2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

2020高考数学(理数)复习作业本6.3基本不等式及其应用一、选择题1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C=π6，a ＋b=12，则△ABC 面积的最大值为( )A ．8B ．9C ．16D ．212.若实数a ，b 满足1a ＋2b =ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．43.已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y=xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．164.设a>0,若关于x 的不等式1-+x ax ≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A.16 B.9 C.4 D.25.正实数ab 满足+=1，则(a+2)(b+4)的最小值为( )A.16B.24C.32D.406.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy取得最大值时,z y x 212-+的最大值为( )A.0 B .1 C.49D.37.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，且目标函数z=ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为7，则3a ＋4b的最小值为( ) A ．14 B ．7 C ．18 D ．138.正实数ab 满足+=1，则(a+2)(b+4)的最小值为( )A.16B.24C.32D.40二、填空题9.已知实数x ，y 满足2x ﹣y=4，则4x +(0.5)y 的最小值为 10.若点A （3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0,则的最大值为 .11.若直线过点（1,2），则2a+b 的最小值为 . 12.已知直线过点(1,1)，则ab 的最小值为_______________．13.直线l 经过点P （1，9），且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l 的方程为14.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6=0，则2a＋18b 的最小值为________．三、解答题15.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？16.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．答案解析1.答案为：B.解析：由三角形的面积公式：S=12absin C=14ab ≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22=9，当且仅当a=b=6时等号成立．则△ABC 面积的最大值为9.2.答案为：C.解析：由1a ＋2b =ab 知a ＞0，b ＞0，所以ab=1a ＋2b ≥22ab ，即ab≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b＝ab ，即a=42，b=242时取“=”，所以ab 的最小值为2 2.3.答案为：B.解析：由题意可得4y ＋1x =1，则x ＋y=(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x =5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y x =9， 当且仅当4x y =yx，即x=3，y=6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.4.答案为：C ；5.C.6.答案为：B ；7.答案为：B.解析：画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x －y=－1与2x －y=2的交点N(3，4)时，目标函数取得最大值，即3a ＋4b=7，于是3a ＋4b =17(3a ＋4b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋4b =17(25＋12b a ＋12a b )≥17(25＋212b a ·12a b )=7，即3a ＋4b的最小值为7.8.C.9.答案为：8．10.答案为：-l6;11.答案为：8.12.答案为：4；13.答案为：3x+y﹣12=0．14.答案为：0.25；解析：∵a－3b ＋6=0，∴a －3b=－6，∴2a ＋18b =2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b =22a －3b =22－6=14.当且仅当2a =2－3b ，即a=－3，b=1时，2a＋18b 取得最小值14.15.解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为： y x =12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200=200， 当且仅当12x=80 000x，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S=100x －y=100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000=－12x 2＋300x －80 000=－12(x －300)2－35 000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．16.解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x t ，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]=9x(x＋1)元． 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1=1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800=900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x＋10 809=10 989. 当且仅当9x=900x，即x=10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)若该厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2=1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90=900x＋9x ＋9 729(x≥35)．令f(x)=x ＋100x(x≥35)，x 2＞x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)=⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2=（x 1－x 2）（x 1x 2－100）x 1x 2. ∵x 2＞x 1≥35，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2－100＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)．∴当x=35时，y 2有最小值，约为10 069.7，此时y 2＜10 989. ∴该厂应该接受此优惠条件．。

2020年全国高考数学第26讲基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7（1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.变式1（1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.变式1 求函数的最大值.变式2设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3三、“1”的变换例7.9 已知，且，求的最小值。

2020年高考数学二轮重难点复习：基本不等式的应用1.1 2020年高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.1.4常用变式两边同加.两边同除以a，.两边同除以b，.两边同除以ab，.用－a代替a，.用代替a，b，.1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用.利用基本不等式时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换，简化条件关系例1求函数的最小值.2.1.2选择消元变形，构造数量关系例2若正数a，b满足，求的最小值，并求此时a，b的值.2.1.3分析最值类型，转化结构关系例3设x，y为实数，若，则2x+y的最大值是.2.2基本不等式在实际问题中的应用要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设.(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)?2.3基本不等式与其他知识的综合应用要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用.例5已知函数.(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.3两点说明3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到。

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

第一篇 集合与不等式 专题1.04 基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81【答案】 A【解析】 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1， ∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】 见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， 解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】 见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎡⎦⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9， 当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝⎛⎭⎫1－c 2⎝⎛⎭⎫－32a ＋32c ⎝⎛⎭⎫a 2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9， 当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”.【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，22－1) C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x ≥2B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x≥2 D.当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【答案】 C【解析】 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】 由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200.4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】 在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1 ≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】 由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4， ∴⎝⎛⎭⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)，∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝⎛⎭⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab ≥16， 当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号.依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【答案】 6【解析】 因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 2【解析】 因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2， 当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号， 所以1m ＋1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( ) A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2，故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2， 所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 【解析】 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋x y的最小值为________. 【答案】 (－1，1) 3【解析】 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1，∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋x y的最小值为3.。

