一次函数图象平移的探究
我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；
当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？
【探究一】函数图像的上下平移
我们先从一些具体的函数关系开始.
问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．
分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．
问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．
答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现：
将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；
将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？)
我们再来探究一般情况.
问题3已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．
简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m．
问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．
答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成)
由此我们得到：
直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，
直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，
这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．
这个规律可以简记为：函数值：上加下减
以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？
【探究二】函数图像的左右平移
问题5已知直线l：y=3x-12，将直线l向左平移5个单位长度得到直线l1，
求直线l1的解析式．
简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k相等”，可设直线l1的
解析式为y=3x+b，直线l交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，
0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线l1的解析式为y=3x+3．
问题6 已知直线l：y=3x-12，将直线l向右平移3个单位长度得到直线l2，
求直线l2的解析式．
答案：直线l2的解析式为y=3x-21．(解答过程请同学们自己完成)
直接观察结果，很难发现其中的一般规律，那么我们尝试着探究一般情况.
问题7 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向左平移n 个单位长度得到直线l 1，求直线l 1的解析式．
简解：设直线l 1的解析式为y=kx+p ，直线l 交x 轴于点(,0)b k
- ，向左平移n 个单位长度后变为(,0)b n k --，把(,0)b n k
--坐标代入l 1的解析式可得0()b k n p k
=--+，p=kn+b ．从而直线l 1的解析式为y=kx+km+b ，即y=k (x+m )+b ． 问题8 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向右平移n 个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式．
答案：直线l 2的解析式为y=k (x -m )+b ．(解答过程请同学们自己完成) 通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的函数关系来验证一下我们得到的规律.
将直线l ：y=3x -12向左平移5个单位长度得到直线l 1的解析式为：y=3x +3，这个函数关系可以改写为：y=3(x +5)-12；
将直线l ：y=3x -12向右平移3个单位长度得到直线l 2的解析式为：y=3x -21，这个函数关系可以改写为：y=3(x -3)-12.
由此我们得到：
直线y=kx+b 向左平移n （n 为正）个单位长度得到直线y=k (x+n )+b ， 直线y=kx+b 向右平移n （n 为正）个单位长度得到直线y=k (x -n )+b ， 这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．
这个规律可以简记为：自变量：左加右减
总结：一次函数图像平移的规律
函数值：上加下减；自变量：左加右减.
※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律.
下面，我们对直线(0)y kx b k =+≠在平移规律中”左加右减”作一点解释.
我们知道，对于直线(0)y kx b k =+≠上的任意一点的坐标可以表示为
(,)x kx b +，反过来我们可以先将y kx b =+变一下形，得到：y b x k k
=- ，则此时直线上任意一点的坐标就可以表示为(,)y b y k k
-，由左右平移横坐标会发生变化，不改变纵坐标大小(即令y 恒定).
由此可知：如果一次函数图象向右移平移了n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -+ ，即 y b x n k k
=-+，化成一般可得kx y b kn =-+，变形可得y k b x n -=+（）式 所以“右减”.
同理，如果一次函数的图象向左平移n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -- ，即 y b x n k k
=--，化成一般可得kx y b kn =--，变形可得y k b x n +=+（）式 所以“左加”.
如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出，当函数图象向左或向右平移n 个单位时，函数图象在x 轴上的截距减小或增大n 个
单位，而在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加n个单位。而是当x 轴上的截距每减小n个单位，y轴上的截距反而增加kn个单位；当x轴上的截距每增大n个单位，y轴上的截距反而减小kn个单位.
例如：函数y=2x-2，
在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为-2.
将函数向左平移3个单位以后，
x轴上的截距减小3个单位变为-2，
y轴上的截距增加了2ⅹ3个单位，变为4.
最终得到的函数为y=2x-2+2ⅹ3，即y=2x+4
最终我们可以得到：
函数图象向左平移n个单位，得到的函数为y kx b km
（），
=++
函数图象向右平移n个单位，得到的函数为y kx b km
（）.
