专题7.3 基本不等式及其应用
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .
知识点二 几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R)；
(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数
设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点四 利用基本不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．
(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4(简记：和定积最大)．
【特别提醒】
1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
考点一 利用基本不等式求最值
【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5
的最大值为_______ 【答案】1
【解析】因为x ＜54
，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋
14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋
14x －5
的最大值为1. 【方法技巧】
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．
【答案】6
【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，
因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，
所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，
得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.
【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考点二 利用基本不等式解决实际问题
【典例2】
【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果
进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，
120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.
120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤
，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
【举一反三】（广东广州六中2019届模拟）某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产
品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1
(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【解析】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，
所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1
， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x
(元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x
－8－16x －m ＝－⎣⎡⎦
⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，
当且仅当16m ＋1
＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，