基本不等式及其应用（1）一、基础检测【自主热身，归纳总结】1、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4yxy +的最小值是 ．【答案】、8【解析】、因为正实数x y ，满足1x y +=， 所以4()444yy x y y xxy xy x y ⨯++=+=++424448y x x y≥⨯+=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 2 6【解析】、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2y －3·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x－6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x－6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．4、(2015苏北四市期末） 已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________． 【答案】25【解析】、由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b＝25(当且仅当b a ＝a b即a ＝b ＝5时取等号)．5、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________． 【答案】24【解析】、思路分析 注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tan α表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．由cos(α＋β)＝sin αsin β得cos αcos β－sin αsin β＝sin αsin β，即cos αcos β＝sin α⎝⎛⎭⎪⎫sin β＋1sin β，由α，β均为锐角得cos α≠0，tan β>0，所以tan α＝sin αcos α＝cos βsin β＋1sin β＝sin βcos βsin 2β＋1＝tan β2tan 2β＋1＝12tan β＋1tan β≤122＝24，当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时，等号成立． 解后反思 根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法．6、(2016宿迁一模） 若a 2－ab ＋b 2＝1，a ，b 是实数，则a ＋b 的最大值是________． 【答案】2【解析】、解法1 因为a 2－ab ＋b 2＝1，即(a ＋b )2－3ab ＝1，从而3ab ＝(a ＋b )2－1≤3a ＋b 24，即(a ＋b )2≤4，所以－2≤a ＋b ≤2，所以(a ＋b )max ＝2.解法2 令u ＝a ＋b ，与a 2－ab ＋b 2＝1联立消去b 得3a 2－3au ＋u 2－1＝0，由于此方程有解，从而有Δ＝9u 2－12(u 2－1)≥0，即u 2≤4，所以－2≤u ≤2，所以(a ＋b )max ＝2.解法3 由于a 2－ab ＋b 2＝1与代数式a ＋b 是对称的，根据对称极端性原理，当a ＝b 时取得最值，此时a 2＝1，从而a ＝±1，所以(a ＋b )max ＝2a ＝2.7、(2017苏北四市一模） 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝2，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为________．【答案】2＋223【解析】、思路分析 令b ＋1＝c ，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了．设b ＋1＝c ，则b ＝c －1，a ＋c ＝3，且0<a <2,1<c <3.所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋c －12c＝a＋c ＋2a ＋1c －2＝1＋2a ＋1c ＝1＋13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1c ＝2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋2c a ≥2＋223，当且仅当a ＝2c ，即c＝3(2－1)∈(1,3)时，取等号．8、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R)的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．【答案】 4 5思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5a ＋b 运用消元法，统一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝7，c a ＝12，则⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝⎛⎭⎪⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5.9、(2015扬州期末）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________． 【答案】5－12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y .解法1 由x 2＋2xy －1＝0得y ＝1－x 22x ，从而x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 22x 2＝5x 24＋14x 2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当x ＝±415时等号成立． 思路分析2 由所求的结论x 2＋y 2想到将条件应用基本不等式，构造出x 2＋y 2，然后将x 2＋y 2求解出来．解法2 由x 2＋2xy －1＝0得1－x 2＝2xy ≤mx 2＋ny 2，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2＋ny 2≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2≥15＋12＝5－12. 二、拓展延伸题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨：利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！．例1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】、..11【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.11【变式1】、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】、4【解析】、思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解．解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－xx ＋x 1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy的最小值为4. 解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当yx 2＝x 2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝14时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4. 【变式2】、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】、3【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法 2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x＝4xy，即x ＝1，y ＝2时取等号． 【变式3】、(2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．【答案】、 13【解析】、由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b≥2，又b>0，解得0<b≤13，所以b 的最大值为13.【变式4】、(2019宿迁期末） 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则1＋4a ＋3bab 的最小值为________.【答案】、252【解析】、解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0，所以0＜b ＜1，令f(b)＝1＋4a ＋3bab＝9－5b2b －2b 2，f′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35时，f′(b)<0，f(b)单调递减；当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，1时，f′(b)>0，f(b)递增，所以当b ＝35时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝252.