=+-
一次函数图象平移的探究 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？ 【探究一】函数图像的上下平移 我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1． 问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现： 将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m． 问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到： 直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m， 直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m， 这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：函数值：上加下减 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移
函数图像平移公式 设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有： 1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=- 2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+ 3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=- 4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+ 这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减” 说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。 例一、 抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线 的解析式。 解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422 ---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y 即371622---=x x y 例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。 解：所求抛物线可以看成是将抛物线322 +-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y 例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式 解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
一次函数图像平移的探 究 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一次函数图像平移的探究 我们知道，一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b ，它可以看作由直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到(当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx 平移∣b ∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x 向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x 向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x -1．需要注意的是，函数图像的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图像的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即反比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图像又该怎样进行平移呢让我们一起进行探究： 问题1 已知直线1l ：y=2x -3，将直线1l 向上平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式． 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线2l 的解析式为y=2x+ b ，由于直线2l 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直线1l 与两条坐标轴分别交于两点，而直线1l 与y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线2l 的解析式可求． 解：设直线2l 的解析式为y=2x+b ，直线1l 交y 轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b ，得b =-1，从而直线2l 的解析式为y=2x -1．
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
求一次函数解析式----对称 若直线2l 与直线1l y k x b =+关于 （1）x 轴对称，则直线2l 的解析式为y kx b =-- 解：设直线2l 上的某一点A （x,y ）,则点A 关于x 轴对称的点一定在直线1l y k x b =+上， 假设是点B ，那么B 点的坐标是（x, -y ）,然后把点B 的坐标值代入它所在的 直线1l y k x b =+上，即得2l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线2l 的解析式为y kx b =-+ （3）原点对称，则直线2l 的解析式为y k x b =- （4）直线y ＝x 对称，则直线2l 的解析式为y k x b k =- 1 （5）直线y x =-对称，则直线2l 的解析式为y k x b k =+ 1 （6）直线y ＝2对称，则直线2l 的解析式为?
