2012江苏省澄西中学高三数学错题整理⑻(2012.11.23)

高考考前易错题集锦试卷1．直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ∆的面积等于12，这样的点P 共有A.1个B.2个C.3个D.4个2．甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了4次，则第4次仍传回到甲的概率是A.277B.275C.87D.64213．()n n nn -+∞→1lim 的值为A.0B.21C.1D.2 4．已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到圆()()13322=-++y x 上一动点Q 的距离为2d ，则21d d +的最小值是A.3B.4C.5D.133+5．正三棱锥A-BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，且AB=AC=AD=a ，则以A 为球心、正三棱锥的高为半径的球夹在正三棱锥内的球面部分的面积是 A.212a π B.26a π C.24a πD.23a π 6．在圆x y x 522=+内，过点⎪⎭⎫⎝⎛23,25有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长的弦长为n a ，若公差⎥⎦⎤⎝⎛∈31,61d ，那么n 的取值集合为A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}7．直线3+=x y 与曲线14||92=-x x y 的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.38．在正三棱锥ABC P -中，M 、N 分别为PB 、PC 的中点，若截面⊥AMN 侧面PBC ，则此棱锥侧面与底面所成的二面角是 A.3π B.4π C.36arccos D.66arccos 9．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成钝角三角形的个数为m ，则nm等于A.101B.51C.103D.5210．已知1||=z 且12-≠z ，则复数12+z zA.必为实数B.必为虚数C.是虚数但不一定是纯虚数D.可能是实数，也可能是虚数11．设函数f 定义如下表，数列}{n x 满足50=x ，且对任意自然数有)(1n n x f x =+，则2004x 的值为x1 2 3 4 5 )(x f4 1 35 2A.1B.2C.4D.512．函数|3||4|12-++-=x x x y 的图象关于A.x 轴对称B.直线x y =对称C.原点对称D.y 轴对称数学易错题集锦（二）1．设a 、b 是方程0cos cot 2=-+θθx x 的两个不相等的实数根，那么过点),(2a a A 和),(2b b B 的直线与圆122=+y x 的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不确定2．大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，则能使开会人员上下楼梯所走的路程总和最短的k 的值为A.21+nB.2nC.22+n D.以上都不对3．某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达，如果只打开三个检票口，需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口，如果打开六个检票口则只需10分钟就能让所有滞留旅客通过，现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过，则至少同时需要打开的检票口数为（假设每个检票口单位时间内的通过量相等）A.9B.10C.11D.124．一个退休职工每年获得一份退休金，金额与他服务的年数的平方根成正比，如果多服务a 年，他的退休金会比原来多p 元，如果他多服务b 年()a b ≠，他的退休金会比原来多q 元，那么他每年的退休金是A.()b a q p --222B.()abq p 22- C.()bq ap bq ap --222 D.()aq bp bp aq --2225．已知向量()φφsin 2,cos 2=，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππφ,2，()1,0-=则向量与的夹角为A.φπ-23 B.φπ+2 C.2πφ- D.φ 6．圆心在抛物线)0(212<=x x y 上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为A.041222=+--+y x y x B.01222=+-++y x y xC.041222=+-++y x y x D.01222=+--+y x y x7．设βα,是实系数方程022=++b ax x 的两根，且()1,0∈α，()2,1∈β，则12--a b 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41B.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,218．已知函数)(x f y =对任意实数都有)1()(),()(+-==-x f x f x f x f 且在[0，1]上是单调递增，则A.⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛573727f f f B.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛372757f f f C.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛572737f f f D.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛273757f f f9．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知1:2::::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的A.2923B.2729C.2723D.313010．若不等式a x x >--+|2||1|在R x ∈上有解，则a 的取值范围是 A.()3,3- B.()3,-∞- C.(]3,3- D.()3,∞- 11．已知函数)(x f 的定义域为R ，它的反函数为)(1x f-，如果)(1a x f +-与)(a x f +互为反函数，且a a f =)(（a 为非零常数），则)2(a f 的值为A.a -B.0C.aD.a 212．已知某正项等差数列{}n a ，若存在常数t ，使得n n ta a =2对一切*N n ∈成立，则t 的集合是A.{}1B.{}2,1C.{}2D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21数学易错题集锦（三）1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分组方法的种数是A.30种B.60种C.120种D.240种 2．已知正三角形ABC 的边长为335，则到这个三角形的三个顶点的距离都为1的平面有 A.2个 B.3个 C.5个 D.8个3．已知抛物线x y 42=的顶点为O ，抛物线上B A ,两点满足0=⋅，则点O 到直线AB 的最大距离为A.1B.2C.3D.4 4．设)(x f 在0x 可导，则kk x f k x f k 2)()(lim000--+→等于A.)(20x f 'B.)(210x f ' C.)(0x f ' D.0 SFCB AD E5．实系数一元二次方程022=+-b ax x 的两根分别有区间()1,0和()2,1上，则b a 32+的取值范围是 A.()9,4 B.()9,2 C.()4,2 D.()2,4--6．已知0≠ab ，点()b a M ,是圆222r y x =+内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2r by ax =+，则下列结论正确的是A.l m //，且l 与圆相切B.l m ⊥，且l 与圆相切C.l m //，且l 与圆相离D.l m ⊥，且l 与圆相离7．已知0>a 且1≠a ，x a x x f -=2)(，当()1,1-∈x 时均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围是A.[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,221,0 B.]4,1()1,41[ C.]2,1()1,21[ D.),4[]41,0(+∞8．已知函数⎩⎨⎧>+<+=)0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0x f x →存在，则=-)2('fA.2ln 4B.45 C.2- D.2ln 419．设偶函数||log )(b x x f a -=在)0,(-∞上递增，则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系A.)2()1(+>+b f a fB.)2()1(+=+b f a fC.)2()1(+<+b f a fD.不能确定 10．在一次射击比赛中，“某人连续射击了8次，只有4枪中靶，且其中3枪是连续命中的”，则这一事件发生的概率是A.645B.327C.647D.32511．设B A ,两点的坐标分别为()01，-，()01，，条件甲：0=⋅BC AC ；条件乙：点C 的坐标是方程122=+y x 的解。