解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2，所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3b ab ＝9a ＋8b2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a 4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252，当且仅当a ＝45，b ＝35时取等号，所以所求的最小值为252. 解后反思 求互相制约的双变元问题的最值，最直接的方法就是消元后转化为一元问题，如解法1；对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解，如解法2.解法2用到了“1”的代换．【变式5】、(2018苏锡常镇调研（二）） 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ．【答案】、【解析】、解题过程：因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+，所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥，故2211≥+b a ，当且仅当⎩⎨⎧=-=4)(12b a ab ，即⎩⎨⎧-=+=1212b a 时取得等号，所以11a b +的最小值为.22题型二 利用基本不等式解决多元问题知识点拨：多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题． (2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元． (3)多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式——同除减元．策略二：整体思想——代入消元或者减元． 策略三：局部思想——锁定主元(本题就是)．例2、(2019南京、盐城一模）若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 【答案】、 87【解析】、思路分析1 注意到求c 的最大值，所以将参数c 进行分离，为此，可以利用abc ＝a ＋2b ＋c 进行分离得c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，从而将问题转化为求a ＋2b 的最小值；思路分析2 结合abc ＝a ＋2b ＋c 与ab ＝a ＋2b 化简得abc ＝ab ＋c 来进行分离得c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，进而求ab 的最小值． 思路分析3 由于所求解的c 与a ，b 有关，而a ，b 不对称，因此，将2b 看作一个整体，则它与a 就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案． 解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2a＝1，所以a ＋2b ＝(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4b a ≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c≤87. 解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，由ab＝a ＋2b 利用基本不等式得ab≥22ab ，故ab≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a·2b＝a ＋2b ，12·a·2b·c＝a ＋2b ＋c”，故a 与2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为87.解后反思 解法1，2都是应用了分离参数的方法，即将所求的参数c 用a ，b 表示出来，从而将问题转化为求与a ，b 有关的代数式的最值问题来加以解决，其中解法2更容易把握．这是两种基础的解法．而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理，对思维能力的要求很高．【变式1】、(2019苏北三市期末） 已知x>0，y>0，z>0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为________． 【答案】、374【解析】、思路分析 本题消元后转化为二元问题研究．解法1(配方＋导数求函数最值) x 3＋y 2＋3z ＝x 3＋y 2＋3(6－x －3y)＝x 3－3x ＋y 2－33y ＋18＝x 3－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3322＋454≥x 3－3x ＋454，当且仅当y ＝332时取等号．设g(x)＝x 3－3x ，g′(x)＝3x 2－3.令g′(x)＝0得x ＝1，得g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而g(x)min ＝g(1)＝－2，所以(x 3＋y 2＋3z)min ＝－2＋454＝374，即所求最小值为374，当且仅当x ＝1，y ＝332，z ＝12时取等号．解法2(基本不等式配凑) 由x 3＋1＋1≥3x(当且仅当x ＝1，取等号)，y 2＋274≥33y ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y ＝332取等号，得x 3＋y 2＋3z ＋2＋274≥3(x＋3y ＋z)＝18，x 3＋y 2＋3z≥374(当且仅当x ＝1，y ＝332，z ＝12取等)．【变式2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】、8【解析】、由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8.解后反思 1. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立)．2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题，即进行减元处理，而减元的基本策略就是消元，这一点要高度重视．【变式3】、(2018苏州期末）已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________． 【答案】、⎝⎛⎦⎥⎤1，43【解析】、思路分析 由第二个等式知，要求出c 的取值范围，只要先求出a ＋b 的取值范围，而这可由第一个等式求得．解法1 因为a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ∈[4，＋∞)，所以1a ＋b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，从而1c ＝1－1a ＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1，得c ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，43.解法2 由题两等式得ab ＝a ＋b ，c ＋(a ＋b)＝c(a ＋b)，所以c ＋ab ＝c(ab)，即c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1.因为ab ＝a ＋b≥2ab ，所以ab≥4，所以c ＝1＋1ab －1∈⎝⎛⎦⎥⎤1，43. 【变式4】、(2018南京、盐城一模）若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】、 100【解析】、 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．解法1(函数的最值) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.因为△ABC 为任意三角形，所以a>|b －c|，即19bc －ac b 2<19bc －|b －c|c b 2＝ ⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，0<c b ≤1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，c b >1.当0<c b ≤1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19；当c b >1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100，即19bc －|b －c|c b 2的最大值为100，所以k≥100，即实数k 的最小值为100. 解法2(基本不等式) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.又19bc －ac b 2＝c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b .因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b ⎝⎛⎭⎪⎫19－a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ⎝⎛⎭⎪⎫19－a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b 24＝100(要求最大值，19－a b 至少大于0)．当且仅当1＋a b ＝19－a b ，即a b＝9时取等号．题型三 运用双换元解决不等式问题知识点拨：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。