一次函数图象平移的三种类型 求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行 ?12k k =. 一、一次函数平移的三种方式： ⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减. ⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减. ⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题： （1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是___. （2）直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是___. （3）如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴 于B ，将直线A B 沿射线OC 方向平移 32个单位，求平移后的直线的解析式． 【解析】根据平移规律，很容易的解决前两道题， （1）题中 - ，21221y x x =+-=-； （2）题中2(2)123y x x =-+=-. ⑶题中首先过B 作'B B ∥OC ，然后过'B 作'B D x ⊥轴于D ， ∵'32BB =，∴'3B D B D ==.直线21y x =+与x 轴的交点坐标为1(,0)2 -，∴52 O D =. ∴'B 坐标为5 (,3)2，设平移后解析式为2y x b =+，把5,32 x y = =代入得2b =-， ∴解析式为22y x =-. x 21 y x =+ A B C O y x = y 'B D
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，
再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y
一次函数图像的平移练习题 一选择题 1.一次函数y=x图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是 （） A．y=x﹣2 B．y=2x C．y=1.5x D．y=x+2 2.一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是（） A．y=2x+2 B．y=2x-3 C．y=2x+1 D．y=2x-1 3.一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（） A．y=2x-3 B．y=2x+2 C．y=2x+1 D．y=2x 4.正比例函数y=2x的图象沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向上平移3个单位，得图象的函数解析式为（） A．y=2x-4 B．y=2x+4 C．y=2x-1 D．y=2x+1 5.把直线y=-x+3沿y轴向下平移2个单位所得函数的解析式为（） A．y=-3x+3 B．y=-x+5 C．y=-x+1 D．y=x+1 6.将直线y=-3x+1沿y轴向上平移3个单位，得图象的函数解析式为（） A．y=-3x-2 B．y=-3x+4 C．y=-3x-1 D．y=-3x
7.直线y=-2x+1沿y轴向上平移2个单位，再沿x轴向左平移3个单位所得直线的解析式为（） A y=-2x-5 B y=2x-5 C y=-2x-3 D y=2x-3 8.如图，把直线y=-2x向上平移后得到直线AB，直线AB过点（m，n），且2m+n=3，则直线AB的函数表达式是（） A．y=-2x+3 B．y=-2x-3 C．y=-2x+6 D．y=-2x-6 9.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（） A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1 10.把直线y＝kx＋b向上平移2个单位，得到的直线y＝－3x＋m与函数y＝－5x－2的图像交于y轴上，则k,b分别是（）A -2，-3 B -3，-4 C -3，-5 D -2，-6 二填空题 1.一次函数y=-2x+p的图象一次平移后经过点A（-1，y1）、B（-2，y2），则y1____y2（填“＞”、“＜”、“=”） 2.已知函数y＝k／x 的图象经过点(4，1／2 )，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），则平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标为________ 3.将一次函数y=2x+3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后的函数表达式为________
一次函数图像的平移练习题 一 选择题 1.一次函数y=x 图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是 （ ） A ．y=x ﹣2 B ．y=2x C ．y=1.5x D ．y=x+2 2.一次函数y=2x+3的图象沿y 轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ） A ．y=2x+2 B ．y=2x-3 C ．y=2x+1 D ．y=2x-1 3.一次函数y=2x+3的图象沿y 轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ） A ．y=2x-3 B ．y=2x+2 C ．y=2x+1 D ．y=2x 4.正比例函数y=2x 的图象沿x 轴向右平移2个单位，沿y 轴向上平移3个单位，得图象的函数解析式为（ ） A ．y=2x-4 B ．y=2x+4 C ．y=2x-1 D ．y=2x+1 5.把直线y=-x+3沿y 轴向下平移2个单位所得函数的解析式为（ ） A ．y=-3x+3 B ．y=-x+5 C ．y=-x+1 D ．y=x+1 6.将直线y=-3x+1沿y 轴向上平移3个单位，得图象的函数解析式为（ ） A ．y=-3x-2 B ．y=-3x+4 C ．y=-3x-1 D ．y=-3x 7.直线y=-2x+1沿y 轴向上平移2个单位，再沿x 轴向左平移3个单位所得直线的解析式为（ ） A y=-2x-5 B y=2x-5 C y=-2x-3 D y=2x-3 8.如图，把直线y=-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 过点（m ，n ），且2m+n=3，则直线AB 的函数表达式是（ ） A ．y=-2x+3 B ．y=-2x-3 C ．y=-2x+6 D ．y=-2x-6 9.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ） A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-1 10.把直线y ＝kx ＋b 向上平移2个单位，得到的直线y ＝－3x ＋m 与函数y ＝－5x －2的图像交于y 轴上，则k,b 分别是（ ）A -2，-3 B -3，-4 C -3，-5 D -2，-6 二 填空题 1.一次函数y=-2x+p 的图象一次平移后经过点A （-1，y 1）、B （-2，y 2），则y 1____y 2（填“＞”、“＜”、“=”） 2.已知函数y ＝k ／x 的图象经过点(4，1／2 )，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），则平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为________ 3.