2012年江苏省某校高考数学二模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x−2)i−y=−1+i，则x+y=________．2. 已知集合A=[1, 5)，B=(−∞, a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．3. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．4. 函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=________．5. 如图中的伪代码运行结果为________．6. 已知集合A={−2, 0, 1, 3}在平面直角坐标系中，点M(x, y)的坐标x∈A，y∈A．则点M 不在x轴上的概率是________．7. 在平面直角坐标系xoy中，直线ax+2y+3a=0和直线3x(a−1)y=a−7平行的充要条件是________．8. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α // β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l // m；③l // m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α // β其中正确命题的序号是________．9. 变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，设z=x2+y2，则z的取值范围是________．10. 已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=14，则S n=a1+a2+...+a n(n∈N∗)的取值范围是________．11. 一同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1−x)2(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)，请你参考这些信息，推知函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数是________．12. 如图，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若CDAB=√52，则椭圆的离心率为________．13. 已知圆O:x2+y2＝1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是_______ ．14. 设函数f(x)=e x+sinx，g(x)=13x．若存在x1，x2∈[0, +∞)使得f(x1)=g(x2)成立，则x2−x1的最小值是________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90∘，EB⊥平面ABCD，EF // AB，AB=2，BE=√3，EF=1，BC=√13，且M是BD的中点．（1）求证：EM // 平面ADF；（2）求证：平面BDE⊥平面ABEF；（3）求三棱锥A−DEF的体积．16. 已知函数f(x)=sinx+cos(x−π6)，x∈R．(I)求f(x)的单调增区间及f(x)图象的对称轴方程；(II)设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af(A−π6)，求角C的大小．17. 如图，已知曲线C:x2a2+y2=1(a>0)，曲线C与x轴相交于A、B两点，直线l过点B且与x轴垂直，点S是直线l上异于点B的任意一点，线段SA与曲线C 交于点T ，线段TB 与以线段SB 为直径的圆相交于点M ． （1）若点T 与点M 重合，求AT →⋅AS →的值； （2）若点O 、M 、S 三点共线，求曲线C 的方程．18. 满足一定条件的三角形如果周长和面积同时取得最小值（或最大值），则称此三角形为“周积三角形”．如图所示的△ABC 满足∠BAC =120∘，AD 是∠BAC 的平分线，且AD =1．设AB =x ，AC =y ． (I)将y 表示成x 的函数；(II)判断此三角形是否为“周积三角形”，并说明理由．19. 对任意x ∈R ，给定区间[k −12, k +12](k ∈z)，设函数f(x)表示实数x 与x 的给定区间内 整数之差的绝对值．（1）当x ∈[−12，12]时，求出f(x)的解析式；当x ∈[k −12, k +12](k ∈z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式；（2）求f(43)，f(−43)的值，判断函数f(x)(x ∈R)的奇偶性，并证明你的结论； （3）当e −12<a <1时，求方程f(x)−loga √x =0的实根．（要求说明理由e −12>12） 20. 已知某数列的前三项分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且前三项中任何两个数不在下表的同一列．若此数列是等差数列，记作{a n n （1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }的项和数列{b n }的项依次从小到大排列得到数列{c n }，数列{c n }的前n 项和为S n ，试求最大的自然数M ，使得当n ≤M 时，都有S n ≤2012．（3）若对任意n ∈N ，有a n+1b n +λb n b n+1≥a n b n+1成立，求实数λ的取值范围．21. [选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． A ．（选修4−1：几何证明选讲）过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB =7，∠ABP =∠ABC ，C 是圆上一点使得BC =5，求线段AB 的长． B ．