吉林大学考试复习试题高等数学

1.曲线y=x^2+x-2在点（1.5，1.75）处的切线方程为（）A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0参考答案：A2.设X0是函数f（x）的可去间断点，则（）A.f（x）在x0的某个去心领域有界B.f（x）在x0的任意去心领域有界C.f（x）在x0的某个去心领域无界D.f（x）在x0的任意去心领域无界参考答案：A3.直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为（）A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A4.计算y=3x^2在[0，1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B5.f（x）={0（当x=0）} {1（当x≠0）}则（）A.x-0，limf（x）不存在B.x-0，lim[1/f（x）]不存在C.x-0，limf（x）=1D.x-0，limf（x）=0参考答案：C6.x=0是函数f（x）=xarctan（1/x）的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点参考答案：B7.设f（x）是可导函数，则（）A.∫f（x）dx=f'（x）+CB.∫[f'（x）+C]dx=f（x）C.[∫f（x）dx]'=f（x）D.[∫f（x）dx]'=f（x）+C参考答案：C8.已知y=4x^3-5x^2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=（）A.0B.10C.-10D.1参考答案：C9.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B10.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B11.设函数f（x）=x（x-1）（x-3），则f'（0）=（）A.0B.1C.3D.2参考答案：C12.已知z=3sin（sin（xy）），则x=0，y=0时的全微分dz（）A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D13.下列结论正确的是（）A.若|f（x）|在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续B.若[f（x）]^2在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续C.若[f（x）]^3在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续D.若f（x）在x=a点处连续，则1/f（x）在x=a点也必处连续参考答案：C14.设函数f（x-2）=x^2+1，则f（x+1）=（）A.x^2+2x+2B.x^2-2x+2C.x^2+6x+10D.x^2-6x+10参考答案：C15.设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]区间积分∫f（x）dx=∫g（x）dx，则（）A.f（x）在[a，b]上恒等于g（x）B.在[a，b]上至少有一个使f（x）≡g（x）的子区间C.在[a，b]上至少有一点x，使f（x）=g（x）D.在[a，b]上不一定存在x，使f（x）=g（x）参考答案：C16.无穷小量是一种很小的量。

高中起点数学复习题 一．多选题1. 已知},)14(|{},,)12(|{Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈+==ππ，那么下列各式中不正确的是(ACD )． A ．Y X ⊂B ．Y X =C ．Y X ⊃D ．∅=Y X2．若函数1)1()1()(22+-+-=x m x m x f 是偶函数，则在区间]0,(-∞上)(x f 是(BC )A ．不可能是增函数，也不可能是常函数B ．增函数C ．常函数D ．减函数3．已知}3|),{(},311|),{(+===+-=kx y y x B x yy x A ，并且∅≠B A ，则k 的值是( BD )A ．K ≠2B .K =2C .K ≠3 D.K =34．设集合},,{},,,,,{e a c Y e d c b a X ==，则这两个集合不满足的关系是（ ABD ）。

Ａ．X Y X =⋂； Ｂ．Y Y X =⋃； Ｃ．X Y X =⋃； Ｄ．Y Y X X =⋂⋃)( 6．原点到直线2+=kx y 的距离2是，则k 等于 ( BD ) A.K ≠1 B.K =1 C.K ≠-1 D.K =-17．函数3519222+-=x x y 的定义域是 ( AD )A ．25≠x B.25=x C.7=x D.7≠x 8.原点到直线2+=kx y 的距离2是，则k 等于( AB ) A. K = -1 B.K = 1 C.K ≠-1 D.K ≠1 9．已知13log <a ，则a 的取值范围是( BC )．A.-1<a<0B.0<a<1C.a>3D.a<310.已知}3{},4{2<=>=x x N x x M ，下列结论中不正确的是（ BCD ）Ａ．R N M =⋃； Ｂ．}4{2>=⋃x x N M ；Ｃ．}32{<<=⋂x x N M ； Ｄ．}2{-<=⋂x x N M11. 函数)(x f y =在(0, 2)上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中不正确的是( B )．A ．)27()25()1(f f f <<B ．)25()1()27(f f f <<C ．)1()25()27(f f f <<D ．)27()1()25(f f f <<12．两直线542,0322=+=++y x y x k 没有公共交点，则K 值是（ AB ） A ．K=1 B .K=–1 C.K=2 D.K=–213．两平行线分别过)0,1(A ，)5,0(B 且距离为5，则它们的方程是( AD ) A.y=0 B.y=1 C.y=2 D.y=514．已知0},,{},2,,{2≠=++=a aq aq a N d a d a a M ，且N M =，则q 的值( A ) A ．1=q B 。