考点27基本不等式一、填空题1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.+≤2【命题意图】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求最值,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥12,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>12,故B项正确;因为a+b≥2B(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤14,所以log2a+log2b≤log214=-2,故C项错误;由2(a+b)≥+2(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤2,故D项正确.2..(2020·天津高考·T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.【命题意图】本题考查应用基本不等式求最值,“1”的合理变换是解题的关键,属于基础题.【解题指南】根据已知条件,将所求的式子化为r2+8r,利用基本不等式即可求解.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以12+12+8r=B2+B2+8r=r2+8r≥2a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3,或a=2+3,b=2-3时,等号成立.答案:4【易错提醒】使用基本不等式求最值时一定要验证等号能否成立.3.(2020·江苏高考·T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,所以x2=1-452,则x2+y2=152+45y2=45,152=45y2时,即y2=12,x2=310时,x2+y2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x2+y2)·4y2=254(2+2)2,故x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时,取等号.所以(2+2)min=45.答案:45。

基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。

35B。

105C。

140D。

2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。

2B。

4C。

8D。

163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。

$a=b$B。

$a=b=1$XXX 1$D。

$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。

0B。

$\frac{1}{4}$C。

$\frac{1}{2}$D。

15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。

3B。

4C。

5D。

66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。

$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。

$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。

4B。

6C。

8D。

98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。

2B。

3C。

4D。

59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。

$y=x^2+1$B。

$y=2-x^2$C。

§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。

专题七 不等式30 基本不等式及其应用1．已知正数x 、y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为A ．8B ．12C ．10D ．9【答案】D【解析】正数x 、y 满足41x y +=，根据基本不等式得到：()11114444415529.x y x y x y x y x y x y y x y x y x⎛⎫+=++=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件为4x y y x =，即11,63x y ==. 故答案为D.【名师点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.2．下列正确的是 A ．若a ,b ∈R ,则b a +a b≥2 B ．若x <0,则x +4x ≥-24x x⨯=-4 C ．若ab ≠0,则2b a +2a b≥a +bD ．若x <0,则2x +2-x >2【答案】D【解析】对于A,当ab <0时不成立;对于B,若x <0,则x +4x =-(-x +4x-)≤-2()4·x x--=-4,当且仅当x =-2时,等号成立,因此B 选项不成立; 对于C,取a =-1,b =-2,2b a +2a b=-92<a +b =-3,所以C 选项不成立; 对于D,若x <0,则2x +2-x>2成立.故选D ．3．已知1(0,)4x ∈，则(14)x x -取最大值时x 的值是A ．14B ．16 C ．18D ．110【答案】C【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-，即18x =时等号成立. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要注意是否符合适用条件，以及等号成立的条件.对于本题，利用基本不等式的变形22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求出其最大值，并得到其取最大值时x 的值. 4．若241x y+=，则2x y +的取值范围为 A ．(]02， B ．[]02， C ．[)2-+∞， D ．(]2-∞-，【答案】D【解析】由基本不等式，得222242222222xyxyx y x y ++=+≥⋅=（当且仅当x =2y =-1时等号成立），所以22x y +≤-.故选D ．5．已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a+++的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．42【答案】C【解析】由等比中项得：4ab =.11155()()(1)()2544a b a b a b a b a b ab b a ab ab ++++=++=++=+≥⋅=，等号成立当且仅当2a b ==，∴原式的最小值为5.故选C.【名师点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.求解本题时，目标式子变形为5()4a b +，再利用基本不等式求最小值. 6．已知0,0,0x y z >>>,且411y z x+=+,则x y z ++的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12D ．16【答案】B【解析】因为0,0,0x y z >>>，且411y z x +=+，所以()41x y z x y z y z x ⎛⎫⎡⎤++=+++ ⎪⎣⎦+⎝⎭=445529x y z x y zy z x y z x++++≥+⋅=++， 当且仅当4x y zy z x+=+,即26y z x +==时取等号.故选B ． 7．已知(0,),a b ∈+∞，函数2()log f x a x b =+的图象经过点(4,1)，则12a b+的最小值为 A ．622- B ．6 C ．422+D ．8【答案】D【解析】因为函数2()log f x a x b =+的图象经过点(4,1)，所以有2log 4121a b a b +=⇒+=，因为(0,),a b ∈+∞，所以有((2)4121244)1)(428a b a b aa b a b a a bb b +=++⋅=++≥+⋅=（当且仅当2b a =，即11,42a b ==时取等号），故本题选D. 【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，用“1”巧乘是解题的关键.由函数2()log f x a x b =+的图象经过点(4,1)，可以得到一个等式，利用这个等式结合已知的等式，根据基本不等式，可以求12a b+的最小值.8．已知函数2y x x =+，1(,)3x ∈+∞，则y 的最小值是______________． 【答案】22【解析】因为1(,)3x ∈+∞，所以22222y x x x x=+≥⋅=， 当且仅当2x x=，即2x =时等号成立， 故y 的最小值是22． 故填22．9．已知关于x 的不等式()225200x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是______________． 【答案】10【解析】由于0a >，故一元二次方程22520x ax a -+=的判别式：2222542170a a a ∆=-⋅=>，由根与系数的关系有：1221252x x a x x a+=⎧⎨=⎩，则1221211552510222a a x x a a a x x a a a ++=+=+≥⨯=， 当且仅当1105,210a a a ==时等号成立. 综上可得：1212ax x x x ++的最小值是10. 【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．若当2x >时,不等式12a x x ≤+-恒成立,则实数a的取值范围是______________．【答案】(],4-∞【解析】因为2x >,所以11224,22x x x x +=-++≥-- 当且仅当 时取等号,所以11．