（选修4−2：矩阵与变换）求曲线C:xy =1在矩阵[√22−√22√22√22]对应的变换作用下得到的曲线C′的方程． C ．（选修4−4：坐标系与参数方程）已知曲线C 1:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数）和曲线C 2:ρsin(θ−π4)=√2．(1)将两曲线方程分别化成普通方程；(2)求两曲线的交点坐标． D ．（选修4−5：不等式选讲）已知|x −a|<c4，|y −b|<c6，求证：|2x −3y −2a +3b|<c ．22. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，PA =AB ．（1）求直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值；（2）求平面PAB 与平面ACM 所成锐二面角的余弦值．23. 某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p ．；（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望Eξ．2012年江苏省某校高考数学二模试卷答案1. 42. [5, +∞)3. 204. 85. 60126. 34 7. a =3 8. ①③ 9. [2, 29]10. [4, 8)11. 212. 1213. √2+114. 315. 解：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．∵ △DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴ MN // AB，MN=12AB，又∵ EF // AB，EF=12AB，∴ MN // EF且MN=EF．得四边形MNFE为平行四边形，∴ EM // FN．又∵ FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴ EM // 平面ADF．…（2）∵ EB⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴ BD⊥EB∵ ∠ABD=90∘即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线∴ BD⊥平面ABEF∵ BD⊆平面BDE，∴ 平面BDE⊥平面ABEF；…（3）∵ BD⊥平面ABEF，即BD⊥平面AEF∴ BD是三棱锥D−AEF的高线Rt△BDC中，BD=√BC2−CD2=3，而△AEF面积S=12×EF×BE=√32因此可得三棱锥D−AEF的体积V=13S△AEF×BD=13×√32×3=√32∴ 三棱锥A−DEF的体积V A−DEF=V D−AEF=√32．…16. 解(1)f(x)=sinx+cos(x−π6)=sinx+√32cosx+12sinx=32sinx+√32cosx∴ f(x)=√3(sinxcosπ6+cosxsinπ6)=√3sin(x+π6)令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，(k∈Z)，得−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ单调增区间为[−2π3+2kπ, π3+2kπ]，(k∈Z)再设x+π6=π2+kπ，(k∈Z)，得x=π3+kπ，(k∈Z)，即为f(x)图象的对称轴方程；(2)∵ f(A −π6)=√3sin[(A −π6)+π6]=√3sinA ， ∴ b =2af(A −π6)=2√3asinA ，∵ b:a =sinB:sinA ，∴ sinB =2√3sinAsinA ，即2sinAcosA =2√3sinAsinA ∵ A 是三角形内角，sinA >0 ∴ 2cosA =2√3sinA ，得tanA =√33∵ A ∈(0, π)，∴ A =π6，得B =2A =π3 因此，C =π−(A +B)=π217. 解：（1）设T(x 0, y 0)，S(a, y 1)，则x 02a 2+y 02=1，所以y 02=1−x 02a 2由点A ，T ，S 共线有：y 0−0x 0+a=y 1−0a+a，得：y 1=2a x 0+a y 0，即S(a, 2ax 0+a y 0) 当点T 与点M 重合时，有BT ⊥AS ，k SA ⋅k BT =y 0x 0+a×y 0x 0−a=−1，得a =1．∴ AT →⋅AS →=AB 2=(2a)2=4；（2）以线段SB 为直径的圆相交于点M 点，又O 、M 、S 三点共线，知BM ⊥OS ，∴ BT ⊥OS∴ k SO ⋅k BT =2ax 0+a y 0a×y 0x0−a=−1，∴ a 2=2∴ 所求曲线C 的方程为x 22+y 2=1．18. 解：(1)由S △ABD +S △ACD =S △ABC 得12xsin60∘+12ysin60∘=12xysin120∘，∴ x +y =xy ，∴ y =x x−1(x >1)．(2)由(1)知x +y =xy ≥2√xy ，所以xy ≥4．令t =xy(t ≥4)，记△ABC 的周长为l(t)，则l(t)=AB +AC +BC =x +y +√x 2+y 2+xy =xy +√(xy)2−xy =t +√t 2−t ∵ l′(t)=1+2√t 2−t>0，函数l(t)是[4, +∞)上的增函数，所以当t =4(x =y =2)时，l(t)min =l(4)=4+2√3；记△ABC 的面积为m(t)，则m(t)=12xysin120∘=√34t ≥√3，当t =4(x =y =2)时，m(t)min =m(4)=√3．故△ABC 的周长和面积同时取得最小值，此三角形是“周积三角形”． 19. 解：（1）当x ∈[−12,12]时，由定义知：x 与0距离最近，f(x)=|x|，x ∈[−12,12]当x ∈[k −12, k +12](k ∈z)时，由定义知：k 为与x 最近的一个整数，故 f(x)=|x −k|，x ∈[k −12, k +12](k ∈z)； （2）f(43)=13，f(−43)=13判断f(x)是偶函数．