《高等数学》（下）试卷A适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷 考试时刻：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共6小题，每空2分，共14分)1.设z=22x xy y ++，那么x z∂∂=2x+y ; yz∂∂= 2y+x . 2.改变积分顺序24(,)dy f x y dx ⎰⎰=42(,)dx f x y dy ⎰⎰ .3.函数 z=2x 2+y 2在点P(1,1)处的梯度为__(4,2)________4.级数∑∞=11n n的敛散性为 发散 .5.设平面曲线L 为下半圆周y=-21x -,那么曲线积分⎰+Lds y x )(22=__________6.曲线x=41t 4,y=31t 3,z=21t 2在相应点t=1处的切线方程为__111432xyz_____________ 二.单项选择. (共8小题，每题3分，共24分)D 为圆域:x2+y2≤1,Ddxdy ⎰⎰=A.那么A =( A ) .(A) π (B) 4π (C)2π (D) 3π. 2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（A ）(A)．充分条件 (B). 必要条件 (C).充要条件 (D).无关条件3.积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与途径无关的充要条件是(A )(A) .P Q y x ∂∂=∂∂ (B). P Q y x∂∂=-∂∂ (C). P Q x y ∂∂=∂∂ (D). P Qy y∂∂=∂∂ 4.设3z x y =，那么dz =( B ).(A)dx dy + (B)233x ydx x dy + (C)3x dx ydy + (D) 23x ydx ydy +⎰++-c y x xdyydx 22的值为( C ),其中C 取圆周221x y +=的正向.（A ）、π (B)、-2π (C)、 2π (D)、－π2)()(y x ydydx ay x +++为某一函数的全微分,那么a=( C )(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 17.设∑为锥面z=22y x +介于z=0与z=1之间的部份,1∑是∑在第一卦限的部份,那么⎰⎰∑++ds xz yz xy )(=(A )(A)0 (B)4⎰⎰∑1xyds (C) 4⎰⎰∑1zyds(D) 4⎰⎰∑1xzdsx (x 0,y 0)与f y (x 0,y 0)均存在是函数f(x,y)在点(x 0,y 0)处持续的(D )条件(A) 充分 (B)必要 (C)充要 (D)无关 三.(8分)设z=x 3y 2-3xy 3-xy+1，求22x z ∂∂ ,22yz∂∂。

吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。

吉大高等数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{x} dx\) 的结果是？A. \( x \)B. \( \ln|x| + C \)C. \( e^x \)D. \( \ln(x) \)答案：B3. 以下哪个极限不存在？A. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)B. \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)答案：D4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是？A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 以下哪个级数是发散的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 _______。