将一次函数y=2x+3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后的函数表达式为________ 4.一次函数y=（x ?2）／3的图象可以看作是直线y=x ／3向_______平移_______个单位长度得到的，它的图象不经过第_______象限 5.若一次函数y=-2x+1的图象经过平移后经过点（2，5），则需将此图象向_______平移_______单位． 6.将一次函数y=kx+5（k ≠0）的图象向下平移5个单位后，所得直线的解析式为______________，平移后的直线经过点（5，-10），则平移后的解析式为______________ 7.一次函数y=kx+b 的图象经过点A （0，1），B （3，0），若将该图象沿着x 轴向左平移4个单位，则此图象沿y 轴向下平移了______单位 8.把一次函数y=2x-1沿x 轴向左平移1个单位，得到的直线解析式是 9.直线y=4 3 x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线 10.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=________ 11.过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________ 12.已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，则k 、b 的值分别为_________ 13.将y=2x+1的图像沿y 轴向上平移3个单位得到的直线解析式是 ；再沿x 轴向右平移2个单位得到的直线解析式是 14.直线y=-0.5x+3，y=-0.5x-5和y=-0.5x 的位置关系是 15.与直线y= -3x+7关于y 轴对称的直线解析式为： ；与直线y= -3x+7关于x 轴对称的直线的解析式为： ；与直线x+1=4y+3x 关于y 轴对称的直线解析式为： ；与直线x+1=4y+3x 关于x 轴对称的直线解析式为： 三 解答题 1.己知y+m 与x-n 成正比例，①试说明：y 是x 的一次函数；②若x=2时，y=3；x=1时，y=-5，求函数关系式；③将②中所得的函数图象平移，使它过点（2，-1），求平移后的直线的解析式
适用八年级 一次函数图象“平移”规律 函数的图象及其解析式，是从“形”与“数”两个方面反映函数的性质，也是初中数学中数形结合思想方法的重要体现．在平面直角坐标系内，当一次函数图象发生平移（平行移动）时与之相对应的解析式也随之会改变，本文就其变化规律归纳如下，仅供同学们学习时参考． 直线的平移与其解析式y kx b k =+≠()0的关系： ① 直线y kx b k =+≠()0平移时，系数k 的值保持不变． ② 直线y kx b k =+≠()0向上或向下平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y kx b m =++或y kx b m =+-，这时可简记为“上加（＋） ，下减（－）”． ③ 直线y kx b k =+≠()0向左或向右平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y k x m b =++()或y k x m b =-+()，这时可简记为“左加（＋） ，右减（－）”． 例1．（2008年上海市）在图1，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像， 那么这个一次函数的解析式是 ． 【分析】通过观察图象可求出直线OA 的解析式，再根据上面平移与解 析式之间的关系进行解答． 解：设OA 的解析式为：y kx =，因OA 过A （2，4）， 所以4＝2k ,解得k ＝2， 所以OA 的解析式为：2y x =，上移一个单位后， 解析式为：21y x =+． 例2．把直线y x =-+21平行移动后过点A ()-42，，求平移后的直线解析式，并说明是向上还是向下平移几个单位得到的． 【分析】因知道直线平移过点A ()-42，，而平移系数k 不改变．所以可设解析式为：y x b =-+2，进而求b ． 解析：根据题意可设所求的直线为：y x b =-+2； 由A ()-42，在此直线上，得 2＝－2×(－4)＋b ，解得b ＝－6． 故所求直线为y x =--26， 由y x =-+21得y x =-+-217知可将原直线向下平移7个单位得到． 请同学们再思考一下：若直线y x =-+21左右平行移动后能否过点A ()-42，呢？请说明理由． 参考答案：设y x m =-++21()，由A ()-42，，求得m ＝72 ．所以由y x =-+21得26y x =--知可将原直线向左平移72个单位．
一次函数图像的平移 函数y＝kx＋b上的每个点（x,y） 一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m，函数就变成了y＝k（x+m）＋b 二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m，函数就变成了y＝k（x-m）＋b 三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n，函数就变成了y＝kx＋b+n 四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n，函数就变成了y＝kx＋b-n 一次函数y=kx+b平移的规律：“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是x进行加减。例如：y=2x+1向上平移2个单位，向左平移3个单位，可得y=2（x+3）+1+2，最后函数为y=2x+9． 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b ＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢 问题1已知直线l 1：y=2x-3，将直线l 1 向上平移2个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l 2 的解析式为y=2x+ b， 由于直线l 2 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直 线l 1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l 1 与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线 l 2 的解析式可求． 解：设直线l 2的解析式为y=2x+b，直线l 1 交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为 (0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l 2 的解析式为y=2x-1． 问题2 已知直线l 1：y=2x-3，将直线l 1 向下平移2个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式 答案：直线l 2 的解析式为y=2x-5．