(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

一次函数图象的变换（一）——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。

知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。

我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。

平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。

设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。

教学·策略利用几何画板讲一次函数的图象与性质文|宗迎峰一次函数是学生首次学习，由于具有高度抽象性，给学生的学习带来一定难度。

一次函数探索过程中的数形结合思想，为学生以后学习二次函数、反比例函数以及其他函数提供了可以类比的研究途径。

在教学过程中若单纯使用传统教学手段，学生很难完全理解一次函数的图象与性质。

而利用几何画板不仅可以方便地画出一次函数的图象，学生还能通过动手操作体验到函数图象与性质随函数解析式变化而做出的相应改变，进一步提升信息素养。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对一次函数提出的学业要求是会根据一次函数的图象和表达式y=kx垣b（k≠0）探索并理解k值的变化对函数图象的影响，同时还提出，数学课堂上要利用数学专用软件开展数学实验。

一次函数的图象与性质取决于k值和b值，只从解析式角度去分析，显然不够直观，学生难以完全理解和掌握。

在正比例函数的基础上探索一次函数图象的平移变化，尽管学生也可以用描点法画出图象进行研究，但描出的点比较有限，图象不够精确。

同时，如果画出的图象数量过少，缺乏普遍意义，学生难以观察归纳出本质特征；如果画出的图象太多，又比较耗时。

而运用几何画板（5.06版）这一工具，通过演示对比正比例函数与一次函数，学生能够更好地体验数形结合的思想，并且在学习过程中感受“从特殊到一般”这一重要数学研究方法。

一、一次函数图象平移一次函数图象初中阶段只涉及上下平移，选择函数y=2x和函数y=2x+3进行研究，这两个函数解析式比较简单，便于计算和描点。

（一）从“数”的角度分析研究学生观察解析式的异同，思考：函数y=2x+3和函数y=2x相比，多了常数项3，当自变量取相同数值时，函数值会有什么差异？学生列表求值，x取一些特殊数值，计算两个函数对应的函数值，并对函数值进行对比，观察规律。

思考：当x取相同数值时，y=2x+3的函数值比y=2x多3，这在图象上会有什么样的表现？猜想函数y=2x和函数y=2x+3图象的关系。

初中数学精品微课教案--探究一次函数图象的平移问题微课制作者：十堰市郧阳区大柳乡初级中学：马吉利微课名称探究一次函数图象的平移问题知识点描述一次函数图象的平移变换与函数解析式之间的关系知识点来源学科：初中数学年级：八（下）教材：人教版章节：§19.2（教材扩充知识点）基础知识听本微课之前需了解的知识：待定系数法求一次函数解析式教学类型讲授型自主学习型适用对象学生：本微课针对本学科平时成绩80-100分的学生设计思路实验画图象得出结论→例题讲解方法→自主变式练习→微习题作业教学过程内容画面时间一、片头（30秒以内）引语：“同学们好，今天这节微课我们一起来探究一次函数图象平移问题的解决方案。

”几何画板课件“封面”页30秒以内二、正文讲解第一节内容：几何画板课件45秒（6分钟左右）引导学生在直角坐标系中作图得出结论：①如果2个一次函数解析式中的比例系数K相等，那么它们的图象（2条直线）互相平行；②如果2个一次函数的图象互相平行，那么这2个图象的解析式中的比例系数K相等。

“实验结论”页第二节内容：例1分析→讲解2种解题方法。

（例1：将一次函数y=1.5x+3的图象向上平移2个单位，求平移后直线的函数解析式。

）几何画板课件“例1（解法一）”页“例1（解法二）”页3 分第三节内容：例2解题方法指导。

（例2：将直线y=-x-1向左平移3个单位，求平移后直线的函数解析式。

）几何画板课件“例2”页90秒第四节内容：引导学生自主完成变式练习。

（变式：将一次函数y=2x+3的图象平移，使它经过点（2，-1），求平移后得到的直线的函数解析式。

）几何画板课件“变式练习”页1 分三、四、结尾（15秒以内）结语：“感谢你认真听完这个微课，相信通过这节微课的学习你已经能熟练解决一次函数图象的平移问题了。

谢谢大家，再见！”几何画板课件“结语”页15秒以内教学反思（自1、思路清晰明了，学生较易理解。

我评价）2、留给学生自主思考的时间还欠充足。

第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。

一次函数图象的平移【知识要点】1、直线)0(≠+=k b kx y 与直线)0(≠=k kx y 的位置关系：平行。

①当0b >时，把直线y kx =向上平移b 个单位，可得直线y kx b =+； ②当0b <时，把直线y kx =向下平移b 个单位，可得直线y kx b =+。