答案：02. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。

答案：\( \frac{1}{x} \)3. 函数 \( y = e^x \) 的二阶导数是 _______。

吉林大学2018~2019学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷答案2018年6月28日一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ B ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界；（B ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （C ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．2．级数(常数0>a )1(1)(1cos )∞=--∑nn a n （ A ）． （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ） 敛散性与a 有关． 3．已知()()2yx ydydx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（ D ）． （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2. 4. 设∑为锥面z 被圆柱面22=2x y x +截下的部分, 则d ∑⎰⎰z S 等于 ( C )．（A ）329；（B ）163； （C ）9； （D ）3．5．设函数()f x 连续，且满足()0()e d xf t f x t -=⎰，则(1)f = ( B ) ．（A ）0； （B ）ln 2； （C ）1； （D ）e ．6．方程22(cos 2sin )xy y y e x x x '''-+=+特解的形式为( D )（A ）1[()cos sin ]xy e Ax B x C x =++；（B ）y e Ax x C x x1=+[cos sin ]；（C ）y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] ； （D ）y xe Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ].二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．函数 32yz xy u += 在)1,1,2(0-P 处沿方向)1,2,2(-=l 的方向导数为 8/3 ．2．已知(1,2)4,d (1,2)8d 4d ,d (1,4)16d 8d ==+=+f f x y f x y ，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 80 ．3．222:D x y a +=, 则22(2sin 44)d =+-++⎰⎰Dx y I x y p q σ=4211()44++a a p qππ． 4．已知曲线Γ是平面0x y z ++=与球面2222x y z R ++=的交线，则()22d Γ=++⎰I x y z s = 343R π ．5．已知幂级数()2nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 15<≤x ．6．将函数()1, 0212, 12x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩展开成周期为2的正弦级数，记正弦级数的和函数为()S x ,则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 12- ．三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）1．设(), , z f x y x y xy =+-,函数f 存在二阶连续的偏导数，求d z 和2.∂∂∂zx y解()()()()()()()()123123123132333111322233333+++ 8∂∂''''''=+=+++-+∂∂∂∂∂∂'''''''''=++=∂∂∂∂'''''''''''=++-+-++xy z zdz dx dy f f yf dx f f xf dy x y z f f yf f f y f f y y y yf x y f f x y f f xyf ……分……分2．求曲线23=⎧⎪=-⎨⎪=⎩x ty t z t 与平面24++=x y z 平行的切线方程．解 曲线的切向量为2(1,2,3)=-s t t . 平面的法向量为(1,2,1)=n .……….2分由题意⊥s n ,得到21430-+=t t解得11,3==t t ……….4分 当13=t 时，切点为111(,,)3927-，切向量为21(1,,)33-，切线方程为11192721133+--==-y z x …….6分 当1=t 时，切点为(1,1,1)-，切向量为(1,2,3)-，切线方程为111123-+-==-x y z …….8分3．设函数()f x 在[)0, +∞上连续，且单调增加有上界，证明级数()()11d ∞-=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑⎰n n n f n f x x 收敛． 证明()()()()()()()()()()()()()()()()1111, 11101 1..2..04..6---==-≤≤⇒-≤≤⇒-≤≤⇒≤-≤--=--=-⎡⋯⋯⋯⋯⋯⎤⎦⋯⎣⎰⎰⎰∑nn n n n n nn k f x dx f n n f n f f n f n f x dx f n f n f x dx f n f n S f k f k f n f ξξξ根据积分中值定理：又：分分部分和分又已知()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，故()lim n f n →∞存在，则()()11n f n f n ∞=--⎡⎤⎣⎦∑收敛，由正项级数的比较法知()()11n n n f n f x dx ∞-=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑⎰收敛. ..8⋯⋯分4．求二元函数22(,)(2)ln =++f x y x y y y 的极值.解 由222(2y )02ln 10'⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩x yf x f x y y 的驻点为1(,)x e ……..2分 2212(2),4,2''''''=+==+xxxy yy f y f xy f x y……………..4分 211(0,)2(2)0,e e 1(0,)0,e 1C (0,)e e''==+>''==''==xxxyyyA fB f f ………….6分 20,0.->>AC B A 且 故函数在1(,)x e取极小值，极小值为11(0,).e e=-f ………8分5．求幂级数1112n n n x n ∞-=∑的收敛域及和函数. 解 级数的收敛域为[2,2)-.当(2,2)0∈-≠x x 且时，011111()22n x n n n n n x S x x dx x n x n ∞∞=='⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰10000111111222121[ln 2ln(2)]((2,2),0)+∞=⎛⎫==⋅= ⎪-⎝⎭-=--∈-≠∑⎰⎰⎰n x x x n x dx dx dx x x x x x xx x x x()S x 在收敛域内是连续的00ln 2ln(2)11(0)limlim 22x x x S x x →→--===-2ln 2ln(2)ln 2(2)lim 2+→----==x x S x 6. 设(,)Q x y 在平面xoy 上具有一阶连续的偏导数, 曲线积分2d (,)d +⎰Lxy x Q x y y 与路径无关, 并且对任意实数t , 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d t t xy x Q x y y xy x Q x y y +=+⎰⎰,求函数(,)Q x y .解 由曲线积分与路径无关有(2)2∂∂==∂∂Q xy x x x………………2分 于是2(,)()=+Q x y x y ϕ……………3分(,1)1122(0,0)0(1,)2(0,0)2(,)(())()2(,)(1())()+=+=++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t ttxydx Q x y dy t y dy t y dyxydx Q x y dy y dy t y dyϕϕϕϕ. …………6分由已知条件有12()()+=+⎰⎰tt y dy t y dy ϕϕ两端对t 求导得21()=+t t ϕ2()21,(,)2 1.=-=+-y y Q x y x y ϕ…………8分7. 计算曲面积分333d d d d +d d ∑+++⎰⎰x y z y z x z x y ，其中∑为锥面=z 与两球面2221x y z ++=及2224x y z ++=所围成的立体（锥面内部的）表面的外侧．解333+∑+++⎰⎰x dydz y dzdx z dxdy222(333)x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰…………3分2222413sin d d r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰…………6分222240193(23sin 5d d r r dr ππθϕϕπ==⎰⎰⎰…………8分 8. 求微分方程24e ''=++xy y x 的通解．解 方程所对应的齐次方程的特征方程为240-=r ，特征根为122==r r ………2分齐次方程的通解为212()e =+xY C C x ………3分 设方程4''-=y y x 的特解为1,*=y Ax ………4分代入方程得14=-A ，故11.4*=-y x ………5分 设方程24e ''-=xy y 的特解为22e ,*=x y Bx ………6分代入方程得14=A ，故221e .4*=x y x ………7分方程的通解为22121,211()e ,44=+-+xx y C C x x xe C C 为任意常数………8分。

2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2．设2log y =d y = ．3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1d d t y x == ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．6．设()d cos f x x x C =+⎰，那么()()d n f x x ⎰= ．7．31211d 1x x x -+=+⎰ ．二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是〔A 〕有界数列一定有极限． 〔B 〕无界数列一定是无穷大量． 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列． 〔D 〕无界数列未必发散． [ ]2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=，那么 〔A 〕lim 0n n a →∞=．〔B 〕lim 0n n a C →∞=>．〔C 〕lim n n a →∞不存在．〔D 〕{}n a 的收敛性不能确定．[ ]3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，那么在[,]a b 上有 〔A 〕()()0f x g x ->．〔B 〕()()0f x g x -≥．〔C 〕()()()()f x g x f b g b ->-．〔D 〕()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,那么以下结论正确的选项是〔A 〕()f x '的极小值为0． 〔B 〕0()f x 是()f x 的极大值．〔C 〕0()f x 是()f x 的极小值． 〔D 〕点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]5．||e d 1k x x +∞-∞=⎰，那么k =〔A 〕0．〔B 〕－2．〔C 〕－１．〔D 〕－0.5． [ ]6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =〔A 〕2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰． 〔B 〕2220(1cos )d a t t ππ-⎰． 〔C 〕2220(1cos )d aa t t ππ-⎰．〔D 〕2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰． [ ]7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，那么必有〔A 〕-=a b 0． 〔B 〕+=a b 0． 〔C 〕0⋅=a b ． 〔D 〕⨯=a b 0． [ ]三、计算题〔共5道小题，每题8分，总分值40分〕1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．2．求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰．3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．4．计算 12x ⎰．5．假设点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求点M 的坐标．四、应用题〔总分值8分〕设曲线2=->．过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．五、证明题〔共2道小题，每题5分，总分值10分〕1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷 答案 2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - ．． 2．设2log y =，那么dy =223(1)ln 2xdx x -- ．． 3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= 2 ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1t dy dx == 23 ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．6．设()d cos f x x x c =+⎰，那么()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭．7．31211d 1x x x -+=+⎰ 2． 二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是 〔A 〕有界数列一定有极限； 〔B 〕无界数列一定是无穷大量； 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列；〔D 〕无界数列未必发散。

