(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案

基本不等式及其应用一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） 1.)00(2≥≥ +≤b a b a ab ，，当且仅当____________时，等号成立． 其中2b a +和ab 分别称为正数b a ，的______________和_______________． 2.基本不等式的重要变形：≥+22b a _____________≤⇔∈ab R b a )(，_____________；≥+2b a _____________≤⇔∈+ab R b a )(，_____________． ≥+22b a ()22b a + 经典例题：下列不等式在a 、b >0时一定成立的是________．（1）2ab a b +≤2a b + （2≤2ab a b +≤2a b +（32a b +≤2ab a b + （4≤2ab a b +2a b + 3．均值定理已知+∈R y x ，，则： （1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最____值42S ； （2）若P y x =⋅（积为定值），则当y x =时，和y x +取得最____值P 2．利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二．题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1：求下列各题的最值：（1）3x >，求4()3f x x x =+-的最小值； （2）x R ∈，求225()sin 1sin 1f x x x =+++的最小值； （3）403x <<，求()(43)f x x x =-的最大值； （4）已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。

变式练习：1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是A ．6B ．24C ．22D ．622．下列不等式中恒成立的是A ． 22222≥++x xB ．21≥+x xC ．25422≥++x x D ．2432≥--x x3．下列结论正确的是A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值4．若y x ,是正实数， 则)41)((y x y x ++的最小值为A ．6B ． 9C ． 12D ． 155．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(6．设R y ∈，且06442=+++x xy y ，则x 的取值范围是A ．33≤≤-xB ．32≤≤-xC ．2-≤x 或3≥xD ．3-≤x 或2≥x7．下列函数中最小值是4的是A ．x x y 4+= B ．x x y sin 4sin +=C ．x x y -++=1122D ．0,31122≠+++=x x x y8．若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有解，则实数a 的取值范围是A ．),0[]8,(+∞⋃--∞B ．]4,(--∞C ．]4,8(-D ．]8,(--∞9．已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值 。

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。

在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。

在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。

并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。

基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。

基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。

教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。

《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。

通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。

基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。

【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。

从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。

【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。

基本不等式及其应用一.知识结构(博闻强记，是一项很强的能力)1.(6Z>0, /7>0),当且仅当_______________ 时，等号成立.其中£±2和J亦分别称为正数Q, 的______________ 和_______________ 22.基本不等式的重要变形：a1 +h2 >_____________ (a, b e R) <^> ah<______________ ；~~~ - _______________ (a, b w R J o ab< ________________ ・2经典例题：下列不等式在°、b>0时一定成立的是__________ ・(1)斗斫斗\迂a+b 2 V 2 (3)亦叫斗、臣2 a + b V 2 (2)販W斗斗」土a+b 2 V 23.均值定理已知兀，y e R+,贝ij：(1)若x+ y = S (和为定值)，则当x= y时，积与取得最________ 值一；4(2)若x y = P (积为定值)，则当x=y时，和兀+y取得最________ 值2".利用基本不等式求最值吋，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二.题型选编(熟能生巧，在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1:求下列各题的最值：4(1)x>3,求f(x) =——+ x的最小值；x-3(2)x w R,求/(x) = sin2x + l+——? -------- 的最小值；siir 兀 + 14(3)0<兀V—,求y(x) = x(4-3x)的最大值；1 9(4)已知x>(Xy >0,且一+ —= 1，求兀+ y的最小值。

变式练习：1.设a,bwR,且d + b = 3，贝|」2"+2〃的最小值是A. 6B. 4V2C. 2V2D. 2A /61 44. 若兀,y 是正实数，则(x+y)(—I —)的最小值为兀y A. 6 B ・ 9 C. 12 D ・ 155. 若正数d 、"满足= a+ /? + 3 ,则a + h 的取值范围是A. [9,+00)B. [6,+oo)C. (0,9]D. (0,6)6. 设ywR,且4)只+4尢歹+兀+6 =(),则x 的取值范围是A. -3<x<3B. -2<x<3C. x<-2i^x>3D. x<-3 i&x>27. 下列函数中最小值是4的是4 4A. y = x + —B. y = sin xd -----------x sin x C. y = 2I+V + 21-v D. y = x 1 — -------- 3,无H 0JT + 18. 若关于x 的方程9”+(4 + a)・3*+4 = 0有解，则实数a 的取值范围是A. (-00,-8]u[0,+00)B. (-oo,-41C. (-8,41D. (-00,-8]9. 已知xv 丄，则函数y = 4x-2^—^—的最大值 ___________________ 。