对任何x ∈R ，函数f(x)都存在，且存在k ∈Z ，满足 k −12≤x ≤k +12，f(x)=|x −k|，由k −12≤x ≤k +12，可以得出−k −12≤−x ≤−k +12，即−x ∈[−k −12, −k +12]，由(I)的结论，f(−x)=|−x −(−k)|=|k −x|=|x −k|=f(x)， 即f(x)是偶函数．（3）解：f(x)−loga √x =0，即|x −k|−12log a x =0， ①当x >1时，|x −k|≥0>12log a x ，∴ |x −k|−12log a x =0没有大于1的实根；②容易验证x =1为方程|x −k|−12log a x =0的实根；③当12<x <1时，方程|x −k|−12log a x =0变为1−x −12log a x =0 设H(x)=12log a x −(1−x)(12<x <1) 则H′(x)=12xlna +1<12xlne −12+1=−1x +1<0，所以当12<x <1时，H(x)为减函数，H(x)>H(1)=0， 所以方程没有12<x <1的实根；④当0<x ≤12时，方程|x −k|−12log a x =0变为x −12log a x =0设G(x)=12log a x −x(0<x ≤12)，显然G(x)为减函数， ∴ G(x)≥G(12)=H(12)>0， 所以方程没有0<x ≤12的实根．综上可知，当e −12<a <1时，方程f(x)−loga √x =0有且仅有一个实根，实根为1．20. 解：（1）由条件得a 1=3，a 2=6，a 3=9，所以等差数列{a n }的公差d =3，通项公式a n =3n ；b 1=2，b 2=6，b 3=18，等比数列{b n }的公比q =3，通项公式b n =2⋅3n−1，n ∈N ∗． （2）当n ≥2时，b n =2⋅3n−1，而等差数列{a n }的公差d =3>0是递增的等差数列． a 35=105，a 36=108；b 4=54，b 5=162．∴ S 39=a 1+a 2+...+a 35+b 1+b 2+b 3+b 4=1970，S 40=a 1+a 2+...+a 36+b 1+b 2+b 3+b 4=2078， 故M =39．（3）由a n+1b n +λb n b n+1≥a n b n+1可得λ≥a nb n−a n+1b n+1．a nb n −a n+1b n+1=3n 2⋅3n−1−3n +32⋅3n =2n −12⋅3n−1(n ≥1, n ∈N ∗) 而当n ≥1时，2(n+1)−12⋅3(n+1)−1−2n−12⋅3n−1=−4(n−1)2⋅3n ≤0，数列{2n−12⋅3n−1}是递减数列，∴ 当n =1时，a n b n−a n+1b n+1取得最大项为12．∴ λ≥12．21. 解：A ：∵ ∠BAC =∠APB ，∠C =∠BAP ，∴ △PAB ∽△ACB ，∴AB BC=PB ABAB 2=PB ⋅BC =7×5=35，∴ AB =√35．B ：设P(x 0, y 0)为曲线xy =1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P ′(x ′0, y ′0)， 则有[x 0′y 0]=[√22−√22√22√22] [x 0y 0]，∴ x 0′=√22(x 0−y 0)，y 0′=√22(x 0+y 0)，即x 0=√22(x 0′+y 0′)，y 0=√22（y 0′−x 0′ ）．再由x 0⋅y 0=1可得(y 0′)2−(x 0′)2=2，故的曲线C′的方程为y 2−x 2=1．C ：(1)把曲线C 1:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），利用同角三角函数基本关系化为普通方程为x 29+y 24=1．把曲线C 2:ρsin(θ−π4)=√2 即√22ρsinθ−√22cosθ=√2，化为直角坐标为x −y +2=0．(2)由{x −y +2=0x 29+y 24=1 解得{x =0y =2，或 {x =−3613y =−1013，故两曲线的交点坐标为(0, 2)或(−3613, −1013)．D ：∵ 已知|x −a|<c4，|y −b|<c6，∴ |2x −2a|<c2，|3y −3b|<c2，∴ |2x −2a|+|3y −3b|<c ．再由|2x −3y −2a +3b|=|(2x −2a)−(3y −3b)|≤|2x −2a|+|3y −3b|， 可得|2x −3y −2a +3b|<c ．22. 解：（1）设PA =AB =2a ，D 到平面AMC 的距离为d ，则AM =DM =√2a ，CM =√6a ，AD =DC =2a ，AC =2√2a ，∵ AM 2+CM 2=AC 2，∴ AM ⊥CM∴ S △AMC =12×√2a ×√6a =√3a 2∵ S △ADC =2a 2∴ 由V M−ADC =V D−AMC 可得13×2a 2×a =13×√3a 2×d∴ d =2√33a∵ AD =2a ，∴ 直线AD 与平面ACM 所成角的正弦值为√33 ∵ AD // BC ，∴ 直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值为√33；（2）过M 作ME ⊥PA ，垂足为E ，连接BE ，则△ABE 为△ACM 在平面PAB 中的射影 ∵ AB =2a ，AE =a ，∴ S △ABE =a 2 ∵ S △AMC =√3a 2∴ 平面PAB 与平面ACM 所成锐二面角的余弦值为S△ABE S △AMC=√33． 23. 解：（1）由题意，得(1−p 1)(p 1+18)=932，p 1=14或58．因为p 1>12，所以p 1=58，即小李第一次参加考核就合格的概率p 1=58． （2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以，P(ξ=1)=58，P(ξ=2)=932，P(ξ=3)=(1−58)(1−34)×78=21256P(ξ=4)=(1−58)(1−34)(1−78)×1=3256所求分布列为：由上可知，Eξ=1×58+2×932+3×21256+4×3256=379256。