大学高等数学期末考试试题与答案下列哪个公式不是牛顿-莱布尼茨公式的应用？B) (4x3 + 5x2 + 6x + 7)′D) (e2x + 3y)′答案：D) (e2x + 3y)′填空题(每题3分，共18分)略解答题(每题10分，共60分)略综合题(每题15分，共30分)略当谈论数学时，大家可能会想到那些复杂的公式和令人头疼的问题。

然而，数学在我们的日常生活中无处不在，它不仅是一门学科，更是一种思维方式。

在吉林大学，高等数学课程一直受到高度重视。

本文将通过学生们的期末试题来展示数学的魅力和应用。

试题是数学学习的重要组成部分。

通过做题，学生不仅可以巩固所学知识，还可以培养解决问题的能力和举一反三的思维方式。

以下是一道吉林大学高等数学的期末试题：求函数 y=x^3-3x^2+2在区间 [0,4]上的最大值和最小值。

这道题目的答案是：最大值为28，最小值为-16。

要解决这个问题，我们需要对函数进行求导，并确定函数的极值点。

然后，我们可以在给定的区间内找到函数的最大值和最小值。

除了在高等数学中学习数学基础知识，我们还可以将这些知识应用到实际生活中。

例如，在经济学的课程中，学生们可以使用数学模型来分析股票市场的波动；在工程学中，可以使用数学方法来设计桥梁和建筑的结构等。

数学是人类文化的重要组成部分，它为我们的日常生活提供了很多帮助。

通过学习高等数学，我们可以更好地理解数学的应用价值，提高我们的思维能力和解决问题的能力。

在未来的学习和工作中，这些能力将是我们不可或缺的竞争优势。

吉林大学高等数学期末试题不仅考察了学生的数学知识，还体现了数学在生活中的应用价值。

通过学习数学，我们可以培养举一反三的思维方式，提高解决问题的能力和竞争力。

让我们一起感受数学的魅力吧！下列哪个选项是高等数学中“极限”的概念？ ( )下列哪个选项是高等数学中“导数”的概念？( )下列哪个选项是高等数学中“积分”的概念？( )积分在高等数学中是一个非常广泛的概念，它涉及到面积、体积、平均值等多个方面，但不能简单地说积分就是求面积或体积或平均值。

