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图3.4-1ABCDO图3.4-2 §3.4(0,0)2a ba b +≤≥≥ 情景引入2002年国际数学家大会在北京举行，图3.4-1所示是2002年国际数学家大 会的会标.这个标志的设计基础是1700多年前，中国古代数学家赵爽的弦图 (如图3.4-2所示)，经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会 的会标．大会的举行不仅标志着中国数学研究的巨大发展成就，更重要的是它 给中国数学研究带来了一个发展的契机.我们把“风车”造型也抽象成图1所示.在正方形中有4个全等的直角三角形. 如果设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？那4 个直角三角形的面积和呢？根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等 式，222a b ab +≥.什么时候这两部分面积相等呢？当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形OPQR 变成一个点，这时有222a b ab +=.早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，“弦图”不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”,有兴趣的同学进一步深入研究一下吧!知识技能详解知识点1 基本不等式 1 基本不等式基本不等式也叫平均值定理，均值不等式：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）(1)我们称a ＋b2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b都是正数.2．基本不等式的几何解释如右图3.4-3所示,以a b +为直径作半圆(,AB a BC b==), 在Rt ADC ∆中,由射影定理可得BD =在Rt CBD ∆中,2a bOD +=, 且OD BD >, ∴2a b+> 当且仅当AB ＝BC 时OD BD =, 即2a b+=∴如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）.知识点2 基本不等式的证明1.基本不等式的变形(1)重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）(2)基本不等式的变形式为:如果a ，b 是正数，2221122a ba b ab a b++≤≤≤+(当且仅当a ＝b 时取“＝”号).知识点3．基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值问题 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； 如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2(2)由此可以总结得基本不等式成立的三个前提条件———即：一正（各项均为正数），二定（ 各项的和或积为定值），三相等（取等号的条件）.(3)在具体题目中，“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键. 2.应用基本不等式解实际问题应用基本不等式解实际问题的方法步骤为：(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案．技能应用导引题型一 利用基本不等式证明简单不等式1.直接运用公式型例1.如果a >b 且ab =1，求证：a 2+b 2≥22(a -b ).【分析】将不等式变形处理一下,可以顺利得到一个利用基本不等式的代数式,由此可得证. 【证明】∵a >b ，∴a -b >0.又知ab =1，∴b a b a -+22=b a ab ab b a --++2222=b a ab b a -+-2)(2=ba b a -+-2)(2=(a -b)+b a -2≥ba b a -⋅-2)(2=22. ∴ba b a -+2≥22，即a 2+b 2≥22(a -b).当且仅当a -b=b a -2，即a -b=2时取等号.【点拨】在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项,或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧，要熟练地运用这一技巧，除首先要对数学中的基本概念、定义、定理、公式理解并掌握外，还要讲究一个“巧”字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算.变式练习1 已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：yx y x -+22≥22.变式练习2 求证222222a c c b b a +++++≥2 (a +b +c ).变式练习3 已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a2.不等式的证明例2.已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac【分析】各个字母位置关系相互对称,字母互相替换后不等式仍然相同,找出基本不等式进行相互组合可得证.【证明】∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，a 2+c 2≥2ac∴a 2+b 2+c 2=21(2a 2+2b 2+2c 2)=21[(a 2+b 2)+(a 2+c 2)+(b 2+c 2)］ ≥21(2ab +2ac +2bc )=ab +ac +bc 当且仅当a =b =c 时等号成立.【点拨】对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”,或原不等式两边同时乘以2,将不等式两边相互对称找各自的组合可寻找到各自独立的基本不等式.变式练习4 设a ＞0,b ＞0,c ＞0，求证：cb a b a ac c b ++++222222≥abc .变式练习5已知a ＞2，求证：log a （a －1）·log a （a ＋1）＜1. 题型二 利用基本不等式求最值1.直接利用基本不等式求最值例3.(2006·苏、锡、常、镇二模)已知19xy =，01x y <<<，1133(log )(log )t x y = ，则( ) A ．0<1t ≤ B ．0<1t < C ．1t > D ．1t ≥【分析】本题考查了对数运算的性质及均值不等式.应用均值不等式时注意应用对数运算的法则. 【解】由01x y <<<得1133(log )(log )t x y = >0 ;又221113331133log log log (log )(log )122x y xy t x y +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故应选B.