2012江苏高考数学试卷答案与解析一.填空题：1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1. 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视． 3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a从而 8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5【解析】根据循环结构的流程图，当1=k 时，此时0452=+-k k ；不满足条件，继续执行循环体，当2=k 时，6452-=+-k k ；不满足条件，继续执行循环，当3=k 时，2452-=+-k k 不满足条件，然后依次出现同样的结果，当5=k 时，此时4452=+-k k ，此时满足条件跳出循环，输出k 的值为5．【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程． 5. 函数6()12log f x x -的定义域为 ▲ ． 【答案】(6【解析】根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(6 .【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【答案】36cmDABC1C 1D 1A1BOD1A1C1B1ACD B【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cmAA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积316cm 3V =⨯=.【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x 轴上（否则不成立），因此m ＞0，由离心率公式得到542=++mm m ，解得 2=m . 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9. 如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．【答案】2【解析】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos 0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF →→→→→→→→→→→→→→•=•+=•+•=•=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+•+=•︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ， 又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ． 【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα， 因为0)32cos( πα+，所以25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为 a x x c b x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]7,e 【解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5cos 5C =，求A 的值． 【答案及解析】【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 【答案及解析】【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化． 17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案及解析】x （千米）y （千米）O（第17题）【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛ ⎝，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AFABPO1F2Fxy （第19题）与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值． 【答案及解析】【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF 平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a b a n a b *++=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案与解析】【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．求证：E C∠=∠．AE BDCO【答案与解析】【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．【答案与解析】【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式（第21-A题）与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题． C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案与解析】【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案与解析】【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若nP x A ∈，则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 【答案与解析】【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。