吉林大学 2017—2018 学年第二学期《高等数学BⅡ》试卷2018 年 6 月 6 日命题：董朔校对：肖乐乐一二三四总分得分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分；下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）⎧| xy |sin( x2+y2 )x2+ y2≠ 0⎪，则 f (x, y)在（0,0）处221 ．设f(x,y)= ⎨⎪x+ y0x 2+ y2=0⎩（）.（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不可微（C）可微（D）不连续2．函数f(x,y)=arctan x在点(0,1)处的梯度等于（）. y（A）i.（B）-i.（C）j.（D）-j.3 ．若∑是锥面x2+y2=z2被平面z=0与z=1所截下的部分,则曲面积分⎰⎰(x2+y2 )dS=( ).∑（A）⎰0πdθ⎰01r2⋅rdr;（B）⎰02πdθ⎰01r2⋅rdr;（C）⎰0πdθ⎰01r 2⋅rdr ;（D）⎰02πdθ⎰01r 2⋅rdr .224.已知ax + y dx -x - y + b dy 在右半平面(x >0)是函数 u(x, y)的全微分,a, b的值为（）.（A）a=1,b=0；（B）a= -1,b=0；（C）a=0,b=1；（D）a=0,b= -1.5.设0≤u n<1(n= 1, 2, ) ，则下列级数中必定收敛的是（）. n∞∞（A）∑u n（B∑(-1)n u nn=1n=1∞∞（C）∑u n（D）∑(-1)n u n2n=1n=16.设线性无关的函数y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是（）.（A）C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3；（B）C1y1+C2y2+y3；（C）C1y1+C2y2-(C1+C2)y3；（D）C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3.得分二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分；请将答案填写在题中的横线上）1x 21．极限lim(1+)x+ y=．x→∞xyy→a2．设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z=7确定的函数，dz|=．4⎛ 11⎫,⎪⎝ 22⎭3．设L为圆x2+ y2=1,，则闭曲线积分⎰（L8xy+2x2+6y2)ds=. 4．设L为由点A(-1,1)沿抛物线y=x2到点B（1，1）的一段弧，则曲线积分：⎰（x2-2xy）dx+(y2-2xy)dy的值为.L⎧e-x,-π ≤ x <0，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x= π处收5．设函数f(x)= ⎨0 ≤x< π⎩ 1,敛于.6．将函数f(x)=1展开成幂级数.2 -x-x2得分三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）1.设z=f(x+ ϕ(x-y),y)，其中f具有二阶连续偏导数，ϕ有二阶导数，求dz和∂2z.⎧ 222= 62.求曲线⎨x+ y+ z在点(1,-2,1)的切线和法平面方程.⎩x + y + z =03.设区域D={(x,y) | 1≤x2+y2≤4,x≥0.y≥0}．计算二重积分：⎰⎰x sin(π x2+ y2)dxdyx + y.D∞(x-1)n4.求幂级数∑的收敛域与和函数.n=1 3 n得分四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，满分 32 分）1.（本题满分7分）求微分方程y'' -2y' +y=8(1+e2x)的通解.2.（本题满分8分）计算曲面积分I=⎰⎰x3dydz+[yf(yz)+y3]dzdx+[z3-zf(yz)]dxdy,其中函数f有∑连续的导函数, ∑为上半球面z= 1 -x2-y2的上侧.3.（本题满分9分）已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx -2ydy，并且f (1,1)=2 . 求f(x, y)在椭圆域D={(x,y)x2+y2≤1}上的最大值和最小值.44.（本题满分8分）设Ω(t)={(x,y,z) |x2+y2+ z 2≤ t 2}，其中 t> 0 .已知f (x) 在[0 , + ∞) 内连续，又设F(t)=⎰⎰⎰f(x2+y2+z2)dxdydz .Ω（t）F (t)(0 , + ∞) F (t)（1）求证：在内可导，并求'的表达式；（2）设f(0)∞1 ) 在λ > 0 时收敛，λ ≤ 0 时发散.≠ 0 ，求证：级数∑n1-λF'(n=1n吉 林 大 学2015~2016 学年第二学期《高等数学 BII 》试卷2016 年 6 月 28 日一二三四总 分得 分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. 函数 f (x , y )= x 2 + y 4 在点(0,0)处的偏导数（ ）.（A ） f x '(0, 0) 存在， f y '(0, 0) 不存在 （B ） f x '(0, 0) 不存在， f y '(0, 0) 存在（C ） f x '(0, 0) ， f y '(0, 0) 都存在（D ） f x '(0, 0) ， f y '(0, 0) 都不存在2．设方程 xyz + e z =1 确定 z 是 x ，y 的函数，则 ∂z =（ ）．∂x（A ） - yz （B ） yz （C ） - yz （D ） yze z e z xy + e z xy + e z3. 空间区域 Ω = {( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ 4 - x 2- y 2, x 2+ y 2≤1} 的体积是（ ）．π（B ） ⎰02π d θ ⎰02 r（A ） 4⎰02 d θ ⎰01 r d r 4 - r 2 d r4 - r 2π⎰01（D ） ⎰02π d θ ⎰02（C ） 4 ⎰02 d θ d r4 - r 2 d r4 - r 22222 24.设空间区域 Ω = {(x , y , z ) x + y + z ≤ 2 , z ≥x + y }， f ( x , y , z ) 为连续函数，则三重积分 ⎰⎰⎰ f ( x , y , z )d V =（）．Ω11- x 2x 2 + y 2（A） ⎰-1d x⎰-d y ⎰f ( x , y , z )d z1- x 2 2- x 2 - y 211- x 22- x 2 - y 2（B ） 4 ⎰ 0 d x ⎰d y ⎰f ( x , y , z ) d zx 2 + y 2 （C ） ⎰02 π d θ ⎰01 d r ⎰r 2-r2f ( r cos θ , r sin θ, z )d zπ（D ） ⎰02 π d θ ⎰04 d ϕ ⎰0 2 f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ d r5. 设 ∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2= 9 的外侧，则曲面积分 ⎰⎰z d x d y = （）．∑（A ）0（B ） 3π（C ） 9π （D ） 36π∞ n6. 如果级数 ∑ ( -1) ( p > 0) 绝对收敛，则常数 p 的取值范围是（）.n =1 n（A ） p >1（B ） 0 < p <1 （C ） p ≥1 （D ） 0 < p ≤1（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，请将答案写在题后得 分.）1. 极限 lim sin( xy ) =.x →0 xy →π2. 函数 u = x 2 - xy + 2 yz 在点 (1,1,1) 处的方向导数的最大值为 .⎧x = cos t , (0 ≤ t ≤ π ) ，则 ⎰L x d s =3. 设曲线 L 的方程为 ⎨ 2 .⎩ y = sin t⎧x 2 , 0 ≤ x < 1 ,a ∞⎪2+ ∑a n cos n πx4. 设函数 f (x ) = ⎨S ( x ) = 0，其中1≤ x <1,⎪ x , 2 n =1⎩ 2a = 2 1 f ( x ) cos n πx d x , n = 0,1, 2, ，则 S ( - 1) =.n15. 将函数 f ( x ) = 展开成 ( x - 2) 的幂级数为.x6. 微分方程 xy ' + y = x e x 满足初始条件 y (1) = 0 的特解为.得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）.1．设f为C( 2)类函数，且z=f(x+y,x-y)，求d z和∂2z.∂x∂y2．在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9 =0，并写出该法线方程．3．设平面区域D={(x,y)x2+y2≤1,x≥0}，计算二重积分⎰⎰D1+x2+y2 d x d y.∞n-14. 求幂级数∑x的收敛域与和函数.n=1n得分四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，满分 32 分）.1. （本小题 9 分）设x>0,y>0,z>0，用Lagrange乘数法求函数u=x3y2z 在约束条件x+y+z=12下的最大值.2. （本小题 9 分）求微分方程y'' +4y=2x2满足y(0)=0,y'(0)=1的特解．3. （本小题 9 分）计算曲线积分⎰L sin 2x d x+2(x2-1)y d y，其中L 是曲线y =sin x 上从点(0, 0)到点(π, 0)的一段弧．