【点拨】 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.变式练习6 (2007·上海卷5题)若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ． 变式练习7 (2007·重庆卷7题)若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（ ）Ａ．25Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2图3.4-32.变形使用均值不等式例4.当0＜x ＜1，a 、b 为正常数，求：y =xb x a -+122的最小值. 【分析】将函数式分解或进行适当的配凑,使代数式适合基本不等式适用的条件进行求最小值.【解】y =x b x a -+122=［x +(1－x )］·xx b x x a b a x b x a -+-++=-+1)1()1(222222 ≥a 2+b 2+xx b x x a -⋅-1)1(222=a 2+b 2+2ab =(a +b )2当且仅当xxb x x a -=-1)1(22，即x =b a a +时取等号. 【点拨】我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.如ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）.因此，配凑的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.变式练习8 已知0,0,1a b a b ≥≥+=，则12a ++21+b 的范围是____________． 变式练习9 .求函数y ＝ax a x +++221的最小值，其中a ＞0.题型三 基本不等式的应用例5.如图3.4-3所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．(1)现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各 设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽 各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【分析】设每间虎笼长x 米，宽y 米，则问题（1）是在4636x y +=的前提下求xy 的最大值；而问题（2）则是在24xy =的前提下求46x y +的最小值．【解】（1）设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则4636x y +=，即2318x y +=． 设每间虎笼面积为S ，则S xy =．方法1：由于232236x y x y xy +⨯=≥2618xy ∴，得272xy ≤，即272S ≤，当且仅当23x y =时等号成立．图3.4-4由231823x y x y +=⎧⎨=⎩，，解得 4.53.x y =⎧⎨=⎩，故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大． 方法2：由2318x y +=，得392x y =-． 0x > ，06y ∴<<．339(6)22S xy y y y y ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭．06y << ，60y ∴->．23(6)27222y y S -+⎡⎤∴⨯=⎢⎥⎣⎦≤． 当且仅当6y y -=，即3y =时，等号成立，此时 4.5x =． 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大． （2）由条件知24S xy ==． 设钢筋总长为l ，则46l x y =+．方法1：232232624x y x y xy +⨯== ≥，462(23)48l x y x y ∴=+=+≥，当且仅当23x y =时，等号成立．由2324x y xy =⎧⎨=⎩，，解得64.x y =⎧⎨=⎩，故每间虎笼长为6m ，宽为4m 时，可使钢筋网总长最小． 方法2：由24xy =，得24x y=． 96161646666248l x y y y y y y y ⎛⎫∴=+=+=+⨯⨯= ⎪⎝⎭≥． 当且仅当16y y=，即4y =时，等号成立，此时6x =． 故每间虎笼长6m ，宽4m 时，可使钢筋网总长最小．【点拨】均值不等式的实际应用中关键在于用恰当的变量表示出一个函数式,而使用基本不等式求该函数最值时要注意：①x y ，都是正数；②积xy （或和x y +）为定值；③x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个要求的条件．变式练习10 如图3.4-4所示，在△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC ＝3，B Ｃ＝4， 一条直线分△AB Ｃ , 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短，求此线段长.变式练习11 要建一间地面面积为202m ，墙高为m 3的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。
基本不等式及其应用基本不等式看上去很简单，就两个不等式： （1）若a ，b ∈R ，则ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）． （2）若a ，b 为正实数，则 （当且仅当a=b 时取“=”号）．由于看上去太简单，以至于我也把它列入“免学内容”。
但当学生拿两题目问我时，我竟然下不了笔，即便做了，也费死黑牢劲。
既然问题来了，就学呗。
为此，我看了几个关于基本不等式的讲座。
我发现，丁益祥老师讲的好象很透堂，轻轻松松就把看似很复杂的问题解决了。
丁老师的讲座很好，尤其是在解决“恒成立”问题时，方法很独到；另外，不等式的应用题，他讲的也很到位。
我的感觉是：自己在基本不等式问题的理解上提高了一个档次。
下面，我把他的讲解要义整理一下，并做适当补充，哪位觉得好用拿去用就是了。
他的讲座以例题形式开始的，我也就照搬吧。
例一：设)32(21<<-+=a a a M ，)3340)(334(<<-=x x x N ，则M 、N 的最 准确的大小关系分析：显然，这是一个计算取值范围的问题。
要求出M 的取值范围，必然要用“基本不等式2”，按照“一正、二定、三相等”原则，为了使“a 、b ”的积为定值，还得给原式进行些凑配，显然，我们要给原式凑一个“—2”，为了使其值不变，后面还要加一个“+2”。
那么，原式变为：M=)32(2212<<+-+-a a a ，再看看，它是不是已经符合“一正二定”的要求了呢？显然符合嘛；但是，M 的取值范围是不是我们肉眼也能看出来的大于等于4呢？我抽查四位学习较好的学生，他们的回答非常肯定；但是，不对！为什么？因为，当且仅当2-a =21-a 时，a=3；而a=3不在a 的要求范围内，所以M>4。
而N 的范围呢？显然，要把刚才的基本不等式反用，为了使“a 、b ”的和为定值，也要进行一些凑配。
经过凑配，原式变为：N=)3340)(334(3.31<<-x x x 。