2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。

参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。

．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π3的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。

2012高考试题2012江苏高考数学试卷高考试题先睹为快见多识广开拓视野2012江苏高考数学试卷非选择题第1题-第20题共20题。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

参考公式1样本数据x1 x2 �6�7xn 的方差s2ni11nxi -x2其中nii11xn. 22直棱柱的侧面积Sch 其中c为底面积h 为高. 3棱柱的体积V Sh 其中S为底面积h 为高. 一.填空题本大题共14小题每小题5分共计70分请把答案填写在答题卡的相应位置上。

1、已知集合2014221BA 则_______BA 2、函数12log5xxf的单调增区间是__________3、设复数i满足izi231i是虚数单位则z的实部是_________4、根据如图所示的伪代码当输入ba分别为23时最后输出的m的值是________ Read ab If agtb Then ma Else mb End If Print m5、从1234这四个数中一次随机取两个数则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是106856则该组数据的方差___2s7、已知24tanx 则xx2tantan的值为__________8、在平面直角坐标系xOy中过坐标原点的一条直线与函数xxf2的图象交于P、Q两点则线段PQ长的最小值是________9、函数sinwAwxAxf是常数00wA的部分图象如图所示则____0f 3127 2高考试题先睹为快见多识广开拓视野10、已知21ee 是夹角为32的两个单位向量22121eekbeea 若0ba则k的值为11、已知实数0a函数1212xaxxaxxf若11afaf则a的值为________ 12、在平面直角坐标系xOy中已知点P是函数0xexfx的图象上的动点该图象在P处的切线l交y轴于点M 过点P作l的垂线交y轴于点N设线段MN的中点的纵坐标为t则t的最大值是_____________ 13、设7211aaa其中7531aaaa成公比为q的等比数列642aaa成公差为1的等差数列则q的最小值是________ 14、设集合22222RyxmyxmyxA 122RyxmyxmyxB 若BA 则实数m的取值范围是______________ 二、解答题本大题共6小题共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

