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随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
习题一1、设人民币存款利率为5%，每年计息一次，那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍？如果利率变为4%，又要多少年？解：设初始投入资金为Q 元，大约需要n 年，其中的利率为r 。
依题意，可得：公式计算法：Q ∗5%∗n =Q 1−Q【PS: Q 1为存款后的利息+本金，Q 为本金】1) 当r=5%的时候：Q ∗5%∗n =4Q −Q所以：n =35%=602) 当r=4%的时候：Q ∗5%∗n =4Q −Q3) 所以：n =34%=75答：当利率为5％的时候，大约60年可以达到4倍。
利率为4％的时候，大约75年可以达到4倍。
2、如果利率为年复合利率r ，请给出一个公式，用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。
解：【推导过程】当利率为r ，则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款，二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n依据上述公式和P3的(1—4)，可以得到：Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr=>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ，则由题意得到Q(1+r)n =3Q=>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3n ≈ln3r =ln3r3、考虑期权定价C 问题，设利率为r ，在t=0时刻，某股票价格为100元，在t =1时刻，该股票的价格为200或50，即100(t =0)↗↘20050(t =1) 试证明：若C ≠100−50(1+r )−13，则存在一个购买组合，使得在任何情况下都能带来正的利润现值，即套利发生。
【本题默认执行价格为150】解：【分析过程：】t=0 t=1 期权S u =200 C uS=100S d =50 C d已知公式C =S ∗∆+B ，∆=C u −C dS u −S d ，B =C d −S d ∗∆1+r 。
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
应用随机过程试题及答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分）1. 写出卡尔曼滤波的算法公式2. 写出ARMA（p,q）模型的定义3. 简述Poisson 过程的随机分流定理4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念5. 简述Markov 状态分解定理6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分）1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) ,2 k kk X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X是相互独立的。
试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。
2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y}4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。
试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t，协方差1 2 ( , ) X C t t。
B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P= 0 ，求其相应的极限分布。
6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 10 0 0 1 ，试画出状态传递图，对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。
B 卷（共9 页）第5 页河北科技大学2010——2011 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B）答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分）1. 写出卡尔曼滤波的算法公式答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) (1)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5) 2．写出ARMA（p,q）模型的定义答: 自回归移动平均ARMA(p,q) 模型为1 1 2 2 1 1 2 2 t tt p t p t t q t q X XXX ?其中，p 和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数；, ? ? 是不为0 的待定系数；t ?是独立的误差项；t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。
2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。
p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
()t f 解. 根据定理 1.3.2（第10页）, 我们只需证明是连续非负定，且。
()10=f 注意到()()()()∑∑=−===−−=−−=n k jkt n k jktjt jt njtjt jtjnt jt e n ene e e n e en e e t f 111111所以连续且. 下面我们证明()t f ()10=f ()t f 是非负定的（性质1.3.3，第8页）。
对任意给定的自然数M ，实数以及复数，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()()()()()∑∑∑∑==−−−==−−=−=Mi Mk k i t t j t t jn t t j Mi Mk k i k i a a e n e e a a t t f A k i k i k i 111111 ()()()()()()()()()()()Aa a e n e e a a e n e e a a t t f A Mk M i i k t t j t t jn t t j Mi Mk ki t t j t t jn t t j M i Mk k i k i i k i k ii k k i k i k i =−−=−−=−=∑∑∑∑∑∑==−−−−==−−−−−−==1111111111ne jltA ,,2,1n l L =所以是实数。
其次，容易证明对任意函数是非负定的。
因此，函数是非负定的。
()t f ()t f 是特征函数。
()t f 下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。
根据定理1.3.1（第10页），()()()()∑∑∑∫∫===∞∞−−∞∞−−−=−===nk n k n k jktjtx jtxk x n k x n dte e n dt et f x p 11112212121δπδπππ()211t t f +=5. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
解. 容易证明连续且()t f ()10=f ()t f ，下面我们证明是非负定的。
对任意给定的自然数M ，实数以及复数，首先，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()∑∑∑∑====−+=−=Mi Mk k i ki Mi Mk k i k i a a t t a a t t f A 1121111， 是实数。
其次，A 显然()()(){}(){}max 11max 11112212,112,11211≥+++−+=−+≥−+=−=∑∑∑∑∑∑======M k i ki M i Mk kik i ki Mi Mk k i k i Mi Mk k i k i a a a t t aa t t a a t t a a t t f A L所以是非负定的。
()t f 最后，根据定理1.3.1（第10页），()()x jtxjtxedt e t dt t f ex p 211121212=+==∫∫∞∞−−∞∞−−ππ()∞∞−∈,x()2,σa N 7. 设相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L 。
试求维向量的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求n ∑==ni iX n X 11(n X X X ,,,21L )的概率密度函数。
()2,σa N 解. 由于相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L ，维向量的均值向量为n ()a a a ,,,L =μ(n X X X ,,,21L )，协方差矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222σσσOB ，()的分布为()B N ,μ。
nX X X ,,,21L ()1,,1,11L nl =∑==ni i X n X 11，则，a l ='μ根据题意，。
令()n n n lBl 2222'11111,,1,11σσσσ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=M OL根据性质1.4.4（第14页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=na N lBl l N X 2'',,~σμ()1,0N 11. 设相互独立，且都服从211X X Y +=321,X X X 和。
试求随机变量和组成的随机向量()21,Y Y Y =的特征函数。
312X X Y +=解. 令，则 ()321,,X X X X =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111,0~N X ()()()XA X X X X X X X Y Y Y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++==:100111,,,,321312121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2112100111101011111'A A根据性质1.4.5（第15页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112,0,~N B N Y Y Y μ 根据定理1.4.1（第13页），()()222121''exp 211221exp 21exp t t t t t t t tB t j t f Y Y Y −−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=μ()1,0N 。
试求 12. 设相互独立，且都服从321,X X X 和()321,,X X X 的特征函数（1）随机向量（2）设,,,321321211X X X S X X S X S ++=+==求随机向量()的特征函数。
321,,S S S ()21,Y Y （3）和的特征函数。
121X X Y −=232X X Y −=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。
()1,0N 15. 设是相互独立同服从正态分布Y X ,的随机变量，讨论和YXV =的独立性。
22Y X U +=解. 我们知道，随机向量的概率密度函数为(Y X ,)()2,2221,y x Y X e y x f +−=πYXV =根据，有 。
由0>U YV X =22Y X U +=知，代入，可得，所以Y 由两个解，即：22Y X U +=()()22221Y V Y YV U +=+=,1 ,12221VU Y VU Y +−=+=类似的，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212111V U Y V V U X ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+−=212111V U Y V VU X 下面我们求Jacobi 行列式。
容易验证：()2/3211V U V X +=∂∂2112V U VU X +=∂∂， ，()2/3211V VU V Y +−=∂∂21121VU U Y +=∂∂， ， 所以，()()()21111111121,,VVY UY V X U X V U Y X J +−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= 类似地，()()()2222121,,VV U Y X J +−=∂∂=因此，随机向量的概率密度函数为(V U ,)()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=2exp 11211211121exp 2121,11,1,222222222,122,,u v v vu v v u J v u v v u f J v uv v u f v u g Y X Y X V U ππ由上式可得U 和V 的概率密度函数：()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−2exp 21112exp 212exp 1121,22,u dv v u dv u v dv v u g u g V U U ππ()()()()()()202022,112exp 21111212exp 11212exp 1121,v u v du u v du u v du v u g v g V U V +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∞∞∞∞−∞∞−∫∫∫ππππ 所以，()()()v g u g v u g V U V U =,,即是独立的。
