函数图象的平移变换

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。

要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。

三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。

②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。

③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

原题目：函数的图像与平移、翻折、伸缩变换函数的图像与平移、翻折、伸缩变换是数学中常见的概念。

通过对函数进行这些变换，我们可以改变函数图像的位置、形状和尺寸。

平移变换（___）平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。

平移变换可以向左、向右、向上或向下移动函数图像。

可以使用以下公式将函数平移：对于函数$f(x)$，水平平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$f(x-a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向左平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向右平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向上平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+b)+a$。

对于函数$y=f(x)$，向下平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-b)+a$。

翻折变换（___）翻折变换是指将函数的图像关于坐标轴进行对称的操作。

翻折变换可以关于x轴翻折、关于y轴翻折，或者关于原点进行翻折。

可以使用以下公式进行函数翻折：对于函数$y=f(x)$，关于x轴翻折后的函数为$y=-f(x)$。

对于函数$y=f(x)$，关于y轴翻折后的函数为$y=f(-x)$。

对于函数$y=f(x)$，关于原点翻折后的函数为$y=-f(-x)$。

伸缩变换（___）伸缩变换是指改变函数图像的尺寸的操作。

伸缩变换可以沿x轴方向或y轴方向进行。

可以使用以下公式进行函数的伸缩：对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向放大$a$倍后的函数为$y=f\left(\frac{x}{a}\right)$。

对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=f(ax)$。

对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向放大$a$倍后的函数为$y=af(x)$。

对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=\frac{1}{a}f(x)$。

高中数学函数的图像变形与平移技巧在高中数学中，函数的图像变形与平移是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。

掌握了这些技巧，不仅可以更好地理解函数的性质，还能够解决一些实际问题。

本文将通过具体的例题，详细介绍函数图像的变形与平移技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、函数图像的上下平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像上移h个单位，那么新的函数为y =f(x) + h。

同样地，如果我们将函数图像下移h个单位，那么新的函数为y = f(x) - h。

这里的h可以是任意实数。

举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其上移2个单位，那么新的函数为y =x^2 + 2。

这时，原来的抛物线图像上移了2个单位，变成了一个更高的抛物线。

同样地，如果我们将函数y = x^2下移2个单位，那么新的函数为y = x^2 - 2。

这时，原来的抛物线图像下移了2个单位，变成了一个更低的抛物线。

通过这个例子，我们可以看到，函数图像的上下平移只需要在原来的函数上加上或减去一个常数。

这个常数表示平移的距离，正数表示上移，负数表示下移。

二、函数图像的左右平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像左移k个单位，那么新的函数为y =f(x + k)。

同样地，如果我们将函数图像右移k个单位，那么新的函数为y = f(x - k)。

这里的k可以是任意实数。

举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其左移3个单位，那么新的函数为y = (x + 3)^2。

这时，原来的抛物线图像左移了3个单位，变成了一个更靠左的抛物线。

同样地，如果我们将函数y = x^2右移3个单位，那么新的函数为y = (x - 3)^2。

这时，原来的抛物线图像右移了3个单位，变成了一个更靠右的抛物线。

通过这个例子，我们可以看到，函数图像的左右平移只需要在原来的函数的自变量上加上或减去一个常数。

这个常数表示平移的距离，正数表示左移，负数表示右移。

三、函数图像的纵向伸缩与压缩考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像纵向伸缩a倍，那么新的函数为y = a * f(x)。