“a >0,b >0”是“ab <(2a b +)2”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a >0,b >0时,2a b +≥ab ,即ab ≤(2a b +)2,当a =b 时,ab <(2a b +)2不成立,故“a >0,b >0”不是“ab <(2a b +)2”的充分条件； 当ab <(2a b +)2时,a ,b 可以异号,故a >0,b >0不一定成立,故“a >0,b >0”不是“ab <(2a b +)2”的必要条件. 故“a >0,b >0”是“ab <(2a b +)2”的既不充分也不必要条件,故选D ． 12．已知向量(,1), (21,3)(0, 0)a b a b =-=->>m n ，若 ∥m n ，则21a b+的最小值为A ．12B ．1023+C ．15D ．843+【答案】D【解析】因为 ∥m n ，所以3a +2b =1， 所以212143(32)88212843（）b a a b a b a b a b+=++=++≥+=+. 当且仅当3331,64a b --==时取到最小值. 【名师点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13．已知函数()lg ,0f x x a b =>>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于A ．22B ．5C ．23+D ．23【答案】A【解析】因为()lg ,0f x x a b =>>，()()f a f b =，所以()()lg lg f a a b f b ==-=， 即lg lg lg()0a b ab +==，解得1ab =.因为0a b ->，所以22a b a b +-=()22a b aba b-+-=()222a b a b -+≥-(当且仅当2a b -=时等号成立)，所以22a b a b+-的最小值等于22.选A ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．10D ．7【答案】B【解析】由题意，因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，所以111sin120sin 60sin 60222ac a BD c BD =⨯+⨯， 整理得ac a c =+，即111a c+=，则11444(4)()5529c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=， 当且仅当4c aa c=，即2c a =时取等号， 所以4a c +的最小值为9，故选B.【名师点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中合理利用1的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．已知0x >，0y >，2x y xy ++=，则x y +的取值范围是______________．【答案】[4,2)3【解析】因为2x y xy ++=，且0x >，0y >，所以2x y +<，又22x y x y x y xy +++≥++=，所以43x y +≥， 当且仅当x y =，即2=3x y =时，等号成立，故x y +的取值范围是[4,2)3． 故填[4,2)3．16．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a b a b c+++的最小值为___________. 【答案】222+ 【解析】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，∴4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c m c n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=， 42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭22332322n m n m m n m n=++≥+⋅=+， 当222m n =，即222c =-时，“=”成立，42132212222c c ∴+-≥+-=+-， 即4a b a b c+++的最小值为222+，故答案为222+. 【名师点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正、二定、三相等”的内涵：一正，首先要判断参数是否为正；二定，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为______________．【答案】4【解析】44224141114244a b a b ab ab ab ab ab ab+++≥=+≥⋅=，前一个等号成立的条件是222a b =， 后一个等号成立的条件是12ab =， 两个等号可以同时成立，当且仅当2222,24a b ==时取等号． 故填4．【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．18．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为m x ，则另一边的长度为4800m 3x， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x x x ⎛⎫=⋅⋅+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭()16002400007200x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()160016007202400007202240000f x x x x x⎛⎫=++≥⨯⋅+ ⎪⎝⎭720240240000297600=⨯⨯+=， 当且仅当1600x x=，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为480040m 3x=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．【名师点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．求解时，设水池底面一边的长度为m x ，则另一边的长度为4800m 3x，由题意可得水池总造价，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长．19．【2019年高考浙江卷】若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b a b +≥当且仅当a b =时取等号，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.20．【2017年高考山东卷理数】若，且，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 21．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________．【答案】43【解析】方法一：(1)(21)2212662x y xy y x xy xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,25x y x y >>+=，0a b >>1ab =()21log 2aba ab b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a ba ab b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<221,01,1,log ()log 21,2aba b a b ab ><<∴<+>=所以2522x y x y +=≥⋅，即5252,028xy xy ≤<≤，当且仅当522x y ==时取等号成立. 又因为6622243xy xy xy xy+≥⋅=，当且仅当62xy xy =，即=3xy 时取等号，结合258xy ≤可知，xy 可以取到3，故(1)(21)x y xy ++的最小值为43.方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>(1)(21)2212662212=43x y xy y x xy xy xy xy xy xy++++++===+≥.当且仅当3xy =时等号成立，故(1)(21)x y xy++的最小值为43.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 22．【2018年高考天津卷理数】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 【答案】【解析】由 可知 ，且，因为对于任意x ， 恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即 时等号成立. 综上可得的最小值为.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．23．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30 【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．24．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ， 因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.25．【2017年高考天津卷理数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________． 【答案】4 【解析】44224141114244a b a b ab ab ab ab ab ab+++≥=+≥⋅=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当2222,24a b ==时取等号）．【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．。