(解答过程请同学们自己完成) 对比直线l 1和直线直线l 2 的解析式可以发现：将直线l 1 ：y=2x-3向上平移2个单位长度得到 直线l 2的解析式为：y=2x-3+2；将直线l 1 ：y=2x-3向下平移2个单位长度得到直线l 2 的解析式为： y=2x-3-2．(此时你有什么新发现) 问题3 已知直线l 1：y=kx+b，将直线l 1 向上平移m个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式 解：设直线l 2的解析式为y=kx+n，直线l 1 交y轴于点(0，b)，向上平移m个单位长度后变为 (0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l 2的解析式可得，n=b+m．从而直线l 2 的解析式为y=kx+b+m． 问题4已知直线l 1：y=kx+b，将直线l 1 向下平移m个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式 答案：直线l 2 的解析式为y=kx+b-m 由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b 向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律 这个规律可以简记为： 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢 问题5已知直线l 1：y=3x-12，将直线l 1 向左平移5个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式 解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l 2 的解析式为y=3x+b，直 线l 1 交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得 b=3，从而直线l 2 的解析式为y=3x+3 问题6 已知直线l 1：y=3x-12，将直线l 1 向右平移5个单位得到直线l 2 ，求直线l 2 的解析式． 答案：直线l 2 的解析式为y=3x-27
二次函数图像平移的一般解法 二次函数图象平移常见的方法是，将抛物线解析式通过配方写成顶点形式的表达式，根据在平移过程中顶点位置的变化，写出新抛物线的顶点坐标，从而确定出它的解析表达式．解题的困难在于需要较强的直观想象能力和快速画框架图能力和逆向逆向思维能力。而利用相对运动的知识，则可以得到一个解此类问题的十分简单明了的方法。. 1．平移规律 设在直角坐标系xoy中有一抛物线y＝f（x）,现将此抛物线向右平移（x轴的正方向）m（m＞0）个单位，再向上平移（y轴的正方向）n（n＞0）个单位。按照相对运动的观点，可以视抛抛物线未动,而将坐标系向相反方向平移，即y 轴向左平移m个单位，x轴向下平移n个单位，这样得到的新坐标系我们记为x′o′y′，（如图）为了叙述的方便我们将坐标系xoy下的点记为（x , y）, 新坐标系x′o′y′下的点记为（x′,y′），于是有 将这一关系式变形,可得 用新坐标（x′,y′）表示旧坐标（x , y）的表达式： 将此式代入抛物线的解析式y＝f（x）,得 y′－n＝f（x′－m） 这个式子就是抛物线在新坐系下x′o′y′中的的解析式。 考虑到题目中是要求将抛物线平移的，因而仍需将点（x′,y′）换成（x , y），于是我们就得到了平移之后的抛物线的解析式为y－n＝f（x－m）这样就可以得到一个规律：要获得把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式，只需将原抛物线的解析式y＝f（x）中的x, y分别用x－m, y－n替换即可． 类似地,可得： 把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x－m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式为y－n＝f（x＋m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x＋m） 这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加” 说明：利用这一规律写平移后的函数图象的解析式只需要考查是用x＋m 还是x－m 替换y＝f（x）中x，是用y＋n还是y－n替换y＝f（x）中y,使用起来很方便，此法也适用于直线等函数图象的平移。 ２．解题举例
函数图象中的旋转，平移，翻折问题 1（2017 荆州）将直线y=x+b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A （-1,2）关于轴的对称点落在平移后．．．的直线上，则的值为__________. 2（2017 广安）已知点P （1，2）关于x 轴的对称点为P ′，且P ′在直线y =kx +3上，把直线y =kx +3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ． 3（2016湖州）已知点P 在一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位， 再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y=kx+b 的图象上， k 的值是 ； 4 （2017 孝感）如图，将直线y x =- 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点()2,4A - ， 且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得PA PB +的值最小，则点P 的坐标 为 ． 5（2017 随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2个单位 长度得到点A ，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数k y x = 的图象于点B ，32 AB =. （1）求反比例函数的解析式； （2）若11(,)P x y 、22(,)Q x y 是该反比例函数图象上的两点，且12x x <时，12y y >，指出点P 、Q 各位于哪个象限？并简要说明理由． 6（2016 聊城）如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x 与反比例函数y=的图象交于关于原点 对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线y=﹣x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为 48，求平移后的直线的函数表达式． 7（2017 连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0A -的直线交y 轴正半轴于点B ，将直线AB 绕着点O 顺时针旋转90°后，分别与x 轴y 轴交于点D 、C .