2019-2020年高一数学上册必修12.4《基本不等式及其应用》教案2篇一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，、（）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.“弦图”的现代数学图示二、新课讲授 1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立. （1）基本不等式1的证明 证明：因为，所以. 当时，.当时，.所以，当且仅当时，的等号成立.（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为的正方形面积与边长为的正方形面积之和大于等于以、为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当时等号成立）已知正方形，分别在边、边上取点、，使得.分别过点、作、，垂足为、.和交于点.由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 剩余部分的面积，当且仅当点移至中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以、、分别表示勾、股、弦，那么，表示“弦图”中两块“朱实”的面积，表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以为边长的正方形“弦实”的面积，即()222222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以为边长的正方形“弦实”的面积 四块“朱实”的面积即，（当且仅当时等号成立）.a HFD B C2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆，是半圆上任一点，是直径.过作，垂足为.显然有线段的长度大于等于垂线段的长度.设，，请用、来表示上述这个不等关系.（即，当且仅当时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为，所以.当时，.当时，.所以，当且仅当时，的等号成立.另证：因为、为正数，所以、均存在.由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立.即，当且仅当时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.例1 已知，求证：，并指出等号成立的条件.证明：因为，所以、同号，并有，.所以，.当且仅当，即时等号成立.[说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若，则代数式的取值范围是什么？（，当且仅当时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样周长的正方形的边长为. 矩形面积，正方形面积由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. [说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若时，有，当且仅当时等号成立.（事实上，由（），得，当且仅当时等号成立.）三、课堂小结 略四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？ （3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.b中点CM'BM ABM七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.2.4（2）基本不等式及其应用一、教学目标设计1、进一步掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数）2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.3、进一步理解代换的数学方法.二、教学重点及难点基本不等式的简单应用.三、教学流程设计四、教学过程设计 一、复习基本不等式1 对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立. 基本不等式2 对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [说明]复习过程中需强调三点： 1、两个基本不等式各自适用的范围. 2、两个基本不等式各自等号成立的条件. 3、两个基本不等式之间的联系.二、新课讲授 （2）几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题. 例3 在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样面积的正方形的边长为. 矩形周长，正方形周长.由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的周长最小. [说明]当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.例如，若时，，当且仅当时等号成立.（一方面当时，有，当且仅当时等号成立.另一方面当时，有，即，当且仅当时等号成立.）两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.（2）代数证明例4 求证：对于任意实数、、，有，当且仅当时等号成立 证明：由基本不等式1，得，，，把上述三个式子的两边分别相加，得，即，当且仅当时等号成立. 另证：()()()22222212222222a b c ab bc ca ab c ab bc ca ++-++=++---.即，当且仅当时等号成立. 例5 均值不等式链设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立. 证明：（1）由、，得，当且仅当时等号成立 （2），当且仅当时等号成立，已证. （3）由.所以，当、时，有，当且仅当时等号成立.综合（1）、（2）、（3）得，当、时，有，当且仅当时等号成立. [说明]事实上当、时，有： ① ，当且仅当时等号成立. ② .证明：① 由，当且仅当 时等号成立.② 由.即，.不等式等号成立当且仅当. 不等式等号成立当且仅当. 不等式等号成立当且仅当.例6 甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条路线行到B 地。