4. （本小题 5 分）设曲面∑为x2+y2+z2-yz=1位于平面2z-y=0上方的部分，计算曲面积分(x+y -2zI =⎰⎰3) d S.22∑2014—2015 学年第二学期《高等数学 BII 》期末试卷得 分一二三总分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．若 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都存在，则（ ）．（A ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域内有界； （B ） f ( x , y 0 ) 在点 x 0 处连续， f ( x 0 , y ) 在点 y 0 处连续； （C ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域内连续； （D ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微．∞ a2．级数 ∑( − 1) n (1 − cos) (常数 a > 0 )（ ）．n =1 n（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛；（C ）发散；（D ） 敛散性与 a 有关．3．已知 ( x + ay )d x + y d y 为某函数的全微分，则 a 等于（）．( x + y )2（A ） −1； （B ）0； （C ）1；（D ）2.4. 设 Σ 为锥面 z = y 2 + x 2 被圆柱面 x 2 + y 2 =2x 截下的部分, 则∫∫ z d S 等于 ()．Σ（A ）32；（B ）16；93（C ） 32 2 ；（D ）16 2．935．设函数 f ( x ) 连续，且满足 f ( x ) = ∫0x e − f ( t )d t ，则 f (1) = ( ) ． （A ） 0 ； （B ） ln 2 ； （C ）1；（D ） e ． 6 y − 2 y ′ + 2 y = e ( x cos x + 2 sin x ) ( )．方程 ′′ x 特解的形式为 ．（A ） y = e x [( Ax + B ) cos x + C sin x ] ；1（C ） y 1 = e x [( Ax + B ) cos x + ( Cx + D ) sin x ] ；（D ） y 1 = xe x [( Ax + B ) cos x + ( Cx + D ) sin x ] .二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．函数 u = xy 2 + yz 3 在 P (2,−1,1) 处沿方向 l = (2,2,−1) 的方向导数为．2．已知 f (1, 2) = 4, d f (1, 2) = 8d x + 4d y , d f (1, 4) = 16d x + 8d y ，则 z = f ( x , f ( x , y ))在点（1, 2）处对 x 的偏导数为 ．3．设 D : x 2 + y 2 ≤ a 2 , 则 I =∫∫(x 2 + y 2 − 2 sin x + 4 y + 4)d σ =．Dpq4 ． 已 知 曲 线 Γ 是 平 面 x + y + z = 0 与 球 面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的 交 线 ， 则I = ∫Γ ()x 2+ y 2+ z d s = ．∞5 ． 已知幂级数 ∑a n ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数n =0∞∑a n ( x − 3)n 的收敛域为．n =0− x ,0 ≤ x ≤ 12展开成周期为 2 的正弦级数，记正弦级数的和函6．将函数 f ( x ) =1< x < 12 − x ,25数为 S ( x ) ,则 S−=．2得 分三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分）1．设 z = f ( x + y , x − y , xy ),函数 f 是 C (2) 类函数，求 d z 和 ∂2 z .∂x ∂yx = t2．求曲线y=−t2与平面x+2y+z=4平行的切线方程．3z = t3 ．设函数f ( x)在[0,+∞)上连续，且单调增加有上界，证明级数∞∑n=1f(n)−∫n n−1f(x)d x收敛．4．求二元函数 f ( x , y ) = x 2 (2 + y 2 ) + y ln y 的极值．15．求幂级数∑n =1 n 2n x n −1的收敛域及和函数．6. 设Q(x,y)在平面xoy上具有一阶连续的偏导数, 曲线积分∫L2xy d x+Q(x,y)d y与路径无关,并且对任意实数t,恒有(1, t )∫(0,0)(t,1) 2 xy d x+Q ( x , y )d y=∫(0,0) 2 xy d x+Q ( x , y )d y,求函数Q(x,y)．7.计算曲面积分∫∫ x3d y d z + + y 3d z d x ++ z 3d x d y ，∑其中∑为锥面z=x 2+ y2与两球面x2+y2+z2=1及 x 2+ y 2+ z2=4所围成的立体(锥面内部)表面的外侧．8. 求微分方程y′′=4y+x+e2x的通解．吉林大学 2013~2014 学年第二学期《高等数学 B Ⅱ》试卷2014 年 6 月 28 日题号一二三总 分得分得 分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）xy , (x , y ) ≠ (0,0)在 (0,0) 处（ + y 2 ）． 1．二元函数 f (x , y ) = x 2(x , y ) = (0,0)0,（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．2．设 Σ 是锥面 x 2 + y 2 = z 2 在 0 ≤ z ≤ 1 的部分，则 ∫∫ (x 2 + y 2 )d S = ()．Σ（A ） ∫ 0π d θ ∫01 r 3d r ；（B ） ∫ 02 π d θ ∫01 r 3 d r ；（C ） 2 ∫ 0π d θ ∫01 r 3 d r ；（D ） 2 ∫ 02 π d θ ∫01 r 3 d r ．3．设 I = ∫ 01 d y ∫1− y f ( x , y )d x ，则改变积分次序后 I = （）．（A ） ∫ 01 d x ∫0 1− x f ( x ,y )d y ．（B ） ∫ 0 1 − y d x ∫01 f ( x ,y )d y ．（C ） ∫ 01 d x ∫01−x 2f ( x , y )d y ．（D ） ∫ 01 d x ∫01+x 2f ( x , y )d y ． 4. 函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9x 的极大值点为( )．（A ） ( −3, 2) ； （B ） (1, 2) ； （C ） ( −3, 0) ；（D ） (1, 0) .5．设空间区域 Ω ={( x , y , z )0 ≤ z ≤1− x 2 − y 2}，则积分∫∫∫ z d v = () ．ππΩ（A ） ；（B ） ； （C ） 4π ；（D ） 2π ．2 46 ． 设函数 y 1 , y 2 是微分方程 y ′′ + py ′ + qy = 0 的两个特解， y * 是微分方程y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的一个特解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + y * 是方程 y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的（ ）．（A）通解；（B）特解；（C）解但不是通解；（D）解.得分二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．函数u=x2+y2+z2−xy+2yz在点(−1, 2,−3)处的方向导数的最大值等于．2．设z=xy+x，则d z=．y3．设曲线L为下半圆y=− 1 −x2，则∫L(x2+y2)d s=．∞a n4．设a>0，当常数a满足条件时，级数∑收敛．n=1n5．设L为封闭折线|x|+|y |=1正向一周，则∫L x2 y 2d x −cos(x + y )d y=．6．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(−π,π]上的表达式为0, −π <x≤ 0．f ( x)=, 则f(x)的Fourier级数在x=3π处收敛于x ,0< x ≤π得分三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分）222=45在点P0(−2,1, 6)处的切线方程和法平面方程．1．求空间曲线2x+ y+ zx2+2 y 2= z∂z∂2z 2．设z=f(xy2,x2y)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂x,∂x∂y．13．将函数f(x)=x 2 −5x+6在x=4点展成幂级数.（共6页第3页）4．求函数f(x,y)=xy−x在半圆域D={(x,y)x2+y2≤1,y≥0}上的最大值和最小值.∞5．求幂级数∑n+1x n的收敛域及和函数．n=1n（共6页第4页）6. 计算∫∫cos(x+y)dxdy ，D: 0≤x≤π,0 ≤y≤π.22D7.计算I=∫∫(x+y+z)d y d z+(x−y+z)d z d x+(z−x)d x d y，其中Σ：z=1−x2−y2Σ（z≥0），取上侧．（共6页第5页）8.已知曲线y=f(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线2x−y−5=。

