîïïx >12，x <5，x >2，解得2<x <5.故原不等式的解集为{x |2<x <5}.值得注意的是，对数函数的定义域为(0,+∞)，故在解对数不等式时，应先考虑真数的取值范围.四、三角不等式问题对于形如sin x >a 、sin x <a 、sin x ≥a 、sin x ≤a 、cos x >a 、cos x <a 、cos x ≥a 、cos x ≤a 、tan x >a 、tan x <a 、tan x ≥a 、tan x ≤a (x ≠k π+π2,k ∈Z)的不等式叫三角不等式.求解三角不等式问题，需灵活运用三角函数的单调性和图象，采用数形结合法来求解.例4.求函数y =tan x -3的定义域.解：由tan x -3≥0得tan根据正切函数的图象可知，x ∈éëöøk π+π3,k π+π2()k ∈Z .三角不等式问题的解法一般有两种：（1）利用单位圆中的三角函数线求解；（2）利用三角函数的图象求解.由上面几类不等式的解法可以看出，每一类不等式问题都可以看作是其对应函数的值域问题，因此求解不等式问题，需灵活运用其对应函数的图象与函数的单调性.（作者单位：江苏省宜兴市第二高级中学）钱桢解题宝典35。

经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。

2、小于等式：若x<y，则x≤y。

3、不等式：若x≠y，则x≠y。

4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。

5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。

6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。

7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。

8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。

9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。

10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。

11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。

12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。

13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。

14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。

15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。

16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。

17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。

18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。

19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。

20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。

21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。

22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。

23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。

基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。

基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。

2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。

4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。

5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。

6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。

7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。

8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。

9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。

10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。

三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。

如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。

2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。

如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。

3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。

4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。

5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。

四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。

解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。