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

2.4基本不等式及其应用（1）【教学目标】 知识目标：1．引入两个基本不等式：222a b ab +≥),(R b a ∈，,)2a ba b R ++≥∈，并给出几何解释．2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣． 【教学过程】1．基本不等式1：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．证明：2222()0a b ab a b +-=-≥ 222a b ab ∴+≥当a b ≠时，()20a b ->；当a b =时，()20a b -=；所以，当且仅当a b =时，222a b ab +≥的等号成立．（理解 “当且仅当”的含义）【例1】已知,a b R ∈，求证：()2222a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立．证法一：（作差比较）()()22222220222a b a b a b ab a b +-+-+-==≥，当且仅当a b =时等号成立．证法二：（利用基本不等式1）222a b ab +≥()222222a b a b ab ⇒+≥++()()2222a ba b ⇒+≥+()2222a b a b +⇒+≥，当且仅当a b =时等号成立．思考题：用不等符号连接2)(,2,222b a ab b a ++三者的大小：ab b a b a 22)(222≥+≥+2．基本不等式2：对于任意正数,a b ，有2a b+≥a b =时等号成立． 思考：1）如何证明这个不等式；2）不等式的使用前提，一定要是正数； 3）勿忘等号成立的条件；我们把2a b+,a b 的算术平均数和几何平均数．基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式2的几何意义：如图，,AC a BC b ==，DC AB ⊥以,a b 之和为直径的半圆中，半径OD 的长度≥垂线段CD 的长度．【例2】已知0ab >，求baa b +的最小值，并指出b a ,满足什么条件时取到最小值． 解：因为0ab >，所以a b 与b a 均正，22=⋅≥+ba ab b a a b ，即最小值为2， 当且仅当b a baa b =⇒=时取到最小值. 【变式】若改为0ab <，则a bb a+有怎样的最值？ 解：有最大值2-，当且仅当b a baa b -=⇒=时取到最大值. 【例3】（1）代数式221x x +与2的大小关系是：2122≥+x x （2）当0<x 时，x x 1+与2-的大小关系是：21-≤+xx （3）代数式41422+++x x 与2的大小关系是：241422>+++x x 【课堂练习】1．已知实数,a b ，判断下列不等式中哪些是一定正确的？ （1）222a b ab +≥ 正确 （2）222a b ab +≥- 正确（3）2b aa b+≥ 错误 2．设0ab ≠，求||b aa b+的取值范围. [2,)+∞3．设,a b R ∈，比较224b a +与ab 4的大小、224b a +与ab 4-的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？解：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；有ab b a 222-≥+，当且仅当b a -=时等号成立.因此ab b a 222≥+. 【课后作业】1．如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式中正确的是 （ D ）A. 222a b ab +> B. a b +≥ C.11a b +>D. 2b a a b +≥ 2．设0x y >>，则下列各式中正确的是 （ A ）A. 2x y x y +>>>B. 2x yx y +>>>C. 2x y x y +>>>D. 2x yx y +>>> 3．函数2()f x =（ D ）A. 4B. 2C. kD. 不能确定4．已知,a b R ∈，比较||||2b a +解：||||2b a +≥2b a =时等号成立.5．已知0a >，求证：322a a a +≥，并指出等号成立的条件．6．已知0a >，0b >+≥+2.4基本不等式及其应用（2）【教学目标】 知识目标：1．掌握两个基本不等式及其变形；2．能够利用基本不等式证明简单的不等式；3．能够利用基本不等式求有关问题的最大值或最小值． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维． 【教学过程】 1．知识回顾：基本不等式1 ：对任意实数,a b ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式1的变形：2()2a b ab +≤222b a +≤，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式2： 对任意正数,a b ，a b +≥a b =时等号成立． 当积ab 为定值时，和a b +有最小值，当且仅当a b =时等号成立；当和a b +为定值时，积ab 有最大值，当且仅当a b =时等号成立． 使用基本不等式2时，注意检验“一正二定三等号”的口诀． 2．例题： 【例1】求8,(0)x x x+>的最小值．解：x =. 【变式1】求8,(0)x x x+<的最值．解：最大值-，当且仅当x =-时等号成立. 【变式2】求)1(,18>-+x x x 的最小值. 解：124+，当且仅当122+=x 时等号成立. 【例2】求2622++x x 的最小值.