吉林大学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不可导D. f(x)在x=a处连续性与可导性无关答案：A2. 设A为3阶方阵，若|A|=0，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是奇异矩阵C. A是单位矩阵D. A的行列式等于1答案：B3. 对于极限lim(x→0) (sin x)/x，以下说法正确的是：A. 极限不存在B. 极限为0C. 极限为1D. 极限为无穷大答案：C4. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点B. 函数f(x)在区间(a, b)内一定有两个零点C. 函数f(x)在区间(a, b)内至多有一个零点D. 函数f(x)在区间(a, b)内没有零点答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值为______。

答案：-12. 设矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，则3A的行列式为______。

答案：-123. 若等比数列的前三项依次为2，4，8，则该数列的公比为______。

答案：24. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=______。

答案：3x^2-6x三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。

证明：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，必在该区间上达到最大值和最小值。

设f(x)在区间(a, b)内达到最大值M和最小值m，且M=f(x1)，m=f(x2)，x1，x2∈(a, b)。

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一、单选题 (共 15 道试题,共 60 分)
【题目序号】数y=e^(cx)+1是微分方程yy"=(y')^2+y"的（）
A.通解
B.特解
C.是解，但既不是通解，也不是特解
D.不是解
提示：本题为必答题，请认真阅读题目后再作答
--本题参考答案:C
【题目序号】数y=|sinx|在x=0处( )
A.连续
B.有定义，但不连续
C.无定义，但连续
D.无定义
提示：本题为必答题，请认真阅读题目后再作答
--本题参考答案:A
【题目序号】列函数中（）是奇函数
A.|x|+cosx
B.xsinx
C.x+sinx
D.x+cosx
提示：本题为必答题，请认真阅读题目后再作答
--本题参考答案:C
【题目序号】f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f&rsquo;(0)=( )
A.3
B.-6
C.-3
D.-2
提示：本题为必答题，请认真阅读题目后再作答
--本题参考答案:B
【题目序号】知函数y= 2cos3x-5e2x, 则x=0时的微分dy=（）
A.10dx。