2、直线111b x k y +=与直线222b x k y +=（120,0k k ≠≠）的位置关系：①12k k ≠⇔1y 与2y 相交；②12k k ≠且12b b =⇔1y 与2y 相交于y 轴上同一点（0，1b ）或（0，2b ）； ③12k k =且12b b ≠⇔1y 与2y 平行； ④12k k =且12b b =⇔1y 与2y 重合。

3、平移的处理方法：直线y kx b =+与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

4、交点问题及直线围成的面积问题方法：①两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；②复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； ③往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。

【经典例题】【例1】①已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

②已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向下平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

思考：已知直线1l ：y kx b =+，将直线1l 向上（或向下）平移m (0)m >个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

【例2】①已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向左平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

②已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 知识点2、 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 、 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0，y）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x，y为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y 的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．。

一次函数图像的平移函数y＝kx＋b上的每个点x,y一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m,函数就变成了y＝kx+m＋b二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m,函数就变成了y＝kx-m＋b三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n,函数就变成了y＝kx＋b+n四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n,函数就变成了y＝kx＋b-n一次函数y=kx+b的规律：“上加下减,左加右减”,上下平移时在整体后面进行加减,左右平移时针对的是x进行加减;例如：y=2x+1向上平移2个单位,向左平移3个单位,可得y=2x+3+1+2,最后函数为y=2x+9．一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到当b＞0时,向上平移；当b＜0时,向上平移．或者说,直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b 当b＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移．例如,将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是,函数图象的平移,既可以上下平移,也可以左右平移．这里所说的平移,是指函数图象的上下平移,而非左右平移．以上平移比较简单,因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢问题1已知直线l1：y=2x-3,将直线l1向上平移2个单位得到直线l2,求直线l2的解析式分析：根据“两直线平行,对应函数的一次项系数相等”,可设直线l2的解析式为y=2x+ b,由于直线l2的解析式中只有一个未知数,因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点,而直线l1与y轴的交点易求,这样就得到一个条件,于是直线l2的解析式可求．解：设直线l2的解析式为y=2x+b,直线l1交y轴于点0,-3,向上平移2个单位长度后变为0,-1．把0,-1坐标代入y=2x+b,得b=-1,从而直线l2的解析式为y=2x-1．问题2 已知直线l1：y=2x-3,将直线l1向下平移2个单位得到直线l2,求直线l2的解析式答案：直线l2的解析式为y=2x-5．