解：4，当且仅当x =.【例3】当0x >时，求xx 12+的最小值.解：2，当且仅当1x =时等号成立. 【变式1】当0x >时，求21xx +的最大值． 解：12，当且仅当1x =时等号成立. 【变式2】当0x >时，求21xx +的取值范围． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（选讲）【例4】求)1(,1122>-++x x x x 的最小值． 解：8，当且仅当3=x 时等号成立. 小结：形如1()()f x f x +的最值，要注意检验()f x 的正负，并考察等号成立的条件． 【例5】求2(12)x x -，当102x <<时的最大值． 解：14，当且仅当14x =时等号成立. 【变式1】求(12)x x -，当102x <<时的最大值．（程度较好的班级可以先出此题） 解：18，当且仅当14x =时等号成立. 【变式2】求3(12)x x -，当102x <<时的最大值． 解：38，当且仅当14x =时等号成立. 小结：形如()ax b cx -求最值，可变形为()acx b cx c-，则cx b cx b +-=为定值，可利用基本不等式求解.【例6】若0,0>>y x ，且14=+y x ，求yx 11+的最小值.解：（乘1法）最小值为9，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3161y x 时等号成立.注意：在这里连用两次基本不等式是错误的. 【变式1】若0,0>>y x ，且2=+y x ，求yx 11+的最小值. 解：2，当且仅当⎩⎨⎧==11y x 时等号成立.【变式2】若0,0>>y x ，且132=+yx ，求y x +的最小值. 解：625+，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=+=6362y x 时等号成立.小结：乘1法即把已知条件中的“1”乘在所求式子后面，达到出现“互倒和”形式的目的.【课堂练习】1．已知01x <<，求当x0.5x =2．正数,,1x y x y +=，求xy 的最大值． 最大值为143．设,x R +∈求821x x ++的最小值．最小值为6（选做）4．设2,x >求24524x x x -+-的最小值．最小值为1【课后作业】 1. 当0>x 时，x x 1+的范围是[)+∞,2；当0<x 时，xx 1+的范围是(]2,-∞-； 当0≠x 时，xx 1+的范围是(][)+∞-∞-,22, 2. 若3a >，则13a a +-有最__小___值，是____5_____，此时a =___4____．若0x <，则29x x+有最__大___值，是____-6______，此时x =___-3____．3. 对任意实数224,31x x x +≥+，等号成立的条件是____1x =±__________． 4. 代数式(4)x x -有最____大____值，是____4____，此时x =____2___．5．已知1x >-，求当x 取何值时，41x x ++的值最小. 解：当且仅当1x =时，41x x ++的值最小值是3 6．已知,x y R +∈，且1x y +=，求12x y+的最小值，并指出此时,x y 的取值．解：3+1,2x y ==时，等号成立 7．当0x >时，求234xx +的最大值.解：当且仅当2x =时，234x x +的最大值是348. 设22,,1a b R a b ∈+=且，求ab 及a b +的取值范围．解：11[,],[22-2.4基本不等式及其应用（3）【教学目标】 知识目标：基本不等式的应用，不等式证明及应用题． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维． 【教学过程】【例1】求证：对任意实数,,a b c ，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立．【例2】若,x y R +∈，且1x y +=，求证： （1）14xy ≤； （2）11119x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （选讲）（3）4418x y +≥．【例3】某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如图所示，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米） 解：长30.6米，宽22.9米，此时人行道的占地面积最小为6.414平方米.【例4】求证：周长相等的矩形中，正方形的面积最大． 证明：设矩形的周长为常数C ，长与宽分别为b a ,，则2Cb a =+为定值. 面积16)2(22C b a ab S =+≤=，当且仅当4C b a ==时等号成立，此时矩形为正方形，面积最大值为162C .【课堂练习】1．已知,,a b c R +∈，求证：a b c ++≥．2．已知,x y R +∈，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件．【课后作业】1. 设,,a b c R +∈，求证：6b c c a a ba b c+++++≥2. 已知,x y R +∈，求k =的最大值．x y =时，等号成立3. 直角三角形的面积为42cm ，求此三角形周长的最小值．解：4()cm ，当且仅当a b ==时，等号成立4. 用一根长为l 的铁丝制成一个矩形框架，当长、宽分别为多少时，框架的面积最大？解：长、宽分别为4l 时，框架的最大面积为216l5. 建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价是多少元？解：1760元，长2米、宽2米。