专题37基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.基础知识融会贯通1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.重点难点突破【题型一】利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式【典型例题】若x＞2，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，则x﹣224，当且仅当x﹣2即x＝3时，取得最小值4，故选：D．【再练一题】已知x，则函数y＝4x取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．7【解答】解：∵x，∴4x﹣5＞0．则函数y＝4x4x﹣555＝7，当且仅当x时取等号．∴函数y＝4x取最小值为7．故选：D．命题点2通过常数代换法利用基本不等式【典型例题】设a＞0，b＞0，若a+b＝2，则的最小值为（）A．4 B．C．5 D．【解答】解：∵a+b＝2，∴1，∴（）（）2（当且仅当b＝2a时等号成立）则的最小值是，故选：B．【再练一题】已知x＞0，y＞0，x+3y＝1，则的最小值是（）A．B．2 C．4 D．【解答】解：∵x+3y＝1，∴（）（x+3y）＝2当且仅当即时等号成立，∴的最小值是4故选：C．思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．【题型二】基本不等式的实际应用【典型例题】如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为（单位：cm2）．【解答】解：如下图所示，连接OC，设|OB|＝x（0＜x＜4），则，|AB|＝2|OB|＝2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为，当且仅当16﹣x2＝x2时，即当时，等号成立，故答案为：16．【再练一题】用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值．（不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积）【解答】解：由题意设窗户的宽为x米，则窗户的高为米，窗户的面积S＝x，当且仅当x＝2.4﹣x时，即x＝1.2时，等号成立．答：当窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为平方米．思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【题型三】基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题【典型例题】（1）已知x＞1，y＝x，求函数的最小值；（2）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a log2x+b的图象经过点（4，），求的最小值．【解答】解：（1）因为x＞1，所以x﹣1＞0，从而y＝x x13，当且仅当x＝2时取的最小值3；（2）∵a＞0，b＞0，函数f（x）＝a log2x+b的图象经过点（4，），∴2a+b，则2（）（2a+b）＝8+2（）16，当且仅当b＝2a时取最小值为16．【再练一题】（1）已知x＞0，y＞0，log2x+log2y＝2，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，2x+4y＝4，求的最小值．【解答】解：（1）已知x＞0，y＞0，log2x+log2y＝2，则：log2xy＝2，解得：xy＝4．则：，故的最小值为．（2）已知x＞0，y＞0，2x+4y＝4，则：，整理得：x+2y≤2，所以：，解得：xy，所以：，所以：4，故最小值为4．命题点2求参数值或取值范围【典型例题】已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，9）B．（﹣9，1）C．[﹣9，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且1，∴（2x +y ）（）＝55+29，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号，∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【再练一题】∃x ＞0，使得，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．a ≥2C ．a ＜2D ．a ≤2【解答】解：∃x ＞0，使得x ﹣a ≤0，等价于a ≥（x）min ，∵x 22，（当且仅当x ＝1时取等）故a ≥2故选：B ．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．基础知识训练1．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48a a +=（ ）A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值3【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >63a = 64223a a q q∴==，22863a a q q ==2482336a a q q ∴+=+≥= 当且仅当2233q q=即1q =时上式等号成立 本题正确选项：A2．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】若直线l ：20(0,0)ax by a b −+=>>过点(1,2)−，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．12C D ．【答案】A 【解析】因为直线l 过点()1,2−，所以220a b −−+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选A 3．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（5月三模)考试】“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>时，12x x+≥， ∴“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤， 而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =， 所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 4．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为( ) A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】C 【解析】由x +y ＝（x +1）+y ﹣1 ＝[（x +1）+y ]•1﹣1 ＝[（x +1）+y ]•2（111x y++）﹣1 ＝2（2()11x y x y+++−+）1=7． 当且仅当x 3=，y ＝4取得最小值7． 故选：C ．5．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910 C ．32D ．95【答案】A【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a =，3520a a +=，所以2285516a a a a ==，516a =，34a =，所以253a a q =，2q =，451a a q =，11a =，1112n n n a a q −−==，32=，所以1110222m n --=，12m n +=，()()()414114112125n m mn m n m n m n +=++=++ (()3112450,0m n>>，当且仅当2n m =时“=”成立，所以14m n +的最小值为34，故选A 。