解答过程请同学们自己完成对比直线l1和直线直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3+2；将直线l1：y=2x-3向下平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-2．此时你有什么新发现问题3 已知直线l1：y=kx+b,将直线l1向上平移m个单位得到直线l2,求直线l2的解析式解：设直线l2的解析式为y=kx+n,直线l1交y轴于点0,b,向上平移m个单位长度后变为0,b+m,把0,b+m坐标代入l2的解析式可得,n=b+m．从而直线l2的解析式为y=kx+b+m．问题4已知直线l1：y=kx+b,将直线l1向下平移m个单位得到直线l2,求直线l2的解析式答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m由此我们得到：直线y=kx+b向上平移mm为正个单位长度得到直线y=kx+b+m,直线y=kx+b向下平移mm为正个单位长度得到直线y=kx+b-m,这是直线直线y=kx+b上下或沿y轴平移的规律这个规律可以简记为：以上我们探究了直线y=kx+b的上下或沿y轴的平移,如果直线y=kx+b不是上下或沿y轴平移,而是左右或沿x轴平移,又该怎样进行平移呢问题5已知直线l1：y=3x-12,将直线l1向左平移5个单位得到直线l2,求直线l2的解析式解：根据“两直线平行,对应函数的一次项系数相等”,可设直线l2的解析式为y=3x+b,直线l1交x轴于点4,0,向左平移5个单位长度后变为-1,0．把-1,0坐标代入y=3x+b,得b=3,从而直线l2的解析式为y=3x+3问题6 已知直线l1：y=3x-12,将直线l1向右平移5个单位得到直线l2,求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=3x-27对比直线l1和直线直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线l2的解析式为：y=3x+5-12；将直线l1：y=3x-12向右平移5个单位长度得到直线l2的解析式为：y=3x-5-12问题7已知直线l1：y=kx+b,将直线l1向左平移m个单位长度得到直线l2,求直线l2的解析式解：设直线l2的解析式为y=kx+n,直线l1交x轴于点-b／k,0,向左平移m个单位长度后变为0,-b／k -m,把0,-b／k -m坐标代入l2的解析式可得,n=km+b．从而直线l2的解析式为y=kx+km+b,即y=kx+m+b．问题8已知直线l1：y=kx+b,将直线l1向右平移m个单位长度得到直线l2,求直线l2的解析式答案：直线l2的解析式为y=kx-m+b由此我们得到：直线y=kx+b向左平移mm为正个单位长度得到直线y=kx+m+b,直线y=kx+b向右平移mm为正个单位长度得到直线y=kx-m+b,这是直线y=kx+b左右或沿x轴平移的规律这个规律可以简记为：例1:将直线l1：y=kx+bk≠0向上平移5个单位长度后,得到直线l2,l2经过点1,2和坐标原点,求直线l1的解析式解：直线y=kx+bk≠0的图象向上平移5个单位长度后的解析式为：y=kx+b+5,将点1,2,0,0代入y=kx+b+5,得k+b+5=2,b+5=0,解得：k=2,b=-5,即平移后直线的解析式为y=2x-5 例2:一次函数y=kx+b的图象经过点-1,1和点1,-5,求①函数的解析式；②将该一次函数的图象向上平移3个单位,直接写出平移后的函数解析式解：①根据题意,得1=-k+b,-5=k+b,解得k=-3,b=-2,则一次函数的解析式为y=-3x-2②将一次函数y=﹣3x﹣2的图象向上平移3个单位后的解析式为y=-3x-2+3,即y=-3x+1练习：1.直线y=-x-3向上平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=x／3 -2向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿2.直线y=-5x-12向左平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=x+1／6向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿3.直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移填“上”或“下”＿＿＿单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移填“左”或“右”＿＿＿单位长度得到4．要由直线y=2x+12得到直线y=2x-6,可以通过平移得到：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移填“上”或“下”＿＿＿单位长度得到直线y=2x,再将直线y=2x向＿＿＿平移填“上”或“下”得到直线y=2x-6；当然也可以这样平移：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移填“左”或“右”＿＿＿单位长度得到直线y=2x,再将直线y=2x向＿＿＿平移填“左”或“右”得到直线y=2x-6；以上这两种方法是分步平移．也可以一次直接平移得到,即将直线y=2x+12向＿＿＿平移填“上”或“下”直接得到直线y=2x-6,或者将直线y=2x+12向＿＿＿平移填“左”或“右”直接得到直线y=2x-6。