高考模拟考试数学试题（三）1.已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，{}R x x y y B ∈==,，则=B A I .2. “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的条件3. 将函数sin(2)3y x π=-的图像先向左平移3π，然后将所得图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像对应的函数解析式为_______________4. 若抛物线)0(22>-=p px y 的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合,则p ＝5. 函数()2f x x lnx =--在定义域内零点的个数为6. 已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1, 3），则b 的值为7、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和 直线2l 的距离之和的最小值为．8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则a ＝．9、右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．10. 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且， 则122a b--的上确界为______________． 11. 如图，正方体AC 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM =31AB ，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy 中，动点P 的轨迹方程是_______________． 12. 设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++L ，1(0)2f =，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a =．13.奇函数f (x )在[－1，1]是单调增函数，又f (－1)=－1, 则满足f (x )≤t 2＋2at ＋1对所 有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的范围是.Y 结束 甲8 99 8 01 2 3 3 79乙 开始 0,1T i ←← (1)i T T a a a Z ←+>∈且 输出T 200T >N 1i i ←+14.已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =u u u r ，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r ，记PA u u u r、PB u u u r 、PC u u u r中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是 .15、在直角坐标系中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：22y x =(x ≥0)．⑴求sin()6πα+的值；⑵若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ =4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．16、如图．在组合体中，1111ABCD A B C D -是一个长方体，P ABCD -是一个四棱锥，且2,AB P =∈平面11CC D D ，2PD PC AD ===．⑴求证：PD PBC ⊥平面；⑵若1AA a =，当a 为何值时，PC ∥平面1AB D ； ⑶求点C 到平面PAB 的距离；17、某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a x -和x 的乘积成正比；②2ax =时，2y a =；③02()x t a x ≤≤-，其中为常数，且[0,1]t ∈。

2012江苏高考数学试题（正文）2012年江苏高考数学试题是江苏省高考中的一套数学试卷，共分为两个部分：选择题和非选择题。

本文将按照试题的顺序，逐一进行解析。

第一部分：选择题第1至8题，每小题4分，共32分。

1. 在平面直角坐标系xy中，抛物线C: y = ax^2 + 3分析：首先，由方程 y = ax^2 + 3 可知，该抛物线的对称轴为y轴，对称中心为点(0, 3)。

当x = 0 时，y = 3，即抛物线经过点(0, 3)。

由此可得，答案为B。

2. 设函数 f(x) = log2（x-2） - log2（x+1），其中x > 2.分析：根据对数的计算法则，f(x) = log2（x-2） - log2（x+1）可简化为 f(x) = log2（(x-2)/(x+1)）。