基本不等式及其应用【考纲要求】1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 【思维导图】【考点总结】 一、重要不等式及证明如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”． 二、基本不等式 1．内容：ab ≤a ＋b 2，其中a ≥0，b ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．三、基本不等式的常用推论 1．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)． 2.b a ＋ab≥2 (a ，b 同号)． 3．当ab >0时，b a ＋ab ≥2；当ab <0时，b a ＋ab≤－2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R)． 四、基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 【题型汇编】题型一：基本不等式及其应用 题型二：利用基本不等式求最值 题型三：利用基本不等式解决实际问题 【题型讲解】题型一：基本不等式及其应用一、单选题1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>2．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，有110a b t ==>，且2121n n a b ++=，则下列关系式中正确的是（ ） A ．11n n a b ++<B ．11n n a b ++≥C ．11n n a b ++=D ．11n n a b ++>3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥ B ．2a b ab +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知()ln 1f x x =+，0n m <<，设a f mn =，2m n b f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12c f m f n =+⎡⎤⎣⎦，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）． A ．b c a => B ．b c a =< C ．a c b =>D ．a c b =<5．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ） A ．2x yxy +> B ．2x yy x+> C ．2xyxy x y<+D ．12xy xy +>6．（2022·河北石家庄·二模）已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>7．（2022·江西新余·二模（文））设lg x a x =，lg y b y =，lg y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是（ ） A ．a c b ≤≤ B ．b c a ≤≤ C ．2ab c < D ．2c ab <二、多选题1．（2022·湖南衡阳·三模）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ） A ．2222a b +≥B 2a b ≤C ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222323a b a b b a ++≤++2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知a 、()0,1b ∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b3（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（ ） A ．2 1.91.92< B ． 2.922 2.9< C ．ln 22ln 22222121<--D ．712log 4log 7<4．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b a b+<+ D ．11a b a b+>+ 三、填空题1．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于x 的方程2log x t =()0t >有两个实根m ，n ()m n >，则下列不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）①)2222m n m n +≥-； ②)2222m n m n +≤-③)2222m n m n -≥-； ④)2222m n m n -≤-.2．（2021·全国·模拟预测）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5116a ≥，且存在*m ∈N ，使得221m m a a ++=，则1a 的最小值为________． 四、解答题1．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数()24f x x x =-+-，已知不等式()()0f x kx k ≥>恒成立. (1)求k 的最大值0k ； (2)设0a >，0b >，求证：1223a b a b a b k +≥++. 2．（2022·四川·成都七中三模（文））设函数()23f x x x x m =-+---，x R ∀∈，()14f x m-≥恒成立． (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+．3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知函数()f x x =(1)若不等式()24f ax +≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值. (2)若[]0,2m ∈，求证:(()22f x m f x m --≤. 题型二：利用基本不等式求最值 一、单选题1．（2022·上海黄浦·二模）若a 、b 均为非零实数，则不等式2b aa b+≥成立的一个充要条件为（ ）．A ．0ab >B ．0ab ≥C ．0ab <D ．0ab ≤2．（2022·广东茂名·二模）已知2232b a =-()a b ∈R ， ，则|3|a b - 的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D 23．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意12x x ≠，必有()()12f x f x ≠，若函数()2()(32)F x f x m f x =-+-只有一个零点，则函数26()(2)2mx g x x x-=<-有（ ）A ．最小值为4-B ．最大值为4-C ．最小值为4D ．最大值为44．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,,a S S -成等差数列．若存在两项*,(,N )m n a a m n ∈18m n a a a ⋅，则19m n+的最小值是（ ） A ．16 B ．2 C ．103 D ．835．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数,x y 满足lg lg 2x y +=，则14x y+的最小值为（ ）A ．15B ．25C ．45D ．856．（2022·全国·二模（理））△ABC 中，2172cos cos 20224C C --=，若4AB =，则AB 边上的高的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．3D ．337．（2022·全国·二模（理））动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22二、多选题1．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤D ．221x y +≥2．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）A ．正实数x ，y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为4B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C ．若随机变量()~,X B n p ，且()()4,2E XD X ==，则12p = D ．命题2:,0p x x ∀∈>R ，则p 的否定：2,0x x ∃∈<R3．（2022·湖南师大附中三模）若0a >，0b >，12b a +=，则11a a b++的可能取值有（ ） A ．65B ．54C ．43D ．324．（2022·辽宁沈阳·三模）已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25x f x g x x x +=--，则下列说法正确的有（ ）A ．()01g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．()1101g x -关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为15．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若1x xe =，则ln 0x x +=C ．若a b >，则11a b< D ．326,log 6==xy ，则4xy >三、双空题1．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+，ABC 33t =___________；||AP 的最小值为___________.2．（2022·天津·二模）如图直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，222AB CD AD ===，在等腰直角三角形CDE 中，90C ∠=︒，则向量AE 在向量CB 上的投影向量的模为____________；若M ，N 分别为线段BC ，CE 上的动点，且52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的最小值为_______．3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知函数()3ln kf x x kx x=-+，若()f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为___________；若0k >，0[1,e]x ∃∈，使得()003e0f x x +<成立，则实数k 的取值范围为___________. 四、填空题1．（2022·上海虹口·二模）函数9()(0)=+>f x x x x的值域为_________.2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知0a b >>，当41422a a b a b+++-取到最小值时，=a ___________． 五、解答题1．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 2．（2022·上海·高考真题）在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F . (1)若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；(2)若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；(3)已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.题型三：利用基本不等式解决实际问题 一、单选题1．（2022·陕西西安·三模（文））已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤B 2a b≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥2．（2022·安徽省舒城中学一模（文））在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，ABC 与PAB △的外接圆圆心分别为1O ，2O ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，设1O A a =，2O A b =，则a b +的最大值是（ ） A 5B 10C ．3D ．253．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABCSOBC 的面积为,OBCSPBC 的面积为PBCS，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π4．（2022·四川·石室中学二模（理））设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A ．1 B ．12C 2D 5二、多选题1．（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是22C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为222+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7122．（2022·浙江·模拟预测）已知三棱锥A BCD -，过顶点B 的平面α交分别棱AC ，AD 于M ，N （均不与棱端点重合）．设1AMr AC=，2AN r AD =，3A BNM A BCD V r V --=，其中A BNM V -和A BCD V -分别表示三棱锥A BNM -和三棱锥A BCD -的体积．下列不等式一定成立的是（ ）A ．312r r r <+B ．3121r r r +>+C ．223122r r r <+D ．2231212r r r +>+3．（2022·广东肇庆·二模）已知221x y +=，x ∈R ，y ∈R ，且0xy ≠，则（ ）A ．2x y +B ．12xy >C ．22log log 1x y +≤-D ．112x y+< 三、双空题1．（2022·浙江台州·二模）已知正实数,a b 满足22a b +=，则ab 的最大值为___________；22a ab a b ab+++-的最大值为___________. 四、填空题1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．2．（2022·山东济南·三模）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中π3AOB ∠=，2OA OB ==千米．现需要在OA ，OB ，AB 上分别取一点D ，E ，F ，建造三条健走长廊DE ，DF ，EF ，若DF OA ⊥，EF OB ⊥，则DE EF FD ++的最大值为______千米．五、解答题27．（2022·上海松江·二模）如图，农户在100AB =米、80BC =米的长方形地块ABCD 上种植向日葵，并在A 处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为45PAQ ∠=︒，其中点P 、Q 分别在长方形的边BC 、CD 上，监控的区域为四边形APCQ ．记(045)BAP θθ∠=︒≤≤︒．(1)当30θ=︒时，求P 、Q 两点间的距离；（结果保留整数）(2)问当θ取何值时，监控区域四边形APCQ 的面积S 最大？最大值为多少？（结果保留整数）35．（2022·上海宝山·一模）吴淞口灯塔AE 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H （单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度3m h =，使A ，B ，D 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（本题的距离精确到0.1m)(1)该小组测得α､β的一组值为51.83α=︒，47.33β=︒，请据此计算H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d （单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m ，试问d 为多少时，αβ-最大？11。