考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。

也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象二．一次函数图象的画法1．下列函数：①y ＝4x ；②y ＝﹣；③y ＝；④y ＝﹣4x +1，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：y ＝﹣4x ，y ＝﹣，y ＝﹣4x +1都符合一次函数的定义，属于一次函数；y ＝是反比例函数，综上所述，其中y 是x 的一次函数的个数有3个．故选：C．一次函数的图象是经过点和点的一条直线2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a＝，故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是　（1，0）　．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＜0，k2＜0，b2＞0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过四、二、三象限，∴k1＜0，b1＜0，∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、二、四象限，∴k2＜0，b2＞0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＜0，故B符合题意；C、b1﹣b2＜0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B．考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（ ）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣3x+1，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：A．2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定【分析】利用偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1，可得出y1＜y2．【解答】解：∵m2≥0，∴k＝m2+1＞0，∴y随x的增大而增大．又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，且﹣3＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（ ）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．4．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、四象限B ．图象与y 轴的交点坐标为（1，0）C ．y 随x 的增大而减小D ．图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；B ．当x ＝0时，y ＝1，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y 的值随着x 增大而减小，正确，不符合题意；D ．令y ＝0可得y ＝1，∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×1×＝，故D 正确，不符合题意．故选：B ．5．已知点（﹣2，y 1），（2，y 2）都在直线y ＝2x ﹣3上，则y 1　＜　y 2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k ＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y 1＜y 2．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（ ）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣．故函数的解析式是：y＝﹣x．故选：A．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（ ）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m的值不存在【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y ＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，故选：B．3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝ ．【分析】设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入，求出k得到函数解析式，把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．【解答】解：根据题意，设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入得：﹣3＝2k，解得：k＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，把x＝﹣代入y＝﹣x，得y＝﹣×（﹣）＝，故答案为：．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣x+4，∴当x＝﹣1时，y＝5≠6，∴点（﹣1，6）不一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD 的解析式．【分析】（1）把C （0，6）代入函数解析式，可得答案．（2）先求D 的坐标，再利用待定系数法求解AD 的解析式．【解答】解：（1）直线y ＝﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴﹣2×0+a ＝6，∴a ＝6，∴直线的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）点D （﹣1，n ）在y ＝﹣2x +6上，∴n ＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴D （﹣1，8），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （﹣3，0）和D （﹣1，8）代入得，解得，∴直线AD 的解析式为y ＝4x +12．考向四：一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：1．已知方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解是x ＝1，则直线y ＝2x ﹣1和y ＝﹣3x +4的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（1，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，1）【分析】把x ＝1代入直线解析式y ＝2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标．【解答】解：∵x ＝1是方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解，∴把x ＝1代入y ＝2x ﹣1，得y ＝2×1﹣1＝1．∴交点坐标为（1，1）．故选：B ．2．如图，直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，1），B （2，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为 x ＝2　．【分析】所求方程的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax +b ＝0的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax +b 过B （2，0），∴方程ax +b ＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．3．如图，一次函数y ＝2x +1的图象与y ＝kx +b 的图象相交于点A ，则方程组的解是（ ）A．B．C．D．【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，所以A点坐标为（1，3），所以方程组的解是．故选：B．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝　3　．【分析】根据由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可．【解答】解：由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3，故答案为：3．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据新定义，逐项判断即可．【解答】解：（﹣1）@（﹣2）＝﹣1﹣（﹣2）+3＝4，故①正确；∵x@（x+2）＝x+（x+2）﹣3＝2x﹣1，∴x@（x+2）＝5即是2x﹣1＝5，解得x＝3，故②正确；当x＜2x，即x＞0时，∵x@2x＝3，∴x+2x﹣3＝3，解得x＝2；当x≥2x，即x≤0时，∵x@2x＝3，∴x﹣2x+3＝3，解得x＝0，∴x@2x＝3的解是x＝2或x＝0，故③错误；∵x2+1≥1，∴y＝（x2+1）@1＝x2+1﹣1+3＝x2+3，令y＝0得x2+3＝0，方程无实数解，∴函数y＝（x2+1）@1与x轴无交点，故④错误；∴正确的有①②，共2个，故选：C．6．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是　1　，当y1＞y2时，x的取值范围是　x＜1　，当y1＜y2时，x的取值范围是　x＞1　．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝　0　，n＝　﹣1　．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：　当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大　．（3）当时，x的取值范围为　x≤﹣1或x≥2　．【分析】（1）把x＝﹣1和x＝4分别代入解析式即可得到m、n的值；（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|﹣1﹣1|＝0，∴m＝0；把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|4﹣1|＝﹣1，∴n＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）画出函数的图象如图：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；（3）画出一次函数y＝x+的图象，观察图象可知：当时，x的取值范围为x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律与x轴交点坐标（，0）故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；当k、b异号时，直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标（0，b）故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；当b＜0时，直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

一次函数图像的平移集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-一次函数图像的平移函数y＝kx＋b上的每个点（x,y）一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m，函数就变成了y＝k（x+m）＋b二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m，函数就变成了y＝k（x-m）＋b三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n，函数就变成了y＝kx＋b+n四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n，函数就变成了y＝kx＋b-n一次函数y=kx+b的规律：“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是x进行加减。

