2 2
y 解1 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x x+ y y− x 则 Fx ( x , y ) = 2 , Fy ( x , y ) = 2 , 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− = − y− x Fy dx 解2 方程两边关于 求导 有 方程两边关于x求导 求导,有
Fy Fx ∂z ∂z F( x, y, f ( x, y)) ≡ 0, 并有 =− , =− . Fz ∂y Fz ∂x
现仅推导求导公式. 现仅推导求导公式 设 是方程 函数,则 函数, 将恒等式 F ( x , y , f ( x, y)) ≡ 0
所确定的隐
复合函数求导法 两边分别对x和 求导 应用复合函数求导 求导, 两边分别对 和y求导 应用复合函数求导法得 ∂z ∂z Fx + Fz ⋅ = 0. = 0, Fy + Fz ⋅ ∂x ∂y 因为 Fz 连续 且Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0， 所以存在 连续, 点( x0 , y0 , z0 ) 的一个邻域 在这个邻域内 F ≠ 0, 的一个邻域, z 于是得
Fy ∂z Fx ∂z =− . =− , Fz Fz ∂y ∂x
∂ 2z 例 2 设 x + y + z − 4 z = 0, 求 . 2 ∂x
2 2 2
解1
令 F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z,
则 Fx = 2x , Fz = 2 z − 4,
Fx x ∂z , =− = Fz 2 − z ∂x
两边关于x求偏导 链导法则得 两边关于 求偏导, 由链导法则得: 求偏导