基本不等式及其应用主标题：基本不等式及其应用副标题：为学生详细的分析基本不等式及其应用问题的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：不等式，基本不等式及其应用，知识总结难度：3重要程度：5考点剖析：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.命题方向：1.对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查；2.本考点主要以选择题或填空题的形式进行考查，有时也以简答题的形式考查利用基本不等式解决最值问题.规律总结：两种方法：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．两个误区：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3x(x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．知识点总结：一、基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b.三、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+：当且仅当a ＝b 时取等号.四、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2. 强调：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN基本不等式及其应用[基础训练]1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2＋1a 的最小值是2a ；②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2；③函数f (x )＝x ＋1x 的值域是[2，＋∞)；④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b .A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2＋1a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值；②错误：f (x )＝sin 2x3＋cos 2x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x≤－2(－x )·1－x＝－2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b .2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．8答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1b 时等号成立，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2.故选D.4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.5．用一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )A.L 28B.L 24 C.L 22D ．L 2答案：A 解析：设菜园平行于墙的一边长为x ，其邻边长为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y ≥22xy ， 所以xy ≤(x ＋2y )28＝L 28，当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L 4时，S max ＝L 28， 故选A.6．[2019云南玉溪一中月考]已知f (x )＝x 2－2x ＋1x，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( ) A.12 B.43 C ．－1 D ．0答案：D 解析：f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.7．[2019天津和平区期末]已知a >0，则(a －1)(4a －1)a 的最小值为________．答案：－1 解析：(a －1)(4a －1)a ＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a .∵a >0，∴4a －5＋1a ≥24a ·1a －5＝－1，当且仅当4a ＝1a ，即a ＝12时等号成立， ∴(a －1)(4a －1)a的最小值为－1. 8．[2019江苏苏北四市联考]若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案：8 解析：∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，∴x ＝3y ＋3∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，解得y >3，则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝37时等号成立． 9．[2019天津第一中学月考]对任意的θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2θ＋4cos 2θ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案：[－4,5] 解析：∵当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，1sin 2θ＋4cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ ≥5＋2cos 2θsin 2θ·4sin 2θcos 2θ＝9，当且仅当sin θ＝33，cos θ＝63时等号成立， 又1sin 2θ＋4cos 2θ≥|2x －1|恒成立，∴|2x －1|≤9，∴－4≤x ≤5，即x ∈[－4,5]．10．[2019安徽黄山一模]已知函数f (x )＝k －|x －4|，x ∈R ，且f (x ＋4)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：19a ＋29b ＋39c ≥1.(1)解：因为f (x )＝k －|x －4|， 所以f (x ＋4)≥0等价于|x |≤k .由|x |≤k 有解得k ≥0，且其解集为{x |－k ≤x ≤k }． 又f (x ＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1， 又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立， 所以19a ＋29b ＋39c ≥1.[强化训练]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322答案：B 解析：解法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知， (3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．解法二：(3－a )(a ＋6)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．2．[2018内蒙古包头二模]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256答案：A 解析：解法一(常数代换法)： 设数列{a n }的公比为q (q >0)，由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5， 可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24， 所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立， 所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A. 解法二(拼凑法)：由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ， 又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.故1m ＋4n ＝1m ＋46－m ＝6－m ＋4m m (6－m )＝3(m ＋2)m (6－m )＝3m (6－m )m ＋2＝－3[(m ＋2)－2][(m ＋2)－8]m ＋2＝－3(m ＋2)＋16m ＋2－10. 由基本不等式，得(m ＋2)＋16m ＋2－10 ≥2(m ＋2)×16m ＋2－10＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0，所以1m ＋4n ≥－3－2＝32.故选A.3．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q答案：B 解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab . 又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .4．[2019西安模拟]设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案：D 解析：因为AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， 所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0， 所以2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．5．[2018河南信阳二模]如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．5 3D ．5 2 答案：A 解析：如图，设半圆圆心为O ，连接OD ，过C ，D 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， 垂足分别为E ，F .设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，OE ＝2cos θ，DE ＝2sin θ.可得CD ＝2OE ＝4cos θ，∴梯形ABCD 的面积为S ＝12(4＋4cos θ)·2sin θ＝4sin θ(1＋cos θ)，S ′＝4(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝4(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝4(2cos θ－1)(cos θ＋1)．∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，S ′>0；当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2时，S ′<0.∴当θ＝π3，S 取得最大值，S ＝3 3.6．[2019广东广州质检]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案：A 解析：对任意的正实数x ，y ，a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立， b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时等号成立．又三角形的任意两边之和大于第三边， 所以xy ＋2xy >p xy ，p xy ＋xy >2xy ， p xy ＋2xy >xy ，解得1<p <3， 故实数p 的取值范围是(1,3)．7．[2019广东揭阳期末]当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2xsin 2x的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案：C 解析：∵0<x <π2，∴tan x >0，∴f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝1＋4tan 2x tan x ＝1tan x ＋4tan x≥21tan x ·4tan x ＝4， 当且仅当tan x ＝12时等号成立，∴函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x的最小值为4， 故选C.8．[2019四川成都月考]实数x ，y 满足2cos 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1，则xy 的最小值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案：D 解析：因为2cos 2(x ＋y －1)∈[0,2]，(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋y 2＋1－2xy ＋2x －2y ＋1x －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 又2cos 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1， 所以2cos 2(x ＋y －1)＝2，所以x －y ＋1＝1，x ＋y －1＝k π(k ∈Z )，所以x ＝y ＝k π＋12(k ∈Z )，所以xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋122≥14， 当且仅当k ＝0时等号成立，故选D.9．[2019江苏如皋质量调研]已知x ，y ，z 均为正数，2x ＋1y ＝2，x ＋2y ＋2z ＝xyz ，则xyz 的最小值为________．答案：16 解析：∵2x ＋1y ＝2y ＋x xy ＝2，∴2y ＋x ＝2xy ，∴x ＋2y ＋2z ＝2xy ＋2z ＝xyz .∵x ，y ，z 均为正数，z ＝2xy xy －2>0，xy －2>0， ∴xyz ＝2(xy )2xy －2＝2(xy －2)＋8xy －2＋8 ≥22(xy －2)×8xy －2＋8＝16， 当且仅当2(xy －2)＝8xy －2，即xy ＝4时等号成立， ∴xyz 的最小值为16.10．[2017江苏卷]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30 解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x (万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240， 当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时等号成立，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．11．若正实数x ，y 满足不等式(x ＋y )(1＋xy )＝5xy ，则x ＋y 的最大值是________．答案：4 解析：∵x ，y >0，∴由xy ≤(x ＋y )24可得x ＋y xy ≥4x ＋y， 又∵(x ＋y )(1＋xy )＝5xy ，∴5＝x ＋y xy ＋(x ＋y )≥4x ＋y＋x ＋y ， 整理得(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0， 解得1≤x ＋y ≤4.当且仅当x ＝y ＝12时，x ＋y 取得最小值1；当且仅当x ＝y ＝2时，x ＋y 取得最大值4.。