《基本不等式》教案一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为b a ,，那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=， 正方形的面积222b a S +=． 由图可知12S S >，即ab b a 222>+．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2ba ab +≤ 2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若+∈R b a ,，则ab b a 222>+． 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤． 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2ba ab +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：0)(2222≥-=-+b a ab b aabab b a 222≥+∴，当b a =时取等号．（在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是 要证明ab ba ≥+2， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab ba ≥+2，当b a =时取等号． 得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2ba +为b a ,的算术平均数 基本不等式2ba ab +≤又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅=由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ， 于是有2ba ab +<当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立． 故而再次证明： 当0,0>>b a 时，2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）AB（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于+∈R y x ,，（1）若p xy =（定值），则当且仅当b a =时，y x +有最小值p 2；（2）若s y x =+（定值），则当且仅当b a =时，xy 有最大值42s ．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.求)0(1≠+=x xx y 的值域． 变式1. 若2>x ，求21-+x x 的最小值． 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1≠+=x xx y 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）： 1.已知0,0>>y x ，且182=+yx，求xy 的最小值． 2.设R y x ∈,，且2=+y x ，求y x 33+的最小值． 5．归纳小结，反思提高基本不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想： 若将算术平均数记为21yx z +=，几何平均数记为xy z =2 利用电脑3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面21yx z +=在曲面xy z =2的上方6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题A 组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．。

《基本不等式及其应用》教学设计（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中基本不等式教案【教案】高中基本不等式目标：学习高中基本不等式的基本概念、性质和解题方法。

一、基本概念1. 不等式：含有一个或多个未知数的不等关系的等式。

2. 不等关系：大于、大于等于、小于、小于等于中的一种。

3. 基本不等式：指的是不等式中只有一个未知数，并且只包含常数和未知数的数学不等式，如：ax + b > 0。

二、性质1. 相等性：如果将不等式的两边加上（或减去）同一个非负数，不等式的关系仍然保持不变。

2. 乘法性质：如果将不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等式的关系仍然保持不变；如果将不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等式的关系发生改变。

三、解题方法1. 将不等式化简为基本不等式：通过对不等式进行各种变形、移项和化简等操作，将不等式化简为基本不等式进行讨论。

2. 解决基本不等式：根据基本不等式的形式和给定条件，在数轴上寻找满足不等式的解集。

3. 解决复杂不等式：利用基本不等式的性质和解题方法，将复杂不等式化简为基本不等式，然后求解。

练习题：1. 解不等式3x + 2 > 5，并画出其解集在数轴上的表示。

2. 解不等式2(4x - 1) ≤ 6 - x，并画出其解集在数轴上的表示。

3. 解不等式2x - 3 > -x + 5，并画出其解集在数轴上的表示。

4. 解不等式的组合问题：已知不等式2x + 3 > 0和3x - 5 < 0，求不等式2x + 3 > 3x - 5的解集。

以上就是高中基本不等式的教案内容，通过学习基本概念、性质和解题方法，以及进行练习题的训练，能够掌握基本不等式的求解技巧和数轴表示，为后续不等式的学习打下良好的基础。

高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。

一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。

二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。

2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。

2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。

四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。

2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。

五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。

布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。

本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。

通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。

高中基本不等式教案教案标题：高中基本不等式教案教案目标：1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 掌握解决基本不等式的方法和技巧。