例如：y=2x+1向上平移2个单位，向左平移3个单位，可得y=2（x+3）+1+2，最后函数为y=2x+9．一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢问题1已知直线l1：y=2x-3，将直线l1向上平移2个单位得到直线l2，求直线l2的解析式分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l2的解析式为y=2x+ b，由于直线l2的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l2的解析式可求．解：设直线l2的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l2的解析式为y=2x-1．问题2 已知直线l1：y=2x-3，将直线l1向下平移2个单位得到直线l2，求直线l2的解析式答案：直线l2的解析式为y=2x-5．(解答过程请同学们自己完成)对比直线l1和直线直线l2的解析式可以发现：将直线l1：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3+2；将直线l1：y=2x-3向下平移2个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-2．(此时你有什么新发现)问题3 已知直线l1：y=kx+b，将直线l1向上平移m个单位得到直线l2，求直线l2的解析式解：设直线l 2的解析式为y=kx+n ，直线l 1交y 轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l 2的解析式可得，n=b+m ．从而直线l 2的解析式为y=kx+b+m ．问题4已知直线l 1：y=kx+b ，将直线l 1向下平移m 个单位得到直线l 2，求直线l 2的解析式答案：直线l 2的解析式为y=kx+b-m由此我们得到：直线y=kx+b 向上平移m （m 为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m ，直线y=kx+b 向下平移m （m 为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m ，这是直线直线y=kx+b 上下(或沿y 轴)平移的规律这个规律可以简记为：以上我们探究了直线y=kx+b 的上下 (或沿y 轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y 轴)平移，而是左右(或沿x 轴)平移，又该怎样进行平移呢问题5已知直线l 1：y=3x-12，将直线l 1向左平移5个单位得到直线l 2，求直线l 2的解析式解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l 2的解析式为y=3x+b ，直线l 1交x 轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b ，得b=3，从而直线l 2的解析式为y=3x+3问题6 已知直线l 1：y=3x-12，将直线l 1向右平移5个单位得到直线l 2，求直线l 2的解析式．答案：直线l 2的解析式为y=3x-27对比直线l 1和直线直线l 2的解析式可以发现：将直线l 1：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线l 2的解析式为：y=3(x+5)-12；将直线l 1：y=3x-12向右平移5个单位长度得到直线l 2的解析式为：y=3(x-5)-12问题7已知直线l 1：y=kx+b ，将直线l 1向左平移m 个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式解：设直线l 2的解析式为y=kx+n ，直线l 1交x 轴于点(-b ／k ，0)，向左平移m 个单位长度后变为(0，-b ／k -m)，把(0，-b ／k -m)坐标代入l 2的解析式可得，n=km+b ．从而直线l 2的解析式为y=kx+km+b ，即y=k(x+m)+b ．问题8已知直线l 1：y=kx+b ，将直线l 1向右平移m 个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式答案：直线l 2的解析式为y=k(x-m)+b由此我们得到：直线y=kx+b 向左平移m （m 为正）个单位长度得到直线y=k(x+m)+b ，直线y=kx+b 向右平移m （m 为正）个单位长度得到直线y=k(x-m)+b ，这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律这个规律可以简记为：例1:将直线l 1：y=kx+b （k≠0）向上平移5个单位长度后，得到直线l 2，l 2经过点（1，2）和坐标原点，求直线l 1的解析式解：直线y=kx+b （k≠0）的图象向上平移5个单位长度后的解析式为：y=kx+b+5，将点（1，2），（0，0）代入y=kx+b+5，得k+b+5=2，b+5=0，解得：k=2，b=-5，即平移后直线的解析式为y=2x-5例2:一次函数y=kx+b 的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求①函数的解析式；②将该一次函数的图象向上平移3个单位，直接写出平移后的函数解析式解：①根据题意，得1=-k+b,-5=k+b，解得k=-3,b=-2，则一次函数的解析式为y=-3x-2②将一次函数y=﹣3x﹣2的图象向上平移3个单位后的解析式为y=-3x-2+3，即y=-3x+1练习：1.直线y=-x-3向上平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=x／3 -2向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿2.直线y=-5x-12向左平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=(x+1)／6向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿3.直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“左”或“右”)＿＿＿单位长度得到?4．要由直线y=2x+12得到直线y=2x-6，可以通过平移得到：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向＿＿＿平移(填“上”或“下”)得到直线y=2x-6；当然也可以这样平移：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“左”或“右”)＿＿＿单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向＿＿＿平移(填“左”或“右”)得到直线y=2x-6；以上这两种方法是分步平移．也可以一次直接平移得到，即将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“上”或“下”)直接得到直线y=2x-6，或者将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“左”或“右”)直接得到直线y=2x-6。

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ，b 为常数,k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量)，特别地,当b=0时，称y 是x 的正比例函数。

例如：y=2x+3，y=—x+2,y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.知识点2、 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点(0，b)，直线与x 轴的交点（-kb ,0）。

但也不必一定选取这两个特殊点。

画正比例函数y=kx 的图象时,只要描出点（0，0），（1,k ）即可. 知识点4 、 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1)k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）｜k ｜大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小(直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置;①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上;②当b＜0时,直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）;②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）;④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同,说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此,它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0)的性质(1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2)当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3)当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0,y）与直线y=kx+b的图象的关系(1）如果点P(x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x，y的值必满足解析式y=kx+b；(2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值,那么以x，y为坐标的点P（1，2)必在函数的图象上．例如:点P（1,2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2,则点P（1,2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3,所以点P′（2,1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k的值．（2)由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如:函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1）设函数表达式为y=kx+b;（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组)；（3）求出k与b的值,得到函数表达式．。

专题30 函数图象的平移与变换知识对接考点一、函数图象的变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：①沿水平方向左右平行移动②沿竖直方向上下平行移动1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等)④画出函数的图象2．图象的平移变换①)0)((>-=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)0)((>+=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到②)0()(>±=h h x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到注意：（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减（2）谁向谁变换是)(x f y =→)(a x f y -=还是)(a x f y -=→)(x f y =二、对称变换图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。

两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。

①)(x f y =与)(x y -=)的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x y -=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将)(x f y =的)图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。

⑤()x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。