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内） ,上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” I a |的大小决定抛物线开口的大小,| a |越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时抛物线交y轴于正半轴，反之在负半轴 a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次 项系数a是不变的 1、把抛物线y = -x2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（） A. y 二_(x -1)2 3 B. y = -(x 1)2 3 C. y 二-(x -1)2 -3 D. y = -(x 1)2 -3 根据左加右减、上加下减可得：B. y=「（x，1）2,3 2、将函数y=x2的图像向右平移a（a 0）个单位，得到函数y = x2-3x ? 2的图
再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： 2 2 y=(x+2-1) -4+3=x +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-l 的图象，则抛物线 y=-2x 2必须[] A.向上平移1个单位； B ?向下平移1个单位； C.向左平移1个单位； D .向右平移1个单位. 根据上加下减可得：B 5、 将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛 物 线解析式为 [ ] A. y=-3(x-1) 2-2 ; B. y=-3(x-1) 2+2; 2 2 C. y=-3(x+1) -2; D. y=-3(x+1) +2. 根据左加右减、上加下减可得： A. y=-3(x-1) 2-2 ; 11 1 6、 要从抛物线y =--x 2得到y = --(x ?1)2-3的图像，则抛物线 严仝必须 2 2 2 像, 则a 的值为（ ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由 : y 二 X 2 x=- 1 2 (x+ —)- 1 2 4 得: a_—-(-—) =2，所以选B 2 2 3、抛物线y =x 2 ? bx ? c 的图像向右平移 所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3 A.b=2， c=3 B.b=2 ，c=0 C.b=-2. ， c=-1 D.b=-3 ， 2Q +C/ 3\21 y 二 x _3x 2 =（x- ）-- 2 4 2个单位长度，再向下平移3个单位长度, 则b 、c 的值为（） 由 y=x 2-2x-3=(x-1) 2 -4，
《探索二次函数图像平移的规律》 发表时间：2012-01-12T08:44:18.537Z 来源：《教育学文摘》2012年01月总第47供稿作者：赵正杰 [导读] 本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的。 ——数学兴趣活动教学设计 ◆赵正杰陕西省洋县湑水初中723300 教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。 （2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。 2.过程与方法目标 经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数 y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。 3.情感与态度目标 （1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。 （2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。 教学重点与难点： 重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。 学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。 教学准备： 1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。 2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。 教学过程： 一、创设情境，引入课题 首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。 提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，比较美观。 师：请同学们拿出准备好的坐标纸、铅笔、尺子、练习本等（约二分钟）。 二、动手操作，课堂探究 1.先记录下这些二次函数的解析式：y=x2+1，y=(x+1)2+1，y=(x+2)2+1，y=(x+3)2+1，y=(x-1)2+1， y=(x-2)2+1,y=(x-3)2+1。 2.观察讨论这些函数解析式都有哪些特征？（约二分钟） 生：（1）二次项系数a的值都是1。 （2）它们都是配方式。 （3）配方后配方式中的k值都是1没变，只是h值发生了变化。 老师对同学们的回答表示肯定，也可能回答不全面，也可能有其他回答，老师加以引导。 师：请同学们在练习本上依次对以上7个二次函数进行列表。可两名同学分工合作，一名同学完成前4个，另一名同学完成后3个。（要求在对称轴两边各至少取三个值，约八分钟。） 师：请同学们按照前面的列表，依次在准备好的坐标纸上描点、连线，并一个一个地画出七个二次函数的图像（两名同学按照前面的分工一起合作完成），再在函数的图像边上标明它的解析式（提醒学生画完一个图像再画第二个，以免发生混淆，约八分钟）。 学生完成后，请同学们拿出细铁丝，在其中一个函数的图像上慢慢地弯成抛物线状，然后又移动到其它函数的图像上比一比，再与同组同学的交流一下，共同议一议。 师：（1）你发现了什么？ （2）想一想，上面的7个二次函数的解析式恢复成一般式后， a、h、k中只有谁没有发生变化？你能用自己的语言把探索出的结论说一下吗？（讨论后再回答） 生：我们所画的函数图像都是相同的。 生：当解析式变成一般式后，只有二次项系数a=1没有变。所以能够确定，当二次项系数a=1时抛物线的形状是相同的，与h、k的值无关。 师：同学们的发现很正确。那么a都是2或a都是3……抛物线的形状又将如何呢（请同学们课后探索。） 师：请同学们再把铁丝弯成的抛物线放到函数y=x2+1的图像上，先把抛物线水平向左平移一个单位，观察一下，得到了谁的图像？再
一次函数图象的平移变换问题的探究 所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下： （1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ） （4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反 之也成立. 下面我们来探索直线的平移问题. 【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x － 2的关系. 【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同 一平面直角坐标系中画出3个函数的图象（如图2l
1），观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一自变量的取值（不妨取x=0即直线与y 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的上方2个单位处，直线2l 在直线l 的下方2个单位处，因此，一次函数1l ：y=32x+2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿y 轴向上平移2个单位得到的；一次函数2l ：y=32x －2的图象可以看 作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿y 轴向下平移2个单位得到的. 【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线. 【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ． 分析：观察图像发现直线OA 是正比例函数 的图象，可设直线OA 的解析式为y=kx ，又点A （2，4）在函数图像上，所以4=2 k 即 k=2，又 一次函数的图像是由直线OA 向上平移1个单位得 到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1.