3. 能够在实际问题中应用基本不等式解决相关的数学问题。

教学重点：1. 基本不等式的定义和性质。

2. 解决基本不等式的方法和技巧。

教学难点：1. 运用基本不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：a. 确保对基本不等式的定义、性质、解决方法和技巧有充分的理解。

b. 准备一些例题和练习题，以便在课堂上进行演示和讲解。

c. 准备相关的教学资源，如教材、课件等。

2. 学生准备：a. 每位学生准备一本笔记本和写字工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师可以通过提问的方式引入基本不等式的概念，例如：“你们知道什么是不等式吗？不等式在数学中有什么作用？”2. 引导学生回忆并复习之前学过的不等式知识，如大于、小于、大于等于、小于等于等。

二、概念讲解（10分钟）1. 教师简要介绍基本不等式的概念和性质，包括不等式的符号表示、不等式的解集表示等。

2. 教师通过示例向学生展示基本不等式的解法和解集的表示方法。

三、解决基本不等式的方法和技巧（15分钟）1. 教师通过具体的例题和练习题，向学生讲解解决基本不等式的方法和技巧，如加减法变形、乘除法变形、绝对值法等。

2. 教师引导学生在解题过程中注意步骤和思路，并解答学生提出的疑问。

四、练习与巩固（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行解答。

2. 教师鼓励学生积极参与，提供解题思路和方法的指导。

五、应用实例（10分钟）1. 教师通过实际问题，引导学生运用基本不等式解决相关的数学问题。

2. 教师鼓励学生自己思考和解决问题，并与同学分享解题思路。

六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的重要性和应用价值。

2. 教师鼓励学生进一步拓展基本不等式的知识，如高阶不等式等。

七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生独立完成。

必修一2基本不等式教案教案标题：必修一2基本不等式教案教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 掌握基本不等式的解法和应用。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教材：必修一教材第2章相关内容。

2. 教具：黑板、粉笔、教学PPT等。

3. 学具：练习题、实例题等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入基本不等式的概念，通过提问学生对不等式的理解程度。

2. 列举一些生活中的不等式问题，引发学生对不等式的思考。

二、讲解基本不等式的概念和性质（15分钟）1. 定义基本不等式，解释不等式中的符号和含义。

2. 讲解不等式的性质，如加减不等式、乘除不等式等。

3. 通过实例演示，帮助学生理解不等式的意义和解法。

三、解题方法与技巧（20分钟）1. 介绍基本不等式的解题方法，如移项、整理、图像法等。

2. 指导学生如何根据不等式的性质选择合适的解题方法。

3. 给予学生一些实例题进行练习，帮助他们掌握解题技巧。

四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考不等式在实际问题中的应用，如经济问题、几何问题等。

2. 给予学生一些应用题，培养他们解决实际问题的能力。

五、总结与归纳（10分钟）1. 总结基本不等式的概念、性质和解题方法。

2. 强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧。

3. 鼓励学生提出问题，解答他们的疑惑。

六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题。

2. 提醒学生按时完成作业，并预告下节课的内容。

教学反思：本节课通过引导学生思考和实例演示的方式，帮助学生理解基本不等式的概念和性质。

在解题过程中，通过指导学生选择合适的解题方法和技巧，提高了他们的问题解决能力。

通过拓展与应用环节，培养了学生将不等式应用于实际问题的能力。

整个教学过程注重学生的参与和思考，提高了他们的学习积极性和主动性。

2.4基本不等式及其应用（1）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并了解基本不等式的证明过程；（2）了解基本不等式的几何意义；（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

2、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；以及在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想。

3、情感态度与价值观通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

二、教学重点与难点教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；2.基本不等式成立的条件及应用。

教学难点：基本不等式成立的条件及应用 。

三、讲授新课（一）公式探究探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?基本不等式1：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？基本不等式2：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 我们把2b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数。

因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

探究二：观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系。

实际应用求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。

（二）公式巩固练习1用>≥<≤、、、填空 （1） 若x>0,则1x x+______2 （2） 若x<0,则1x x +______-2 （3） 若a 、b R ∈，则224a b +______-4ab（4） 若a 、b R ∈，则22433a a +++_______4 2（1）已知ab>0，求证2b a a b+≥，并指出等号成立的条件。