吉林大学2016~2017学年第二学期《高等数学A Ⅱ》试卷答案2016年6月28日一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．2．过点（3,2,5）且与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行的直线方程为（ B ）． （A ）153243-=-=--z y x ． （B ） 153243-=-=-z y x ． （C ） 153243-=--=--z y x ． （D ）153243-=--=-z y x ． 3．设100d (,)d I y f x y x =⎰，则改变积分次序后I =（C ）． （A ）100d (,)d x f x y y ⎰．（B ）10(,)d x f x y y ⎰．（C ）21100d (,)d x x f x y y -⎰⎰．（D ）21100d (,)d x x f x y y +⎰⎰．4. 函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极大值点为( A )． （A ）(3,2)-；（B ）(1,2)； （C ）(3,0)-； （D ）(1,0). 5．设空间区域{(,,)0Ωx y z z =≤≤，则积分d v z Ω=⎰⎰⎰( B ) ．（A ）π2； （B ）π4； （C ）4π； （D ）2π． 6．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( A )．（A ）4x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）x 为同阶无穷小．二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩.2．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 3．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--． 4．设函数()()01ln 1d x F x xy y y=+⎰，则(2)F '= ln5 . 5．2d 1xx+∞-∞+⎰ π ． 6. 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程为340x y z --+= ．三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）1．求星形线()33cos 02sin x a tt y a tπ⎧=≤≤⎨=⎩围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体体积和该星形线的全长，其中0a >是常数.解：2372d d 3sin cos d v y x a t t t ππ==…………………..……..2分372322322d 6sin (1sin )d 105Vv at t t a ππππ==-=⎰⎰……….4分 d 3sin cos d s t a t t t==……….……...6分212sin cos d 6s a t t t a π==⎰…………………………………8分2. 求空间曲线222222452x y z x y z⎧++=⎨+=⎩在点()02,1,6P -处的切线方程和法平面方程． 解 方程组两端同时对x 求导，得422024x x x xx yy zz x yy z ''++=⎧⎨''+=⎩………………………………………….2分 解得02812,2525xp x p y z ''==………………………………………4分 故切线方程为216252812x y z +--==…………………………..…..6分 法平面方程为25281250x y z ++= ………………………..……8分3．设22(,)z f xy x y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,．解：2122zy f xyf x∂''=+∂． ……（３分）2221111222zyf y f xy f x x y ∂'''''⎡⎤=+⋅+⋅⎣⎦∂∂222122222xf xy f xy f x '''''⎡⎤++⋅+⋅⎣⎦……（6分） 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++ ……………… …（8分）4．求函数x xy y x f -=),(在半圆域{}0,1),(22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值.解 先求区域D 内部的驻点，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=-=∂∂001x yfy xf得1,0==y x ,该点在边界上. .2分再求区域边界上的驻点.在边界122=+y x 上，令)1(),(22-++-=y x x xy y x L λ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+-=010202122y x y x L x y L y x λλ得1,0==y x ，该点函数值0)1,0(=f …… ….5分 在边界11,0≤≤-=x y 上，函数x y x f -=),(，此时函数最大值,1)0,1(=-f 最小值1)0,1(-=f .…… ….7分综上，函数在区域D 上的最大值,1)0,1(=-f 最小值1)0,1(-=f . … ….8分 5. 计算dxdy y x D⎰⎰+)cos(，20,20:ππ≤≤≤≤y x D .解dxdy y x D⎰⎰+)cos(=22222cos()cos()xxdx x y dy dx x y dy πππππ--+-+⎰⎰⎰⎰……（4分）=22222sin()sin()xxx y dx x y dx πππππ--+-+⎰⎰=220(1sin )(cos 1)x dx x dx ππ---⎰⎰ ……（6分） =220(cos )(sin )x x x x ππ+--=2π- . ……（8分）6. 计算三重积分()22d v x y z Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与4z =所围成的区域.解：曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为222z x y =+………2分利用柱面坐标计算，则原式=224202d d ()d r r r z z πθ+⎰⎰…………………6分=350528)d 8r r r r π+-=2563π …………………………………………8分7. 判别121d x x ⎰的敛散性. 解 设21()f x x =，则()f x ≤ ……4分而无界函数积分1x ⎰收敛 ……6分 由比较判别法121d x x ⎰收敛. ……8分8. 设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆函数在点(0,0)处偏导数存在。