要使函数有意义，需要满足 (x-2) > 0 和 (x+1) > 0。

解得 x > 2。

由此可得，答案为D。

3. 已知函数 f(x) = |x - 2| - 3x.分析：首先，求函数的定义域。

由于 f(x) 中包含 |x - 2|， |x - 2| >= 0，所以 f(x) 有意义时，-3x >= 0。

解得 x <= 0。

另外，当 x < 2 时，f(x) = (2 - x) - 3x = -4x + 2。

当 x >= 2 时，f(x) = (x - 2) - 3x = -2x - 2。

综上所述，答案为A。

依此类推，对第4至8题逐一进行解析。

第二部分：非选择题第9至12题，每小题12分，共48分。

9. 已知一组数据：10，8，2，5，7。

分析：首先，计算数据的平均数。

平均数 = (10 + 8 + 2 + 5 + 7) / 5 = 32 / 5 = 6.4。

然后，计算数据的众数。

将数据从小到大排列为：2，5，7，8，10。

可以看出，数据中没有重复的数字，因此众数不存在。

最后，计算数据的中位数。

江苏省江阴市澄西中学2012-2013学年高一期末复习（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2，4}，则A ∩B ＝▲_________． 2．计算：sin210°的值为▲_________．3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为▲_________． 4．计算：2lg 2＋lg5的值为▲_________．5．已知a ＝30.2，b ＝0.32，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系为▲_________．(用“＜”)6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ＜1，x 2＋x ，x ≥1，则f (f (0))的值为▲_________．7．对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝log a (x －2)＋1的图象恒过点▲_________．(写出点的坐标)8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜ϕ≤π)的 部分图象如图所示，与x 轴的两个交点的横坐标分别为5π24，7π8，则函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离是▲_________． 9．在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，且CD ＝2BD ．设→AB ＝a ，→AC ＝b ，则→AD ＝▲_________．(用a ，b 表示)10．函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为▲_________．11．若函数y ＝|log 2x |在区间(0，a ]上单调递减，则实数a 的取值范围是▲_________． 12．将函数y ＝sin x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象沿着x 轴的正方向平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为▲_________．13．给出下列四个函数：①y ＝x ＋sin x ；②y ＝x 2－cos x ；③y ＝2x －2－x ；④y ＝e x ＋ln x ，其中既是奇函数，又在区间(0，1)上单调的函数是▲_________．(写出所有满足条件的函数的ABC第9题图D第8题图序号)14．设定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )＞0，且f (1)＝2．若对任意的x ∈[－3，3]都有f (x )≤a ，则实数a 的取值范围为▲_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)设向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k )．(1)当a ⊥b 时，求实数k 的值；(2)当a ∥b 时，求实数k 的值．16．(本小题满分14分)已知tan α＝3．(1)求sin α＋cos αsin α－cos α的值；(2)若π＜α＜3π2，求cos α－sin α的值．17．(本小题满分14分)已知向量e 1，e 2的夹角为120o ，且|e 1|＝2，|e 2|＝3．若a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2， (1)求a ＋2b ；(用e 1，e 2表示)，(2)求|a |的值．18．(本小题满分16分)已知函数f(x)是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x＋x－3．(1)求f(－1)的值；(2)求函数f(x)的表达式；(3)求证：方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．19．(本小题满分16分)下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．时刻0∶00 3∶00 6∶00 9∶00 12∶00 15∶00 18∶00 21∶00 24∶00水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0(1)若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝A sin(ωt)＋b(其中A＞0，ω＞0，b∈R)来近似描述，求A，ω，b的值；(2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙(船底与海底的距离)，试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口？20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．(3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．17．解(1)因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，所以a＋2b＝2e1＋e2＋2(e1－2e2)＝4e1－3e2．………………………………4分(2)因为向量e1，e2的夹角为120o，且|e1|＝2，|e2|＝3，所以a2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝4×22＋4×2×3cos120o＋32＝13，………8分所以|a|＝13．……………………………10分18．解(1)因为函数f(x)是实数集R上的奇函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝－f(x)．所以f(－1)＝－f(1)．因为当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3，所以f (1)＝log 21＋1－3＝－2．所以 f (－1)＝－f (1)＝2． …………………3分 (2)当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＋(－x )－3＝log 2(－x )－x －3． 所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．所以 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(－x )＋x ＋3，x ＜0，0，x ＝0，log 2x ＋x －3，x ＞0． ……………6分(3)因为f (2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2．又方程f (x )＝0可化为log 2x ＝3－x ． 设函数g (x )＝log 2x ，h (x )＝3－x ．由于g (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，h (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数， 所以，方程g (x )＝h (x ) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．所以，方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解． ……………10分 说明：指出有解2分，指出单调性2分．19．解 (1)由题知，A ＝3，b ＝5，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6． ………………4分(2)由(1)得y ＝3sin(π6t )＋5（0≤x ≤24）．货船需要的安全水深为4＋2.5＝6.5(m)，所以当y ≥6.5时，货船就可以进港． 方法一 由3sin(π6t )＋5≥6.5，得sin(π6t )≥12．因为0≤π6t ≤4π，所以π6≤π6t ≤5π6，或13π6≤π6t ≤17π6，解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17．答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． ……10分 方法二 由3sin(π6t )＋5＝6.5，得sin(π6t )＝12．如图，在区间[0，12]内，函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点A ，B ，因此π6t A ＝π6或π－π6t B ＝π6，解得t A ＝1，t B ＝5．在区间[12，24]内，设函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点C ， D ． 由函数的周期性，易得t C ＝12＋1＝13，t D ＝12＋5＝17．答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． ………10分 说明：缺答扣1分．20．解 因为f (x )＝x 2－2tx ＋2＝(x －t )2＋2－t 2，所以f (x )在区间(－∞，t ]上单调减，在区间[t，∞)上单调增，且对任意的x∈R，都有f(t＋x)＝f(t－x)，(1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1．①当x∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．所以f(x)的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．所以f(x)的取值范围为[1，10]；所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．…………………3分(2)“对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5”．若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，所以f(x)在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增．当1≤a＋1，即a≥0时，。