基本不等式及其应用
[基础训练]
1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2
＋1
a 的最小值是2a ；
②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2；
③函数f (x )＝x ＋1
x 的值域是[2，＋∞)；
④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
:
答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2
＋1
a ，其中a 是自变量，2a
也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值；
②错误：f (x )＝sin 2x
3＋cos 2
x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2
＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1
x ≥2
x ·1x ＝2，
当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时等号成立；
当x <0时，－x >0，x ＋1
x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x ＋1－x
≤－2
－x ·1
－x
＝－2，
￥
当且仅当－x ＝－1
x ，即x ＝－1时等号成立．
∴f (x )＝x ＋1
x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．
∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b .
2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则
2
a －1＋1
b 的最小值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，
\
所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，
所以2a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2
a －1＋1
b ·[(a －1)＋2b ]
＝4＋4b a －1
＋a －1b ≥4＋2
4b a －1·a －1
b
＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1
b 时等号成立，
所以2a －1
＋1b 的最小值是8，故选D.
3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]
B ．[－2,0]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
！
答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，
∴2
x ＋y
≤12，∴2x ＋y
≤14，
得x ＋y ≤－2.故选D.
4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2
答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，
…
即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，
∴2xy ≥2，∴xy ≥2.
5．用一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的
最大面积为( )
D ．L 2
答案：A 解析：设菜园平行于墙的一边长为x ，其邻边长为y ，
则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，
因为x ＋2y ≥22xy ， 所以xy ≤x ＋2y 2
8
＝L 2
8，
》
当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L 4时，S max ＝L 2
8，
故选A.
6．[2019云南玉溪一中月考]已知f (x )＝x 2－2x ＋1
x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤12，3上的最小值为( )
C ．－1
D ．0
答案：D 解析：f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1
x －2≥2－2＝0， 当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时等号成立．
又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，3上的最小值是0.
7．[2019天津和平区期末]已知a >0，则a －1
4a －1
a
的最
小值为________．
(
答案：－1 解析：a －1
4a －1
a
＝4a 2－a －4a ＋1a
＝4a －5＋1a .
∵a >0，∴4a －5＋1
a ≥24a ·1a －5＝－1，
当且仅当4a ＝1a ，即a ＝1
2时等号成立， ∴
a －1
4a －1
a 的最小值为－1.
8．[2019江苏苏北四市联考]若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0则3x ＋1
y －3
的最小值为________．
答案：8 解析：∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
0∴x ＝3
y ＋3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，解得y >3，
则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6
·
≥2
y －3·1y －3
＋6＝8，
当且仅当y ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＝37时等号成立．
9．[2019天津第一中学月考]对任意的θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1
sin 2θ＋4
cos 2θ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．
答案：[－4,5] 解析：∵当θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，1sin 2θ＋4
cos 2θ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ ≥5＋2
cos 2θsin 2θ·4sin 2θ
cos 2θ＝9，
当且仅当sin θ＝33，cos θ＝6
3时等号成立，
